四川成都七中实验学校九年级(上)期末数学试题
四川省成都市第七中学初中学校2023-2024学年九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（4分）下列说法正确的是（ ）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．平行四边形是轴对称图形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和14．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（ ）A．B．C．D．6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（ ）A．B．C．D．7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（ ）A．1：3B．1：4C．1：2D．1：98．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1 x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是 米．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 ．13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 cm．三、解答题（共48分）14．（12分）解方程：（1）2x2+3＝﹣7x；（2）x2﹣6x+2＝0．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．（1）求反比例函数与一次函数关系式；（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．一、填空题（每小题4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是 ．20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝ ．21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为 ．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为 ．23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为 ．二、解答题（共30分）24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？25．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；【尝试应用】（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别判断这四个几何体从正面看和从左面看的形状，进而求解．【解答】解：球从正面看和从左面看都是圆，形状相同；三棱柱从正面看是长方形，从左面看是三角形，形状不同；圆锥从正面看和从左面看都是三角形，形状相同；圆柱从正面看和从左面看都是长方形，形状相同；综上，从正面看和从左面看形状相同的几何体有3个；故选：C．【点评】本题考查了从不同方向看几何体，正确判断从正面看和从左面看的形状是关键．2．（4分）下列说法正确的是（ ）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．平行四边形是轴对称图形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和1【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，选择答案即可．【解答】解：∵将方程5x2﹣1＝4x整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，∴二次项系数为5，一次项系数为﹣4，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．4．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据各角度与直角的关系直接求解即可．【解答】解：由图可知∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣150°＝30°，因为四边形是矩形，即∠5＝90°，所以∠4＝90°﹣30°＝60°，所以∠2＝90°﹣60°＝30°，故选：B．【点评】此题考查矩形的性质，解题关键是灵活使用直角和平角．5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（ ）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，OC＝AC＝2，OB＝BD＝3，由勾股定理求出BC＝＝，由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC•BD，即可求出AE＝，由勾股定理即可得到CE＝＝．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝4，BD＝6，∴OC＝2，OB＝3，∴BC＝＝，∵AE⊥BC，∴菱形的面积＝BC•AE＝AC•BD，∴AE＝×4×6，∴AE＝，∴CE＝＝．故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC •BD，求出AE的长．6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和配得紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：根据两个转盘的形状，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中转到红色和蓝色的结果有5种，∴配得紫色的概率＝，故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（ ）A．1：3B．1：4C．1：2D．1：9【分析】根据平行四边形得出AD∥BC，可证△AFE∽△CFB，再根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AFE∽△CFB，∵AE：DE＝1：2，∴AE：AD＝1：3＝AE：BC，∴△AFE与△CFB的相似比为1：3，∴S△AEF：S△BCF＝1：9．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形性质和相似三角形判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【解答】解：在函数（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 1 ．【分析】先根据根的判别式△的值为0，进而得出等式求出即可．【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝0，解得：k＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式，根据已知得出b2﹣4ac＝0得出是解题关键．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1 ＜ x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】先判断出点A、B在第三象限，再根据反比例函数的增减性判断．【解答】解：∵k＝2024＞0，y1＞y2＞0，∴点A、B在第一象限，且在同一象限内，y随x的增大而减小，∴x1＜x2．故答案为：＜．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性只指在同一象限内是解题的关键．11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是 4.5 米．【分析】根据题意可得∠APB＝∠CPD，根据垂直定义可得∠ABD＝∠CDB＝90°，从而可证△ABP∽△CDP，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∴＝，∴CD＝4.5，∴该古城墙的高度CD是4.5m，故答案为：4.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 （10，12） ．【分析】根据点B、B′的坐标求出△ABC和△A′B′C′的位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B ′的坐标分别为（8，2）、（16，4），∴△ABC和△A′B′C′的位似比为1：2，∵点A的坐标为（5，6），∴点A′的坐标为（5×2，6×2），即（10，12），故答案为：（10，12）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 5 cm．【分析】四边形OACB的四条边都相等，则这个四边形是菱形．AB和OC是菱形OACB的两条对角线，则根据菱形的面积＝AB×OC求解即可．【解答】解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝5，解得OC＝5（cm）．故答案为：5．【点评】本题侧重考查尺规作图，掌握四边相等的四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半是解决此题的关键．三、解答题（共48分）14．（12分）解方程：（1）2x2+3＝﹣7x；（2）x2﹣6x+2＝0．【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：2x2+7x+3＝0，这里a＝2，b＝7，c＝3，∵Δ＝49﹣24＝25＞0，∴x＝＝，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣；（2）方程整理得：x2﹣6x＝﹣2，配方得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．【分析】（1）设另一个实数根为m，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1+m＝4，求出m的值即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β＝4，αβ＝c+3，把变形为，然后代入即可．【解答】解：（1）设关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0另一个实数根为m，根据题意得：﹣1+m＝4，∴m＝5，即另一个实数根为5；（2）∵方程的两个不相等的实数根为α和β，∴α+β＝4，αβ＝c+3，∴，解得c＝﹣4或1，当c＝﹣4时，Δ＝20＞0；当c＝1时，Δ＝0（不符合题意，舍去）．综上可得，c的值为﹣4．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有 20 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 72 度，图中m的值为 40 ；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），表示“D等级”的扇形的圆心角为；C等级所占的百分比为，所以m＝40，故答案为：20，72，40．（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），补全统计图，如图所示：（3）解：根据题意，列出表格，如下：男女1女2男女1、男女2、男女1男、女1女2、女1女2男、女2女1、女2共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰是一男一女的概率为．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．【分析】（1）直接利用相似三角形的性质得出∠ACD＝∠B，再结合已知条件得出答案；（2）利用相似三角形的性质得出＝，进而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD，∴∠ACD＝∠B，∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°，∴∠ADC＝35°+35°＝70°；（2）∵△ABC∽△ACD，∴＝，∵AD＝3，BD＝5，∴＝，解得：AC＝2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．（1）求反比例函数与一次函数关系式；（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入可求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（﹣1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得出CE＝AE＝6，即C（5，0），然后据待定系数法即可求得一次函数解析式；（2）设直线AC与y轴交于E，由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，过D作DF⊥x轴于F，求得CF＝DF，设OF＝x，则CF＝5﹣x，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论；（3）过A作AP∥OD交x轴于P，则△ODP的面积与△AOD的面积相等，求得直线OD的解析式为y＝x，设直线AP的解析式为y＝x+b，得到直线AP的解析式为y＝x+，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）作AB⊥x轴于点B，由点A（﹣1，6）可知，m＝﹣6，AB＝6，OB＝1．又∠ACO＝45°，AB＝CB，∴OC＝5．即C（5，0），∴，∴，∴反比例函数的解析式为，一次函数关系式为y＝﹣x+5；（2）设直线AC与y轴交于E，由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，∴E（0，5），C（5，0），∴OC＝OE＝5，过D作DF⊥x轴于F，∴CF＝DF，设OF＝x，则CF＝5﹣x，∴OD2＝OF2+DF2＝x2+（5﹣x）2，CD＝CF＝（5﹣x），∵CE＝OC＝5，∴DE﹣CE﹣CD＝5﹣（5﹣x）＝x，∵AC＝AB＝6，∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x，∵∠AOD＝∠OED＝45°，∠ADO＝∠ODE，∴△ADO∽△ODE，∴，∴OD2＝AD•DE，∴x2+（5﹣x）2＝（x）×x，解得x＝，∴OF＝，DF＝5﹣＝，∴；（3）过A作AP∥OD交x轴于P，则△ODP的面积与△AOD的面积相等，∵；∴直线OD的解析式为y＝x，∴设直线AP的解析式为y＝x+b，∵点A（﹣1，6），∴6＝﹣+b，∴b＝，∴直线AP的解析式为y＝x+，当y＝0时，x＝﹣，∴P（﹣，0），∴OP＝，当点P在x轴的正半轴上时，P（，0），综上所述，P（，0）或（﹣，0）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等，解题关键是数形结合思想的应用．一、填空题（每小题4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是 2023 ．【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣1，再把ab﹣2024a﹣2024b变形为ab﹣2024（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，∴ab﹣2024a﹣2024b＝ab﹣2024（a+b）＝﹣1﹣2024×（﹣1）＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝ ．【分析】由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，先利用勾股定理计算出AC＝2，则AD＝2﹣2，所以AE＝2﹣2，再计算出BE＝6﹣2，然后计算的值．【解答】解：由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∴AD＝AC﹣CD＝2﹣2，∴AE＝2﹣2，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为 或 ．【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴，当△APD与△ABC相似时，∵点D始终在边AC上，根据折叠PB＝PD，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，∴分两种情况：①△APD∽△ABC，此时∠ADP＝∠ACB＝90°，∴，即，解得，∴，②△APD∽△ACB，此时∠APD＝∠ACB＝90°，∴，即，解得，∴，综上，AP的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为 5 ．【分析】过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，利用相似三角形的判定与性质求得线段DE的长度，则点C的坐标可得，利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得点B坐标，利用三角形的面积公式解答即可得出结论．【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，如图，设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，∵点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝mn．∵DE⊥OA，CF⊥OA，∴DE∥CF，∴△ACF∽△ADE，∴，∵AC：CD＝2：3，∴AC：AD＝2：5，∴，∴CF＝m．∵点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴C（m，n），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+n．令y＝0，则x+n＝0，∴x＝m，∴B（m，0）．∴OB＝m．∵S△OBD＝，∴OB•OE＝，∴m•n＝，∴mn＝5，∴k＝mn＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为 ．【分析】根据正方形的性质得点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，进而得点D，点E，则AD＝，CE＝，BE＝，BD＝，再根据△DOE 的面积为4，得3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，由此求出k＝3，则点D （3，1），点E（1，3），在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，根据点E，M关于OC对称，得当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．然后在Rt△MBD中，由勾股定理求出MD的长即得PE+PD的最小值．【解答】解：∵四边形OABC为正方形，且边长为3，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，AB⊥OA，BC⊥OC，∠B＝90°，∴点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，∵点D，E在反比例函数（k＞0）的图象上，∴点D的坐标为，点E的坐标为，∴AD＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝，BD＝AB﹣AD＝，∵△DOE的面积为4，∴S△DOE＝S正方形OABC﹣S△OAD﹣S△BDE﹣S△OCE＝4，∴3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，整理得：，解得：k＝3，或k＝﹣3（不合题意，舍去），∴点D（3，1），点E（1，3），∴AD＝＝1，CE＝1，∴BD＝2，BE＝2在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，如图所示：∵BC⊥OC，CM＝CE＝1，∴点E，M关于OC对称，∴当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．在Rt△MBD中，BD＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，由勾股定理得：MD＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数的图形，利用轴对称求最短路线，理解理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握利用轴对称求最短路线的方法与技巧是解决问题的关键．二、解答题（共30分）24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【分析】（1）利用日销售量＝20+2×（110﹣售价），即可找出日销售量y（件）与售价x （元/件）的函数关系式；（2）利用电商每天销售该产品获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解（1）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（2）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）．答：该产品的售价每件应定为90元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程．25．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；【尝试应用】（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．【分析】（1）证明△ABD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得证；（2）根据平行四边形的性质得出∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，进而证明△EBF∽△FBC，得出BC＝，即可求解；（3）过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，证明△ECM∽△BCE，得出EM＝16，继而证明△AFE∽△CFM，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DCB，∴△ABD∽△DBC，∴，∴BD2＝BA•BC；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，∵AB＝AF，∴∠AFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∵∠DFC＝∠FCB，∠EFB＝∠DFC，∴∠EFB＝∠FCB，∴△EBF∽△FBC，∴，解得：BC＝，∴AD＝；（3）解：过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，∵∠AEF+∠CEF+∠DEC＝180°，∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEF﹣∠DEC，∠CBE＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠CEF＝∠CBE，∵CM∥AD，∴∠DEC＝∠ECM，∵∠DEC＝∠DCE，∴∠ECM＝∠DCE，∴△ECM∽△BCE，∴，∵BE＝12，∴EM＝16，∵EF＝10，∴FM＝16﹣10＝6，∵CM∥AD，∴△AFE∽△CFM，∴．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），根据四边形的面积构建方程即可解决问题；（3）分两种情况：当点M位于∠OCC′内部时，延长CN交反比例函数于M；当点M 位于∠O′CC′外部时，作O′N'⊥CM'于N′，连接NN′，分别求解即可．【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，∴一次函数的表达式为y＝x﹣3，反比例函数的表达式为y＝；。
成都七中实验学校初三数学九年级上册期末模拟试卷
成都七中实验学校初三数学九年级上册期末模拟试卷一、选择题1．如图，等边三角形ABC的边长为5，D、E分别是边AB、AC上的点，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若BF＝2，则BD的长是（）A．2 B．3 C．218D．2472．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（）A．5人B．6人C．4人D．8人3．方程 x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4 4．下列是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．x2+2x+3＝0 C．y2+x＝1 D．1x＝15．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：组别1234567分值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是A．88，90 B．90，90 C．88，95 D．90，956．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．3m C．150m D．37．如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是（）A ．BM ＞DNB ．BM ＜DNC ．BM=DND ．无法确定8．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ）A ．65°B ．50°C ．30°D ．25°9．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．45°10．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．A ．三条边垂直平分线B ．三条中线C ．三条角平分线D ．三条高11．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12 12．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 13．O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定14．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ∽△ADE ，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）A ．∠B ＝∠D B ．∠C ＝∠E C ．AD ABAE AC= D ．AC BCAE DE= 15．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且∠D ＝40°，则∠PCA 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．75°二、填空题16．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．17．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝________．18．将抛物线y=﹣2x 2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线________； 19．如图，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 都在小正方形的顶点上，则∠ABC 的正切值为_____．20．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．21．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表， x 6.17 6.18 6.19 6.20 y﹣0.03﹣0.010.020.04则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．22．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________23．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_________.24．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．25．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．26．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．27．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．28．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．29．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．30．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝34，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，点F 是DE 上一动点，以点F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，当FD ＝_____时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切．三、解答题31．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ． （1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程） 32．解方程： （1）x 2+4x ﹣21＝0 （2）x 2﹣7x ﹣2＝033．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x 元时，日盈利为w 元.据此规律，解决下列问题：（1）降价后每件商品盈利 元，超市日销售量增加 件（用含x 的代数式表示）； （2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？34．如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，9012ACB AB ∠=︒=，，过点C 的切线与AB 的延长线交于点D ，OE 交AC 于点F ，CAB E ∠=∠.