第4章 拉氏变换
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0
f (t ) e s t dt
记
F(s) = L [ f (t)]
积分下线定为0 ，是为了包括 ( t )。
称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。
f ( t )拉氏变换存在的充分条件：f ( t )在t 0时分段连续， 且满足下式
0
f ( t )e t dt
终值 定理
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 ( s).F2 ( s)
1 F1 ( s ) * F2 ( s) 2j
12
f1 (t ). f 2 (t )
拉普拉斯变换的性质
例 1 余弦函数 f (t)=cost· (t)
1 j t 应用线性性质: cos t (e e j t ) 2 1 1 1 s cos t ( t ) 2 2 s j s j s 2
s0 t
1 令上例中s0=0。则 ( t ) s
•
单位冲激函数 (t)
F (s)
0
(t )e s t dt 1
(t )1
10
拉普拉斯变换的性质
线性 微分
k f (t )
i 1 i i
Βιβλιοθήκη Baidu
n
k .LT[ f (t )]
i 1 i
n
df (t ) dt
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) f 0 ( 0 ) lim sF0 ( s )
s
1 e 2 s 例 11 求下列各象函数反变换的初值与终值。 F ( s ) 2 s ( s 4) 2 s 1 e f (0 ) lim f (t ) lim s 0 2 t 0 s s( s 4)
若 f1(t)F1(s), 应用时移性质:
f ( t t0 ) ( t t0 ) e st0 F( s )
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s ) e sT F1 ( s ) e 2 sT F1 ( s ) [ 1 e
sT
e
2 sT
(5s 9s 5) F ( s) 1 3 2 s 6s 11s 6
2
(5s 2 9 s 5) f (0 ) lim f (t ) lim s 3 5 2 t 0 s s 6 s 11s 6
f () lim f (t ) lim s F ( s ) 0
sF( s ) f ( 0 )
F ( s ) f ' (0 ) s s dF ( s ) ds
积分
t
f ( )d
tf ( t )
f(t ) t
复频域微 分/积分 时移 频移
at
t
F( s )
f ( t t0 ) ( t t0 )
e st0 F ( s)
应用频域微分性质
1 (t ) t(t)，因为： s
2 t (t ) 3 s
2
dF ( s ) tf ( t ) ds
1 1 t ( t ) ( ) 2 s s
13
拉普拉斯变换的性质
例 4 指数余弦函数 f (t)= et cost· (t)
s cos t (t ) 2 s 2
T
st0
F( s )
0
t
A A sT A F ( s ) e ( 1 e sT ) s s s
14
拉普拉斯变换的性质
例 6 任意周期函数
f (t )
f1 (t )
0
T
2T
t
0
T
t
设 f1(t)为周期函数的第一周期，则周期函数可表示为：
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) f1 (t 2T )
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法
8
常用函数的拉普拉斯变换
三个基本函数的拉普拉斯变换 • 指数函数 f (t)=es t(t) s0为复常数。
0
F (s) e e
0
s0 t
s0 t s t
dt e
0
( s s0 ) t
1 dt s s0
f (t )e
F ( s a)
11
拉普拉斯变换的性质
尺度变换
初值定理
f (at )
t 0
1 s F a a
s
lim f ( t ) f ( 0 ) lim sF( s )
lim f ( t ) f ( ) lim sF( s )
t s 0
t s 0
20
课堂练习 求下列函数的拉普拉斯变换。
信号分析
陈智华
南一楼西303 13797011232 chenzhihua@hust.edu.cn
1
第四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法
2
拉普拉斯变换
• 傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的， 但在系统分析方面有不足之处： – 对时间函数限制严， | f (t ) | dt 是充分条件。不 少函数不能直接按定义求
1 即 e (t ) s s0
令 s0 = 实数， 则 e ( t )
令 s0 = j 虚数， 则 e
j t
t
1 s
1 s j
9
(t )
常用函数的拉普拉斯变换
三个基本函数的拉普拉斯变换
•
单位阶跃函数 (t)
1 已知 e ( t ) s s0
F( s ) 2 s s 1 e 2 ( s 1)
18
拉普拉斯变换的性质
初值定理和终值定理的应用
• 初值定理的应用条件： – F(s)必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法将F(s)化 成一个整式与一个真分式F0(s)之和。 – 函数f (t)初值f (0+)应等于f 0(0+)的初值。 • 终值定理的应用条件： – F(s)的极点必须位于S平面的左半平面； – F(s)在s=0处若有极点，也只能有一阶极点。
