[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
探索篇誗方法展示在高中数学课标中，要求数学教师注重培养学生的数学思维能力，并把它作为重要的教学内容。
培养思维能力，既能提高学生的理解能力，又能提高学生分析解决问题的能力，还能提高教学效益。
“一题多解与一题多变”是培养高中学生的数学思维能力，特别是发散思维能力的好方法。
数学教师在讲解数学例题时，不仅要讲解题方法，最重要的是教给学生如何正确理解题意，抓住解题的关键，如何开拓解题思路，也就是培养学生的思维能力。
一、“一题多解与一题多变”的教学价值1.“一题多解”的教学价值“一题多解”就是从多个视角去分析思考数学问题，用多种方法途径去解答数学问题。
这种方法可以拓宽解题思路，增强数学知识之间的联系，培养学生学会运用多种方式多种方法解题和灵活多变的思考方式，而灵活的思维方式正是创新能力的基础。
教师在教学中，要运用“一题多解”的方式进行教学，就要培养学生在解答数学问题时善于从多角度观察感知和思考问题，运用多种方法推导验证问题，多方面寻找运用关联条件，不但要考虑条件本身，还要考虑条件之间的联系，用多种方式进行表述，只有这样才能培养学生数学思维的灵活性。
2.“一题多变”的教学价值“一题多变”是指在数学解题练习中，将原来数学题目中的一些已知条件进行变换，或者把要求解答的问题与题目一个或者几个条件变换后，再去求解问题的结果；也可能是给出问题的部分条件，让学生去补充另外一些条件；也可能是对数学问题的拓展，增加问题的难度或背景来训练学生的发散思维能力。
采用“多变”的方式进行教学，主要是对数学例题或习题进行多种变换，让学生从不同方面、不同情形、不同层次下对该数学问题进行重新求解或认识。
它是教学反思的一种方式，它要求学习者从出题人的视角去看问题，并对原来的数学问题有一个深刻的理解，才能做到“多变”。
“多变”解题能培养学生观察问题、归纳类比、概括抽象、运算能力、空间想象、构建与反思等多种数学思维能力。
二、“一题多解与一题多变”在培养数学思维能力上的应用1.培养开放性思维方式数学教学离不开数学解题，搞“题海战术”仅能得到“一对一”的解题方法和思路，不是科学的解题方法。
一题多解与一题多变在数学中的应用
一题多解与一题多变在数学中的应用摘要：数学这门学科在当代素质教育和学术教育统一的义务教育中占有重要地位，它是一门自由学科，但同时也是既复杂困难又富有逻辑的学科。
也许对大部分学生来说，数学这门学科是一道难题。
因此，数学学科的教育传授者在教学中如何传授这门学科的方法、方式，就显得尤为重要。
关键词：一题多解；一题多变；数学一、一题多解与一题多变在数学中的应用的重要性数学学习最重要的是逻辑性问题，并且经过对比分析，发散思维，一题多解与一题多变的方法的应用恰恰能达到这个目标和目的，他们能够不断提高学生们的逻辑思维能力，数学分析能力。
一题多解指的是面对一道数学题，因为有不同的角度进行思考，在脑海中搜寻不相同的解决方法，多种多样的思路，从而有多种多样的可用的解决方案，这样能够提高学生们的数学分析和解决能力。
在解决实际问题的过程中需要我们进一步掌握分析的方法，能用多种的方法思考问题，从中找到不同的解决策略。
下面我将用具体的习题，更好地解释一题多解。
一题多解案例分析例题：已知：f（某）=某3+a某2+（a-1）某+1，若在区间[1，4]单调递减，求a范围？方法一：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，f"（某）≤0解集为A，只需[1，4]是集合A的子集解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立某2+a某+（a-1）≤0（某+1）[某+（a-1）]≤01.当a<2时，f"（某）≤0解集为[-1，1-a]所以[1，4]是[-1，1-a]的子集4≤1-a解得a≤–32.当a≥2时，f"（某）≤0解集为[1-a，-1]不满足[1，4]是[1-a，-1]的子集所以解集是空集综上所述：a≤-3方法二：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，导函数y=f"（某）为开口向上的二次函数，只需f"（4）≤0，f"（1）≤0同时成立即可解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立由二次函数图像可知，只需即解得所以a≤–3一题多变例题例题：已知椭圆标准方程+=1，A（0，3），直线l：y=k某-3与椭圆相交于C，D两点，若|AC|=|AD|，求k的值？解题思路：直线与椭圆联立，消元，设C（某1，y1）D（某2，y2），韦达定理：因为|AC|=|AD|，取C，D中点M，则AM垂直CD，即KAMKCD=-1解：消y得：（9+25k2）某2-150k某=0，Δ>0设C（某1，y1）D（某2，y2），由韦达定理得：某1+某2=某1某2=0y1+y2=k（某1+某2）-6=k2-6=设M（某0，y0）为CD中点，则某0=（某1+某2）=，y0=（y1+y2）=因为|AC|=|AD|，所以AM垂直CD，即KAMKCD=-1k=-1整理得：=-，k2=，k=在一题多变的思维下，我们可以将|AC|=|AD|改成以下两种形式：1.以AC，AD为邻边做平行四边形为菱形2.（AC+AD）CD=0这两种已知虽然与原例题有很大区别，但通过转化最终都能转化为AM垂直CD，解题思路与过程非常相似，结果一样。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。
它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。
接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。
一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。
这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。
通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。
例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。
这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。
一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。
这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。
通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。
例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。
在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。
首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。
通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。
其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。
通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。
同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。
教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。
此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。
《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》
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八．指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
九．系意见
系主任签字：
年 月 日
十．学院毕业论文（设计）工作领导小组意见
负责人签字：
年 月 日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.
