一轮复习：直线的倾斜角、斜率与直线的方程

授课主题
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
教学目标
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 4．掌握两点间的距离公式．
教学内容
1． 平面直角坐标系中的基本公式
(1)两点间的距离公式：
已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝x 2－x 1
2＋
y 2－y 12.
(2)中点公式：
已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 2
2.
2． 直线的倾斜角
(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．
(2)倾斜角的范围：[0°，180°)． 3． 直线的斜率
(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在；
(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．若直线的倾斜角为θ (θ≠π
2)，
则k ＝tan_θ.
4． 直线方程的形式及适用条件
名称 几何条件 方程 局限性 点斜式
过点(x 0，y 0)，斜率为
k
y －y 0＝k (x －x 0)
不含垂直于x 轴的直
线
斜截式
斜率为k ，纵截距为b
y ＝kx ＋b
不含垂直于x 轴的直
线
两点式
过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1 (x 2≠x 1，y 2≠y 1) 不包括垂直于坐标轴
的直线 截距式
在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)
x a ＋y b ＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式
Ax ＋By ＋C ＝0
平面直角坐标系内的
直线都适用
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1、直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
方法点拨：数形结合，由斜率公式求得k P A ，k PB . 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－0
2－1
＝1， k BP ＝
3－0
0－1
＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 方法技巧
求直线倾斜角与斜率问题的求解策略
1．求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π
2
时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率．见典例．
【冲关针对训练】已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．
答案 －23≤m ≤12
解析 如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k P A ＝－2，k l ＝－1m ，∴－1
m ≤－2
或－1m ≥32，解得0<m ≤12或－2
3
≤m <0；
当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.
题型二 直线方程的求法
又∵2a ＋1b ≥2
2ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝1
2
ab 有最小值为4. 此时，直线l 的方程是x 4＋y
2＝1，即x ＋2y －4＝0.
(2)设所求直线l 的方程为y －1＝k (x －2)． 则可得A ⎝⎛
⎭⎫
2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，
∴截距之和为2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1
k ≥3＋2
(－2k )·⎝⎛⎭
⎫－1k ＝3＋2 2. 此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－2
2
.
故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－2
2
(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0. 方法技巧
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．
2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 【冲关针对训练】已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：
(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1
b
＝1，
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b
a
≥2＋2a b ·b
a
＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则A ⎝⎛⎭
⎫1－1
k ，0，B (0,1－k )， 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1
k
2≥2＋2k 2·1
k
2＝4. 当且仅当k 2＝1
k
2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.
1.(2017·大庆模拟)两直线x m －y n ＝a 与x n －y
m
＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )
答案 B
解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m
n x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故
选B.
2．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝
5
5
，则l 的斜率为( ) A ．－1
2
B ．－1
2或－2
C.1
2或2 D ．－2
答案 D
解析 ∵sin θ＋cos θ＝
5
5
，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝1
5，
∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝9
5，
易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝35
5
，②
由①②解得⎩⎨
⎧
sin θ＝255，
cos θ＝－5
5
，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.
3．(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )
A ．150°
B ．135°
C ．120°
D ．105°
答案 A
解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示． 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝
|2k |
1＋k 2
，弦长|AB |＝2
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2
，所以S △AOB
＝12×|2k |
1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 2
2(1＋k 2)
＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭
⎫k ＝3
3舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.
4．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．
答案 5
解析 易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ，∴|P A |2
＋|PB |2
＝|AB |2
＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |2
2
＝5(当且仅当|P A |＝|PB |
＝5时取“＝”)．
一、选择题
1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( )
A.π
6 B.π
3 C.2π3 D.5π6
答案 D
解析 直线斜率为－
33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π
6
，故选D. 2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( )
A ．40°
B ．50°
C ．130°
D ．140°
答案 B
解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°
sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.
故选B.
3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π
4
，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )
A.π4
B.π
3 C.2π3 D.3π4
答案 D
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 C
解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a
b ≥2＋2
b a ·a
b
＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C. 9．(2017·烟台期末)直线mx ＋n
2y －1＝0在y 轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2
倍，则( )
A ．m ＝－3，n ＝－2
B ．m ＝3，n ＝2
C ．m ＝3，n ＝－2
D ．m ＝－3，n ＝2
答案 A
解析 根据题意，设直线mx ＋n
2y －1＝0为直线l ，
另一直线的方程为3x －y －33＝0， 变形可得y ＝3(x －3)，其斜率k ＝3，
则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan120°＝－3，
又由l 在y 轴上的截距是－1， 则其方程为y ＝－3x －1；
又由其一般式方程为mx ＋n
2y －1＝0，
分析可得m ＝－3，n ＝－2.故选A.
10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．2 3
答案 C
解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．
而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．
当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2. 故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题
11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →
的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．
答案 ⎝⎛⎭⎫－73
，－13
解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ
＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－1
3
. 12．(2018·石家庄期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．
答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16
解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ，直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，
把A (－3,4)代入，得－3a ＋4
12－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.
a ＝9时，直线方程为x 9＋y
3＝1，整理可得x ＋3y －9＝0.
a ＝－4时，直线方程为x －4＋y
16＝1，整理可得4x －y ＋16＝0.
综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.
13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．
答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2
解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；
②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；
③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝1
2
(x －2)，即x －2y ＋2＝0.
综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：
11
12 ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，
解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭
⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，
解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12
⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12
， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.
方法与技巧
1． 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1
，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2． 求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分
两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．
3． 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法． 失误与防范
1． 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2． 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3． 利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．
1． 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )
A ．k 1<k 2<k 3
B ．k 3<k 1<k 2
C ．k 3<k 2<k 1
D ．k 1<k 3<k 2 答案 D 解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.
13。