函数f(x)g(x)最小正周期的求法解读
求函数的最小正周期
求函数的最小正周期
最小正周期是指一个函数的最小非负实数n,使得对于任意实数x，函数f(x+n)=f(x)。
在数学领域，最小正周期是用来表示一个周期函数的特定性质，比如sine函数和cosine函数。
这意味着，任何一个正数在该函数上都有相同的值，并且该函数具有特定的周期性特征。
一般情况下，计算最小正周期涉及到对函数的求导，首先对函数求一阶导数，此时有f′(x)=f(x+n)−f(x)。
然后将原函数和一阶导数求值的结果作为一个新的函数G(x)，G(x)=f(x+n)−f(x)。
接下来设置G(x)=0，然后解方程，从而求出n的值，即最小正周期。
此外，根据函数的类型，也能比较容易地解出最小正周期的值。
例如，sine和cosine函数的最小正周期均为2π，正弦函数的最小正周期为4π。
最小正周期可以帮助我们更好地理解函数中的循环变化。
它不仅有助于理解函数，而且几乎可以应用于所有函数，因此最小正周期在数学和物理方面都具有重要的作用。
利用数形结合解决关于min{f(x),g(x)}, max{f(x),g(x)}的问题
利用数形结合解决关于min{f(x),g(x)),max{f(x),g(x)}的问题解决分段函数的方法通常是两种：分类讨论和数形结合。
min{f(xXg(x)),max(f(x),g(x))是一类特殊的分段函数：min{f(x),g(x)}指在定义域范围内取两个函数中较小的函数，max{f(x),g(x))指在定义域范围内取两个函数中较大的函数。
一般的分段函数通常是对定义域进行分段，min{f(x),g(x)),max{f(x),g(x)}是对值域进行分段。
如，对α,b∈R,记max{a,b}="-，函数/(x)=max{x+l,2x}以下用两种方法来获h,a<b得函数/的解析式1 .分类讨论法当x+l≥2x时，即x≤l时，f(x)=x+l当x+l<2x时，即x>l时，f(x)=2x2 .数形结合法分别作出y=x+l,及y=2x的函数图像(图1)图2根据题意比较两个函数图像的位置关系，由y的值“上大下小”可得y=f(x)的函数图像如右图所示的实线部分(图2)。
由函数图像知，只要求出两函数图像的交点坐标A就可以得到函数y=f(x)的解析式为[x+l,x≤12x,x<1/(x)=< ,同理可得min{x+l,2x}二4 。
[2x,x>l [x+l,x›l对于较为简单的两个函数用分类讨论的方法也很方便，但是如果min{f(x),g(x)},max{f(x),g(x)}中的f(x),g(x)比较复杂时，分类讨论就会显得费时费力，还会有分类不完全的担忧。
例(2006年浙江)对α,b∈R,记max{a,b}=,，函数f(x)=max{∣x+1∣,∣x-2∣)(x∈R)b,a<b的最小值是()2图3方法总结:解min{f(x),g(x)},max{f(x),g(x)}的问题分两步走：第一步，画图像；第二步,求交点坐标。
变式.对α,记max{a, 函数/。
)=0^乂{次+1],|1一帆|}(%€氏)的3最小值是不，则实数m的值是( )2A.2B.-4C.3D.2或・43 解析：对m的值进行分类讨论：(1)当m>-l时，如图4(2)m<-l时如图5;由最小值是2,可得mw ・l观察图4和图5可知，f(X)的最小值在函数y=∣x+l∣与函数y=∣x-叫的交点处取得。
高三复习-最小正周期的公式
最小正周期的公式
y=Asin(ωx+ψ)或y=Acos(ωx+ψd)的最小正周期用公式计算：T=2πshu/ω。
y=Atan(ωx+ψ)或y=cot(ωx+ψ)的最小正周期用公式计算：T=π/ω。
如何求函数的最小正周期对于y=Asin(ωx+ψ)+B，(A≠0，ω＞0)其最小正周期为：T=2π/ω。
函数的最小正周期，一般在高中遇到的都是特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a.还有那就是三角函数y=A sin(wx+b)+t，他的最小正周期就是T=2帕/w。
最小正周期的公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω| ，正余切函数T=π/|ω|。
函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω
0）的最小正周期都是；函数f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω
0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例：求函数y=cotx－tanx的最小正周期.