一题多解、一题多变与多题一法教学例谈
ｄ ｌ ． ｊ 仅， ｂ－Ｏ Ｂ， 为锐角 ，化为三角不等式 ＝ｓｌ ２ －Ｓ Ｃ 证 ）。这里不 一一 举例丫 ，如几何 的证明题 ．方程 的应用题，求函数的极值 ，排列与组合的应用题等： （ ） 二 一题多变 所谓 一题多变 ．是 指两方面 的情况 。一方面 是条件不变．还可以推出哪些结论 ，这些结论之间
≥（＋ ） 【 ）４ ２ 赤 （ 肺 ＝志 】 ２ ＋
≥２（ 一 ） ］ 【 ２ ： ＋４
证 ．运用 式 兰 ≥半 ） ： 法４（ 不等 芋 ｆ ｚ ）
令＝ ｛ ｙｈ 运 不 式 ｘ ＋ ，＝＋ ａ 古， 用 等
例１ ａ ， ＞，＋＝’ ． ＞ ｂ ａ１ 求证： ＋＋ ≥ ｉ Ｏ Ｏ ｌｌ ￣ （ （ 雩 ａ ｂ ＋
２ ） （ Ｊ ＋ ） 【 【 ＋ （ １ ，，
用 比如不等式的证明的教学可举 一个例子 ，把分 析法 、综合法 、反证法 ，运用重要的不等式直接证 的方法等 ，在这一 个题的各种证法中串讲 ，既能证 明这个 题 ，又能复习巩固证明不等式的基本知 识与 基本技能 ：
运 用ａ ＝ｌ 有 ＋ｂ 就
≥ （告 ｂ ） （ 专ａ ＋ 亡＝ １ ＋ ＋ ＋ ｛
≥ １４＝ ｛（ ） ＋
本例还有一些 别的证法 、 三角代换法 （ 如 令
ｆ ２ｂａ １ Ｉ０ ｌ ａ）２ ＋） 五ｂ ＞ 一 （ｂ 一
丑 ２ ａｌ一 ｌａｌ一４ ｈ Ｄ —４ ３’ ５ ａ ≥０ １ ２ １
教 学 研 究
●辽宁朝 阳广播电视大学 附属电视中专
刘继英
一
题多解＼一题多变与多题一法教学例谈
由于 ｔ － ． 面的推理 每一步都可逆 ．
・
浅谈一题多解与一题多变
周刊浅谈一题多解与一题多变许国能(浙江省天台平桥二中，浙江台州317203)摘要：数学是一门必修学科，它具有整体性、逻辑性和复杂性的特点，会使学生在学习过程中觉得有点吃力。
但是，高中 数学是高考中的一个重要组成部分，其分值也比较大，对学生的升学产生直接的影响。
所以，必须在高中数学教学中提升教学的有效性。
高中数学教师要根据学生的实际情况，及时地改变数学的教学方法，不断地探索新的、更加有效的教学模式，例如一题多解和一题多变的教学，这种教学方法不但可以巩固学生的基础知识，还能培养学生的思維和创新精神，提升学生的解题技能。
本篇文章主要从现阶段高中数学的教学情况开始分析，提出在高中数学学习中运用一题多解和一题多变的教学方法的建议和措施。
关键词：一题多解；一题多变；高中数学；教学方法一、 高中数学教学现状虽然新课改已经实行了许多年，但是高中数学教学受到传统教育理念和教学模式的影响还比较严重，使得学生在学习过程中依然要面对作业繁重的问题，需要承受高考所带来的压力。
究其原因，一方面由于受应试教育模式的影响，使 得学生必须参加高考，使得教师在高中数学的教学过程中为了提高学生的学习成绩，使其能在高考中取得高分，往往采用习题教学，让学生通过做大量的习题来巩固所学的知识，但是同样存在着巨大的弊端。
单调繁重的习题练习，会使得学生在这样的学习中造成思维的固化，还会对数学学习产生疲劳感，使得对数学的学习停留在表面，缺少深入的钻研。
另一方面，由于社会竞争的越来越激烈，使得教师和家长在无形中将这种压力传给孩子，使得学生在学习中往往更加在意分数的高低和排名的前后，而不是在每次的学习和考试中总结自己的学习情况：解题思路是否更加简答、快捷？知识的掌握是否全面和深入。
这些原因使得高中数学的教学更加机械化和表面化，为了追求分数，而忽略了对数学知识的整体把握，也忽视了对学生数学思维和学习能力的培养。
二、 高中数学学习中运用一题多解与一题多变的必要性(一） 激发学生的创新意识如果一题多解、一题多变在高中数学学习中能够得到灵活地运用，那么数学的教学就会更加地全面和深入。
例谈“一题多解”在高考数学复习中的作用共3页word资料
例谈“一题多解”在高考数学复习中的作用能力。
在高三数学复习过程中，教师感到内容多，负担重，有讲不完的题目，学生也经常对教师讲过的内容印象不够深刻，记不住。
要真正减轻学生的负担，必须从精讲精练开始。
每做一道题都要发挥这道题的最大作用，“一题多解”可以使解题收效更为明显。
解题后要认真总结，摸索规律，举一反三，通过这一教学模式，能对数学本质的了解、学习难点的突破、知识技能的巩固、思想方法的掌握、思维的拓展和迁移等教学目标的实现起到事半功倍的效果。
在我校高三年级的一次联考试卷中，一道数列题涉及对以下不等式的证明。
当k>7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有下面提供证明这道不等式的四种解法和简要分析。
证法一：∵k>7= + +……+ + > ×（n+1）+ ×n+……+ ×n= + + + + + > + + + + + = >证法分析：利用放缩法证明不等式，需要做到“放缩有度”。
本题若直接将每一项放小至，得到的结果则是不等式的左边大于 > ，放缩过度，不能达到证明的目的，所以采用了“分组放缩法”，同时证明过程中也需考虑尽量使得计算简便。
证法二：记S= + +…… +则S= + +…… +∴2S=（ + ）+（ + ）+……+（ + ）∴2S> ×（nk-n）= > > >3∴S> 即证。
证法分析：证法二的过程中利用了以下基本不等式：若x>0，y>0则有+ ≥ （当且仅当x=y时等号成立）。
同时，关注到左边不等式中第k项的分母与倒数第k项的分母之和均为nk+n-1，所以类比等差数列求和中采用的“倒序求和法”进行证明，方法巧妙，过程简洁。
证法三：先证明不等式+ + +…… > + ……（*）下面采用数学归纳法证明此不等式。
（1）当n=1时，左边=1+ + + + + + >1+ > +1，不等式成立。
开展“一题多解”,探究“一题多变”——一道解析几何题的破解
２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一题多解与一题多变
一题多解与一题多变一题多解：开拓学生解题思路，沉淀学生的严谨思维；一题多变：引导学生知识联系，培养学生的发散思维。
在高中数学教学中，对例题的讲解，要做到一题多解和一题多变。
也就是先要做到从不同的角度进行分析，用不同的方法来解决问题，这样能够开拓学生的解题思路，培养学生分析问题和解决问题的能力。
还要进行拓展廷伸，使学生掌握知识间的联系，培养学生的发散思维。
问题一：设AB 是抛物线px y 22=的弦，O 为原点，若OA ⊥OB ，则直线AB 恒过定点。
证明之。
分析：1、若过定点，则定点应在何处？——根据对称性，应可猜想到定点应在x 轴上。
2、怎样利用已知条件？ 主要是OA ⊥OB 的作用：①1-=⋅OB OAk k②设()()2211,,y x 、B y x A，则02121=+y y x x3、可从那些方面入手？ ①从设点的坐标入手由点A 、B 在抛物线上，可设点A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22， ②从设直线AB 的方程入手1）设直线AB 的方程为x=my+b 2）设直线AB 的方程为ax+by=1 ③从OA ⊥OB 入手 设OA 的斜率为k ，则OB 的斜率为k1- 方法一：设A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22，则OA 、OB 的 斜率分别为a p 2、bp 2，由OA ⊥OB 得：24p ab -=，又AB 的斜率为∶ba pk +=2，∴AB 方程为∶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-p a x b a p a y 222，即()p x b a py 22-+=， 显然AB 过定点（2p ，0）。