（1）判断OE 与BC 的位置关系，并说明理由； （2）若3tan 4BCD ∠=，求EF 的长.35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝12x +2的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，⊙P 的半径为5，其圆心P 在x 轴上运动．（1）如图1，当圆心P 的坐标为（1，0）时，求证：⊙P 与直线AB 相切；（2）在（1）的条件下，点C 为⊙P 上在第一象限内的一点，过点C 作⊙P 的切线交直线AB 于点D ，且∠ADC ＝120°，求D 点的坐标；（3）如图2，若⊙P 向左运动，圆心P 与点B 重合，且⊙P 与线段AB 交于E 点，与线段BO 相交于F 点，G 点为弧EF 上一点，直接写出12AG +OG 的最小值 ． 四、压轴题36．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．37．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.∽；（1）求证：AEF BCEAC ，求AB的长；（2）若23△的外接圆圆心之间的距离？（3）在（2）的条件下，求出ABC的外接圆圆心与CEF38．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．39．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．（1）求证：四边形AGDH为菱形；（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；（3）连结OF ，CG ．①若△AOF 为等腰三角形，求⊙O 的面积；②若BC ＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．40．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据折叠得出∠DFE ＝∠A ＝60°，AD ＝DF ，AE ＝EF ，设BD ＝x ，AD ＝DF ＝5﹣x ，求出∠DFB ＝∠FEC ，证△DBF ∽△FCE ，进而利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝5，∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上，∴△ADE≌△FDE，∴∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，CE＝y，AE＝5﹣y，∵BF＝2，BC＝5，∴CF＝3，∵∠C＝60°，∠DFE＝60°，∴∠EFC+∠FEC＝120°，∠DFB+∠EFC＝120°，∴∠DFB＝∠FEC，∵∠C＝∠B，∴△DBF∽△FCE，∴BD BF DFFC CE EF==，即2535x xy y-==-，解得：x＝218，即BD＝218，故选：C．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.2．B解析：B【解析】【分析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数.【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次，∴这组数据的众数是6.故选：B.【点睛】本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.3．C解析：C【分析】两边开方得到x=±2．【详解】解：∵x2=4，∴x=±2，∴x1=2，x2=-2．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax2+c=0（a≠0）的方程可变形为2=cxa，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．4．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、方程2x+1＝0中未知数的最高次数不是2，是一元一次方程，故不是一元二次方程；B、方程x2+2x+3＝0只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，故是一元二次方程；C、方程y2+x＝1含有两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；D、方程1x＝1不是整式方程，是分式方程，故不是一元二次方程.故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．是否符合定义的条件是作出判断的关键.5．B解析：B【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为85，88，90，90，90，92，95，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：90．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90．6．A解析：A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，∴BC=AC3，∵BC=50，∴AC=503，∴()2222AB=AC+BC503+50100==（m）．故选A 7．C解析：C【解析】分析：连接BD，根据平行四边形的性质得出BP=DP，根据圆的性质得出PM=PN，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM，从而得出三角形全等，得出答案．详解：连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP，∵以P为圆心作圆，∴P又是圆的对称中心，∵过P的任意直线与圆相交于点M、N，∴PN=PM，∵∠DPN=∠BPM，∴△PDN≌△PBM（SAS），∴BM=DN．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．8．D解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：由圆周角定理得，1252A BOC∠=∠=︒，故选：D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【详解】解：∵OA=OB，∠ABO=35°，∴∠BAO=∠ABO=35°，∴∠O=180°-35°×2=110°，∴∠C=12∠O=55°．故选：C．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.10．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.11．C解析：C【解析】【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°．∵OB＝OC，BC＝8，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝8．故选：C.【点睛】本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．12．B解析：B【解析】【分析】将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项．【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，∴22-3×2+k=0，解得，k=2，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．13．A解析：A【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选A．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．14．D解析：D【解析】【分析】先求出∠DAE＝∠BAC，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；C、添加AD ABAE AC=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；D、添加AC BCAE DE=不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．15．C解析：C【解析】【分析】根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以1252A COD∠=∠=︒，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COD＝∠A+∠ACO，∴1252A COD∠=∠=︒，∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．故选C．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．二、填空题16．∠P=∠B（答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．【详解】解：这个条件解析：∠P=∠B（答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ∽△ABC，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC=．【详解】解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC，∴∠PAQ=∠BAC∵∠B=∠P，∴△APQ∽△ABC，故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．-3【解析】【分析】观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线. 【详解】解：∵ A（3，﹣解析：-3【解析】【分析】观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.【详解】解：∵ A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，∴A,B 两点关于对称轴对称，根据中点坐标公式可得线段AB 的中点坐标为(-3,-2)，∴抛物线的对称轴是直线x= -3.【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.18．【解析】【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.【详解】根据题意：平移后的抛物线为.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关解析：()2231y x =-+-【解析】【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.【详解】根据题意：平移后的抛物线为()2231y x =-+-.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关键. 19．1【解析】【分析】根据勾股定理求出△ABC 的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB ＝90°，再解直角三角形求出即可．【详解】如图：长方形AEFM ，连接AC ，∵由勾股定理得：AB解析：1【解析】【分析】根据勾股定理求出△ABC 的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB ＝90°，再解直角三角形求出即可．【详解】如图：长方形AEFM ，连接AC ，∵由勾股定理得：AB 2＝32+12＝10，BC 2＝22+12＝5，AC 2＝22+12＝5∴AC 2+BC 2＝AB 2，AC ＝BC ，即∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝45°∴tan ∠ABC=1【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB ＝90°是解此题的关键.20．①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是x=-=1，∴ab ＜0，①正确；∵二次函数y=ax2+b解析：①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是x=-2b a=1， ∴ab ＜0，①正确；∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；∵当x=1时，y ＜0，∴a+b+c＜0，③错误；由图象可知，当x＞1时，y随x值的增大而增大，④正确；当y＞0时，x＜-1或x＞3，⑤错误，故答案为①②④．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．21．18＜x＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19解析：18＜x＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，∴当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，故答案为：6.18＜x＜6.19．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．22．x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．解析：x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．23．【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4××1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是， 解析：49【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4， ∴飞镖落在阴影部分的概率是49， 故答案为：49． 【点睛】此题考查几何概率，解题关键在于掌握运算法则. 24．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74m =-，7->-，24∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，m=±，解得3m=-，所以3③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，解得m=2，-时，二次函数有最大值．综上所述，m=2或3-．故答案为：2或3【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．25．4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=解析：4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=0.4．故答案为：0.4．26．【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长cm ，设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为．【点睛】本解析：【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π． 27．∠P=∠B（答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC 可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或．【详解】解：这个条件解析：∠P =∠B （答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ∽△ABC，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC=．【详解】解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC，∴∠PAQ=∠BAC∵∠B=∠P，∴△APQ∽△ABC，故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．28．15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解析：15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，所以这个圆锥的侧面积=12×5×2π×3=15π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.29．①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛解析：①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；④m＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.30．或【解析】【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5解析：209或145【解析】【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根据相似三角形的性质得到DF＝209；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，∴DF ＝HF ，∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝BC AC ＝34， ∴AC ＝4，AB ＝5，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，∴∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，∵FH ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴FH ∥CD ，∴△EFH ∽△EDC ，∴FH CD ＝EF DE ， ∴4DF ＝55DF ， 解得：DF ＝209； 如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，∵∠A ＝∠D ，∠AEH ＝∠DEC∴∠AHE ＝90°，∴点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，∴△DEC ∽△DBH ，∴DE BD ＝CD DH ， ∴57＝4DH，∴DH ＝285， ∴DF ＝145， 综上所述，当FD ＝209或145时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切， 故答案为：209或145． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题31．（1）8m ；（2）不可以，水管高度调整到0.7m ，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，然后将（0,0.64）代入解析式求得a 的值，然后求解析式y=0时，x 的值，从而求得半径；（2）利用圆与圆的位置关系结合正方形，作出三个等圆覆盖正方形的图形，然后利用勾股定理求得圆的半径，从而使问题得解.【详解】解：（1）由题意，设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，将（0,0.64）代入解析式，得910.64a += 解得：125a =- ∴最远的抛物线形水柱的解析式为21(3)125y x =--+ 当y=0时，21(3)1025x --+= 解得：128;2x x ==-所以喷灌出的圆形区域的半径为8m ；（2）如图，三个等圆覆盖正方形设圆的半径MN=NB=ME=DE=r ，则2r 2r∴在Rt△AMN 中，22216)(162)r r r -+-=（2(162)2560r r -++= 解得：8828221r =+-（其中882+822116+->，舍去） ∴88282218.5r =+-≈设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，将（8.5,0）代入25.51=0a + 解得: 4=121a - ∴24(3)1121y x =--+ 当x=0时，y=850.7121≈ ∴水管高度约为0.7m 时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据题意设抛物线为顶点式是本题的解题关键.32．（1）x 1＝3，x 2＝﹣7；（2）x 1＝7572+x 2＝7572- 【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可；（2）根据公式法解方程即可．【详解】解：（1）x 2+4x ﹣21＝0（x ﹣3）（x+7）＝0解得x 1＝3，x 2＝﹣7；。
四川省成都市七中2025届数学九上期末监测试题含解析
四川省成都市七中2025届数学九上期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．在平面直角坐标系内，将抛物线221y x =-先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新的抛物线，这条新抛物线的顶点坐标是（ ）A ．()2,4-B ．()2,4-C ．()2,3-D ．()2,3- 2．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，那么sin A 的值为（ ）A ．32B ．34C ．45D ．353．在△ABC 中，∠C ＝90°．若AB ＝3，BC ＝1，则cos B 的值为（ ）A ．13B ．22C ．223D ．34．抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，原价为30元的药品经过连续两次降价，价格变为24.3元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%6．方程x （x ﹣1）＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝﹣17．下列说法正确的是（ ）A ．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查B ．一组数据3，6，6，7，8，9的中位数是6C．从2000名学生中选出200名学生进行抽样调查，样本容量为2000D．一组数据1，2，3，4，5的方差是28．某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择：方案一：是12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元（第一年年薪20000元）；方案二：是6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元（第6个月末发薪水10000元）；但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，认为哪种方案对员工更有利？（）A．方案一B．方案二C．两种方案一样D．工龄短的选方案一，工龄长的选方案二9．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（32，0）B．（2，0）C．（52，0）D．（3，0）10．已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是( )A．－2 B．0 C．1 D．2二、填空题(每小题3分,共24分)11．若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是______12．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=_____度．13．若3是关于x的方程x2－x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．14．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．15．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为．16．在ABC ∆中，90ACB ∠=，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，3AC AE =，45CDE ∠=（如图），DCE ∆沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在ABC ∆内部的点F ，直线AF 与边BC 相交于点G ，如果BG AE =，那么tan B =__________．17．已知CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的中线，若∠A ＝35°，则∠BCD ＝_____________．18．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，//BC AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x=交OB 于D ，且:1:2OD DB =，若△OBC 的面积等于3，则k 的值为__________．三、解答题(共66分)19．（10分）问题探究：（1）如图①所示是一个半径为32π，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB 剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB A ′′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB '的长）（2）如图②所示是一个底面半径为23，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．20．（6分）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE BC ∥，EF AB ∥，:1:3AD AB =.（1）当5DE =时，求FC 的长；（2）设AD a =，CF b =，那么FE =__________，EA =__________（用向量a ，b 表示）21．（6分）如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，且当x ＝﹣1和x ＝3时，y 值相等．直线y ＝152184-x 与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M ． (1)求这条抛物线的表达式．(2)动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位长度的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t 秒． ①求t 的取值范围．②若使△BPQ 为直角三角形，请求出符合条件的t 值；③t 为何值时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案．22．（8分）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点ABC （顶点是网格线的交点）的三个顶点坐标分别是(22)(31)A B ﹣，，﹣，(10)C ，﹣，，以O 为位似中心在网格内画出ABC 的位似图△A 1B 1C 1，使ABC 与111A B C △的相似比为12：，并计算出111A B C △的面积．23．（8分）如图，ABC ∆是O 内接三角形，点D 是BC 的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，分别按下列要求画图．（1）如图1，画出弦AE ，使AE 平分∠BAC ；（2）如图2，∠BAF 是ABC ∆的一个外角，画出∠BAF 的平分线．24．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当x ＞0时，的解集．（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA +PB 最小．25．（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+1．（1）求这种产品第一年的利润W 1（万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W 2至少为多少万元．26．（10分）解方程：x 2﹣4x ﹣12=1．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【详解】抛物线221y x =-的顶点坐标为（0，−1），∵向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，−4）．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 2、D【分析】把∠A 置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可． 【详解】解：如图所示，在Rt △ACD 中，AD=4,CD=3,∴22CD AD +2234+=5∴sin A=CDAC=35.故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键．3、A【分析】直接利用锐角三角函数关系的答案．【详解】如图所示：∵AB＝3，BC＝1，∴cos B＝BCAB＝13．故选：A．【点睛】考核知识点:余弦.熟记余弦定义是关键.4、B【解析】抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，∴所得的点数能被3整除的概率为21 63 ，故选B．【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟记概率的计算公式是解题的关键.5、A【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设平均每次降价的百分率为x，依题意，得：30（1﹣x）2＝24.3，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【分析】由题意推出x ＝0，或（x ﹣1）＝0，解方程即可求出x 的值．【详解】解：∵x （x ﹣1）＝0，∴x 1＝0，x 2＝1，故选C ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法,掌握用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键.7、D【分析】根据调查方式对A 进行判断；根据中位数的定义对B 进行判断；根据样本容量的定义对C 进行判断；通过方差公式计算可对D 进行判断．