解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2·x)/tanx=2*(1－
tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x
∴T=π/2
函数为两个三角函数相加，若角频率之比为有理数，则函数有最小正周期。
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法求三角函数最小正周期的五种方法一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期。
例1. 求函数（m≠0）的最小正周期。
解：因为所以函数（m≠0）的最小正周期例2. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1. 或的最小正周期。
2. 的最小正周期。
3. 的最小正周期。
4. 的最小正周期例3. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例4. 求函数的最小正周期。
解：因为，所以函数的最小正周期为。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型，再用公式法求解。
例5. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例6. 求函数的最小正周期。
解：因为其中，所以函数的最小正周期为。
四、最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。
注：1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
例7. 求函数的最小正周期。
解：因为csc4x的最小正周期，的最小正周期，由于和的最小公倍数是。
所以函数的最小正周期为。
例8. 求函数的最小正周期。
解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小公倍数是，所以函数的最小正周期为T＝。
例9. 求函数的最小正周期。
解：因为sinx的最小正周期，的最小正周期，sin4x的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。
所以函数的最小正周期为T ＝。
五、图像法利用函数图像直接求出函数的周期。
例10. 求函数的最小正周期。
解：函数的图像为图1。
图1由图1可知：函数的最小正周期为。
周期函数及其最小正周期
证明 设 T 1, T 2 为函数 f ( x ) 的两个周期, 它
们不可公度. 不妨设 T 1> T 2 > 0, 取 t 1= T 1, t 2 = T 2, 更设
t 1= t 2 q1+ t 3 ( q1 为整数, 0 t 3< t 2) ,
显然 t 3 0, 并且 t 2, t 3 不可公度( 否则, t 1, t 2 可公
于是周期函数的充要条件为x1sinx1xbsinx2为非零常数x1x2sinx1最小正周期为mpsinx2x的最小正周期为npm1n1这时x12pmp2pnpx1x2n1m1的最小正周期为n1x12pmn1复合函数的非周期性这个问题是由研究sin是不恒等于常数的周期函数而且至少在一个点连续函数的一个一一映射这里的中的任何一个或两个都可为v0则复合函数必不是周期函数
关键词: 周期; 最小正周期; 公度; 连续
中图分类号: O171
文献标识码: A
本文分为三部分: 第一部分研究周期函数及其 最小正周期的一般理论; 第二部分探求两个周期函 数之和的最小正周期; 第三部分讨论有关复合函数 的非周期性问题.
为行文方便, 本文中所说的周期函数都是定义 在全体实数范围内, 但各结果不难推广到定义域不 是全体实数的情形.
第 25 卷 第 1 期
侯文超: 周期函数及其最小正周期
69
的 m = 8, n = 12, d = 4, 于是 T 0 =
dD =
4 3
f ( x ) 的正周期.