4
拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 用 e-t f (t)来保证傅里叶积分收敛
F [e
t
f (t )]
f (t ) e
t j t
e
dt
f (t ) e ( j ) t dt
令 s=+j 称为复频率
— —衰减因子 — —振荡因子
例 2 正弦函数 f (t)=sint· (t)
应用线性性质:
1 j t sin t ( e e j t ) 2j
1 1 1 sin t ( t ) s2 2 2j s j s j
例 3 单位斜坡函数 f (t)=
t
应用频移性质:
f ( t )e
at
F( s a )
s e cos t ( t ) ( s )2 2
例 5 门函数（矩形波） f (t)=A[(t)- (t-T)]
f (t )
A
应用时移性质:
f ( t t0 ) ( t t0 ) e
傅里叶变换 s j f ( t )存在于整个区间 t
拉普拉斯变换 s j f (t )为因果信号 f (t ) 0, t 0
傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊 情况; 双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。
7
第四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换
由于在S平面的j轴上有一对共轭极点，故 f (t)不存在终值。
19
拉普拉斯变换的性质
例 12 求下列各象函数反变换的初值与终值。
s 3 s 2 2s 1 s 3 s 2 2s 1 F (s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 1)( s 2)( s 3)
df ( t ) A [ ( t ) ( t T )] A ( t T ) dt T A ( 1 e sT ) Ae sT sF( s ) Ts
F( s ) A/T A sT sT ( 1 e ) e 2 s s
dt
f (0 ) 0
0
t
例 8 冲激串
f (t )
(1 )
f 1(t)=(t)
t
F1 ( s ) 1,
0
T
2T
1 F( s ) 1 e sT
16
拉普拉斯变换的性质
例 9 锯齿波
A f ( t ) t [ ( t ) ( t T )] T
A
方法一：用频域微分性质： tf ( t ) dF ( s ) ds 1 (t ) (t T ) (1 e sT )
f (t )
A T
0
T A ( t T )
17
t
拉普拉斯变换的性质
例 10
f (t ) t e
(t 2)
(t 1)
dF ( s ) 1 s 方法一：因为 (t 1) e 用频域微分性质 tf ( t ) ds s 1 s s t (t 1) 2 e 应用频移性质 f ( t )e at F( s a ) s 2 s s 1 e 2 e t t ( t 1 ) e 2 ( s 1) 1 方法二： f (t ) e t e (t 1) (t 1) e t (t ) s 1 1 s ( t 1 ) ( t 1) e 应用时移性质： e 应用频域微分性质： s 1 d 1 s 1 1 s s t e ( t 1 ) ( t 1 ) ( e ) e e 2 ds s 1 ( s 1) s 1
F( s )
f ( t )e s t dt
称为复傅里叶变换或双边拉普拉斯变换。也称为象函数。 j 1 st f (t ) F ( s ) e ds 2 j j 称为拉普拉斯反变换，也称原函数。
5
拉普拉斯变换
• 单边拉普拉斯变换
对于有始信号， F ( s )
F ( j )
f ( t )e
j t
dt
如增长的指数函数 eat, a>0，傅里叶变换就不存在。
– 不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。
– 求傅里叶反变换也比较麻烦。
3
拉普拉斯变换
• 利用拉普拉斯变换进行系统分析有几个优 点，其中包括： – 可以只用代数运算就可以求解线性非时 变系统的微分方程。 – 可以同时求得系统的全响应，即强迫响 应和自由响应；或零输入响应和零状态 响应。 – 可以建立网络的S域模型，对动态网络进 行拉普拉斯变换分析。
f (t )
2 j j
1
j
F ( s ) e s t ds
t 0
记
f (t) = L -1[F(s)]
称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f (t)F(s)
6
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
双边拉普拉斯变换 s j f (t )存在于整个区间 t
s
d 1 1 1 sT sT sT (1 e ) 2 (1 e ) T e ds s s s
f (t )
0
T
A/T sT F( s ) ( 1 e s2
t A sT ) e s
方法二：用时域微分性质： df ( t ) SF( s ) f ( 0 )
F1 ( s ) ] 1 e sT
15
拉普拉斯变换的性质
例 7 周期矩形波 f 1(t)= (t)- (t-1)，T=3
1 es F1 ( s ) , s
f (t )
1
因为
F1 ( s ) F( s ) 1 e sT
1 2 3 4
1 e s 1 1 e s F( s ) 3 s s 1 e s ( 1 e 3 s )