ABO方法二∶设直线AB 的方程为x=my+b ，（注意这样设直线方程有两大优点：①不必考虑斜率不存在，②代入消x 简便），代入抛物线的方程消x 得：0222=--pb mpy y又设A ()11,y x 、B ()22,y x ，则pb y y 221-=，又,2121px y =,2222px y = ∴()()222222121424b ppb py y x x =-==，由OA ⊥OB 得02121=+y y x x ，∴022=-pb b，∵b ≠0，∴b=2p ，即AB 的方程为x=my+2p ，显然AB 过定点（2p ，0）。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１０８数学学习与研究㊀２０１９ ２４一题多解多题一解在高中数学教学中的价值一题多解 与 多题一解 在高中数学教学中的价值Һ韩云凤㊀(云南省昌宁县第一中学ꎬ云南㊀保山㊀６７８１００)㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解 与 多题一解 是锻炼学生思维能力的重要途径.高中数学具有一定的抽象性ꎬ对学生的思维能力提出了更高的要求.所以ꎬ高中数学教师应当巧用以上两种方式ꎬ帮助学生灵活运用数学概念㊁数学公式以及数学性质ꎬ不断锤炼学生的思维能力和提升学生的思维水平ꎬ为了达到重建学生思维体系的目的ꎬ从而提高学生的数学学习效率.ʌ关键词ɔ高中数学ꎻ解题能力ꎻ价值意义数学教学的本质是不断锻炼学生的思维ꎬ不断帮助学生解决问题. 一题多解 与 多题一解 这两种解决问题的方法对提高学生的思维品质有重要影响.因此ꎬ在日常数学教学中ꎬ高中数学教师能结合实际教学内容ꎬ有针对性㊁计划性地利用这两种方式锤炼学生的思维水平ꎬ扩大学生解题视野和解决思路ꎬ不断提高学生解决问题的能力.一㊁ 一题多解 的含义概述一题多解的含义是指:在原有问题的基础上ꎬ引导学生从不同的角度和层次思考原题ꎬ拓展学生的问题解决视野.实现思维扩散式发展ꎬ以帮助学生寻找到多种解题途径.允许学生使用不同的方法和方法来分析数学问题ꎬ可以帮助学生加深对数学知识ꎬ定理和自然的理解ꎬ并灵活地应用它们.在一定程度上ꎬ它还提高了学生的思维能力和创新能力.在高中数学课堂上ꎬ应用 一问与多解 的求解方法要求学生从原问题的实际情况出发.对题意进行深入分析ꎬ尝试从多个角度入手解决问题ꎬ通过对比ꎬ最终筛选出最佳解题方案.学生解决 一问与多解 问题的习惯和能力ꎬ可以有效激活学生的思维能力.学生的思维活起来ꎬ也就避免了 钻牛角尖 思维定式 等问题的出现.例如ꎬ在教授 不平等 相关知识点时ꎬ可以使用 一问与多解 教学模式.首先ꎬ要求学生用比较法㊁分析法来解析ꎻ接着ꎬ要求学生从不同角度再次解决问题.此外ꎬ为了提升学生对数学知识的掌握熟练度ꎬ还可以指导学生利用换元法㊁向量法等方式来进行解题.如果问题得到解决ꎬ学生将接受 一个问题和多个解决方案 的培训ꎬ学生将从解决方法演变为各种解决问题的方法.学生也实现了对此类问题的融会贯通ꎬ学生的思维能力㊁解题能力也得到了有效地提升.又如ꎬ在解析 概率 相关例题时ꎬ可以有意识地引导学生从不同角度进行排列计算ꎬ从而让学生掌握多样化求概率的方法.不难看出ꎬ 一个问题和多个解决方案 问题的解决方案并不仅仅意味着数量从 一个 变为 多个 .其本质意义在于锻炼学生的思维能力ꎬ培养学生的创新思维ꎬ帮助学生实现思想的质变.二㊁ 多题一解 的含义概述多题一解 的含义是指:利用一种解题思路去解析不同的题目ꎬ虽然利用到的数学性质㊁数学公式可能不同ꎬ但是ꎬ解题过程和解题思维是相同的. 多题一解 要求学生能够拥有较为完整的知识体系ꎬ能够在日常解题过程中ꎬ不断归纳和总结相应的解题方式ꎬ从而提高学生自己的解题水平.在高中数学问题解决中运用 多问题ꎬ一解 教学模式ꎬ引导学生运用一种方法探索数学的内在规律和本质标志.通过掌握问题解决方法之间的联系ꎬ可以发现数学问题的共同特征ꎬ并总结和总结解决相同类型问题的常用方法.从而提高学生的解题效率.多题一解 教学模式能够使学生的思维更加缜密ꎬ强化了学生对相关概念㊁性质㊁定理的理解以及运用ꎬ这也在一定程度上打破了 题海战术 的弊端ꎬ起到了 做题精炼 的效果.例如ꎬ在教授 寻找功能价值 等数学时ꎬ可以引导学生通过 数字组合 来解决问题.以函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２的值为例ꎬ首先提醒学生绘制函数图像ꎬ让学生使用图像识别函数的形式.然后让学生把它变成找到斜率的问题(假设移动点Ｐ(ｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ)和固定点Ａ(２ꎬ０)ꎬ迅速计算出ＰＡ的斜率值ꎬ即[－ꎬ０])ꎻ又如ꎬ在教学三角函数求值相关问题时ꎬ也可以采用数形结合的方法进行解析.总之ꎬ数学教师应该经常向学生提出一些类似的问题ꎬ引导学生掌握 多问题ꎬ一个解决 的常见问题解决思路.这样学生可以继续反思和总结ꎬ学会推理ꎬ触摸类比ꎬ然后提高学生解决数学问题的能力.三ꎬ 多题一解 和 一题多解 的数学价值(一)帮助学生构建系统的知识体系无论是 一问多解 ꎬ还是 多问题一解 ꎬ其教学价值在于培养学生的思维能力ꎬ提高学生的思维品质.两者解题方式的顺利实施ꎬ离不开学生的主动思考.学生在利用两种方式解题的时候ꎬ也是学生温习旧知的重要途径ꎬ通过对旧概念㊁旧定义和旧公式的复习ꎬ学生可以更清楚地了解知识的相关性ꎬ并帮助学生建立系统的知识体系.自然也就提高了学生的学习效率.(二)帮助学生提高解题能力利用 一题多解 和 多题一解 两种方法解决问题ꎬ可以有效地消除 题海战术 引起的枯燥无聊的感觉.真正实现了量变向质变的有效过渡.学生解决问题的思维更加灵活多变ꎬ有效地避免了学生 深陷 的困境ꎻ学生解决问题的思路更加广泛ꎬ各种问题都清晰可见ꎬ有效地提高了学生解决问题的效率.(三)提升学生的创新思维通过这两种解题方式不断锤炼学生的思维品质ꎬ带领学生积极思考㊁温故知新ꎬ最大化地激发了学生的思维潜能.学生不仅能在有限时间内找到快速解题的方式ꎬ也在一定程度最大化激发了学生的潜能ꎬ提升了学生的创新能力ꎬ发展了学生的创新思维能力.以上只是作者的粗略见解ꎬ旨在抛出砖块吸引玉石ꎬ希望广大数学教育家批评和纠正.ʌ参考文献ɔ[１]朱如昌.例析一题多解㊀一题多变㊀多题一解[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２００５(１):４７－４９.[２]申祝平.一题多解㊁多题一解㊁一解多写与多解一写[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ１９９５(５):１３－１５.。
浅析一题多解与一题多变
｛ ＋ ｓ Ⅱ ２ ２ ｆ ￡ ０ ｊ ＋ ｌ２
ｔＩ ｔ≥０ ｔ ・２
或 △＜ ｊ ２— ＜口＜ ２ ｏ ２ ２＋
从而， 方程有根的实数 ｎ的取值范围为（一 。２— √ 。 ， ２ 习
方程可进一步转化为 ｎ＝一
：一
。 ＝
表示 点 ａ ｘｙ 与 （ 一１ 两点连线 的斜 率 （ ，） ２， ）
浅 析 一 题 多解 与 一题 多变
泰兴 市扬子 江高级 中学 袁 小武
【 摘 要】 随着素质教育的不断深入， 江苏省 ２ ４号文件的实施， 培养学生分析问题、 解决问题的能力显得越来越重要． 而能力