也是
由本例可以看出, 定理 1 中的 T 0= dD 不一定
是期. 例如, 设 A = { m + n 2| m , n 皆为整
f
(
x
记函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期
记函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期所谓的函数的最小正周期，一般在高中时期的话遇到的都是那种特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a。
还有是三角函数y=Asin(wx+b)+t，最小正周期就是T=2帕/w。
公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω| ，正余切函数T=π/|ω|。
函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是；函数f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例3、求函数y=cotx－tanx的最小正周期.解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2· x)/tanx=2*(1－tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x∴T=π/2该函数是两个三角函数的相加。
如果角频率的比值是有理数，则该函数具有最小正周期。
最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数。
求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。
例4、求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.例5、求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1=10π.∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.注:几个分数的最小公倍数，我们同意每个分数的分子的最小公倍数是分子，每个分母的最大公倍数是分母的分数。
求三类三角函数最小正周期的技巧
y
=
cot
ωx
的周期公式为
T
=
|
π ω
|
，三角函数
y
=
A
cot(ωx
+φ) + h、y = A tan(ωx + φ) + h 是 在 三 角 函 数 y = tan ωx、 y = cot ωx 的 基 础 上 平 移 所 得 ，所 以 在 求 y = A cot(ωx +φ) + h、y = A tan(ωx + φ) + h 的最小正周期时，要首先
方法集锦
求三类三角函数最小正周期的技巧
钟华生
三角函数具有周期性，若在三角函数 y = f (x) 中存
在一个非零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个 值时，都有 f (x + T) = f (x) ，则该三角函数 y = f (x) 为周
期函数，且非零常数 T 为该三角函数的最小正周期.一
般在讨论三角函数的周期性时，我们主要讨论其最小
nπ m
|||,
T
=
|
π ω
|
=
|||
-
π nπ m
|||
=
|||
m n
|||,
所
以函数
y
=
cot(3
-
nπ m
x)
的最小
正周
期为
T
=
|| |
m n
|| |
.
三、y = sina x + cosbx（a,b ≥ 2）类
由于 y = sina x + cosbx（a、b ≥ 2）类三角函数的幂
指数较高，所以在求其最小正周期时，要注意结合三
高考数学第2章函数、导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性创高三全册数学
12/8/2021
第十九页，共七十四页。
解析 答案
4．设函数 f(x)＝cosπ2－xπ2＋x＋e2x＋e2的最大值为 M，最小值为 N，则(M
＋N－1)2020 的值为( )
A．1
B．2
C．22020
D．32020
解析 由已知 x∈R，f(x)＝cosπ2－xπ2＋x＋e2x＋e2＝sinπx＋xx2＋2＋ee22＋2ex＝
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1
PART ONE
基础知识过关(guò〃guān)
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1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 偶函数 任意一个x，都有 01 f(－x)＝f(x) ，那 关于 02 y轴对称
么函数f(x)就叫做偶函数
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用 第3讲 函数(hánshù)的奇偶性与周期性
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第一页，共七十四页。
[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点) 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单 函数的周期性．(重点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性 是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数 奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利 用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.
3．(2019·衡水模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若 x＞0 时，f(x)
＝xln x，则 x＜0 时，f(x)＝( )
A．xln x
B．xln (－x)
周期函数最小正周期存在性及其应用论文
中学代数研究期末论文周期函数最小正周期存在性及其应用学生姓名：陈益梅学号： 105012011053学院：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级： 2011班级：双师一班指导老师：潘飚周期函数最小正周期存在性及其应用陈益梅（2011级双师一班）摘要：对周期函数的最小正周期存在的条件及性质进行了探讨，也给出了说明结果的一些例子，并总结了些求最小正周期的方法。