f (t ) e s t dt
记
F(s) = L [ f (t)]
积分下线定为0 ，是为了包括 ( t )。
称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。
f ( t )拉氏变换存在的充分条件：f ( t )在t 0时分段连续， 且满足下式
0
f ( t )e t dt
终值 定理
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 ( s).F2 ( s)
1 F1 ( s ) * F2 ( s) 2j
12
f1 (t ). f 2 (t )
拉普拉斯变换的性质
例 1 余弦函数 f (t)=cost· (t)
1 j t 应用线性性质: cos t (e e j t ) 2 1 1 1 s cos t ( t ) 2 2 s j s j s 2
s0 t
1 令上例中s0=0。则 ( t ) s
•
单位冲激函数 (t)
F (s)
0
(t )e s t dt 1
(t )1
10
拉普拉斯变换的性质
线性 微分
k f (t )
i 1 i i
Βιβλιοθήκη Baidu
n
k .LT[ f (t )]
i 1 i
n
df (t ) dt
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) f 0 ( 0 ) lim sF0 ( s )
s
1 e 2 s 例 11 求下列各象函数反变换的初值与终值。 F ( s ) 2 s ( s 4) 2 s 1 e f (0 ) lim f (t ) lim s 0 2 t 0 s s( s 4)
若 f1(t)F1(s), 应用时移性质:
f ( t t0 ) ( t t0 ) e st0 F( s )
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s ) e sT F1 ( s ) e 2 sT F1 ( s ) [ 1 e
sT
e
2 sT
(5s 9s 5) F ( s) 1 3 2 s 6s 11s 6
2
(5s 2 9 s 5) f (0 ) lim f (t ) lim s 3 5 2 t 0 s s 6 s 11s 6
f () lim f (t ) lim s F ( s ) 0
sF( s ) f ( 0 )
F ( s ) f ' (0 ) s s dF ( s ) ds
积分
t
f ( )d
tf ( t )
f(t ) t
复频域微 分/积分 时移 频移
at
t
F( s )
f ( t t0 ) ( t t0 )
e st0 F ( s)
应用频域微分性质
1 (t ) t(t)，因为： s
2 t (t ) 3 s
2
dF ( s ) tf ( t ) ds
1 1 t ( t ) ( ) 2 s s
13
拉普拉斯变换的性质
例 4 指数余弦函数 f (t)= et cost· (t)
s cos t (t ) 2 s 2
T
st0
F( s )
0
t
A A sT A F ( s ) e ( 1 e sT ) s s s
14
拉普拉斯变换的性质
例 6 任意周期函数
f (t )
f1 (t )
0
T
2T
t
0
T
t
设 f1(t)为周期函数的第一周期，则周期函数可表示为：
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) f1 (t 2T )
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法
8
常用函数的拉普拉斯变换
三个基本函数的拉普拉斯变换 • 指数函数 f (t)=es t(t) s0为复常数。
0
F (s) e e
0
s0 t
s0 t s t
dt e
0
( s s0 ) t
1 dt s s0
f (t )e
F ( s a)
11
拉普拉斯变换的性质
尺度变换
初值定理
f (at )
t 0
1 s F a a
s
lim f ( t ) f ( 0 ) lim sF( s )
lim f ( t ) f ( ) lim sF( s )
t s 0
t s 0
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课堂练习 求下列函数的拉普拉斯变换。
信号分析
陈智华
南一楼西303 13797011232 chenzhihua@hust.edu.cn
1
第四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法
2
拉普拉斯变换
• 傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的， 但在系统分析方面有不足之处： – 对时间函数限制严， | f (t ) | dt 是充分条件。不 少函数不能直接按定义求
1 即 e (t ) s s0
令 s0 = 实数， 则 e ( t )
令 s0 = j 虚数， 则 e
j t
t
1 s
1 s j
9
(t )
常用函数的拉普拉斯变换
三个基本函数的拉普拉斯变换
•
单位阶跃函数 (t)
1 已知 e ( t ) s s0
F( s ) 2 s s 1 e 2 ( s 1)
18
拉普拉斯变换的性质
初值定理和终值定理的应用
• 初值定理的应用条件： – F(s)必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法将F(s)化 成一个整式与一个真分式F0(s)之和。 – 函数f (t)初值f (0+)应等于f 0(0+)的初值。 • 终值定理的应用条件： – F(s)的极点必须位于S平面的左半平面； – F(s)在s=0处若有极点，也只能有一阶极点。