的提 高必须依 靠方 式方 法， 我们认为“ 一题 多解与一题 多变” 可以很好地培养 学生 的解题能力． 一题 多解是从 不同的角度 、 同的 不 方位去审视 分析 问题 ， 是一种发散 思维， 而一题 多变则是创造性思维的体现 ， 通过题设 的变化 、 结论的变化、 引申新 问题让 学生对 知识的理 解更深刻． 通过变发现 不变的 东西 ， 从而总结 出解决一类 问题的一种方法 ， 是凝 聚思维的一种体现．
① 方程有两个正根 ， 则必须 满足条 件 ｆ △＞ｕ
一
值围 范为
（ ： 孚） 答 】 案
３ ２
２ 已知 函数 ｆ（ 、 ）＝ｓ 在 闭 区间 ｉ ｎ
２
ｔ ２＞０
② 方程有一个正根一个负根 ， 则必须满足条件
ｔ ・ｔ ｌ ２＜Ｏ ８ ＜ 一 １
③ 方程有一个正根一个零根 ， 则必须满足条件
△ ０
【 变式训练】
１ 变 目标 函数分别为 ｚ Ｊ
大值． 说 明： 这类 问题 考查 目标 函数 的几何 意义 ： ｚ ＋ 表 示 ａ（ ， ） Ｂ ０，） 点 间 距 离 的平 方 ＝ ｘｙ 与 （ ０ 两
基于一道高考试题的“一题多解”和“一题多变”
基于一道高考试题的“一题多解”和“一题多变”作者：刘彦永来源：《求学·教学教研版》2018年第03期摘要：“一题多解”能快速整合所学知识，培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力.“一题多变”在形式上不同，但实质上相同.教学中的“一题多解”和“一题多变”旨在通过强化训练提高学生解题技巧与技能，做到举一反三、触类旁通，使学生的思维既可發散，又可回归，做到收放自如.本文通过对2013年高考课标Ⅰ卷16题的分析、解法探究和变式练习，浅谈试题“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.关键词：高考数学；一题多解；一题多变；解题能力众所周知，“一题多解”训练是克服学生思维定式的一种有效途径，也是培养学生发散思维和思维灵活性的有效方法.通过长期“一题多解”的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，并从多种解法的对比中选择最佳解法，总结解题规律，提高分析问题、解决问题的能力，增强思维的发散性和创造性.下面以一道高考试题为载体浅谈“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.2013年全国课标Ⅰ卷文科数学第16题，题目虽不新颖，但是内涵丰富、简洁明快，解法丰富多样，这类题型的练习对学生的发散性思维有一定的启发性，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos θ= .一、试题分析本题属于传统题，考查以三角函数的辅助角公式、导数和向量等为工具解决函数最大值问题；以三角函数为载体，考查数形结合思想、等价转化思想、函数方程及不等式思想.二、解法探究（一题多解）本题解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，考生较容易入手，同时也要求考生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.【解法1】（利用导数与极值、最值的关系将问题转化为方程组问题）f（x）=5sin（x-φ）的最大值为5，根据条件可知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，及sin θ-2cos θ=5，解得cos θ=-255.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，当两向量共线且同向时取得最大值，如图，易知cos θ=-255.（本法本质同柯西不等式）【解法3】（利用潜在条件将问题转化为方程组问题）函数f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-φ）的最大值为5，由条件得sin θ-2cos θ=5，sin2θ+cos2θ=1，利用代入消元法消去sin θ得（2cos θ+5）2+cos2θ=1，即5cos2θ+45cos θ+4=0，（5cos θ+2）2=0，解得cos θ=-255.【解法4】（利用辅助角公式巧妙解决问题）f（x）=sin x-2cos x=5sin x·15-cos x·25=5sin（x-φ），其中cos φ=15，sin φ=25.因为当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，所以θ-φ=π2+2kπ，k∈Z，即θ=φ+π2+2kπ，k∈Z.故cos θ=cosφ+π2=-sin φ=-25=-255.【解法5】（利用二阶导数将问题转化为函数的凹凸性问题）根据条件知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，结合sin2θ+cos2θ=1解得cos θ=±255.又函数取得最大值附近函数图象上凸（可通过图象上点的切线的斜率变化理解）[1]，即f″（θ）=-sin θ+2cos θ三、解后反思函数的极值和最值问题是高考的重点和难点问题，解决此类问题主要从几何角度和代数角度两大思路思考，常常采用数形结合、导数和重要公式等方法，具体问题还需要具体分析.①一般将问题转化为我们熟悉的最值问题，直接降低解答的难度，灵活应用所学知识解决（如解法1和2）.②最值问题的求解要求同学们在按部就班条件下还要具有胆大心细、敢想敢算的精神.（如解法3、4和5）.③一般地，设当x=θ时，函数f（x）=asin x+bcos x（ab≠0）取得最大（小）值，则可用上述方法求出sin θ和cos θ，进一步可求tan θ、sin θ±cos θ、s in 2θ、cos 2θ和tan 2θ等.我们在试题讲解过程中要渗透学生从多角度深刻剖析问题.只有让学生的思维在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，学生的思维才能在不断地展开中得到充分的训练和培养.四、变式练习（一题多变）为了加强学生对某一类问题的掌握，教师适当地对题目加以改编再练习，会起到强化解题思想方法的积极作用，能够让学生在亲身实践中寻求变通，悟出其中的来龙去脉，掌握科学的解题规律和法则.在实际教学过程中，我们应抓住这个有效时机让学生亲自去感受、体验、思考、动手做、总结和反思，使其体会到灵活地应用所学知识、思想和方法创造性地解决问题的美妙感觉，进而培养学习的兴趣，提高解题的信心.下面给出6个变式练习及其简要解答供大家参考.【变式题1】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos 2θ= .【变式题2】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则2θ是第象限角.【变式题3】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，则tan θ= .【变式题4】若x∈0，3π4，则函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为 .【变式题5】若x∈[0，m]时，函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为322，则正数m的值是 .【变式题6】如果函数f（x）=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=π8对称，那么a= .