关键词：周期函数；最小正周期；狄利克雷函数；最小正周期的求法一、引言我们都知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期，如sinx，cosx，tanx 等。
但也有些周期函数并无最小正周期，例如常值函数、狄利克雷函数等。
那么，什么样的周期函数一定存在最小正周期？二、基本概念定义：若函数f(x)为M上的周期函数，T称为函数f(x)的一个周期，如果在所有周期中存在一个最小正数T’，那么T’叫做f(x)的最小正周期或基本周期。
三、最小正周期存在的条件定理1定义域上的非常值的连续周期函数一定有最小正周期。
(反证法)假定f(x)为连续周期函数，若f(x)不存在最小正周期，则f(x)为常数函数。
记u=imfS,若u属于周期集合S,则与假设相反。
若u S∉,则存在Tn S∈,使得limn Tn u→∞=,所以f(x+u)=f(x+limnTn→∞).又f(x)连续，所以f(x+limn Tn→∞)=f(limn→∞(x+Tn))=f(x) = f(x+u).综上所述，u=0。
对定义域上任意的x1,x2，f(x)在x2处连续，即∀a>0,σ∃>0,使得当|x-x2|<σ时，有|f(x)-f(x2)|<a.取函数f小于σ的一个周期r,当n=[21x xr-]时，|x1+nr-x2|<σ,此时有|f(x1)-f(x2)|=|f(x1+nr)-f(x2)|<a.即对定义域上任意的x1,x2，有|f(x1)-f(x2)|<a,由此可知f(x)为常数函数。
函数最小正周期的公式及方法
函数最小正周期的公式及方法
或报告
周期函数的最小正周期是指某一周期函数在其正周期中所能具有最短时间跨度的周期。
其计算公式为T=2π√a/b，其中a,b分别表示了此周期函数的平方项和一次项系数。
具体来说，周期函数的最小正周期是在一条特定函数定义域中，唯一存在一个最小正周期时间跨度的周期。
最小正周期由一个称为“频率分量”的量来决定，这个量即我们上述计算公式所表达的：T=2π√a/b。
平凡而言，最小正周期可以理解为在正周期中对函数运行而言，极短时间内能够从一个取值重新到达另一个取值的时间跨度。
换句话说，最小正周期反映了此周期函数在正周期内能达到的极大频率。
因此，可以认为最小正周期是根据下述几个步骤来计算的：
（1）首先，要对周期函数求解其函数式方程，以确定其一次项和二次项的相应系数a,b。
（2）接着，要通过上述的T=2π√a/b的计算公式来确定此函数的最小正周期T。
（3）最后，在计算完成后，要做统计处理，使最小正周期能够以具体数值来显示。
本文简略介绍了一般周期函数的最小正周期的计算。
对于它的具体计算，必须要依靠具体的矩阵分析运算，以此加以求解。
只有掌握其具体的计算步骤，才能够使准确求解周期函数的最小正周期。
函数f(x)g(x)最小正周期的求法.
函数f (x )±ｇ(x )最小正周期的求法若f (x )和ｇ(x )是三角函数，求f (x )±ｇ(x )的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：一、定义法例1求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜ ＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2(π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π. 二、公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T ＝||2ωπ，正余切函数T ＝||ωπ． 例2求函数y ＝cot x －tan x 的最小正周期.解：y ＝x x x x tan tan 1tan tan 12-=-＝2·x xx 2cot 2tan 2tan 12=- ∴T ＝2π 三、最小公倍数法设f (x )与ｇ(x )是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x )±ｇ(x )的最小正周期T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分母的最大公约数分子的最小公倍数2121,,T T T T 例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期.解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则52,3221ππ==T T ，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期T ＝2π／1＝2π.例4求y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期.解：∵sin3x 与tan 52x 的最小正周期是32π与25π，其最小公倍数是110π＝10π. ∴y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期是10π. 四、图象法例5求y ＝｜sin x ｜的最小正周期.解：由y ＝｜sin x ｜的图象：可知y ＝｜sin x ｜的周期T ＝π.。
周期函数的最小正周期-
中学代数研究期末论文周期函数最小正周期存在性及其应用摘要本文研究了周期函数最小正周期的若干问题. 对周期函数的最小正周期存在的充要和充分条件进行了探讨，也给出了说明结果的一些例子，并总结了些求最小正周期的方法，最后简要分析了高中生对最小正周期的认识。
全文分为五部份: 第一部分是关于最小正周期的一般理论, 得到了周期函数有最小正周期的充要条件和充分条件,; 第二部分讨论了周期函数的应用。
如两个周期函数之和的最小正周期的问题, 和复合函数最小正周期问题; 第三部分讨论了如何求最小正周期，其中三角函数最小正周期求法是我们所最常见的；第四部分讨论了高中对最小正周期的认识，发现其中问题，并给予了些意见。
关键词：周期函数最小正周期三角函数最小正周期的求法引言我们都知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期，如sinx，cosx，tanx 等。
但也有些周期函数并无最小正周期，例如常值函数、狄利克雷函数等。
那么，什么样的周期函数一定存在最小正周期？一．周期函数最小正周期存在性(洪,王,李)1.1周期函数最小正周期的定义定义：若函数f(x)为M上的周期函数，T称为函数f(x)的一个周期，如果在所有周期中存在一个最小正数'T，那么'T叫做f(x)的最小正周期或基本周期。
1.2周期函数最小正周期存在充要条件[1]为叙述简洁，先就本文采用的符号作说明:定理1 (i)周期函数f(x)存在最小正周期的充要条件是*=>T T T 00,0且。
(ii)f(x)无最小正周期的充要条件是0T =0。
其实，(i)和(ii)可相互作为推论而成立。
这里仅对(i)予以证明。
证明必要性显然成立。
充分性。
已知00>T ，只要证明0T 是f(x)的一个正周期即可。