【详解】A. 了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，所以A 选项错误；B. 数据3，6，6，7，8，9的中位数为6.5，所以B 选项错误；C. 从2000名学生中选出200名学生进行抽样调查，样本容量为200，所以C 选项错误；D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是2，所以D 选项正确故选D.【点睛】 本题考查了方差，方差公式是：()()()2222121...n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，也考查了统计的有关概念. 8、B【分析】根据题意分别计算出方案一和方案二的第n 年的年收入，进行大小比较，从而得出选项.【详解】解：第n 年：方案一： 12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元，第一年：20000元第二年：20500元第三年：21000元第n 年：20000+500（n-1）=500n+19500元，方案二：6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元，第一年：20125元第二年：20375元第三年：20625元第n 年：10000+250（n-1）+10000+250（n-1）+125=500n+19625元，由此可以看出方案二年收入永远比方案一，故选方案二更划算；【点睛】本题考查方案选择，解题关键是准确理解题意根据题意列式比较方案间的优劣进行分析.9、C【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，OAC BCDAOC BDC AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝kx，将B（3，1）代入y＝kx，∴k＝3，∴y＝3x，∴把y＝2代入y＝3x，∴x＝32，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了32个单位长度，∴C也移动了32个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（52，0）故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．10、A【解析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－1．故选A．二、填空题(每小题3分,共24分)11、9cm【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．【详解】解：设母线长为l，则120180l=2π×3，解得：l=9 cm．故答案为：9 cm．【点睛】本题考查圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12、1【分析】如图，连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=1°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=1°，故答案为1．【点睛】本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．13、-1【解析】已知3是关于x 的方程x 1-5x +c =0的一个根，代入可得9-3+c =0，解得，c =-6；所以由原方程为x 1-5x -6=0，即（x +1）（x -3）=0，解得，x =-1或x =3，即可得方程的另一个根是x =-1．14、214 【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m 2+n 2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．【详解】由根与系数的关系得：m+n=52，mn=12， ∴m 2+n 2=（m+n ）2-2mn=(52)2-2×12=214， 故答案为214． 【点睛】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如1211 x x 、x 12+x 22等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化． 15、1.【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A ，B ，C 三点的外接圆，从而得出答案．如图，分别作AB 、BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的外接圆，由图可知，⊙O 还经过点D 、E 、F 、G 、H 这1个格点，故答案为1．考点：圆的有关性质.16、37【分析】设k AE BG == ，()3k k 0AG =≠ ，可得2k EC = ，由折叠的性质可得2k EF EC == ，45FED DEC ==︒∠∠ ，根据相似三角形的性质可得13AE EF AC GC == ,即36k GC EF == ，即可求tan B 的值 ． 【详解】根据题意，标记下图∵90ACB ∠=︒ ，45CDE ∠=︒∴45DEC ∠=︒∵3AC AE =∴设k AE BG == ，()3k k 0AG =≠∴2k EC =∵DEF 由CDE △ 折叠得到∴2k EF EC == ，45FED DEC ==︒∠∠∴90FEC ∠=︒ ，且90ACB ∠=︒∴EF BC ∥∴AEF ACG ∽△△∴13AE EF AC GC == ∴36k GC EF ==∴7k BC BG GC =+=∴3tan =7AC B BC = 故答案为37 ．【点睛】本题考查了三角形的折叠问题，理解折叠后的等量关系，利用代数式求出tan B 的值即可．17、55°【分析】这道题可以根据CD 为斜边AB 的中线得出CD=AD ，由∠A=35°得出∠A=∠ACD=35°，则∠BCD=90°- 35°=55°.【详解】如图，∵CD 为斜边AB 的中线∵∠A=35°∴∠A=∠ACD=35°∵∠ACD+∠BCD=90°则∠BCD=90°- 35°=55°故填：55°.【点睛】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质.18、3 4【分析】设C（x，y），BC=a．过D点作DE⊥OA于E点．根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解．【详解】设C（x，y），BC=a．则AB=y，OA=x+a．过D点作DE⊥OA于E点．∵OD：DB=1：2，DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，相似比为OD：OB=1：3，∴DE=13AB=13y，OE=13OA=13（x+a）．∵D点在反比例函数的图象上，且D（13（x+a），13y），∴13y•13（x+a）=k，即xy+ya=9k，∵C点在反比例函数的图象上，则xy=k，∵△OBC 的面积等于3， ∴12ya=3，即ya=1． ∴8k=1，k=34． 故答案为：34．三、解答题(共66分)19、（1）蚂蚁爬行的最短路程为1; （2）最短路程为4AA PA ==′;（3）蚂蚁爬行的最短距离为【分析】（1）蚂蚁爬行的最短路程为圆柱侧面展开图即矩形的对角线的长度，由勾股定理可求得；（2）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中的AA′的连线，可求得△PAA′是等边三角形，则AA′=PA=4；（3）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中点A 到PA 的距离．【详解】（1）由题意可知：32π32πBB =⨯=′在'Rt ABB 中，5AB =′=即蚂蚁爬行的最短路程为1．（2）连结AA ′，则AA '的长为蚂蚁爬行的最短路程，设1r 为圆锥底面半径，2r 为侧面展开图（扇形）的半径， 则12243r r ==，，由题意得：21π2πr =180n r 即22ππ43180n ⨯⨯=⨯⨯ 60n ∴=PAA ∴△′是等边三角形 ∴最短路程为4AA PA ==′．（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A 作AC PA ⊥′于点C ，则线段AC 的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 在Rt △ACP 中，∵∠P=60°，∴∠PAC=30°∴PC=12PA=12×4=2∴AC=2242-=23∴蚂蚁爬行的最短距离为23．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，圆周长公式，弧长公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相关公式和性质定理是本题的解题关键．20、（1）CF 10=；（2）2a -，12b a - 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用三角形法则求解即可．【详解】（1）∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE=BF=5，∵AD ：AB=DE ：BC=1：3，∴BC=15，∴CF=BC-BF=15-5=1．（2）∵AD ：AB=1：3，∴22DB AD a == ， ∵EF=BD ，EF ∥BD ，∴2FE DB a =-=- ，∵CF=2DE ， ∴1122ED CF b == ，∴12EA ED DA b a =+=- . 【点睛】此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21、（1）2327(1)88y x =--；（2）①502≤≤t ，②t 的值为2013或87，③当t ＝2时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值是335． 【分析】（1）求出对称轴，再求出y=152184-x 与抛物线的两个交点坐标，将其代入抛物线的顶点式即可； （2）①先求出A 、B 、C 的坐标，写出OB 、OC 的长度，再求出BC 的长度，由运动速度即可求出t 的取值范围； ②当△BPQ 为直角三角形时，只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°两种情况，分别证△BPQ ∽△BOC 和△BPQ ∽△BCO ，即可求出t 的值；③如图，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，证△BHQ ∽△BOC ，求出HQ 的长，由公式S 四边形ACQP =S △ABC -S △BPQ 可求出含t 的四边形ACQP 的面积，通过二次函数的图象及性质可写出结论．【详解】解：（1）∵在抛物线中，当x ＝﹣1和x ＝3时，y 值相等，∴对称轴为x ＝1，∵y ＝152184-x 与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M ， ∴顶点M （1，278-），另一交点为（6，6）， ∴可设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2278-， 将点（6，6）代入y ＝a （x ﹣1）2278-， 得6＝a （6﹣1）2278-， ∴a ＝38， ∴抛物线的解析式为2327(1)88y x =--（2）①在2327(1)88y x =--中，当y ＝0时，x 1＝﹣2，x 2＝4；当x ＝0时，y ＝﹣3， ∴A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣3），∴在Rt △OCB 中，OB ＝4，OC ＝3，∴BC 5， ∴522BC =， ∵52＜4， ∴502≤≤k ②当△BPQ 为直角三角形时，只存在∠BPQ ＝90°或∠PQB ＝90°两种情况，当∠BPQ＝90°时，∠BPQ＝∠BOC＝90°，∴PQ∥OC，∴△BPQ∽△BOC，∴BP BQBO BC=，即4245t t-=，∴t＝20 13；当∠PQB＝90°时，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，∴△BPQ∽△BCO，∴BP BQBC BO=，即4254t t-=，∴t＝87，综上所述，t的值为2013或87；③如右图，过点Q作QH⊥x轴于点H，则∠BHQ＝∠BOC＝90°，∴HQ∥OC，∴△BHQ∽△BOC，∴BQ QHBC OC=，即253t HQ=，∴HQ＝65t，∴S四边形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ＝12×6×3﹣12（4﹣t）×56t＝35（t﹣2）2+335，∵35＞0，∴当t＝2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是335．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的图象及性质等，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．22、画图见解析，111A B C △的面积为1．【分析】先找出ABC 各顶点的对应顶点A 1、B 1、C 1，然后用线段顺次连接即可得到111A B C △，用割补法可以求出111A B C △的面积.【详解】如图所示：111A B C △，即为所求，111A B C △的面积为：111442422246222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯﹣﹣﹣＝．【点睛】本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．23、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OD ，延长OD 交O 于E ，连接AE ，根据垂径定理可得BE CE =，根据圆周角定理可得∠BAE=∠CAE ，即可得答案；（2）连接OD ，延长OD 交O 于E ，连接AE ，反向延长OD ，交O 于H ，作射线AH ，由（1）可知∠BAE=∠CAE ，由HE 是直径可得∠EAH=∠BAE+∠BAH=90°，根据平角的定义可得∠CAE+∠FAH=90°，即可证明∠BAH=∠FAH ，可得答案.【详解】（1）如图，连接OD ，延长OD 交O 于E ，连接AE ，∵OE 为半径，D 为BC 中点，∴BE CE =，∴∠BAE=∠CAE ，∴AE为∠BAC的角平分线，弦AE即为所求.（2）如图，连接OD，延长OD交O于E，连接AE，反向延长OD，交O于H，作射线AH，∵HE是O直径，点A在O上，∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=90°，∴∠CAE+∠FAH=90°，由（1）可知∠BAE=∠CAE，∴∠BAH=∠FAH，∴AH平分∠BAF，射线AH即为所求．【点睛】本题考查垂径定理及圆周角定理，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；直径所对的圆周角是直角（90°）；熟练掌握相关定理是解题关键.24、（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析.【解析】（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式；（2）根据图像解答即可；（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，∴B（4，1），把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，∵B（4，1），∴B′（4，﹣1），设直线AB′的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线AB′的解析式为，令y＝0，得，解得x＝，∴点P的坐标为（，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P 的位置是解答（3）的关键.25、（1）W 1=﹣x 2+32x ﹣2；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W 2至少为18万元．【解析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；（2）构建方程即可解决问题；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题.【详解】（1）W 1=（x ﹣6）（﹣x+1）﹣80=﹣x 2+32x ﹣2．（2）由题意：20=﹣x 2+32x ﹣2．解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元．（3）由题意：7≤x≤16，W 2=（x ﹣5）（﹣x+1）﹣20=﹣x 2+31x ﹣150，∵7≤x≤16，∴x=7时，W 2有最小值，最小值=18（万元），答：该公司第二年的利润W 2至少为18万元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题. 26、x 1=6，x 2=﹣2．【解析】试题分析：用因式分解法解方程即可.试题解析：()()620x x -+=，60x =﹣或20x +=，所以1262x x ==-，．。
2023-2024学年四川省成都七中育才学校九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年四川省成都七中育才学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1.如图所示的几何体，其主视图是( )A.B.C.D.2.反比例函数的图象经过点A(3,2)，下列各点在此反比例函数图象上的是( )A. (−3,2)B. (3,−2)C. (−6,−1)D. (−1,6)3.若关于x的方程x2+mx−10=0有一个根为2，则m的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 34.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC，若AD=DE=2，DB=3，则BC等于( )A. 4B. 5C. 6D. 75.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，则矩形ABCD的周长为( )A. 12B. 16C. 23+2D. 43+46.如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同学收集的一组统计数据：转动转盘的次数1002003004005006007008009001000落在“蓝色”的次数306192118151182207242269302蓝色部分的圆心角最有可能是( )A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°7.12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震.面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作.第1天募捐到资金2.5万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为3.2万元.设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x ，则所列方程正确的是( )A. 2.5(1+x )2=3.2 B. 2.5+2.5(1+x )2=3.2C. 3.2(1+x )2=2.5D. 2.5(1+2x)=3.28.数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k ≠0)，所对应的图形与原图形….”请利用这一规律解答下面问题：已知M(a,b)，N(x,y)，且MN =6，若P(23a,23b)，Q(23x,23y)，则PQ 的长为( )A. 4B. 6C. 9D. 12二、非选择题（共118分）9.若2a =3b ，则a +ba−b = ______．10.关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．11.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏.在如图所示的七巧板中，若正方形ABCD 的边长为4，则正方形EFGH 的边长为______．12.若点A(x 1,2)，B(x 2,−1)都在反比例函数y =−1x 的图象上，则x 1，x 2的大小关系为______．13.如图，已知线段AB=8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为______．)−1；14.(1)计算：|18−2|+(2024−π)0−8+(12(2)解方程：x(x−3)=2(x−3)．15.科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径.某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A.自动升高的水；B.不会湿的纸；C.漂浮的硬币；D.生气的瓶子.学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：(1)求此次调查中接受调查的人数；(2)请补全条形统计图；(3)已知最希望演示A项实验的4名学生，有1名来自九年级一班，1名来自九年级二班，2名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同班级的概率．16.如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB，文化长廊上伫立着三座名人塑像CD，EF，GH，点A，D，F，H，B在同一直线上，且AD=DF=FH=HB.在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像CD的影子为DM，塑像EF的影子为FN.该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊AB=24米，塑像高CD=EF=GH=3米，塑像CD的影长DM=2米．(1)求明德楼的高PA；(2)求塑像EF 的影长FN ．17.如图1，在▱ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连接AF ，CE ．(1)求证：AF//CE ；(2)如图2，连接AC ，且AC =BC ，O 为AC 的中点．①BC 的中点为M ，连接EO ，EM ，试判断四边形EMCO 的形状，并说明理由；②如图3，AG 平分∠BAC 交CE 于点G ，连接GO ，若∠AGO =90°，AB =8，求AC 的长．18.已知直线y =kx +b 与x 轴、y 轴交于点A ，B ，与反比例函数y =3x的图象交于C ，D 两点，点C 的横坐标为3，点D 的横坐标为1．(1)求直线y =kx +b 的表达式；(2)M 是线段CD 的中点，点N 为反比例函数图象在第一象限上一点，连接OM ，ON ，MN ，若S △OMN =6，求点N 的坐标；(3)点P 为反比例函数图象在第三象限上一点，连接DP ，过点D 作DQ ⊥DP ，交反比例函数图象于点Q ，连接PQ.若直线PQ 经过点(0,−83)，求DPDQ 的值．19.已知a ，b 是方程x 2−5x−3=0的两根，则a 2−5a +ab = ______．20.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上一点，且AE =2BE ，连接CE 交对角线BD 于点F.若AB =8，则BF 的长为______．21.如图，点A 在反比例函数y =6x 的图象上，点B 在反比例函数y =k x的图象上，连接AB ，且AB//x 轴.点P(23,0)是x 轴上一点，连接PA ，PB ，若PA =PB ，S △PAB =4，则PB 与y 轴交点C 的坐标为______．22.如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，点D 在BC 上，沿直线AD 翻折△ABD 使点B 落在AC 上的B′处；如图2，折叠∠A ，使点A 与点D 重合，折痕为EF.若B′D CD=23，则EFB′C的值为______．23.已知，数轴上从左到右有三点A ，B ，C ，它们在数轴上对应的数分别为a ，b ，c(a,b,c 均不为整数)，且6<c−a <7，k <b <k +1(k 为正整数).在点A 与点B 之间的所有整数依次记为p 1，p 2，p 3…，p m ；在点B 与点C 之间的所有整数分别记为q 1，q 2，q 3，…，q n .若p 21+p 22+p 23+⋯+p 2n =q 21+q 22+q 23+⋯+q 2n ，则k 的值为______．24.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”.为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A ，B 两个系列，A 系列产品比B 系列产品的售价低5元，100元购买A 系列产品的数量与150元购买B 系列产品的数量相等.按定价销售一段时间后发现：B 系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B 系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．(1)A 系列产品和B 系列产品的单价各是多少？(2)为了使B 系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B 系列产品的实际售价应定为多少元/件？25.如图1，已知一次函数y =x +2的图象与反比例函数y =k x的图象交于A(2,a)，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．(1)求反比例函数y =k x的表达式及点B 的坐标；(2)在x 轴上有一点E ，反比例函数y =k x的图象上有一点F ，连接EF ，若EF//AD 且EF =12AD ，求点E 的坐标；(3)如图2，点D 关于x 轴的对称点为M ，连接BM ，P 是y 轴上一动点(不与点M 重合)，N 是平面内一点，连接BN ，DN ，在点P 的运动过程中始终有△BMP ∽△BDN ，且∠PBN =∠MBD.点Q 在反比例函数y =kx图象上，连接QN，请直接写出QN的最小值及当QN为最小值时点P的坐标．26.如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=α.点C是BD延长线上一动点，连接AC，将AC绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE交AC于点F．(1)求证：∠C=∠E；(2)如图1，若DE//AB，DF=2，FE=7，求BD的大小；(3)如图2，若点F为AC中点，S△ADFS△ABC =1n+2，CD=4，求AB的长(用含n的代数式表示)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：这个几何体的主视图是：故选：A．根据解答几何体的三视图的画法画出其主视图即可．本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．2.【答案】C，【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx∵反比例函数的图象经过点(3,2)，∴k=3×2=6，∵−6×(−1)=6，∴点(−6,−1)在此反比例函数图象上，故选：C．根据反比例函数的图象经过点(3,2)，求出反比例函数解析式，只要各点坐标乘积等于比例系数即为函数图象上的点．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．3.【答案】D【解析】解：把x=2代入方程x2+mx−10=0得：22+2m−10=0，解得m=3，故选：D．根据题意把x=2代入原方程，再进行求解，即可得出m的值．本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把方程的根代入原方程，求出m的值．4.【答案】B【解析】解：∵AD=DE=2，DB=3，∴AB=AD+DB=2+3=5，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE BC =ADAB，∴BC=DE⋅ABAD =2×52=5，故选：B．由AD=DE=2，DB=3，求得AB=AD+DB=5，由DE//BC，证明△ADE∽△ABC，得DEBC =ADAB，则BC=DE⋅ABAD=5，于是得到问题的答案．此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BD=4，∴AC=BD=4，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，∴AB=2，∴BC=AC2−AB2=42−22=23，∴矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(2+23)=4+43．故选：D．根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的周长．本题考查了矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质．6.【答案】B【解析】解：30÷100=0.3；61÷200=0.305；92÷300≈0.307；118÷400=0.295；151÷500=0.302；182÷600≈0.303；207÷700≈0.296；242÷800≈0.303；269÷900≈0.299；302÷100=0.302；∴落在“蓝色”的概率约是0.3012，∴蓝色部分的圆心角最有可能是0.3012×360°=108.432°≈108°，故选：B．用360°×指针落在“蓝色”的概率进行计算即可．本题考查的是扇形统计图的综合运用．熟练掌握大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就是事件概率的估计值是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：由题意可得，2.5(1+x )2=3.2，故选：A ．根据第1天募捐到资金2.5万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为3.2万元，可以列出相应的方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．8.【答案】A【解析】解：∵M(a,b)，P(23a,23b)，∴线段MN 与线段PQ 的相似比为3：2，∵MN =6，∴PQ =4，故选：A ．根据题意求出线段MN 与线段PQ 的相似比，计算即可．本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k(或1k ，k >1)，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的k 倍(或缩小为原来1k )，且连接各对应顶点的直线相交于一点．9.【答案】−5【解析】解：∵2a =3b ，∴3a =2b ，∴ab =23，∴设a =2k ，b =3k ，∴a +b a−b =2k +3k 2k−3k =5k−k =−5，故答案为：−5．