【变式题1】【解】根据高考题目解法可知cos θ=-255，故cos 2θ=2cos2θ-1=35.【变式题2】【解】根据高考题目解法知cos θ=-255，sin θ=55，故cos 2θ=2cos2θ-1=35，sin 2θ=2sin θcos θ=-45，故2θ是第四象限角.【变式题3】【解】下面只给出直接求导方法.当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，则tan θ=-12.【变式题4】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）根据条件知f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；當x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，f（x）max=f3π4=322.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，易知当x=3π4时数量积取得最大值，f（x）max=322.【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，则-π2【变式题5】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）根据条件知f3π4=322，f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；当x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，故m=3π4.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，又f3π4=322，易知当x=3π4时取得最大值，故m=3π4.【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，结合条件有-π2【变式题6】【解法1】根据条件知f（0）=fπ4，即a=1.检验：当a=1时，f（x）=2 sin2x+π4，则fπ8=2，因此f（x）的图象关于x=π8对称.故a=1满足题意.【解法2】f′（x）=2cos 2x-2asin 2x，由题意知f′π8=2cosπ4-2asinπ4=0，得a=cosπ4sinπ4=1.【解法3】利用辅助角公式f（x）=sin 2x+acos 2x=a2+1sin（2x+θ），其中a=tan θ.根据条件知fπ8=a2+1sinπ4+θ=±a2+1，故sinπ4+θ=±1.解得θ=π4+kπ，k∈Z，a=tanπ4+kπ=1.下面再给出两道不错的一题多解练习题供读者参考：2015年重庆高考文科数学14题：设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为 .2009年安徽高考理科数学14题：给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 .五、结束语“一题多解”和“一解多变”训练是提高数学解题能力的有效途径.学生通过“一题多解”，可以开阔思路、发散思维，学会多角度分析和解决问题；通过“一题多变”，能够加深思维深度，学会由表及里抓住事物的本质，找出事物间的内在联系.试题多种解法的探究仅仅是试题研究的一个开端.对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻.对试题本质的探源，使我们更深刻地认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.美国著名数学教育家波利亚说过[2]，掌握数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好的数学题目是关键.一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想和方法.本文中的试题素材平朴，但求解过程精彩纷呈，妙趣横生，真可谓是一道平中孕奇的好题.正如波利亚说“一个专心的认真备课教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生发展问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.参考文献[1]华东师范大学数学系. 数学分析第四版上册[M].北京：高等教育出版社， 2011.[2]余启西.以智慧启迪智慧学好数学[J].福建中学数学，2015（5）：15-17.。
数学变式的例子及解释
数学变式的例子及解释
数学变式的例子包括一题多变和一题多解。
一题多变：例如，题目给出正方形ABCD中，点P在边CD 上，并且tan∠PBC已知。
然后问题可能会变化为不同的形式，比如求PQ的长度，或者探索某些比值是否随点Q的运动而发生变化。
这种一题多变的方式可以帮助学生理解问题的本质，以及如何在不同的情境下应用相同的数学概念。
一题多解：有些数学问题可以用多种方法解决。
例如，某些几何问题可以通过不同的定理或者公式来解决。
这样的问题可以帮助学生理解数学中的多样性和灵活性，同时也可以培养他们的创新思维和问题解决能力。
解释：
数学变式主要用于教学和学习过程中，通过对问题的变化或者对解决方法的变化，来深化对数学概念、理论和方法的理解。
它可以帮助学生从不同的角度看待同一个问题，培养他们的发散思维和创新思维。
同时，数学变式也可以用于评估学生对知识点的掌握程度和应用能力。
浅析“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的运用
浅析“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的运用【摘要】在高中数学教学中,“一题多变”与“一题多解”是提高高中数学教学实效性的重要方多变”与“一题多解”的关系,论述"一题多变"与"一题多解"在高中数学教式，更是培养学生核心思维能力的有效途径。
本文将浅析高中数学教学中的“一题学中的重要意义,并探索“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的实践策略.【关键词】“一题多变”与“一题多解”一、一题多变一题多变在数学教育研究中具有突出地位,变式题的宗旨在于通过"变中发现不变"来学习抽象化和"以不变应万变"来学习公理化。
使得方法理解得以深化和广化。
一题多变可以很好地培养学生的思维与解题能力，起到巩固、深化、拓宽、综合应用的作用。
但在数学习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。
总之，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题。
采用一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入佳境，从而使学生开拓知识视野，增强获取知识的能力，发展创新思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。
解决问题的过程实际上就是寻求认识问题的正确途径，找到解决问题的要害，这是培养学生提高学习能力的根本所在，下面我我们用一个例题来看一题多变力争达到抛砖引玉的效果。