利用反证法，假设f(x)不存在最小正周期，即0T 不是f(x)的正周期。
由0T 的定义，存在f(x)的一正周期列 )(,:}{00∞←→>n T T T T T n n n .于是{n T }中总存在m T 和)(n m n T T T <，使. 0T T T m n <-，0>-m n T T 仍是f(x)的正周期，这与0T 的定义矛盾。
高中数学-函数的周期性
高中数学——函数的周期性一、知识回顾1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．二、方法规律技巧1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．三、例题讲解：1、设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =．2、已知f （x ）是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f （x+4）=f （x ）+f （2）成立，若f （﹣1）=﹣2，则f （2013）等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．20133、定义在R 上的函数的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，且对任意的实数x 都有f(x)＝－f 32x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝( ) A ．0 B ．－2C ．1D ．－44、已知周期函数f(x)的定义域为R ，周期为2，且当－1<x≤1时，f(x)＝1－x 2.若直线y ＝－x ＋a 与曲线y ＝f(x)恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( )A ．{a|a ＝2k ＋34或2k ＋54，k ∈Z} B ．{a|a ＝2k －14或2k ＋34，k ∈Z} C ．{a|a ＝2k ＋1或2k ＋54，k ∈Z} D ．{a|a ＝2k ＋1，k ∈Z}5、设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝1,102,01ax x bx x x a+-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩，其中a ，b ∈R.若f 12⎛⎫⎪⎝⎭＝f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ＋3b 的值为________．四、新题变式探究【变式一】已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( )A.()()()7 6.5 4.5f f f <<B.()()()7 4.5 6.5f f f <<C.()()()4.5 6.57f f f <<D.()()()4.57 6.5f f f <<【变式二】设g(x)是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 .【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．五、易错试题常警惕易错典例1：若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________. 易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A ．0B ．1C ．3D ．5 【变式】设()f x 是连续的偶函数，且当0x >时，()f x 是单调函数，则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为 ( )A ．－3B ．3C ．－8D ．8练习：A 基础测试1.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21xf x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 . 2.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是（ ）A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④3.【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且在),0[∞+上单调递增，则满足)1()(f m f < 的实数m 的范围是 ．4.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】()tan sin 1f x x x =++，若2)(=b f ，则=-)(b f （ ）A. 0B. 3C. -1D. -25. 【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知偶函数()f x 对任意x R ∈均满足(2)(2)f x f x +=-，且当20x -≤≤时，3()log (1)f x x =-，则(2014)f 的值是 .B 能力提升训练1. 【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 13. 【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则(2012)(2013)(2014)f f f ++的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8 4. 【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为 （ ） A .1- B. 2- C. 2 D.15．【2014届山东省日照市高三校际联考】已函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上时()()2ln 11xf x x =++- （Ⅰ）求函数()f x 的解析式;（Ⅱ）解不等式2(21)(1)0f x f x -+-≥．C 思维扩展训练1. 【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已知()y f x =是定义在R 上周期为4的奇函数，且02x ≤≤时，2()2f x x x =-则1012x ≤≤时，()f x =_________________2. 【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－14 3. 定义在R 上的奇函数()f x ，满足(3)()f x f x +=，(2)0f =，则函数()y f x =在区间()0,6内零点个数的情况为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．至少6个4. 已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是 ．5. 【2014届上海市青浦区高三上学期末】定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，142)(+=x xx f （1）判断并证明()f x 在()0,2上的单调性，并求()f x 在[]2,2-上的解析式；（2）当λ为何值时，关于x 的方程()f x λ=在[]6,2上有实数解？.。