利用设k 法进行计算，即可解答．本题考查了比例的性质，熟练掌握设k 法是解题的关键．10.【答案】k<1【解析】解：由已知得：△=4−4k>0，解得：k<1．故答案为：k<1．由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．11.【答案】2【解析】解：∵点G是CD的中点，CD=4，∴CG=12CD=2，∵△CHG是等腰直角三角形，∴CH=HG=22CG=2，∴正方形EFGH的边长为2，故答案为：2．根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了七巧板，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．12.【答案】x1<x2【解析】解：∵点A(x1,2)，B(x2,−1)都在反比例函数y=−1x的图象上，∴2=−1x1，−1=−1x2解得：x1=−12；x2=1，∴x1<x2．故答案为：x1<x2．利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x1，x2的值是解题的关键．13.【答案】48cm2【解析】解：由作法AC=BC=AD=BD=5cm，∴四边形ACBD为菱形，AB=4cm，OC=OD，∴AB⊥CD，OA=OB=12连接CD交AB于点O，如图，在Rt△AOC中，OC=52−42=3(cm)，∴CD=2OC=6cm，∴四边形ACBD的面积=8×6=48(cm2).故答案为：48cm2．利用基本作图得到AC=BC=AD=BD=5cm，则可判断四边形ACBD为菱形，根据菱形的性质得到AB⊥CD，OA=OB=1AB=4cm，OC=OD，接着利用勾股定理计算出OC的长，然后根据菱形的面积2公式计算．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．14.【答案】解：(1)原式=32−2+1−22+2=2+1；(2)x(x−3)=2(x−3)，x(x−3)−2(x−3)=0，(x−3)(x−2)=0，∴x−3=0或x−2=0，∴x1=3，x2=2．【解析】(1)先根据零指数幂，二次根式的化简，绝对值，负整数指数幂进行计算，再算加减即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，实数的运算，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(2)的关键．15.【答案】解：(1)此次调查中接受调查的人数为18÷36%=50(人)．(2)最希望演示C项实验的人数为50−4−8−18=20(人)．补全条形统计图如图所示．(3)将来自九年级一班的1名学生记为甲，来自九年级二班的1名学生记为乙，来自九年级三班的2名学生记为丙，丁，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同班级的结果有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，甲)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，甲)，(丙，乙)，(丁，甲)，(丁，乙)，共10种，∴抽到的2名学生来自不同班级的概率为1012=56．【解析】(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得此次调查中接受调查的人数．(2)求出最希望演示C项实验的人数，补全条形统计图即可．(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的2名学生来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．16.【答案】解：(1)∵AD=DF=FH=HB，AB=24米，∴AD=DF=FH=HB=14AB=6米，由题意得：∠CDM=∠PAM=90°，∵∠CMD=∠PMA，∴△CDM∽△PAM，∴CD PA =DM AM ，∴3AP =22+6，解得：AP =12，∴明德楼的高PA 为12米；(2)由题意得：∠PAN =∠EFN =90°，∵∠ENF =∠PNA ，∴△EFN ∽△PAN ，∴EF PA =FN AN ，∴312=FN FN +6+6，解得：FN =4，∴塑像EF 的影长FN 为4米．【解析】(1)根据已知易得：AD =DF =FH =HB =14AB =6米，再根据题意可得：∠CDM =∠PAM =90°，然后证明A 字模型相似△CDM ∽△PAM ，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；(2)根据题意可得：∠PAN =∠EFN =90°，然后证明A 字模型相似△EFN ∽△PAN ，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =CD ，AB//CD ，∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴AE =12AB ，CF =12CD ，∴AE =CF ，∴四边形AECF 为平行四边形，∴AF//CE ；(2)解：①四边形EMCO 为菱形．理由：∵O 为AC 的中点，E 为AB 的中点，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE//BC，OE=1BC．2∵E为AB的中点，BC的中点为M，AC，∴EM//AC，EM=12∴四边形EMCO为平行四边形．∵AC=BC，∴EO=EM，∴四边形EMCO为菱形．②过点O作OH⊥EC于点H，过点G作GM⊥AC于点M，如图，∵AC=BC，E为AB的中点，AB=4．∴CE⊥AB，AE=12∵AG平分∠BAC交CE于点G，∴∠GAE=∠GAC，∵GM⊥AC，GE⊥AB，∴GE=GM．在Rt△AEG和Rt△AMG中，{AG=AGGE=GM，∴Rt△AEG≌Rt△AMG(HL)，∴AE=AM=4．∵CE⊥AE，OH⊥EC，∴OH//AE，∵O为AC的中点，∴OH=1AE=2．2∵∠AGO=90°，∴∠AGE+∠OGC=90°，∠AGM+∠OGM=90°，∵Rt△AEG≌Rt△AMG，∴∠AGE=∠AGM，∴∠OGM=∠OGH，∵OM⊥GM，OH⊥GH，∴OM=OH=2，∴OA=AM+OM=6，∵O为AC的中点，∴AC=2OA=12．【解析】(1)利用平行四边形的对边平行且相等的性质，线段中点的定义和平行四边形的判定与性质解答即可；(2)①利用三角形的中位线的性质得到四边形EMCO为平行四边形，证明得到EO=EM，利用菱形的判定定理解答即可；②过点O作OH⊥EC于点H，过点G作GM⊥AC于点M，利用角平分线的性质和全等三角形的判定定理与性质定理得到AM=AE=4，再利用直角三角形的性质，角平分线的性质得到OM=OH，利用三角形的中位线的性质和中点的意义解答即可．本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题关键．18.【答案】解：(1)由反比例函数y=3经过点C，D两点，且点C的横坐标为3，点D的横坐标为1，x得点C的坐标为(3,1)，点D的坐标为(1,3)，把C(3,1)，D(1,3)代入y=kx+b，得{3k+b=1k+b=3，解得{k=−1b=4，∴直线的表达式为y=−x+4；)，过点M作MH⊥x轴于点H，过点N作NG⊥x轴于点G，(2)设N(b,3b∵M是C(3,1)，D(1,3)的中点，∴M(2,2)，∵S△OMN=6，∴S△NOG+S梯形MNGH−S△OMH=32+12(2+3b)(2−b)−12×2×2=6，解得：b=23−3或b=−23−3(舍去)，∴N(23−3,23+3)；同理可求N(23+3,23−3)(3)如图，过点D作EF//x轴，过点P作PE⊥EF于E，过点Q作QF⊥EF于F，过点Q作QH⊥PE于点H，则∠E=∠F=90°，∴∠FDQ+∠FQD=90°，∵DQ⊥DP，∴∠FDQ+∠PDE=90°，∴∠FQD =∠PDE ，∴△DQF ∽△PDE ，∴DF PE =FQ DE，设P(m,3m )，Q(n,3n )，又D(1,3)，则E(m,3)，F(n,3)，L(0,3n )，H(m,3n )，∴EF =n−m ，PE =3−3m ，DE =1−m ，DF =n−1，FQ =3−3n ，QL =n ，∴n−13−3m =3−3n 1−m ①，∵∠E =∠F =∠EHQ =90°，∴四边形EFQH 是矩形，∴HQ =EF =n−m ，LG =3n +83，PH =3n −3m，∵PE//GL ，∴LG PH =QL HQ ，即3n +833n −3m =n n−m ②，联立①②，得{n−13−3m =3−3n 1−m 3n +833n −3m =n n−m，解得：{m 1=−1n 1=9，{m 2=9n 2=−1(舍去)，∴P(−1,−3)，Q(9,13)，∴PE =3−3m =3−3−1=6，DF =9−1=8，∵△DQF ∽△PDE ，∴DP DQ =PE DF =68=34，故DP DQ 的值为34．【解析】(1)利用待定系数法即可得出答案；(2)设N(b,3b )，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，过点N 作NG ⊥x 轴于点G ，根据三角形面积可得S △NOG +S 梯形MNGH −S △OMH =32+12(2+3b )(2−b)−12×2×2=6，即可求得答案；(3)过点D 作EF//x 轴，过点P 作PE ⊥EF 于E ，过点Q 作QF ⊥EF 于F ，过点Q 作QH ⊥PE 于点H ，由△DQF∽△PDE ，可得DF PE =FQ DE ，设P(m,3m )，Q(n,3n )，根据四边形EFQH 是矩形，可得HQ =EF =n−m ，LG =3n +83，PH =3n −3m ，得出n−13−3m =3−3n 1−m ①，可得由PE//GL ，可得LG PH =QL HQ ，得出3n +833n −3m =n n−m ②，联立方程组求解即可求得答案．本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形．19.【答案】0【解析】解：∵a ，b 是方程x 2−5x−3=0的两根，∴a 2−5a−3=0，ab =−3，∴a 2−5a =3，∴a 2−5a +ab =3−3=0，故答案为：0．由a ，b 是方程x 2−5x−3=0的两根，推出a 2−5a−3=0，ab =−3，可得结论．本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系．20.【答案】2 2【解析】解：∵AE =2BE ，∴AB =AE +BE =2BE +BE =3BE ，∵四边形ABCD 是正方形，AB =8，∴DC =BC =AB =8，∠BCD =90°，AB//DC ，∴BD = DC 2+BC 2= 82+82=8 2，BE DC =BE AB =13，∵BE//DC ，∴△BEF ∽△DCF ，∴BF DF =BE DC =13，∴BF =11+3BD =14BD =14×8 2=2 2，故答案为：2 2．由AE =2BE ，得AB =3BE ，由正方形的性质得DC =BC =AB =8，∠BCD =90°，AB//DC ，则BD = DC 2+BC 2=8 2，BE DC =BE AB =13，由BE//DC 证明△BEF ∽△DCF ，得BF DF =BE DC =13，则BF =14BD =22，于是得到问题的答案．此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BEF ∽△DCF 是解题的关键．21.【答案】(0,32)【解析】解：∵点A 在反比例函数y =6x 的图象上，∴可设点A 的坐标为(t,6t )，∵AB//x 轴，∴点B 的纵坐标为6t ，∵点B 在反比例函数y =k x的图象上，∴6t =k x，解得：x =kt 6，∴点B 的坐标为(kt 6,6t )，∴AB =t−kt 6=(6−k)t 6，∵S △PAB =4，∴12⋅(6−k)t 6⋅6t =4，解得：k =−2，∴点B 的坐标为(−t 3,6t )，∵点P 的坐标为(32,0)，∴PA 2=(t−23)2+(6t )2，PB 2=(−t 3−23)2+(6t )2，∵PA =PB ，∴(t−23)2+(6t )2=(−t 3−23)2+(6t )2，整理得：(t−23)2=(t 3+23)2，∴t−23=±(t 3+23)，由t−23=t 3+23，解得t =2，由t−23=−(t 3+23)，解得：t =0，不合题意舍去；当t =2时，点A 的坐标为(2,3)，点B 的坐标为(−23,0)，设直线PB 的表达式为：y =ax +b ，将B(−23,0)，P(23,0)代入得：{23a +b =0−23a +b =3，解得：{a =−94b =32，∴直线PB 的表达式为：y =−94+32，对于y =−94+32，当x =0时，y =32，∴点C 的坐标为(0,32)．故答案为：(0,32)．设点A(t,6t )，由AB//x 轴得点B(kt 6,6t )，根据S △PAB =4，得12⋅(6−k)t 6⋅6t =4，由此解出k =−2，进而得点B(−t 3,6t )，再根据PA =PB ，得(t−23)2+(6t )2=(−t 3−23)2+(6t )2，由此解出t =2，进而得点B(−23,0)，然后利用待定系数法求出直线PB 的表达式为y =−94+32，据此可得点C 的坐标．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，待定系数法求一次函数的表达式，解决问题的关键是理解反比例函数图象上点满足反比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式．22.【答案】325【解析】解：如图：∵翻折△ABD 使点B 落在AC 上的B′处，∴AD 平分∠BAC ，BD =B′D ，∴∠DAC =45°，∵B′D CD =23，即BD CD =23，∴CD BC =35，∵EF 是折痕，∴EF 垂直平分AD ，∴∠ADE =45°，∠AED =90°，AE =DE ，∴DE//AB ，∴△EDC ∽△ABC ，∴DE AB =CE AC =CD BC =35，设AE =x ，则DE =x ，EF =22x ，∴x AB =CE CE +x =35，解得AB =53x ，CE =32x ，∵AB =AB′=53x ，∴B′E =23x ，∴B′C =32x−23x =56x ，∴EF B′C = 22x 56x =3 25．故答案为：3 25．在图1根据折叠画出折痕，易得△ADE 是等腰直角三角形，EF 垂直平分AD ，得出△EDC ∽△ABC ，设AE =x ，根据相似比分别表示出EF ，B′C 即可求解．本题考查折叠的性质，相似三角形的性质，理清图中线段之间的关系是解题关键．23.【答案】24【解析】解：∵6<c−a <7∴AC 之间共有6个或7个整数，∵6个连续的整数满足p 21+p 22+p 23+⋯+p 2n =q 21+q 22+q 23+⋯+q 2n ，∴m ≥3．当m =3时，AC 间有7个整数，则A，B之间的3个整数设为x−2，x−1，x，B，C之间的4个整数为x+1，x+2，x+3，x+4，∴(x−2)2+(x−1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2，∴x=−25或r=−1．当AC上有6个整数，(x−2)2+(x−1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2，无整数解．当m=4时，AC间有7个整数，则A，B之间的4个整数设为x−2，x−1，x，x+1，B，C之间的3个整数为x+2，x+3，x+4，∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2，∴x=23或r=−1，当m=4，AC间有6个整数时，则A，B之间的4个整数设为x−2，x−1，x，x+1，B，C之间的2个整数为x+2，x+3，∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2，无整数解；当m=5时，则A，B之间的5个整数设为x−2，x−1，x，x+1，x+2，B，C之间的2个整数为x+3，x+4，∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2，无整数解或(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，无整数解当m=6时，则A，B之间的5个整数设为x−2，x−1，x，x+1，x+2，x+3，B，C之间的2个整数为x+4，∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2=(x+4)2，无解．综上所述，x=−25或23或−1，则−25<b<−24或24<b<25或0<b<1．∴k=−25，k=24或k=0∵k是正整数．∴k=24故答案为：24．根据题意得出AC之间共有6个或7个整数，进而可得m23，设AC之间的数分别为x−2，x−1，x，x+1，x +2，x +3，x +4，根据题意列出一元二次方程，再计算即可．．本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键．．24.【答案】解：(1)设A 系列产品的单价是x 元/件，则B 系列产品的单价是(x +5)元/件，根据题意得：100x =150x +5，解得：x =10，经检验，x =10是所列方程的解，且符合题意，∴x +5=10+5=15(元)．答：A 系列产品的单价是10元/件，B 系列产品的单价是15元/件；(2)设B 系列产品的实际售价应定为y 元/件，则每天可以卖50+10(15−y)=(200−10y)件，根据题意得：y(200−10y)=960，整理得：y 2−20y +96=0，解得：y 1=8，y 2=12，又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y =8．答：B 系列产品的实际售价应定为8元/件．【解析】(1)设A 系列产品的单价是x 元/件，则B 系列产品的单价是(x +5)元/件，利用数量=总价÷单价，结合100元购买A 系列产品的数量与150元购买B 系列产品的数量相等，可列出关于x 的分式方程，解之经检验后可得出A 系列产品的单价，再将其代入(x +5)中，即可求出B 系列产品的单价；(2)设B 系列产品的实际售价应定为y 元/件，则每天可以卖(200−10y)件，利用销售总额=销售单价×销售数量，可列出关于y 的一元二次方程，解之可得出y 的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．25.【答案】解：(1)将A(2,a)代入y =x +2，得a =2+2=4，∴A(2,4)，将A(2,4)代入y =k x ，得：4=k 2，解得：k =8，∴反比例函数解析式为y =8x ，联立得：{y =x +2y =8x ，解得：{x 1=2y 1=4，{x 2=−4y 2=−2，∴B(−4,−2)；(2)设F(t,8t )，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，过点A 作AG ⊥y 轴于点G ，∵A(2,4)，D(0,2)，∠AGD =90°，∴AG =2，DG =4−2=2，∴tan ∠ADG =AG DG =22=1，∴∠ADG =45°，AD = 2AG =2 2，∴∠CDO =∠ADG =45°，∵∠COD =90°，∴∠DCO =45°，∵EF//AD ，EF =12AD ，∴∠FEH =∠DCO =45°，∴FH =EF ⋅sin45°=12AD ⋅ 22= 24×2 2=1，∴|8t |=1，解得：t =±8，当t =8时，F 1(8,1)，E 1(7,0)；当t =−8时，F 2(−8,−1)，E 2(−7,0)；综上所述，点E的坐标为(7,0)或(−7,0)；(3)∵点D(0,2)关于x轴的对称点为M，∴M(0,−2)，∵B(−4,−2)，∴BM⊥y轴，∴∠BMP=90°，BM=4，设P(0,m)，则PM=m−(−2)=m+2，如图2，∵∠PBN=∠MBD，∴∠PBN−∠PBD=∠MBD−∠PBD，即∠NBD=∠PBM，∵△BMP∽△BDN，∴∠BDN=∠BMP=90°，∴点N在经过点D，且垂直AB的直线上，∴直线DN的解析式为y=−x+2，设经过点Q平行DN的直线解析式为y=−x+b，相切，当QN最小时，直线y=−x+b与y=8x=−x+b，联立得：8x整理得：x2−bx+8=0，∴Δ=b2−32=0，∴b=±42(负值舍去)，∴y=−x+42，联立得8x =−x +4 2，解得：x 1=x 2=2 2，∴Q(2 2,2 2)，令x =0，得y =4 2，∴L(0,4 2)，∴DL =4 2−2，∵∠LDK =45°，∴△DLK 是等腰直角三角形，∴DK = 22DL = 22×(4 2−2)=4− 2，∵∠DKQ =∠KQN =∠KDN =90°，∴四边形DKQN 是矩形，∴QN =DK =4− 2，DN =KQ ，∴QN 的最小值为4− 2，此时QL = 2×2 2=4，LK =DK =4− 2，∴DN =KQ =QL−LK =4−(4− 2)= 2，∵△BMP ∽△BDN ，∴PM DN =BM BD ，即PM 2=442，∴PM =1，∴P(0,−3)，综上所述，QN 的最小值为4− 2，点P 的坐标为(0,−3)．【解析】(1)运用待定系数法即可解决问题；(2)设F(t,8t )，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，过点A 作AG ⊥y 轴于点G ，利用解直角三角形可得tan ∠ADG =AG DG =22=1，求得∠ADG =45°，AD = 2AG =2 2，进而求得FH =EF ⋅sin45°=12AD ⋅ 22=24×2 2=1，建立方程求解即可得出答案；(3)根据对称性可得M(0,−2)，设P(0,m)，则PM =m−(−2)=m +2，由△BMP ∽△BDN ，可得∠BDN =∠BMP =90°，判断得出点N 在经过点D ，且垂直AB 的直线上，可得直线DN 的解析式为y =−x +2，设经过点Q 平行DN 的直线解析式为y =−x +b ，当QN 最小时，直线y =−x +b 与y =8x 相切，可求得Q(2 2,2 2)，再证得△DLK 是等腰直角三角形，四边形DKQN 是矩形，可求得QN 的最小值为4−2，再利用相似三角形性质即可求得点P的坐标．本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．26.【答案】(1)证明：∵将AC绕点A顺时针旋转α得到AE，∴∠CAE=α，AC=AE，∵∠BAD=α，∴∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=DAE．在△BAC和△DAE中，{BA=DA∠BAC=∠DAEAC=AE，∴△BAC≌△DAE(SAS)，∴∠C=∠E；(2)解：∵△BAC≌△DAE，∴∠ABC=∠ADE，BC=DE=DF+FE=9，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE．∵DE//AB，∴∠ADE=∠BAD，∴∠B=∠ADB=∠DAB，∴AB=AD=BD，设AB=AD=BD=x，则CD=9−x，∵DE//AB，∴△CDF∽△CBA，∴DF AB =CDCB，∴2 x =9−x9，解得：x=3或6．∴BD的长为3或6；(3)解：∵S△ADFS△ABC =1n+2，△BAC≌△DAE，∴S△ADF S△ADE =1n+2，∴S△ADF S△AFE =1n+1，∵点F为AC中点，∴S△ADF=S△DCF，∴S△DCF S△AEF =1n+1，由(1)知：∠C=∠E，∵∠DFC=∠AFE，∴△DFC∽△AFE，∴DC AE =CFFE=DFAF=S△DFCS△AFE=1n+1，∴4 AE =1n+1，∴AE=4n+1．∴AC=AE=4n+1，∴AF=FC=12AC=2n+1，∴2n+1FE =DF2n+1=1n+1，∴FE=2n+2，DF=2．∴DE=DF+FE=2n+4，∵△BAC≌△DAE，∴BC=DE=2n+4，∵BC=BD+CD，∴BD=2n．过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥DE于点N，如图，∵AB=AD，∴BM=DM=12BD=n，由(2)知：∠ADB=∠ADE，∴AM=AN，在Rt△ADM和Rt△ADN中，{AD=ADAM=AN，∴Rt△ADM≌Rt△ADN(HL)，∴DM=DN=n，∴EN=DE−DN=n+4，∴AN2=AE2−EN2=(4n+1)2−(n+4)2，∴AM2=AN2=AE2−EN2=(4n+1)2−(n+4)2=8n−n2，在Rt△ADM中，AB=BM2+AM2=n2+8n−n2=8n=22n．【解析】(1)利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；(2)利用平行线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；(3)利用全等三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理解答即可．本题主要考查了几何的变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．。
成都七中初中学校初三数学九年级上册期末试题及答案
一、选择题
1．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（）
A． B． C． D．
2．当函数 是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形 中， ， ，点 为矩形内一动点，且满足 ，则线段 的最小值为（）
A．5B．1C．2D．3
30．如图，正方形ABCD的边长为5，E、F分别是BC、CD上的两个动点，AE⊥EF．则AF的最小值是_____．
三、解答题
31．已知二次函数y＝x2－2 mx＋m2＋m－1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）将该二次函数的图像向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k的取值范围是．
A．∠B＝∠DB．∠C＝∠EC． D．
14．已知一组数据:2，5，2，8，3，2，6，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．中位数是3，众数是2B．中位数是2，众数是3
C．中位数是4，众数是2D．中位数是3，众数是4
15．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）
A．②④B．①③C．②③④D．①③④
7．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．−2B．2C．−4D．4
8．抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
9．已知2x＝3y（x≠0，y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
成都七中实验学校()九年级上册期末精选试卷检测题