【思路引导】（1）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解.（2）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解（3）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解（4）等式两边分别除以得到新的数列的递推关系：，然后利用（1）的方法求解.1.等式两边同时取常用对数得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列求解.2.等式两边取倒数得到新的数列递推关系：，然后利用（1）的方法求解.当然这个题还可以根据学生的实际情况进行更多的变式，本文不在赘述。
浅谈一题多变、一题多解培养学生数学核心素养
浅谈一题多变、一题多解培养学生数学核心素养
作者：钟新冬
来源：《中学生理科应试》2016年第08期
“一题多变”的实质是题型的变式，检验学生对数学中的基本概念的掌握情况，同时培养学生在解决问题时以不变应万变，既让学生学会了解一系列问题，又培养学生解决问题的严谨性，使学生思维灵活，精力集中，学习的积极性和主动性得到最充分的发挥，培养学生求新、创新的品质.因此培养学生数学核心素养，在课堂教学中应注重例题的选择及例题的变式.。
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考引言在学习中，我们经常会遇到一些问题，这些问题有时候并不是只有一个答案或一个解决方法。
一题多问、一题多变、一题多解的思想，就是针对这种情况而提出的。
本文将介绍这种思想的具体含义，及其在学习中的运用和思考。
一题多问在学习过程中，我们在掌握问题的基本内容后，有时候会遇到一些疑点。
这时候我们可以通过反复询问问题、寻找答案来更深入地理解问题。
一题多问的思想，就是在问题的基础上反复提出问题，追究问题的本质和细节，获得更深入的理解。
例如，我们在学习物理学中的牛顿第一定律时，可以从以下几个方面去思考问题：•什么是牛顿第一定律？•牛顿第一定律的实验验证的是什么？•牛顿第一定律的本质是什么？•牛顿第一定律与运动无关，那么万有引力定律是否也是与运动相关？通过一题多问的思想，我们可以深入地理解一个问题的本质和意义，从而更好地掌握其知识。
一题多变一题多变指的是在学习中，同一个问题可以有不同的表述方法或角度，通过不同的表述方法或角度来理解问题。
这种思想能够帮助我们更好地理解问题，从而更好地掌握知识。
例如，在学习数学中的解方程时，我们可以从以下几种不同的角度来表述同一个问题：•消元法：将未知数移项并整理，得到最终的解；•因式分解法：将多项式转化为一元二次方程组的形式，然后通过因式分解法得到最终的解；•公式法：对于某些特定的方程，我们可以使用特定的公式来求解。
通过一题多变的思想，我们可以更全面地理解一个问题，并且可以寻找不同的解决方法，从而更好地掌握知识。
一题多解一题多解指的是一个问题可以有不同的解决方法或答案。
在学习中，我们常常会遇到一些问题，即使是同一个问题，也可能有多个解决方法或答案。
一题多解的思想，就是鼓励我们去尝试不同的解决方法或答案，从而更好地掌握知识。
例如，在学习编程时，解决一个问题可能有多种不同的方法，我们可以通过不同的方法比较优劣性质，例如：代码复杂度、效率等，找到最佳的解决方法。
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-最新文档
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多解”，就是尽可能用多种例外方法去解决同一道题，更严重的是可以培养学生的思考能力和创造能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求例外答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。
通过一题多解，引导学生就例外的角度、例外的观点审视分析同一题中的数量关系，用例外解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的熟练运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广漠思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的严重教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。
在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。
即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广漠性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度例外可得到多种例外的思路，广漠寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。
一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种多见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
一题多解与一题多变在高中数学学习中的运用
教学研究一题多解与一题多变在高中数学学习中的运用李 阔（吉林省四平市第一高级中学3年20班，吉林 四平 136000）【摘要】科学技术的日新月异，新课程标准的颁布，推进素质教育的进程。
培养自己分析问题、解决问题的能力日益重要，而能力的提高必须有好的方式方法，笔者认为“一题多解与一题多变”有助于培养自己的解题能力。
一题多解是从不同的角度、不同的方位去审视分析问题，是一种发散思维，而一题多变则是创造性思维的体现，通过题设的变化、结论的变化、引申新问题加深对知识的理解，使之记忆更深刻，思维更敏捷。
【关键词】科学技术；新课程标准；一题多解；一题多变一、关于高中学生学习数学的认识就所有的高中生来说，学好数学学科不是一件容易的事。
绝大多数同学对数学的感觉就是枯燥、乏味。
因为高考“指挥棒”的震慑力，虽然不感兴趣，也不得不学。
“如何才能学好数学”已经成为高中生最头疼的问题。
怎样回答这一问题便成了教师们的课题，很多人便单纯地以为要学好数学多做题就是了，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了。
铁杵磨成针，于是乎“题海战术”情不自禁走了出来，受到很多高中生的青睐。
熟话说：“熟能生巧”。
诚然，多做习题对高中生数学成绩的提高有着重要的影响，然而，长此以往，学习数学越来越枯燥无味，越来越厌烦，出现厌学、抄作业等现象也不足为奇了。
众所周知，数学题是做不完的，可以说无穷无尽。
笔者认为要学好数学，必须提高自身的数学思维、能力和学习数学的兴趣。
高考数学题“源于书本，又高于书本”，这是多年来高考试卷命题的原则，紧紧依靠书本上有限的例题和习题来提高自身的学习兴趣和能力。
在数学学习过程中，有效利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行解答，有助于培养自身思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性，这也是一条行之有效地途径。
同时，能力提高的过程，自身的成就感逐渐增强，在以后不断的变化和解决问题的不同经历中，学习兴趣油然而生。
浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用
２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用◉江苏东海高级中学㊀冯月华㊀㊀在高中数学教学中,一题多解与一题多变教学是常用的方法,以期通过多角度分析达到夯实基础,培养学生创新能力和探究能力,提高学生发现㊁提出㊁分析和解决问题能力的目的[１]．下面笔者以两道典型的三角函数题为例,谈谈对一题多解与一题多变教学的一些粗浅认识,供参考!１一题多解,培养思维的发散性例１㊀已知t a n(α２＋π４)＝－３,求１＋s i nα的值．本题主要考查二倍角公式㊁和角的正切公式㊁ １ 的灵活转化等知识点,解题方法不唯一．根据预设可以看出,学生对 １ 的转化比较熟悉,例如１＋s i n x＝s i n x２＋c o s x２,１－s i n x＝s i n x２－c o s x２．教师先让学生独立解题,然后与学生共同交流．师:谁来说一说,你是如何求解例１的?生１:因为t a n(α２＋π４)＝－３,根据两角和的正切公式,易求出t a nα２＝２,所以α２的终边在第一或第三象限．由同角三角函数的基本关系式,进一步可求出s i nα２＝２５５,c o sα２＝５５,或s i nα２＝－２５５,c o sα２＝－５５,则都有１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２＝３５５,所以１＋s i nα＝３５５．师:很好!生１从已学习过的知识出发,利用１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２解决了问题．我们知道三角函数形式是灵活多变的,还有没有其他的方法呢?生２:我在此基础上做了改进．由t a n(α２＋π４)＝－３,可以得到s i n(α２＋π４)＝ʃ３１０１０,所以可得s i nα２＋c o sα２＝２s i n(α２＋π４)＝３５５,即１＋s i nα＝３５５．师:很好!生２从问题出发,灵活运用有关三角恒等变换公式,将已知和问题建立了联系,真正体现了知识的活学活用．学生给出预设的两种解法后,教师准备开始其他问题的探究,但生３又提出了新思路．生３:可从已知条件出发,因为t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n(α＋π２)＝３４,所以t a nα＝－４３,则s i nα＝ʃ４５,解得１＋s i nα＝３５５或５５．我感觉自己的思路和过程没有问题,但是却和前面两位同学的结果不一致．生３给出的方法超出了教师的预设,教师一时不知如何回答．不过该方法是学生的真实想法,且具有一定的科学性和探究性,为此选择与学生共同探索,挖掘答案不一致的真正原因．师:生３的答案和之前两位同学的答案不一致,是前面两位同学的结果不够完善,还是生３的结果存在增根呢?这个确实是一个非常有价值的问题．问题到底出现在哪里呢?生４:我感觉生３的解题思路和计算过程没有问题,已知条件仅给出了t a n(α２＋π４)＝－３,没有给出α的范围,所以很难确定α的终边在哪一个象限．师:条件中确实没有给出α的范围,那么α的范围真的没有办法确定吗生５:可以将t a n(α２＋π４)与特殊角的三角函数比较,逐步缩小角的范围．由t a n(α２＋π４)＝－３＜－３,得kπ－π２＜α２＋π４＜kπ－π３,所以２kπ－３π２＜α＜２kπ－７π６(kɪZ),由此可知,α在第二象限．师:分析得非常有道理!那么是什么原因使生３解题时出现了增根呢９５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀生６:问题应该出现在 由t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n (α＋π２)＝３４这一步的变换上,变换时扩大了α的范围,从而出现了增根．对于同一题,思考的角度不同,其解决方法也会有所不同,不过最终的结果是一致的．在日常教学中,教师应鼓励学生尝试从不同角度探索解决问题的方法,这样可以有效激活学生的原认知,提高分析和解决问题的能力．２一题多变,培养思维的灵活性例２㊀已知α是三角形的内角,且s i n α＋c o s α＝１５,求t a n α的值．例２考查同角三角函数基本关系式及其应用,难度不大,教师先让学生独立求解,然后师生互动交流．师:对于例２,大家是怎么想的?生１:我是用方程的思想方法求解的,由s i n α＋c o s α＝１５和s i n ２α＋c o s ２α＝１,解得s i n α＝－３５,c o s α＝４５,或s i n α＝４５,c o s α＝－３５．又α是三角形的内角,所以s i n α＝４５,c o s α＝－３５．所以t a n α＝－４３．师:非常好!根据同角三角函数的基本关系式,运用方程的思想方法顺利解决了问题．对于该题,大家还有其他解题思路吗生２:由(s i n α＋c o s α)２＝１＋２s i n αc o s α＝１２５,得２s i n αc o s α＝－２４２５＜０．又α是三角形的内角,所以α为钝角,则s i n α＞０,c o s α＜０．又(s i n α－c o s α)２＝４９２５,所以s i n α－c o s α＝７５,将其与s i n α＋c o s α＝１５联立,求得s i n α＝４５,c o s α＝－３５,所以t a n α＝－４３．师:很好!根据角的范围判断三角函数的符号往往是解三角函数问题的关键,解题时切勿忘记．学生顺利完成例２的解答后,教师给出如下变式问题:变式㊀若t a n θ＝２,求s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θ．此变式同样考查 s i n ２θ＋c o s ２θ＝１的灵活运用,将原式变为s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θs i n ２θ＋c o s ２θ,将此式的分子分母同时除以c o s ２θ,转化为关于t a n θ的式子,进而将已知条件代入即可求得答案．例２及变式求解后,教师引导学生对以上解题方法进行归纳总结,从而提高学生解决一类问题的能力．在此基础上,教师继续提出新问题:(１)变式的条件还可以做怎样的变形?如果将t a n θ＝２变为t a nθ２＝２或３s i n θ＋c o s θ＝０或s i n (３π＋θ)＝２s i n (３π２＋θ),该如何求解?(２)变式的问题还可以做哪些变形?如果是２s i n θ－c o s θs i n θ＋２c o s θ,１c o s ２θ＋２s i n ２θ,s i n ２θ－c o s ２θ１＋c o s ２θ,又该如何求解?通过以上变式,引导学生体会该类题型考查的核心内容是s i n ２θ＋c o s ２θ＝１,t a n θ＝s i n θc o s θ与 １的灵活应用,题目虽然形式不同,但是所用的知识㊁思路与方法基本相同．这样通过一题多变既能加深对相关知识㊁方法的理解,又能增强学生解题信心,提高学生解决问题的能力．数学题目千变万化,更换一个条件或结论就会成为一道新题．为了帮助学生跳出 题海 ,教学中应注重对一些典型例题进行变式教学,这样既能加深相关知识的理解,又能激发学生的探究欲望,提高学生的思维能力和学习能力,从而让学生逐渐爱上数学学习[２]．３结束语在实际教学中,教师要通过一题多解与一题多变为学生提供更多的自主探究空间,以此帮助学生加深对所学知识的理解,培养良好的学习习惯和独立的个性．学生是课堂的主体．教学过程中,教师要尊重学生㊁相信学生,提供时间和空间让学生主动参与课堂,切实提高教学有效性和学生数学能力．在实际教学中,教师既要进行充分的预设,又要及时捕捉精彩的课堂生成,以平等对话的态度了解学生的真实想法,共同研究解决问题的策略,激发学生参与课堂的积极性,促成深度学习．总之,在解题教学中,教师切勿越俎代庖,应该充分发挥学生的主体价值,通过一题多解㊁一题多变教学提炼解题规律和解题方法,培养学生的创新㊁探究能力,提升教学有效性．参考文献:[１]郭靖．基于核心素养的引导探究教学模式的探索与实践 高中新教材不等式性质的教学案例[J ]．中文科技期刊数据库(全文版)教育科学,２０２１(６):１６８Ｇ１７０．[２]陈光建,郑日锋．一花一世界一题一天地 一节高考二轮复习的教学设计及反思[J ]．中小学数学(高中版)２０１３(４):２０Ｇ２２．Z０６。