求最小正周期的方法
求最小正周期的方法
最小正周期怎么算
y=Asin(ωx+ψ)或y=Acos(ωx+ψ)的最小正周期用公式计算：T=2π/ω。
y=Atan(ωx+ψ)或y=cot(ωx+ψ)的最小正周期用公式计算：T=π/ω。
对于正弦函数y=sinx，自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
y=Asin(ωx+φ), T=2π/ω（其中ω必须>0）。
1最小正周期算法
一、定义法
直接利用周期函数的定义求出周期。
二、公式法
利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
三、转化法
对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型，再用公式法求解
四、最小公倍数法
由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。
注：1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
五、图像法
利用函数图像直接求出函数的周期。
这个只针对三角函数，一般求最小正周期也就求三角函数的！。
高中数学三角函数求周期
如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32s i n 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
最小正周期的公式
最小正周期的公式
y=Asin(ωx+ψ)或y=Acos(ωx+ψd)的最小正周期用公式计算：T=2πshu/ω。
y=Atan(ωx+ψ)或y=cot(ωx+ψ)的最小正周期用公式计算：T=π/ω。
1如何求函数的最小正周期
对于y=Asin(ωx+ψ)+B，(A≠0，ω＞0)其最小正周期为：T=2π/ω。
函数的最小正周期，一般在高中遇到的都是特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是
T=(a-x+x+a)/2=a.还有那就是三角函数y=A sin(wx+b)+t，
他的最小正周期就是T=2帕/w。
2最小正周期的公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω| ，正余切函数T=π/|ω|。
函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是；函数f(x)=Atan(ωx+φ)和
f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例：求函数y=cotx－tanx的最小正周期.
解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2· x)/tanx=2*(1－
tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x
∴T=π/2
函数为两个三角函数相加，若角频率之比为有理数，则函数有最小正周期。
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函数f (x )±ｇ(x )最小正周期的求法
若f (x )和ｇ(x )是三角函数，求f (x )±ｇ(x )的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：
一、定义法
例1求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.
解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜
＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜
＝｜cos(x ＋
2π)｜＋｜sin(x ＋2
π)｜ ＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2
π)｜ ＝)2
(π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2
π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π. 二、公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T ＝||2ωπ
，正余切函数T ＝|
|ωπ． 例2求函数y ＝cot x －tan x 的最小正周期.
解：y ＝x x x x tan tan 1tan tan 12-=-＝2·x x
x 2cot 2tan 2tan 12=- ∴T ＝2
π 三、最小公倍数法
设f (x )与ｇ(x )是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x )±ｇ(x )的最小正周期T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分母的最大公约数
分子的最小公倍数2121,,T T T T 例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期.
解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则52,3221ππ==
T T ，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期T ＝2π／1＝2π.
例4求y ＝sin3x ＋tan 5
2x 的最小正周期.
解：∵sin3x 与tan
52x 的最小正周期是32π与25π，其最小公倍数是110π＝10π. ∴y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期是10π. 四、图象法
例5求y ＝｜sin x ｜的最小正周期.
解：由y ＝｜sin x ｜的图象：
可知y ＝｜sin x ｜的周期T ＝π.。