成都七中实验学校（）九年级上册期末精选试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．2．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ，（1）点C 的坐标为 ；（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围；②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：7（负值舍去），∴7当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（70）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．3．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.4．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点； （2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有， 由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则 20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．5．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍． 因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2，所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF ＝AE 2﹣x在Rt △AEB 中，由勾股定理，得x 2+2﹣x ）2＝12解得，x 1＝x 2＝22∴BE ＝BF ，即点B 是EF 的中点．同理，点C ，D ，A 分别是FG ，GH ，HE 的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣2n x+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣15【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3 233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=1541515-+-(舍)或y=1541515+，∴t=32﹣12×1y，∴t=9﹣215，∴P(0，9﹣215)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．7．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139(,)24M-3521(,)24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝12时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）；（4）25,049494t tS tt⎧⎛≤≤⎪⎪⎝⎭=-<≤+<≤．【解析】【分析】（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：37522+=，即可求解；（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；（4）分0≤t＜t＜t【详解】解：（1）直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣12x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝32，故抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+32x+2…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：375 22+=，故点N的坐标为（5，-3）；（3）∵tan∠ACO＝2142AOCO==＝tan∠FAC＝12，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝32，即点R的坐标为：（32，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：230 2nm n=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：432mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AR的表达式为：y＝﹣43x+2…②，联立①②并解得：x＝173，故点F（173，﹣509）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）；（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝12AOCO=，则sinα5，cosα5①当0≤t 35时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ， 则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α，则DT ＝'52co 5c s 2os L HH T t αα===，DS ＝tan DT α， S ＝S △DST ＝12⨯DT ×DS ＝254t ； 35＜t 35时（右侧图），同理可得：S ＝''DGS T S 梯形＝12⨯DG ×（GS ′+DT ′）＝12⨯3+55﹣323594-； 35＜t 53594+； 综上，S ＝2535,023593535,(245435935(5)1044t t t t t t ⎧⎛≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-<≤⎪⎪⎪+<≤⎪⎩．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ． （1）P 的坐标 ，C 的坐标 ；（2）直线1上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ 交x 轴于E ，当BE ＝2AD 时，△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍， ∵AD ＝23， ∴BE ＝43， ∴E （113，0）或E ′（193，0）， 则直线PE 的解析式为：y ＝﹣6x +22， ∴Q （92，﹣5）， 直线PE ′的解析式为y ＝﹣65x +385， ∴Q ′（212，﹣5）， 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．如图，直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】 【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OCOB=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC=2OA=32，∠BAC=45°，∵B（-1，0），D（-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，∴AB ACBP BA=，即2322BP=，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322=，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=32×22=3， ∴OE=1+3=4，∴点P 的坐标为（-4，-3）； 综合上述，当52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P ，A ，B 为顶点的三角形与ABC ∆相似； 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．（1）求AF 和BE 的长；（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）129,55AF BF ==；（2）95m =或165m =；（3）存在4组符合条件的点P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或25891055或35105 【解析】 【分析】 （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，由勾股定理得：BD=2222345AB AD+=+=，∵S△ABD12=BD•AE=12AB•AD，∴AE=AB AD3412 BD55⋅⨯==，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF=AE125=，BF=BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AB=3，AE125 =，由勾股定理得：BE2222129355 AB AE⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭；（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE95 =，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′95 =，①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，根据平移的性质知：∠1=∠4，∴BB′=B′F′95=，即95m=；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′95 =，∴BB′=BD-B′D=5-91655=，即m165=；（3）存在．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠2=∠BAE，∵点F是点E关于AB的对称点，∴∠1=∠BAE，∴∠1=∠2，在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=F′A′+A′Q=1227355+=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=2222927910 BF F Q55⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=9105-；②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，则∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′-A′Q=125-BQ，在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：222 91255BQ BQ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：158 BQ=，∴DQ= BD-BQ=5-1525 88=；③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，则∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°-12∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=A′Q-A′F′=3-123 55=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=222293310 BF F Q55⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=3105-；④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=3，∴DQ=BD-BQ=5-3=2．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：2或258或91055-或35105-．【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．12．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．13．请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC的边长为__________；问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【答案】（1）150°，7；（2）135°，5【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP=2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长.（1）150° 7（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=2；连接PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°；在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，∵222+=，即AP′2+PP′2=AP2；125∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，∴∠AP′B=135°，∴∠B PC=∠AP′B=135°．过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B=45°，∴EP′=BE=1，∴AE=2；∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；∴∠BPC=135°，正方形边长为5．点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.14．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝3FH；（3）EG2＝AG2+CE2．【解析】【分析】（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝3FH．只要证明△IJF是等边三角形即可．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，EDO FBOOD OBEOD BOF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH＝3FH．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中，DHG GHFDH GHJDH FGH∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60°，∴△MEJ是等边三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°在△BIF和△MJI中，BI MJB MBF IM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF≌△MJI，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI+∠BIF＝120°，∴∠MIJ+∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴∠FIH＝30°，∴IH＝3FH．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∵∠FAD+∠DEF＝90°，∴AFED四点共圆，∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠EDC＝45°，∵∠ADF＝∠CDM，∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，在△DEM和△DEG中，DE DEEDG EDMDG DM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DEG≌△DEM，∴GE＝EM，∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，∴∠ECM＝90°∴EC2+CM2＝EM2，∵EG＝EM，AG＝CM，∴GE2＝AG2+CE2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.15．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE,(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12 m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12 m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，在△DAB和△EAC中，AD AEDAB EACAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．四、初三数学圆易错题压轴题（难）16．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．（1）如图1，求证：GD＝GF；（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长．【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）18105．【解析】。
四川省成都七中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列事件中，必然事件是（ ）A ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B ．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C ．通常情况下，抛出的篮球会下落D ．三角形内角和为360°2．若275x y z ==，设y A x y z =++，x z B y +=，x y z C x +-=，则A 、B 、C 的大小顺序为（ ） A ．A B C >>B ．A BC << C ．C A B >>D ．A C B << 3．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒4．若点(2,3)M b -关于原点对称点N 的坐标是(3,2)a --，则,a b 的值为（ ）A ．1,1a b =-=B ．1,1a b ==-C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-5．如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB ∠的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是（ ）A ．CEO DEO ∠=∠B ．CM MD =C ．OCD ECD ∠=∠ D ．12OCED S CD OE =⋅四边形 6．半径为6cm 的圆上有一段长度为1．5πcm 的弧，则此弧所对的圆心角为（ ）A ．45B ．75C ．90D ．1507．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组8．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD ＝DB ，OC ＝5，OD ＝3，则AB 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．39．如图，在ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1,0)-．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC 的位似图形A B C ''，使得A B C ''的边长是ABC 的边长的2倍．设点B 的坐标是13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点B '的坐标是（ ）A ．(3,1)-B ．(4,)1-C ．(5,2)-D ．(6,1)-10．用配方法解方程x 2+2x ﹣5=0时，原方程应变形为（ ）A ．（x ﹣1）2=6B ．（x+1）2=6C ．（x+2）2=9D ．（x ﹣2）2=9二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，边长为1的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在格点上，则ABC ∆的面积为_______ ； 若将ABC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，则顶点A 所经过的路径长为__________．12．在直径为4cm 的⊙O 中，长度为23cm 的弦BC 所对的圆周角的度数为____________.13．已知函数12(0)3(0)x x y x x⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的图象如图所示，点P 是y 轴负半轴上一动点，过点P 作y 轴的垂线交图象于A 、B 两点，连接OA 、OB ．下列结论；①若点M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）在图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2；②当点P 坐标为（0，﹣3）时，△AOB 是等腰三角形；③无论点P 在什么位置，始终有S △AOB ＝7.5，AP ＝4BP ；④当点P 移动到使∠AOB ＝90°时，点A 的坐标为（26，﹣6）．其中正确的结论为___．14．如果等腰△ABC 中，3AB AC ==，1cos 3B ∠=，那么cos A ∠=______．15．某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为_____．16．某物体对地面的压强P （Pa ）与物体和地面的接触面积S （m 2）成反比例函数关系（如图），当该物体与地面的接触面积为0.25m 2时，该物体对地面的压强是______Pa ．17．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为_____．18．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留π）20．（6分）如图，△ABC的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1；（2）求在此变换过程中，点A 到达A 1的路径长．21．（6分）如图，四边形ABCD 为正方形，点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()0,3-，反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点C .（1）AD 的线段长为 ；点C 的坐标为 ；（2）求反比例函数的解析式:（3）若点P 是反比例函数图象上的一点，PAD △的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求点P 的坐标.22．（8分）某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）：设参加旅游的员工人数为x 人．（1）当25＜x ＜40时，人均费用为 元，当x≥40时，人均费用为 元；（2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？23．（8分）先化简，再求值：（2241-442a a a a--+-）÷212a a -，其中a 是一元二次方程对a 2+3a ﹣2＝0的根． 24．（8分）已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根．25．（10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D ，E 两点分别在AC ，BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，AD BE的值为 ；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出ADBE的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王是随机事件；通常情况下，抛出的篮球会下落是必然事件；三角形内角和为360°是不可能事件，故选C.本题考查随机事件.2、B 【分析】根据275x y z ==，设x=1a ，y=7a ，z=5a ，进而代入A ，B ，C 分别求出即可． 【详解】解：∵275x y z ==，设x=1a ，y=7a ，z=5a ， ∴y A x y z =++=712752a a a a =++， x z B y +==257a a a+=1， x y z C x +-==2752a a a a+-=1． ∴A ＜B ＜C ．故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x ，y ，z 的值进而求出是解题的关键．3、C【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD 的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,∵AB 是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的4、A【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出关于a ，b 的方程组，解之即可． 【详解】解：点(2,3)M b -，(3,2)N a --关于原点对称，∴3232a b --=-⎧⎨-=-⎩， 解得：11a b =-⎧⎨=⎩． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．5、C【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．【详解】由作图步骤可得：OE 是AOB ∠的角平分线，∴∠COE=∠DOE ，∵OC=OD ，OE=OE ，OM=OM ，∴△COE ≌△DOE ，∴∠CEO=∠DEO ，∵∠COE=∠DOE ，OC=OD ，∴CM=DM ，OM ⊥CD ，∴S 四边形OCED =S △COE +S △DOE =111222OE CM OE DM CD OE +=， 但不能得出OCD ECD ∠=∠，∴A 、B 、D 选项正确，不符合题意，C 选项错误，符合题意，故选C ．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键.6、B【分析】根据弧长公式，即可求解．【详解】∵180n r l π=， ∴62.5180n ππ⨯=，解得：n=75， 故选B ．【点睛】 本题主要考查弧长公式，掌握180n r l π=是解题的关键． 7、A 【解析】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；所以正确的有③⑥．故选A ．8、A【分析】连接OB ，根据⊙O 的半径为5，CD ＝2得出OD 的长，再由垂径定理的推论得出OC ⊥AB ，由勾股定理求出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：连接OB ，如图所示：∵⊙O 的半径为5，OD ＝3，∵AD ＝DB ，∴OC ⊥AB ，∴∠ODB ＝90°，∴BD 2222534OD∴AB ＝2BD ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是圆中的垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”，掌握垂径定理是解此题的关键.9、A【分析】作BD ⊥x 轴于D ，B′E ⊥x 轴于E ，根据相似三角形的性质求出CE ，B′E 的长，得到点B′的坐标．【详解】作BD ⊥x 轴于D ，B′E ⊥x 轴于E ，∵点C 的坐标是(1,0)-,点B 的坐标是13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴CD=2，BD=12， 由题意得：ABC C ∽△A B C '',相似比为1:2，∴''12BD CD BC B E CE B C ===， ∴CE=4，B′E=1，∴点B′的坐标为（3，-1），故选：A ．【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．10、B【解析】x 2+2x ﹣5=0，x 2+2x=5，x 2+2x+1=5+1，（x+1）2=6，故选B.二、填空题(每小题3分,共24分)11、3.5；10 3π【分析】（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解；（2）根据勾股定理列式求出AC，然后利用弧长公式列式计算即可得解．【详解】（1）△ABC的面积＝3×3−12×2×3−12×1×3−12×1×2，＝9−3−1.5-1＝3.5；（2）由勾股定理得，AC＝221310+=，所以，点A所经过的路径长为601010 1803ππ⋅⋅=故答案为：3.5；103π．【点睛】本题考查了利用旋转的性质，弧长的计算，熟练掌握网格结构，求出AC的长是解题的关键．12、60°或120°【分析】如下图所示，分两种情况考虑：D点在优弧CDB上或E点在劣弧BC上时，根据三角函数可求出∠OCF的大小，进而求出∠BOC的大小，再由圆周角定理可求出∠D、∠E大小，进而得到弦BC所对的圆周角．【详解】解：分两种情况考虑：D在优弧CDB上或E在劣弧BC上时，可得弦BC所对的圆周角为∠D或∠E，如下图所示，作OF⊥BC，由垂径定理可知，F为BC的中点，∴CF=BF=123cm，又直径为4cm，∴OC=2cm，在Rt △AOC 中，cos ∠OCF==CF OC ， ∴∠OCF=30°，∵OC=OB ，∴∠OCF=∠OBF=30°，∴∠COB=120°，∴∠D=12∠COB=60°， 又圆内接四边形的对角互补，∴∠E=120°，则弦BC 所对的圆周角为60°或120°．故答案为：60°或120°．【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．13、②③④．【分析】①错误．根据x 1＜x 2＜0时，函数y 随x 的增大而减小可得；②正确．求出A 、B 两点坐标即可解决问题；③正确．设P （0，m ），则B （3m ，m ），A （﹣12m ，m ），求出PA 、PB ，推出PA ＝4PB ，由S AOB ＝S △OPB +S △OPA 即可求出S △AOB ＝7.5；④正确．设P （0，m ），则B （3m ，m ），A （﹣12m ，m ），推出PB ＝﹣3m ，PA ＝﹣12m，OP ＝﹣m ，由△OPB ∽△APO ，可得OP 2＝PB •PA ，列出方程即可解决问题．【详解】解：①错误．∵x 1＜x 2＜0，函数y 随x 是增大而减小，∴y 1＞y 2，故①错误．②正确．∵P （0，﹣3），∴B （﹣1，﹣3），A （4，﹣3），∴AB ＝5，OA 5，∴AB ＝AO ，∴△AOB 是等腰三角形，故②正确．③正确．设P （0，m ），则B （3m ，m ），A （﹣12m，m ），∴PB＝﹣3m，PA＝﹣12m，∴PA＝4PB，∵S AOB＝S△OPB+S△OPA＝32+122＝7.5，故③正确．④正确．设P（0，m），则B（3m，m），A（﹣12m，m），∴PB＝﹣3m，PA＝﹣12m，OP＝﹣m，∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°，∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°，∴∠BOP＝∠OAP，∴△OPB∽△APO，∴OPAP＝PBOP，∴OP2＝PB•PA，∴m2＝﹣3m•（﹣12m），∴m4＝36，∵m＜0，∴m＝﹣6，∴A（26，﹣6），故④正确．∴②③④正确，故答案为②③④．【点睛】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．14、79；【分析】过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由于1cos 3B ∠=，所以13BD BC =，13BE AC =，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出AD 的长度． 【详解】解：过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点B 作BD AC ⊥于点D ，1cos 3B ∠=， 13BE AB ∴=，13BD BC =， AB=AC=3，∴BE=EC=1，BC=2， 又∵13BD BC =， ∴BD=23, 27333AD AC CD ∴=-=-=， ∵cos A ∠=AD AC， ∴773==39AD AC ， 故答案为：79. 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．152【分析】先利用勾股定理求出AC 的长，再根据坡度的定义即可得．【详解】由题意得：6AB =米，2BC =米，AC BC ⊥， 在Rt ABC 中，22226242AC AB BC =-=-=（米）， 则这个坡面的坡度为2442BC AC ==，故答案为：24．【点睛】本题考查了勾股定理、坡度的定义，掌握理解坡度的定义是解题关键．16、1【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案．【详解】设P＝ks，把（0.5，2000）代入得：k＝1000，故P＝1000s，当S＝0.25时，P＝10000.25＝1（Pa）．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析会死是解题关键．17、1【分析】根据切线长定理得到AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，得到AD+BC=AB+CD=25，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【详解】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝25，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．183.【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．【详解】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AB⊥OM，∴AM=BM=1，在△OAM中，由勾股定理得：OM=3．三、解答题(共66分)19、（1）图见解析，（-3，6）；（2）图见解析，17 2【分析】（1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．【详解】解：（1）如图所示：A1的坐标为：（-3，6）；（2）如图所示：∵BO=221417+=，∴点B 所经过的路径长=9017171802ππ⨯=． 20、（1）画图见解析；（2）点A 到达A 1的路径长为π10．