4
拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 用 e-t f (t)来保证傅里叶积分收敛
F [e
t
f (t )]
f (t ) e
t j t
e
dt
f (t ) e ( j ) t dt
令 s=+j 称为复频率
— —衰减因子 — —振荡因子
例 2 正弦函数 f (t)=sint· (t)
应用线性性质:
1 j t sin t ( e e j t ) 2j
1 1 1 sin t ( t ) s2 2 2j s j s j
例 3 单位斜坡函数 f (t)=
t
应用频移性质:
f ( t )e
at
F( s a )
s e cos t ( t ) ( s )2 2
例 5 门函数（矩形波） f (t)=A[(t)- (t-T)]
f (t )
A
应用时移性质:
f ( t t0 ) ( t t0 ) e
傅里叶变换 s j f ( t )存在于整个区间 t
拉普拉斯变换 s j f (t )为因果信号 f (t ) 0, t 0
傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊 情况; 双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。
7
第四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换
由于在S平面的j轴上有一对共轭极点，故 f (t)不存在终值。
19
拉普拉斯变换的性质
例 12 求下列各象函数反变换的初值与终值。
s 3 s 2 2s 1 s 3 s 2 2s 1 F (s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 1)( s 2)( s 3)
df ( t ) A [ ( t ) ( t T )] A ( t T ) dt T A ( 1 e sT ) Ae sT sF( s ) Ts
F( s ) A/T A sT sT ( 1 e ) e 2 s s
dt
f (0 ) 0
0
t
例 8 冲激串
f (t )
(1 )
f 1(t)=(t)
t
F1 ( s ) 1,
0
T
2T
1 F( s ) 1 e sT
16
拉普拉斯变换的性质
例 9 锯齿波
A f ( t ) t [ ( t ) ( t T )] T
A
方法一：用频域微分性质： tf ( t ) dF ( s ) ds 1 (t ) (t T ) (1 e sT )
f (t )
A T
0
T A ( t T )
17
t
拉普拉斯变换的性质
例 10
f (t ) t e
(t 2)
(t 1)
dF ( s ) 1 s 方法一：因为 (t 1) e 用频域微分性质 tf ( t ) ds s 1 s s t (t 1) 2 e 应用频移性质 f ( t )e at F( s a ) s 2 s s 1 e 2 e t t ( t 1 ) e 2 ( s 1) 1 方法二： f (t ) e t e (t 1) (t 1) e t (t ) s 1 1 s ( t 1 ) ( t 1) e 应用时移性质： e 应用频域微分性质： s 1 d 1 s 1 1 s s t e ( t 1 ) ( t 1 ) ( e ) e e 2 ds s 1 ( s 1) s 1
F( s )
f ( t )e s t dt
称为复傅里叶变换或双边拉普拉斯变换。也称为象函数。 j 1 st f (t ) F ( s ) e ds 2 j j 称为拉普拉斯反变换，也称原函数。
5
拉普拉斯变换
• 单边拉普拉斯变换
对于有始信号， F ( s )
F ( j )
f ( t )e
j t
dt
如增长的指数函数 eat, a>0，傅里叶变换就不存在。
– 不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。
– 求傅里叶反变换也比较麻烦。
3
拉普拉斯变换
• 利用拉普拉斯变换进行系统分析有几个优 点，其中包括： – 可以只用代数运算就可以求解线性非时 变系统的微分方程。 – 可以同时求得系统的全响应，即强迫响 应和自由响应；或零输入响应和零状态 响应。 – 可以建立网络的S域模型，对动态网络进 行拉普拉斯变换分析。
f (t )
2 j j
1
j
F ( s ) e s t ds
t 0
记
f (t) = L -1[F(s)]
称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f (t)F(s)
6
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
双边拉普拉斯变换 s j f (t )存在于整个区间 t
s
d 1 1 1 sT sT sT (1 e ) 2 (1 e ) T e ds s s s
f (t )
0
T
A/T sT F( s ) ( 1 e s2
t A sT ) e s
方法二：用时域微分性质： df ( t ) SF( s ) f ( 0 )
F1 ( s ) ] 1 e sT
15
拉普拉斯变换的性质
例 7 周期矩形波 f 1(t)= (t)- (t-1)，T=3
1 es F1 ( s ) , s
f (t )
1
因为
F1 ( s ) F( s ) 1 e sT
1 2 3 4
1 e s 1 1 e s F( s ) 3 s s 1 e s ( 1 e 3 s )