7 抽象函数周期性与对称性问题

授课教案

辅导日期：2016年 月 日 辅导时间： 学员：

七、周期性与对称性问题（由恒等式．．．简单判断：同号看周期，异号看对称）

结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(3) 函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|

（4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(b+x)与y=f(a-x)关于2

b

a x -=

对称；y=f(b+x)与y=-f(a-x)关于点)0,2

(

b

a -对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x 为对称轴）

★★★★例

1.已知函数)(x f y =满足200)()(=-+x f x f ，求

)2002()(11x f x f -+--的值。

解：已知式即在对称关系式b x a f x a f 2)()(=-++中取20020==b a ，，所以函数)(x f y =的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数

)(1x f y -=的图象关于点（2002，0）对称。

所以0)1001()1001(11

=-++--x f x f

将上式中的x 用1001-x 代换，得0)2002()(11

=-+--x f x f

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数

)(x f y =的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。

例17：①已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2) = – f (x )，则f (6)的值为（ B ）

A. –1

B. 0

C. 1

D. 2

解： 因为f (x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。

②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。（x=1/2） 练习：（2010

重庆）已知函数

()f x 满足：()1

14

f =

，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2010f =_____________.

解析：取x=1 y=0得2

1

)0(=

f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6

法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故()2010f =f(0)=

21 例18. 已知函数y=f(x)满足2002)()(=-+x f x f ，求()()x f x f -+--20021

1的值。

解：由已知式知函数的图象关于点（0，1001）对称。据原函数与其反函数的关系，知

函数y=f -1

(x) 的图象关于点（1001，0）对称,所以()()010********

=-++--x f x f

,即

()()x f x f -+--200211=0

例19. 奇函数f (x )定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x )，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为（ ）C

A. 3个

B.4个

C.5个

D.6个

解：∵f (0) = 0→x 1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x 2 = T ，x 3 = 2T .又因为⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-22T x f T x f 令x = 0得⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛-222T f T f T f ,∴⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛232T f T f =0.(本题易错选为A) 例20．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。

求a 的值。

解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴T=8

∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x)

∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6

②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于

直线x=1对称，

且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3

(a 为常数且a R)

（1）求f(x);

（2）是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线

y=12上？

若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

解：（1）设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M 关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)).

∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称. ∴点N(2-x,f(x))在y=g(x)图象上.

由此得f(x)=g(2-x)（利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称）

设x [-1,0]，则2-x [2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x 3

又f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x),x ∈ [-1,1]. ∴当x ∈ [0,1]时，f(x)=2ax-4 x 3

（2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在[0,1]上的最大值.

(ⅰ)当a (2,6]时，由0 x 1得a-2x 2

＞0，

f(x)=2x(a-2 x 2

)= ≤ =（当且仅当4 =a －

2

,即x=

[0,1]时等号成立）. 由题意知,f(x)的最大值为12,令 =12得

=486> ,∴a>6,这与a (2,6]矛盾,故此时满足条件的a 不存在.