【分析】（1）根据旋转的定义分别作出点A ，B ，C 绕原点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）点A 到达A 1的路径是以O 为圆心，OA 为半径的半圆，据此求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．（2）∵OA 221+310，∴点A 到达A 1的路径长为1210＝10． 【点睛】本题考查利用旋转变换作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．21、（1）5，()5,3-；（2）15y x =-；（3）点P 的坐标为5,124⎛⎫- ⎪⎝⎭或15,88⎛-⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正方形及点A 、B 的坐标得到边长，即可求得AD ，得到点C 的坐标；（2）将点C 的坐标代入解析式即可；（3）设点P 到AD 的距离为h ，根据PAD △的面积恰好等于正方形ABCD 的面积求出h 的值，再分两种情况求得点P 的坐标.【详解】（1）∵点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()0,3-，∴AB=2-(-3)=5，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB=5，∵BC=AD=5，BC ⊥y 轴，∴C ()5,3-.故答案为：5，()5,3-；()2把(5,3)C -代入反比例函数k y x =得 35k -=解得15k =- ∴反比例函数的解析式为15y x=-； （3）设点P 到AD 的距离为h ．正方形ABCD 的面积 5525⨯=，PAD ∴的面积15252h ⨯⨯= ， 解得10h =.①当点P 在第二象限时212P y h =+=，此时，155124p x =-=- ∴点P 的坐标为5,124⎛⎫- ⎪⎝⎭②当点P 在第四象限时，28P y h =--=-（） 此时，151588p x =-=- ∴点P 的坐标为15,88⎛-⎫ ⎪⎝⎭综上所述，点P 的坐标为5,124⎛⎫-⎪⎝⎭或15,88⎛-⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题考查正方形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，利用反比例函数求点坐标，（3）中确定点P 时不要忽略反比例函数的另一个分支.22、（1）1000﹣20（x ﹣25）；1．（2）30名【分析】（1）求出当人均旅游费为1元时的员工人数，再根据给定的收费标准即可求出结论；（2）由25×1000＜210＜2×1可得出25＜x ＜2，由总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：（1）∵25+（1000﹣1）÷20=2（人），∴当25＜x ＜2时，人均费用为[1000﹣20（x ﹣25）]元，当x≥2时，人均费用为1元．（2）∵25×1000＜210＜2×1，∴25＜x ＜2．由题意得：x[1000﹣20（x ﹣25）]=210，整理得：x 2﹣75x+1350=0，解得：x 1=30，x 2=45（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23、a 1+3a ，1【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a 1+3a ﹣1＝0可以得到a 1+3a 的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：（2241442a a a a---+-）÷212a a - ＝[2(2)(2)1(2)2a a a a +-+--]•a （a ﹣1） ＝（2122a a a ++--）•a （a ﹣1） ＝32a a +-•a （a ﹣1） ＝a （a +3）＝a 1+3a ，∵a 1+3a ﹣1＝0，∴a 1+3a ＝1，∴原式＝1．【点睛】本题考查分式的化简求值，代数式求值．解决此题应注意运算顺序，能熟练掌握通分、因式分解、约分等知识点是解题关键．24、（1）k k ≠＜9且0（2） 11=2x ，21=4x 【解析】（1）根据一元二次方程的定义可知k≠0，再根据方程有两个不相等的实数根，可知△>0，从而可得关于k 的不等式组，解不等式组即可得；（2）由（1）可写出满足条件的k 的最大整数值，代入方程后求解即可得.【详解】（1） 依题意，得()20640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞， 解得k 9＜且k 0≠；(2) ∵k 是小于9的最大整数，∴k=8，此时的方程为28x 6x 10-+=， 解得11x =2，21x =4. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义、解一元二次方程等，熟练一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.25、（1）2；（2）2；（3）7或1． 【分析】（1）先证△DEC为等腰直角三角形，求出CD CE =AD BE 的值； （2）证△BCE ∽△ACD ，由相似三角形的性质可求出AD BE的值； （3）分两种情况讨论，一种是点E 在线段BA 的延长线上，一种是点E 在线段BA 上，可分别通过勾股定理求出AE 的长，即可写出线段BE 的长．【详解】（1）∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠B =45°．∵DE ∥AB ，∴∠DEC =∠B =45°，∠CDE =∠A =90°，∴△DEC 为等腰直角三角形，∴cos ∠C CD CE == ∵DE ∥AB ，∴2AD CD BE CE ==．故答案为：2； （2）由（1）知，△BAC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∴AC DC BC EC ==． 又∵∠BCE =∠ACD =α，∴△BCE ∽△ACD ，∴2AD AC BE BC ==，即2AD BE =； （3）①如图3﹣1，当点E 在线段BA 的延长线上时．∵∠BAC =90°，∴∠CAE =90°，∴AE ===3，∴BE =BA +AE =4+3=7；②如图3﹣2，当点E 在线段BA 上时，AE ===3，∴BE =BA ﹣AE =4﹣3=1．综上所述：BE 的长为7或1．故答案为：7或1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．26、（1）见解析；（2）DF＝23．【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过O，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝∴DF＝【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．。
成都七中九年级上期末考试数学试题及答案
2011—2012学年度（上期）初2012级期末诊断性评价数学（时间：120分钟，总分：150分）A 卷（共100分）一、选择题（每题3分，共30分）1、3的倒数是（）A ．3B ．3C ．31D ．312、已知12b a ，则124b a的值为（）A ．1B ．0C ．1D ．33、如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则其主视图是（）4、在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B 的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．335、某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x .若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）.A ．(30)(1002)200x xB ．(1002)200x x C ．(30)(1002)200x x D ．(30)(2100)200xx 6、反比例函数k yx在第二象限的图象如图所示，过函数图象上一点P 作PA ⊥x 轴交x 轴于点A , 已知PAO 的面积为3，则k 的值为（）A ．6B ．6C ．3D ．37、如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A →M →N →C 的小路（M 、N 分别是AB 、CD 中点）.极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC 行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了（）A ．7米B ．6米C ．5米D ．4米8、将抛物线23y x 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）A ．23(2)1y x B ．23(2)1y x C ．23(2)1yxD ．23(2)1yxA ．B ．C ．D ．正面9、下列四个图象表示的函数中，当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（）10、已知二次函数c bx axy2)0(a 的图象如图所示，给出以下结论：①0abc；②当1x时，函数有最大值；③当13x x或时，函数y 的值都等于0；④024c b a 其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每空4分，共16分）11、化简▲．12、如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，DE 平分∠ADC ，则BE ＝▲．13、若关于x 一元二次方程02)2(2a x a x的两个实数根分别是3、b ，则b ▲．14、如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1，2)，点B 、D 在反比例函数xy6（x ＞0）的图象上，则点C 的坐标为▲．三、计算题（15题6分，16题每小题6分，共18分) 15、计算：245sin 220122181；16、解方程：（1）x x232；（2）1213122x xx x四、解答题(每小题8分，共16分)17、放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在万达广场上放风筝．如图他在A 处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处．此时风筝线AD 与水平线的夹角为30°．为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A 处10米的B 处，此时风筝线BD 与水平线的夹角为45°．已知点A 、B 、C在同一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，结果保留根号）x x x xyyyyO O O O A ．B ．C ．D ．18、今只有一张欢乐谷门票，而小明和小华都想要去，于是他们两人分别提出一个方案：小明的方案是：转动如图所示的转盘，当转盘停止转动后，如果指针停在阴影区域，则小明获得门票；如果指针停在白色区域，则小华获得门票（转盘被等分成6个扇形，若指针停在边界处，则重新转动转盘）．小华的方案是：有三张卡片，上面分别标有数字1，2，3，将它们背面朝上洗匀后，从中摸出一张，记录下卡片上的数字后放回，重新洗匀后再摸出一张．若摸出两张卡片上的数字之和为奇数，则小明获得门票；若摸出两张卡片上的数字之和为偶数，则小华获得门票．（1）在小明的方案中，计算小明获得门票的概率，并说明小明的方案是否公平？（2）用树状图或列表法列举小华设计方案中可能出现的所有结果，计算小华获得门票的概率，并说明小华的方案是否公平？五、解答题(每小题10分，共20分)19、如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝4－2mx(x＞0)的图象于点A、B，交x轴于点C．(1)求m的取值范围；(2)若点A的坐标是(2，－4)，且BCAB＝13，求m的值和一次函数的解析式．20、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．(1)求证：△FOE≌△DOC；(2)求sin∠OEF的值；(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求AB CDGH的值．B 卷（共50分）一、填空题。
成都七中2020初三数学九年级上册期末试题和答案
成都七中2020初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．二次函数y ＝x 2﹣6x 图象的顶点坐标为（ ） A ．（3，0）B ．（﹣3，﹣9）C ．（3，﹣9）D ．（0，﹣6）2．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据： 组 别 1 2 3 4 5 6 7 分 值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是 A ．88，90B ．90，90C ．88，95D ．90，953．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =1，BD =2，则DE BC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．194．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．45°5．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，它的对称轴为直线1x =，与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x -<<.下列结论中：①0abc <；②223x <<；③421a b c ++<-；④方程()2200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根；⑤13a >.其中正确的有（ ）A ．②③⑤B ．②③C ．②④D ．①④⑤6．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10 B ．10，9C ．8，9D ．9，107．某班7名女生的体重（单位：kg ）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（ ） A ．74B ．44C ．42D ．408．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A ．B ．C ．D ．9．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A ．19B ．13C ．12D ．2310．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）A ．3B ．234C 1433D 223311．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.412．如图，如果从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为( )A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm 13．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法判断14．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ） A ．23(1)3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+- D ．23(1)3y x =-++15．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，6AB =，5AD =,则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2二、填空题16．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x 的值为__________． 17．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.18．O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与O 的位置关系是______.19．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．20．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝____． 21．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．22．当a≤x≤a+1时，函数y=x 2﹣2x+1的最小值为1，则a 的值为_____．23．如图，AB 是半圆O 的直径，AB=10，过点A 的直线交半圆于点C ，且sin ∠CAB=45，连结BC ，点D 为BC 的中点．已知点E 在射线AC 上，△CDE 与△ACB 相似，则线段AE 的长为________；24．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．25．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．26．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.27．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则1212x x x x +-•=__________．28．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，29．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝5cm ，AD ＝3cm ，BC ＝2cm ，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与△PBC 相似，则PA ＝_____cm ．30．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，点M 为AF 中点，以点O 为圆心，以OM 的长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，以DE 的长为半径画弧得到扇形DEF ，把扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1：r 2=_____．三、解答题31．已知二次函数y ＝(x －m )(x ＋m ＋4)，其中m 为常数． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．（2）若A (－1，a )和B (n ，b )是该二次函数图像上的两个点，请判断a 、b 的大小关系． 32．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线-2y x 交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．33．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的函数值y 与自变量x 之间的对应数据如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y…1052125…（1）求b 、c 的值；（2）当x 取何值时，该二次函数有最小值，最小值是多少？ 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝12x +2的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，⊙P 的半径为5，其圆心P 在x 轴上运动．（1）如图1，当圆心P 的坐标为（1，0）时，求证：⊙P 与直线AB 相切；（2）在（1）的条件下，点C 为⊙P 上在第一象限内的一点，过点C 作⊙P 的切线交直线AB 于点D ，且∠ADC ＝120°，求D 点的坐标；（3）如图2，若⊙P 向左运动，圆心P 与点B 重合，且⊙P 与线段AB 交于E 点，与线段BO 相交于F 点，G 点为弧EF 上一点，直接写出12AG +OG 的最小值 ． 35．如图，OA l ⊥于点,A B 是OA 上一点，O 是以O 为圆心，OB 为半径的圆．C 是O 上的点，连结CB 并延长，交l 于点D ，且AC AD =．（1）求证：AC 是O 的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标注后用数字表示）；（2）若O 的半径为5，6BC =，求线段AC 的长．四、压轴题36．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？37．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB 3，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．（1）求证△AEF ∽△BCE ；（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．38．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．39．如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为(1,0)-，过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．（1）点C 的坐标是________，b =________； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，直接写出所有t 的值；若不存在，说明理由．40．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求tan ACB∠；（3）若5tan2CDE∠=，记AD x=，ABC∆面积和DBC∆面积的差为y，直接写出y关于x的函数关系式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．【详解】解：∵y＝x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9＝（x﹣3）2﹣9，∴二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（3，﹣9）．故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.2．B解析：B【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为85，88，90，90，90，92，95，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：90．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90．故选B．3．B解析：B 【解析】试题分析：∵DE ∥BC ，∴AD DE AB BC =，∵13AD AB =，∴31DE BC =．故选B ． 考点：平行线分线段成比例．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O 的度数，再进一步根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵OA=OB ，∠ABO=35°， ∴∠BAO=∠ABO=35°， ∴∠O=180°-35°×2=110°，∴∠C=12∠O=55°． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用对称轴位置得到b ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得c ＜0，则可对①进行判断；根据二次函数的对称性对②③进行判断；利用抛物线与直线y=2的交点个数对④进行判断，利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断⑤. 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵对称轴为直线1x = ∴b=-2a ＞0∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c ＜-1，∴abc ＞0，所以①错误；∵110x -<<，对称轴为直线1x = ∴1212x x +=故223x <<，②正确；∵对称轴x=1，∴当x=0，x=2时，y 值相等，故当x=0时，y=c ＜0，∴当x=2时，y=421a b c ++<-，③正确；如图，作y=2，与二次函数有两个交点，故方程()2200ax bx c a ++-=≠有两个不相等的实数根，故④错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c=3a+c ＞0，当x=0时，y=c ＜-1∴3a ＞1，故13a >，⑤正确； 故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．也考查了二次函数的性质．6．D解析：D【解析】试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，最中间的数是9，则中位数是9；10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；故选D ．考点：众数；中位数．7．C解析：C【解析】试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C.考点：众数.8．B解析：B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC、2只有选项B的各边为1B．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理. 9．B解析：B【解析】【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．【详解】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是31 93 ．故选：B．【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．10．C解析：C【解析】【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC+PE＝PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．【详解】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，∴易证AE⊥BC，∵A、C关于BD对称，∴PA＝PC，∴PC+PE＝PA+PE，∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，∴在Rt△AEB中，BE＝∴PC+PE的最小值为∴点H 的纵坐标a ＝∵BC ∥AD ， ∴AD PD BE PB= ＝2，∵BD ＝∴PD ＝233⨯=∴点H 的横坐标b ，∴a +b ＝=； 故选C ．【点睛】 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．11．D解析：D【解析】【分析】根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】解：∵////a b c ∴AB DE BC EF= 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4 故答案为D ．【点睛】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．12．B解析：B【解析】【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.【详解】解：∵从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，∴剩下的扇形的角度=360°×23=240°， ∴留下的扇形的弧长=24061880ππ⨯=， ∴圆锥的底面半径248r ππ==cm ； 故选：B.【点睛】 此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．C解析：C【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l 和⊙O 相交，则d ＜r ；②直线l 和⊙O 相切，则d=r ；③直线l 和⊙O 相离，则d ＞r （d 为直线与圆的距离，r 为圆的半径）．因此，∵⊙O 的半径为6，圆心O 到直线l 的距离为5，∴6＞5，即：d ＜r ．∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交．故选C ．14．D解析：D【解析】【分析】先根据抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-∵顶点坐标为(1,3)-∴抛物线的表达式为23(1)3y x =-++故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． 15．B解析：B【解析】【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用ABD BED，得出DE DBDB AD=，从而求出DE的长，最后利用AE AD DE=-即可得出答案．【详解】连接BD,CD∵AB为O的直径90ADB∴∠=︒22226511BD AB AD∴=-=-∵弦AD平分BAC∠11CD BD∴==CBD DAB∴∠=∠ADB BDE∠=∠ABD BED∴DE DBDB AD∴=11511=解得115DE=115 2.85AE AD DE∴=-=-=故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．二、填空题16．5【解析】【分析】根据根与系数的关系求出，代入即可求解．【详解】∵是方程的两根∴=-=4，==1∴===4+1=5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是解析：5【解析】【分析】根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ⋅代入即可求解．【详解】∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根∴12x x +=-b a =4，12x x ⋅=c a=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-b a ，12x x ⋅=c a的运用． 17．