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[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
杨水长
摘要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化～融会贯通～而且可以开阔思路～培养学生的发散思维和创新思维能力～从而达到提高学生的学习兴趣～学好数学的效果。
关键词:一题多变一题多解创新思维数学效果
很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不4好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬5cosα= 着头皮学.如何才能学好数学,俗话说“熟能生巧”，很
多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以32使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得1,,cos5sinα== 数学越来越枯燥。
而在第三象限时: 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学4习兴趣和数学思维能力。
根据高考数学“源于课本，
高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可5cosa=- 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取3一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生
数学学习兴趣和思维能力的有效途径。
下面举例说5sina=- 明: 分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式，3解此题更妙:
,3sin4例题: 已知tanα= ,求sinα,cosα的值 4cos,分析:因为题中有
sinα、cosα、tanα，考虑他们法三tanα= = 之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式sin,,cos和方程解此题:
43,3sin?=
sin,,cos4cos,法一根据同角三角函数关系式tanα= = ，43且sina2α +
cos2α =1。
?= = ?
16422,,，sincos525两式联立，得出:cos2α=,cosα= 或者22，43334
34555cosα= - ;而sinα=或者sinα=- 。
55分析:上面解方程组较难且繁
琐，充分利用用同?sinα=，cosα= 角三角函数关系式“1”的代换，不解方程
组，直接34求解就简洁些:
55或sinα=-，cosα=-3 分析: 上面从代数法角度解此题，如果单独考4法
二tanα=:α在第一、三象限虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。
初
中时，在第一象限时: 三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以
cos2α = 尝试几何法来解之: 2,13cos1622245，,1，,法四当α为锐角时，由于tana=,在直角?sincos25tan== ABC中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，
c=5x
ACBC344x,,5ABAB5sinA= = ,cosA= = 5 ,334y,555,?sinα= ，cosα= ，或
两式联立，得出:344x,,55,或sinα= -，cosα= - 5 分析 :用初中三角函数定义
解此题，更应该尝,3试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更y,,5,广: . 法五当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，443335555T点坐标是P(-, -)
P(, ) 4设α=?AOT，因为tanα= ，则T点坐标是T(1, 342
553,,?sinα= ，cosα= 1，35,,344,,44 ),由勾股定理得:OT== 55 或sinα= -，cosα= - OMOPMP
分析: 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容ATOAOT??OMP??0AT?== ，易
想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题: 4433,3sin
5555OM=, MP =, p(, ),4cos, 解法七tanα= = 4sina-3cosa=0
由三角函数辅助角公式得，
34
555sin(a+φ)= 0,其中，sinφ= , cosφ= ?a+φ=kπ ，k?Z
sina=sin(kπ -φ)=sinφ α在第一、三象限
34
55?容易求出sinα= ，cosα= 344355或sinα=-，cosα= - 55?sinα= ，cosα=
分析: 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍34角公式是否能解决此问题: 55或sinα=-，cosα= - 解法八，由二倍角公式，得，分析: 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定,可以尝试用解析几何法来解此题:2tan 2 解法六，如上图，易求出直线OT的方程和单位32,圆的方程,1tan342tanα==
4,,y= x;x2+y2=1
223tan2 +8tan-3=0
,,1
322?tan= -3,或tan=
,,2sincos
22,,,,22，sincos2222cos==2sinα=2sin,2tan2
,21，tan2 34
55?sinα= ，cosα=
34
55或sinα= -，cosα= -判别式此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问
题，这里就不再赘述。
下面展示本题的变式与推广: 变式1: 已知tanα=-3，求sinαcosα的值变式2:已知tanα=m，求sinα，cosα的值变式3 :已知sinα=m，求cosα，tanα的值。