7【解析】设树的高度为m ，由相似可得，解得，所以树的高度为7m解析：7【解析】设树的高度为x m ，由相似可得6157262x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 18．相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l 与O 的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的解析：相交【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，∵4＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.19．720（1+x）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019解析：720（1+x）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，则2018的全年收入为：720×（1+x）2019的全年收入为：720×（1+x）2．那么可得方程：720（1+x）2=845．故答案为：720（1+x）2=845．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．20．【解析】【分析】直接利用根与系数的关系求解．【详解】解：根据题意得x1+x2═故答案为．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1解析：1 2 -【解析】【分析】直接利用根与系数的关系求解．【详解】解：根据题意得x1+x2═12 ba-=-故答案为12 -．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=ba-，x1•x2=ca．21．【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．详解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△AB解析：22【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．详解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为：点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22．2或﹣1【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】当y=1时，有x解析：2或﹣1【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】当y=1时，有x2﹣2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故答案为：2或﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．23．3或9 或或【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90，∵sin∠C解析：3或9 或23或343【解析】【分析】 先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90︒，∵sin ∠CAB=45， ∴45BC AB =, ∵AB=10，∴BC=8， ∴22221086AC AB BC =-=-=,∵点D 为BC 的中点,∴CD=4.∵∠ACB=∠DCE=90︒, ①当∠CDE 1=∠ABC 时，△ACB ∽△E 1CD,如图∴1AC BC CE CD =，即1684CE =， ∴CE 1=3，∵点E 1在射线AC 上，∴AE 1=6+3=9，同理：AE 2=6-3=3.②当∠CE 3D=∠ABC 时，△ABC ∽△DE 3C ，如图∴3AC BC CD CE =，即3684CE =， ∴CE 3=163， ∴AE 3=6+163=343, 同理：AE 4=6-163=23.故答案为：3或9 或23或343. 【点睛】 此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.24．①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是x=-=1，∴ab ＜0，①正确；∵二次函数y=ax2+b解析：①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是x=-2b a=1， ∴ab ＜0，①正确；∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；∵当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，③错误；由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，故答案为①②④．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．25．【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长cm ，设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为．【点睛】本解析：【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π． 26．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA 的长度．【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD∥OE，∴∠C解析：16【解析】【分析】易得△AOB ∽△ECD ，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA 的长度．【详解】解：∵OA ⊥DA ，CE ⊥DA ，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD ∥OE ，∴∠CDA=∠OBA ，∴△AOB ∽△ECD ， ∴CE OA 16OA ,DE AB 220==， 解得OA=16．故答案为16． 27．2【解析】【分析】根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．【详解】解：∵∴=-3, =-5∴-3-(-5)=2故答案为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠解析：2【解析】【分析】根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •，然后代入计算即可．【详解】解：∵2350x x +-=∴12x x +=-3, 12x x •=-5∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2故答案为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a +=-，12cx xa•=是解答本题的关键．28．∠ACP=∠B（或）．【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解析：∠ACP=∠B（或AP ACAC AB=）．【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB，∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；当AP ACAC AB=时，△ACP∽△ABC．故答案为：∠ACP=∠B（或AP ACAC AB=）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．29．2或3【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．【详解】解：设AP＝xcm．则解析：2或3【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D 分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．【详解】解：设AP ＝xcm ．则BP ＝AB ﹣AP ＝(5﹣x )cm以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，①当AD ：PB ＝PA ：BC 时，352x x =-， 解得x ＝2或3．②当AD ：BC ＝PA +PB 时，3=25x x-，解得x ＝3， ∴当A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，AP 的值为2或3． 故答案为2或3．【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．30．【解析】分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．详解：连OA由已知，M 为AF 中点，则OM⊥AF∵六边形ABCDEF 为正六边形∴解析：3:2【解析】分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．详解：连OA由已知，M 为AF 中点，则OM ⊥AF∵六边形ABCDEF 为正六边形∴∠AOM=30°设AM=a∴AB=AO=2a ，3a∵正六边形中心角为60°∴∠MON=120°∴扇形MON 的弧长为：1201803a π⋅=则r 1 同理：扇形DEF 的弧长为：120241803a a ππ⋅⋅= 则r 2=23ar 1：r 2点睛：本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．三、解答题31．（1）见解析；（2） ①当n ＝－3时，a ＝b ；②当－3＜n ＜－1时，a ＞b ；③当n ＜－3或n ＞－1时，a ＜b【解析】【分析】（1）方法一：当y=0时，（x-m ）（x-m-4）=0，解得x 1=m ，x 2=-m-4，即可得到结论；方法二：化简得y ＝x 2＋4x －m 2－4m ，令y ＝0，可得b 2－4ac ≥0，即可证明；（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a 与b 的大小.【详解】（1）方法一：令y ＝0，(x －m )(x ＋m ＋4)=0，解得x 1＝m ；x 2＝－m －4．当m ＝－m －4，即m ＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x 轴有一个公共点；当m ≠－m －4，即m ≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x 轴有两个公共点．综上不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．方法二：化简得y ＝x 2＋4x －m 2－4m ．令y ＝0，b 2－4ac ＝4m 2＋16m ＋16＝4(m ＋2)2≥0，方程有两个实数根．∴不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x ＝－2①当n ＝－3时，a ＝b ；②当－3＜n ＜－1时，a ＞b③当n ＜－3或n ＞－1时，a ＜b【点睛】本题考查了二次函数的性质以及与方程的关系，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，并且注意分情况讨论. 32．（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(﹣1，0)或(5，0)【解析】【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，与x轴交于D，得到y＝2x−1，求得BD于是得到结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MN ONAB BC=或MN ONBC AB=，可求得N点的坐标．【详解】（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得22-2y x x y x⎧=+⎨=⎩﹣，解得2xy=⎧⎨=⎩或13xy=-⎧⎨=-⎩，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，与x轴交于D，把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得13k bk b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：21 kb=⎧⎨=-⎩，∴y=2x﹣1，当y=0，即2x﹣1=0，解得：x=12，∴D（12，0），∴BD=2﹣12=32，∴△ABC的面积=S△ABD+S△BCD=12×32×1+12×32×3=3；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，，，∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN ON AB BC =或MN ON BC AB=， ①当MN ON AB BC =时，∴=|x||﹣x+2|=13|x|， ∵当x=0时M 、O 、N 不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=13，∴﹣x+2=±13，解得x=53或x=73，此时N 点坐标为（53，0）或（73，0）； ②当或MN ON BC AB =时，∴=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．33．（1）b=-4,c=5；（2）当x ＝2时，二次函数有最小值为1【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据图象上点的坐标，可得出图象的对称轴及顶点坐标，即可得到答案．【详解】（1）把（0，5），（1，2）代入y =x 2+bx +c 得： 512c b c =⎧⎨++=⎩， 解得：45b c =-⎧⎨=⎩， ∴4b =-，5c =；（2）由表格中数据可得：∵1x =、3x =时的函数值相等，都是2， ∴此函数图象的对称轴为直线3122x +==， ∴当x =2时，二次函数有最小值为1．【点睛】。
2022-2023学年四川省成都七中学实验学校九年级数学上册期末综合测试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子高为1.2米，同一时刻同一地点，身高1.6米他在阳光下的影子长0.4米，则这棵树的高为（ ）米．A ．6.2B ．10C ．11.2D ．12.42．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定a ★b ()()211,42.a b a b b a b a⎧+>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，那么函数2y x =★的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．P(3，-2)关于原点对称的点的坐标是( )A ．(3，2)B ．(-3，2)C ．(-3，-2)D ．(3，-2)4．一元二次方程220200x +=的根的情况是( )A ．有两个相等的实根B ．有两个不等的实根C ．只有一个实根D ．无实数根5．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．A ．x （x +1）=182B ．x （x +1）=182×12C ．x （x －1）=182D ．x （x －1）=182×26．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，在下列结论中：①0abc >；②0a b c -+>；③210ax bx c +++=有两个相等的实数根；④42a b a -<<-；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个7．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．78．如图，网格中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC 的顶点均在小正方形的顶点上，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，点C 在AB ′上，则'BB 的长为（ ）A ．πB ．2πC ．7πD ．6π9．如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．则△CMN 与△CAB 的面积之比是( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:9 10．已知一斜坡的坡比为326米，那么坡高为（ ） A ．133 B 263米 C ．13米 D ．3二、填空题(每小题3分,共24分)11．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．12．在比例尺为1：3000000的地图上，测得AB 两地间的图上距离为5厘米，则AB 两地间的实际距离是______千米．13．把二次函数241y x x =+-变形为2()y a x h k =++的形式为_________． 14．二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空) 15．如果23a b =，那么b a a b -+=_____． 16．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，弧AD=弧CD ．若∠CAB ＝40°，则∠CAD ＝_____．17．如图，⊙O 经过A ，B ，C 三点，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，∠P ＝46°，则∠C ＝_____．18．若0y <2x y化简成最简二次根式为__________． 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在东西方向的海面线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船和观测点D （A ，B ，D 在直线MN 上），两船同时收到渔船C 在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A ，B 北偏西30和北偏东45︒方向，巡逻船A 和渔船C 相距120海里，渔船在观测点D 北偏东15︒方向．（说明：结果取整数．参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈．） （1）求巡逻船B 与观测点D 间的距离；（2）已知观测点D 处45海里的范围内有暗礁．若巡逻船B 沿BC 方向去营救渔船C 有没有触礁的危险？并说明理由．20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长．21．（6分）如图1，直线y=2x+2 分别交x 轴、y 轴于点A、B，点C为x轴正半轴上的点，点D从点C处出发，沿线段CB匀速运动至点B 处停止，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，点C′是点C关于直线DE的对称点，连接EC′，若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S，点D的运动时间为t（秒），S与t 的函数图象如图2 所示．（1）V D= ,C 坐标为；（2）图2中，m= ，n= ，k= .（3）求出S与t 之间的函数关系式（不必写自变量t的取值范围）.22．（8分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A(3，0)，B(4，2)，函数kyx=（k≠0）的图象经过点C．（1）求反比例的函数表达式：（2）请判断平行四边形OABC对角线的交点是否在函数kyx=（k≠0）的图象上．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若CD＝25，BP＝1，求⊙O的半径．∠交O平点D.过点D的切线交AC的延长线于E.求24．（8分）已知，如图，AB是O的直径，AD平分BAC证:DE AE⊥.AC垂足为F，交25．（10分）如图，AB是O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线,AB的延长线于点E．()1求证:EF是O的切线；()2若6,8==，求O的半径．AF EF26．（10分） [问题发现]如图①，在ABC 中，点E 是AC 的中点，点D 在边BC 上，AD 与BE 相交于点P ，若:1:2CD CB =，则:AP AD =_____ ;[拓展提高]如图②，在等边三角形ABC 中，点E 是AC 的中点，点D 在边BC 上，直线AD 与BE 相交于点P ，若:2:3BP BE =，求:CD CB 的值.[解决问题]如图③，在Rt ABC 中， 90ACB ∠=，点E 是AC 的中点，点D 在直线CB 上，直线AD 与直线BE 相交于点P ，4,3,8CD CB AC ===.请直接写出BP 的长.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】先根据同一时刻物体的高度与其影长成比例求出从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度，再加上落在墙上的影长即得答案.【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x 米， 则1.60.4 2.8x =，解得：x ＝11.2，所以树高＝11.2+1.2＝12.4（米）， 故选：D ．【点睛】本题考查的是投影的知识，解本题的关键是正确理解题意、根据同一时刻物体的高度与其影长成比例求出从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度.2、C【分析】先根据所给新定义运算求出分段函数解析式，再根据函数解析式来判断函数图象即可.【详解】解：∵a ★b ()()211,42.a b a b b a b a⎧+>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩， ∴2y x =★()()2112,422.x x x x⎧+>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ∴当x>2时，函数图象在第一象限且自变量的值不等于2，当x ≤2时，是反比例函数，函数图象在二、四象限. 故应选C.【点睛】本题考查了分段函数及其图象，理解所给定义求出分段函数解析式是解题的关键.3、B【解析】根据平面坐标系中点P(x,y)关于原点对称点是(-x,-y) 即可．【详解】解：关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，因此P(3，-2)关于原点对称的点的坐标是(-3，2)． 故答案为B ．【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标的关系，解题的关键是理解并识记关于原点对称点的特点．4、D【分析】先求出24b ac -的值，再进行判断即可得出答案．【详解】解：一元二次方程x 2+2020=0中，24b ac -=0-4×1×2020＜0，故原方程无实数根．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）24b ac -＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）24b ac -=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）24b ac -＜0⇔方程没有实数根．5、C【解析】试题分析：先求每名同学赠的标本，再求x 名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．每名同学所赠的标本为：（x-1）件，那么x 名同学共赠：x （x-1）件，根据题意可列方程：x （x-1）=182，故选C.考点：本题考查的是根据实际问题列一元二次方程点评：找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解答本题的关键．6、C【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对各个结论进行判断．【详解】解：由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上可推出c=-1＜0， 对称轴为210b ax >=->，a ＞0，得b ＜0， 故abc ＞0，故①正确； 由对称轴为直线12b x a =->，抛物线与x 轴的一个交点交于（2，0），（3，0）之间，则另一个交点在（0，0），（-1，0）之间，所以当x=-1时，y ＞0，所以a-b+c ＞0，故②正确；抛物线与y 轴的交点为（0，-1），由图象知二次函数y=ax 2+bx+c 图象与直线y=-1有两个交点，故ax 2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根，故③错误； 由对称轴为直线2b x a =-，由图象可知122b a<-<， 所以-4a ＜b ＜-2a ，故④正确．所以正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用． 7、D【详解】解：根据垂线段最短，可知AP 的长不可小于3∵△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=1，∴AP 的长不能大于1．∴3PA 6≤≤8、A【分析】根据图示知∠BAB ′＝45°，所以根据弧长公式l ＝180n r π求得BB '的长． 【详解】根据图示知，∠BAB ′＝45°， BB '的长l ＝454180π⋅＝π， 故选：A ．【点睛】 此题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．9、C【解析】由M 、N 分别为AC 、BC 的中点可得出MN ∥AB ，AB ＝2MN ，进而可得出△ABC ∽△MNC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵M 、N 分别为AC 、BC 的中点，∴MN ∥AB ，且AB ＝2MN ，∴△ABC ∽△MNC ，∴MNC ABC S S =（MN AB）2＝14． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC ∽△MNC 是解题的关键．10、C【分析】根据坡比算出坡角,再根据坡角算出坡高即可.【详解】解：设坡角为α∵坡度=铅直高度水平宽度 ∴30α=.∴.坡高=坡长sin 13α⨯=.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的应用,关键在于理解题意,利用三角函数求出坡角.二、填空题(每小题3分,共24分)【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【详解】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a ”是解题的关键． 12、150【分析】设实际距离为x 千米，根据比例尺=图上距离：实际距离计算即可得答案．【详解】设实际距离为x 千米，5厘米=0.00005千米，∵比例尺为1：3000000，图上距离为5cm ，∴1：3000000=0.00005：x ，解得：x=150(千米)，故答案为：150【点睛】本题考查了比例尺的定义，能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离是解题关键，注意单位的换算． 13、2(2)5y x =+-【分析】利用配方法变形即可.【详解】解： 22241445(2)5y x x x x x =+-=++-=+-故答案为：2(2)5y x =+-【点睛】本题考查了二次函数的的解析式，熟练掌握配方法是解题的关键.14、>【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，所以有a >1.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >1；图像开口方向向下，a <1．15、15 【解析】试题解析：2,3a b = 设a =2t ，b =3t ，321.235b a t t a b t t --∴==++ 故答案为:1.516、25°【分析】先求出∠ABC ＝50°，进而判断出∠ABD ＝∠CBD ＝25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC ，BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠CAB ＝40°，∴∠ABC ＝50°，∵弧AD=弧CD∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝25°， ∴∠CAD ＝∠CBD ＝25°．故答案为：25°．【点睛】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线.17、67°【分析】根据切线的性质定理可得到∠OAP ＝∠OBP ＝90°，再根据四边形的内角和求出∠AOB ，然后根据圆周角定理解答．【详解】解：∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∴∠OAP ＝90°，∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°，∴∠C ＝12∠AOB ＝67°， 故答案为：67°．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和和圆周角定理，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题关键.18、 【分析】根据二次根式的性质，进行化简，即可.∵0y <∴原式=，故答案是：. 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质，是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）76海里；（2）没有触礁的危险，理由见解析【分析】（1）作CE MN ⊥．根据直角三角形性质求AE ，CE,AB ，再证DCA CBA △∽△．所以DA AC CA AB=． （2）作DF BC ⊥．证BF=DF ，由BF 2+DF 2=BD 2可求解.【详解】解：（1）作CE MN ⊥．因为渔船分别在巡逻船A ，B 北偏西30和北偏东45︒方向，所以∠CAE=60°, ∠CBE=45° 所以∠ACE=30°, ∠ACB=180°-60°-45°=75°; 所以1602AE AC ==（海里），()()222212060603CE BE AC AE ==+=+=（海里）． 所以60603AB =+．因为渔船在观测点D 北偏东15︒方向． 所以∠CDE=75〬所以∠CDE=∠ACB,所以DCA CBA △∽△．所以DA AC CA AB=． 即12060603DA =+． 解得，31)DA =．∴(60603)31)18060376BD =+-=-≈海里．（2）没有触礁的危险．作DF BC ⊥．因为∠CBD=45°所以BF=DF所以BF 2+DF 2=BD 2即DF 2+DF 2=762可求得38254DF =≈．∵5445>，∴没有触礁的危险．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．20、（1）证明见解析；（2）BE的长是15 4【分析】（1）连接OC，根据条件先证明OC∥AD，然后证出OC⊥CD即可；（2）先利用勾股定理求出AE的长，再根据条件证明△ECO∽△EDA，然后利用对应边成比例求出OC的长，再根据BE=AE﹣2OC计算即可．【详解】（1）连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线．（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得：22912+，∵OC∥AD，∴△ECO∽△EDA，∴OC EO AD AE=∴15915 OC OC-=解得：OC=458，∴BE=AE﹣2OC=15﹣2×458=154，答：BE的长是154．21、（1）点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．（2）855；45；25．（3）①当点C′在线段BC上时，S＝14t2；②当点C′在CB的延长线上，S=−1312t2＋853t−203；③当点E在x轴负半轴，S＝t2−45t＋1．【分析】（1）根据直线的解析式先找出点B的坐标，结合图象可知当t＝5时，点C′与点B重合，通过三角形的面积公式可求出CE的长度，结合勾股定理可得出OE的长度，由OC＝OE＋EC可得出OC的长度，即得出C点的坐标，再由勾股定理得出BC的长度，根据CD＝12BC，结合速度＝路程÷时间即可得出结论；（2）结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点，即可得知当“当t＝k时，点D与点B重合，当t＝m 时，点E和点O重合”，结合∠C的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面积公式即可得出n的值；（3）随着D点的运动，按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑：①通过解直角三角形以及三角形的面积公式即可得出此种情况下S关于t的函数关系式；②由重合部分的面积＝S△CDE−S△BC′F，通过解直角三角形得出两个三角形的各边长，结合三角形的面积公式即可得出结论；③通过边与边的关系以及解直角三角形找出BD和DF的值，结合三角形的面积公式即可得出结论．【详解】（1）令x＝0，则y＝2，即点B坐标为（0，2），∴OB＝2．当t＝5时，B和C′点重合，如图1所示，此时S＝12×12CE•OB＝54，∴CE＝52，∴BE＝52．∵OB＝2，∴OE ＝2253222⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴OC ＝OE ＋EC ＝32＋52＝4，BC ＝222425+=，CD ＝5， 5÷5＝1（单位长度/秒）， ∴点D 的运动速度为1单位长度/秒，点C 坐标为（4，0）．故答案为：1单位长度/秒；（4，0）；（2）根据图象可知：当t ＝k 时，点D 与点B 重合，此时k ＝1BC ＝25； 当t ＝m 时，点E 和点O 重合，如图2所示．sin ∠C ＝OB BC ＝225＝55，cos ∠C ＝425525OC BC ==， OD ＝OC •sin ∠C ＝4×55＝455，CD ＝OC •cos ∠C ＝4×255＝855． ∴m ＝1CD ＝855，n ＝12BD •OD ＝12×（25−855）×455＝45． 故答案为：855；45；25． （3）随着D 点的运动，按△DEC ′与△BOC 的重叠部分形状分三种情况考虑：①当点C ′在线段BC 上时，如图3所示．此时CD ＝t ，CC ′＝2t ，0＜CC ′≤BC ，∴0＜t ≤5．∵tan∠C＝12 OBOC=，∴DE＝CD•tan∠C＝12t，此时S＝12CD•DE＝14t2；②当点C′在CB的延长线上，点E在线段OC上时，如图4所示．此时CD＝t，BC′＝2t−25，DE＝CD•tan∠C＝12t，CE＝CDcos C∠＝52t，OE＝OC−CE＝4−52t，∵CC BCCE OC'⎧⎨≤⎩＞，即225542tt⎧⎪⎨≤⎪⎩＞，解得：5＜t≤855．由（1）可知tan∠OEF＝232＝43，∴OF＝OE•tan∠OEF＝162533-t，BF＝OB−OF＝251033t-，∴FM＝BF•cos∠C＝445 33t-．此时S＝12CD•DE−12BC′•FM＝−21385201233t t+-；③当点E在x轴负半轴，点D在线段BC上时，如图5所示．此时CD＝t，BD＝B C−CD＝，CEt，DF＝22BDBD ttan C==∠，∵CE OCCD BC⎧⎨≤⎩＞，即4t⎨⎪≤⎩＞，∴5＜t≤此时S＝12BD•DF＝12×2×＝＋1．综上，当点C′在线段BC上时，S＝14t2；当点C′在CB的延长线上，S=−1312t2203；当点E在x轴负半轴，S＝＋1．【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出BC、OC的长度；（2）根据图象能够了解当t＝m和t＝k时，点DE的位置；（3）分三种情况求出S关于t的函数关系式．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）需要画出图形，利用数形结合，通过解直角三角形以及三角形的面积公式找出S关于t的函数解析式．22、（1）y＝2x；（2）平行四边形OABC对角线的交点在函数y＝2x的图象上，见解析【分析】（1）根据平行四边形性质结合点的坐标特征先求得点C的坐标，继而求得答案；（2）根据平行四边形性质求得对角线交点的坐标，再判断.【详解】（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），∴CB＝OA＝3，又CB∥x轴，B（4，2），∴C（1，2），∵点C（1，2）在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上，∴k＝xy＝2，∴反比例的函数表达式y＝2x；（2）∵四边形OABC是平行四边形，∴对角线的交点即为线段OB的中点，∵O（0，0），B（4，2），∴对角线的交点为（2，1），∵2⨯1=2=k ，∴平行四边形OABC 对角线的交点在函数y ＝2x的图象上． 【点睛】 本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23、（1）见解析；（2）1【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC=∠ADC ，由已知得出∠ADC=∠AFB ，证出CD ∥BF ，得出AB ⊥BF ，即可得出结论；（2）设⊙O 的半径为r ，连接OD ．由垂径定理得出PD ＝PC ＝12CD OP=r-1在Rt △OPD 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解:（1）证明：∵弧AC ＝弧AC ，∴∠ABC ＝∠ADC ，∵∠AFB ＝∠ABC ，∴∠ADC ＝∠AFB ，∴CD ∥BF ，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∵AB 是圆的直径，∴直线BF 是⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为r ，连接OD ．如图所示：∵AB ⊥BF ，CD ＝∴PD ＝PC ＝12CD ∵BP ＝1，∴OP ＝r ﹣1在Rt △OPD 中，由勾股定理得：r 2 ＝（r ﹣1）2+2解得：r ＝1．即⊙O 的半径为1．【点睛】本题考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理和平行线的判定与性质等知识，解题的关键熟练掌握圆周角定理和垂径定理．24、详见解析.【分析】连接OD，由切线的性质可知∠ODE=90°，证OD∥AE即可解决问题；【详解】连接OD.DE是O的切线，OD DE∴⊥，90ODE∴∠=︒，OA OD=，OAD ODA∠=∠∴，AD平分BAC∠，CAD DAB∴∠=∠，CAB ADO∴∠=∠，//OD AE∴，180E ODE∴∠+∠=︒，90E∴∠=︒，DE AE∴⊥.【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25、（1）详见解析；（2）⊙O的半径为154．【分析】（1）证明EF是O的切线，可以连接OD，证明OD⊥EF；（2）要求O 的半径，即线段OD 的长，在证明△EOD ∽△EAF 的基础上，利用对应线段成比例可得OD AF ＝OE EA ，其中AF=6，AE 可利用勾股定理计算出来，OE 可用含半径的代数式表示出，这样不难计算出半径OD 的长．【详解】（1）证明：连接OD ．∵EF ⊥AF ，∴∠F ＝90°． ∵D 是BC 的中点，∴=BD CD ．∴∠EOD ＝∠DOC ＝12∠BOC ， ∵∠A ＝12∠BOC ，∴∠A ＝∠EOD ， ∴OD ∥AF ．∴∠EDO ＝∠F ＝90°．∴OD ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △AFE 中，∵AF ＝6，EF ＝8，∴22AE AF EF =+2268+10，设⊙O 半径为r ，∴EO ＝10﹣r ． ∵∠A ＝∠EOD ，∠E ＝∠E ，∴△EOD ∽△EAF ，∴OD AF ＝OE EA， ∴10610r r -=． ∴r ＝154，即⊙O 的半径为154． 【点睛】本题考查的知识点有切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题中添加过切点与圆心的辅助线是关键点，也是难点．26、 [问题发现]2:3；[拓展提高]:1:2CD BD =；[解决问题]5BP =或7BP =.【分析】[问题发现]由:1:2CD CB =，可知AD 是中线，则点P 是△ABC 的重心，即可得到:AP AD =2∶3；[拓展提高]过点E 作//EF AD 交CD 于点F ，则EF 是△ACD 的中位线，由平行线分线段成比例，得到23BP BD BE BF ==，通过变形，即可得到答案； [解决问题]根据题意，可分为两种情况进行讨论，①点D 在点C 的右边；②点D 在点C 的左边；分别画出图形，求出BP 的长度，即可得到答案.【详解】解：[问题发现]：∵:1:2CD CB =，∴点D 是BC 的中点， ∴AD 是△ABC 的中线，∵点E 是AC 的中点，则BE 是△ABC 的中线， ∴点P 是△ABC 的重心，∴:AP AD =2:3；故答案为：2:3.[拓展提高]：过点E 作//EF AD 交CD 于点F .E 是AC 的中点，F 是CD 的中点，∴EF 是△ACD 的中位线，12CF DF CD ∴==， //,EF AD//PD EF ∴，23BP BD BE BF ∴==， ∴()2233BD BF BD DF ==+， 1222BD DF CD CD ∴==⨯=， 即:1CD BD =.:1:2CD BD ∴=.[解决问题]：∵在Rt ABC 中， 90ACB ∠=，3,8CB AC ==，∵点E 是AC 的中点，∴118422CE AC ==⨯=， ∵CD=4，则点D 可能在点C 的右边和左边两种可能；①当点D 在点C 的右边时，如图：过点P 作PF ⊥CD 与点F ，∵ 90PFD ACB ∠=∠=︒， ADC PDF ∠=∠，∴△ACD ∽△PFD ，∴ DF PF DC AC =，即 48DF PF =， ∴ 2PF DF =，∵ 90PFD ACB ∠=∠=︒， EBC PBF ∠=∠，∴△ECB ∽△PBF ，∴ BC EC BF PF=， ∵ 431BF DF CD BC DF DF =+-=+-=+， ∴3412DF DF =+， 解得： 2DF =，∴ 213BF =+=， 224PF =⨯=，∴22 345BP =+=；②当点D 在点C 的左边时，如图：过点P 作PF ⊥CD 与点F ，与①同理，可证△ACD ∽△PFD ，△ECB ∽△PBF ，∴ 2PF DF =， BC EC BF PF=， ∵ 347BF BC CD DF DF DF =+-=+-=-， ∴34 72DF DF=-， 解得： 2.8DF =，∴ 2 2.8 5.6PF =⨯=， 7 2.8 4.2BF =-=，∴7BP ==；∴5BP =或7BP =.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，以及三角形的重心，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，以及勾股定理解三角形.注意运用分类讨论的思想进行解题.。
四川省成都市第七中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
成都七中初中学校2022-2023学年九年级上期末检测试题数学一、选择题1. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．因此，A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确；D、球体主视图与俯视图都是圆，错误．故选C．2. 下列函数中，是的反比例函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的定义作出判断即可．【详解】解：A、是正比例函数，故该选项不符合题意；B、，是反比例函数，故该选项符合题意；C、不是反比例函数，故此选项不符合题意；D、是一次函数，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，形如（k为常数，）的函数，叫反比例函数．3. 在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.5，由此可估计袋中红球的个数为（）A. 12个B. 10个C. 8个D. 6个【答案】B【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球个，由题意可得：，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，根据红球的频率得到相应的等量关系．4. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知，则△ABC与△DEF 的面积比是（）A. 9：4B. 5：2C. 5：3D. 3：2【答案】A【解析】【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴∵BO：OE＝3：2，∴∴（）2＝，即△ABC与△DEF的面积比是：9：4．故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】现根据菱形的性质得出AD=DC，再由∆ADC是等边三角形即可计算得出结果【详解】解：连接AC图1中，四边形ABCD是菱形∴AD=DC∵∠D=60°∴∆ADC是等边三角形∴AD=DC=AC=16cm∵图2为图1改变形状得到∴正方形的边长为16cm故选：C【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形具有不稳定性，灵活理解题意是关键6. 如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．【详解】解：，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．7. 大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（）A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm 【答案】A【解析】【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为x cm，则，解得：x=6，即蜡烛火焰的高度为6cm，故答案为：A．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．8. 如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y ＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（）A. ﹣3B. ﹣C. 3D.【答案】A【解析】【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，∵＝，∴＝，∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOB＝，∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，∵双曲线y＝在第二象限，∴k＝﹣2×＝﹣3，故选：A．点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键．二、填空题9. 已知关于x的方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为_______．【答案】##2.5【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m的值即可．【详解】解：∵关于x的方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，即9-4m=0，解得m=．故答案为．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 的关系是解答此题的关键．10. 若反比例函数的图象经过点A(-2，4)和点B(8，a)，则a的值为________．【答案】【解析】【分析】把点坐标代入解析式，然后求时函数值即可．【详解】把点坐标代入解析式得：，解得：反比例函数，在反比例函数上，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查求反比例函数解析式，和函数值，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．11. 如图，已知ABC∽AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝_____．【答案】【解析】【分析】根据相似三角形的性质，得，代入数据得出AN的长即可．【详解】解：∵△ABC∽△AMN，∴，∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，∴AM＝MC＝4，∴，解得AN＝，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等．12. 四边形的对角线相交于点，且，，则_______．【答案】1：2【解析】【分析】求出，判定四边形是矩形，求出是等边三角形，求出，即可得出答案．详解】解：∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：1：2．【点睛】本题考查了矩形的判定，等边三角形的性质和判定的应用，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键．13. 如图，分别以线段的两个端点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，．作直线，点为直线上一点，连接，，以为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于点，连接．若，则的度数为_____________．【答案】65°##65度【解析】【分析】根据作图可知是的中垂线，，则，根据等边对等角以及三角形的内角和定理、三角形的外角的性质求解即可．【详解】解：根据作图可知是的中垂线，，∴，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解题意是解题的关键．三、解答题14. 解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）先求出的值，再代入公式求出答案即可．【小问1详解】解：，方程整理得，分解因式得：，所以或，解得：，；【小问2详解】，∴，，，∴，∴，解得：，．【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．15. 已知关于x的一元二次方程有，两个实数根（1）若，求及m的值；（2）若，求m的值，并求，的值．【答案】（1），；（2），【解析】【分析】（1）直接把代入原方程中求出m的值，然后解一元二次方程即可；（2）根据，可得该方程有两个相等的实数根，即可利用一元二次方程根的判别式求出m的值，然后解一元二次方程即可．【详解】解：（1）把代入，得∴，∴此时该一元二次方程为，即，解得，，∴，．（2）∵，∴该方程有两个相等的实数根，∴，即，解得，此时该一元二次方程为，即解得．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．16. 如图，学校平房的窗外有一路灯AB，路灯光能通过窗户CD照到平房内EF处；经过测量得：窗户距地面高，窗户高度，，；求路灯AB 的高．【答案】路灯AB的高度为米【解析】【分析】连接DC，设：路灯AB高为x米，BO的长度为y米，由中心投影可知∽和ABF∽，然后利用相似三角形对应边成比例列出方程组求解即可．【详解】解:连接DC，设：路灯AB高为x米，BO的长度为y米，由中心投影可知∽，，∽，,，解得，答：路灯AB的高度为米故答案为: 路灯AB的高度为米.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的判定方法证明∽．17. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有_____人；（2）请补全条形统计图；（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．【答案】（1）60 （2）见解析（3）【解析】【分析】（1）用组的频数除以它的频率得到调查的总人数；（2）先计算出组的频数，然后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出选出的2人恰好一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：，所以接受问卷调查的学生共有60人；故答案为60；【小问2详解】“”组的人数为：（人，补全条形图如图所示：【小问3详解】画树状图为：由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，（选中一男一女）．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．18. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上（点在点右侧），过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，交于点，过点作轴交于点，连接．设点的横坐标为1，点的横坐标为．（1）求点的坐标及直线的表达式（直线表达式用含的式子表示）；（2）求证：四边形为矩形；（3）若，求的值．【答案】（1），的表达式为（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据反比例函数解析式以及点的横坐标为1，点的横坐标为，分别求得点的坐标，然后求得点的坐标，即可求得直线的表达式；（2）根据直线的解析式，求得点的坐标，进而证明，结合，即可证明是矩形；（3）根据题意可得，求得点的坐标，即可求得的值．【小问1详解】点，在反比例函数的图象上，点的横坐标为1，点的横坐标为，，，轴，轴，，轴，轴，，，设直线的表达式为，则，解得，直线的表达式为；【小问2详解】在上，点的横坐标为．轴，，轴，，，，，四边形为矩形；【小问3详解】四边形为矩形；解得或或（舍）点在点右侧，则，【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，矩形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，数形结合是解题的关键．四、填空题19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．【答案】31【解析】【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形即可求解．【详解】根据根与系数的关系得，，所以．故答案为：31．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．20. 有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则y＝mx+n不经过第三象限的概率为_____．【答案】【解析】【分析】根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与直线y＝mx+n不经过第三象限的的情况数，根据概率公式求解即可.【详解】列表得：m n-2-112 -2(-2，-2)(-2，-1)(-2，1)(-2，2)-1(-1，-2)(-1，-1)(-1，1)(-1，2)1(1，-2)(1，-1)(1，1)(1，2)2(2，-2)(2，-1)(2，1)(2，2)∴一共有16种等可能的结果，其中使得直线y＝mx+n不经过第三象限有(-2，1)、(-2，2)、(-1，1)、(-1，2)共4种情况，所以直线y＝mx+n不经过第三象限的概率为：，故答案为：.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概念，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.21. 如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点处，若，，则的长为______．【答案】15【解析】【分析】证明，求得，设，用表示、，由勾股定理列出方程即可求解．【详解】解：四边形是矩形，，，将矩形沿直线折叠，，，，，，，，，设，则，，，中，，，解得（舍去0根），，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程和证明相似三角形是本题的关键．22. 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为______________．【答案】【解析】【分析】设“加倍矩形”的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得到“加倍矩形”的长和宽，再利用勾股定理即可求出其对角线长．【详解】解：设“加倍矩形”的长为，则宽为，由题意得：，整理得：，解得，，当时，宽为，符合题意；当时，宽为，不符合题意；所以“加倍矩形”的长为，则宽为．，所以“加倍矩形”的对角线长为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，找准等量关系，列出一元二次方程和求出“加倍矩形”的长和宽是解题关键．23. 如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为______．【答案】【解析】【分析】先构造的直角三角形，求得的余弦和正切值；作，可求得；作，分别交直线于和，构造“一线三等角”，先求得的长，进而根据相似三角形求得，进而求得，于是得出，进一步求得结果．【详解】解：如图1，中，，，，设，则，，，，，如图2，作于，作，分别交直线于和，四边形是矩形，，在与中，，，，同理证得，则，四边形是平行四边形，设，则，，，，，，可得：，，，，，，，，，，，，，，，四边形的周长为：，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造特殊角的图形及其求的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造直角三角形求其三角函数值．五、解答题24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式．（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式；（2）根据利润等于单件商品利润乘以销售量，列一元二次方程，解方程即可求得答案．【小问1详解】依题意得：∴y与x的函数关系式为：；【小问2详解】设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元依题意得：整理得：即解得，∵每件盈利不少于25元∴解得：∴答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数解析式，解题的关键是根据题意列出方程．25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于，，．（1）求直线的解析式．（2）在直线上是否存在点，使的周长为？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接，将沿直线翻折得到．若点为直线上一动点，在平面内是否存在点，使待以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2），或，（3），或，或，或【解析】【分析】（1）先求出的解析式，再求的坐标，进而根据和的坐标得出；（2）作于，设，表示出和，列出方程求得；（3）分为，和三种情况，先求出坐标，再分别求出点坐标，进而求的坐标．【小问1详解】解：在中，，，，，，，解得，，当时，，，，，，，，，设的解析式是，，解得：，；【小问2详解】当在轴上方时，如图，作于，设，，，，，在中，由勾股定理得，，，，，，，；当在轴下方时，如图，设，由上知：，，，，，，，，综上所述：，或，；【小问3详解】如图2，连接，作于，，，是等边三角形，，，，，由上知：，，，，是的中点，，，当点与重合时，是等腰三角形，四边形是菱形，，，，，，，，如图3，当时，作于，，，，，，，，，，如图4，当时，作于，作于，，，，，，如图5，当时，，综上所述：，或，或，或．【点睛】本题考查了一次函数图象及其性质，解直角三角形，等腰三角形的分类等综合知识，解决问题的关键是正确分类，根据点的平移求点的坐标．26. 在菱形中，，，是射线上一点，连接，将沿折叠，得到．（1）如图，当点在左侧，且时，求的度数；（2）当时，求线段的长；（3）连接，当时，求线段的长．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）设交于点．利用三角形的外角的性质求出，再求出，可得结论；（2）如图2中，过点作于点．证明是等腰直角三角形，求出，，可得结论；（3）分两种情形：如图3中，连接，，过点作于，过点作于点，过点作于点，设交于点．解直角三角形求出，，再利用此时构建方程，求出即可．如图4中，当点在的延长线上时，同法可求．【小问1详解】解：如图1中，设交于点．由翻折的性质可知，，，，，；【小问2详解】如图2中，过点作于点．四边形是菱形，，，，由翻折的性质可知，，，，，在中，，，，；【小问3详解】如图3中，连接，，过点作于，过点作于点，过点作于点，设交于点．，，，，，，，，，设，，，，，，在中，则有，解得或（舍去），，，，设，则，，，，，，经检验，是分式方程的解，．如图4中，当点在延长线上时，同法可得，，，，设，则，，，，，，经检验，是分式方程的解，，综上所述，满足条件的值为或．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。