3.1.1 函数的概念(解析版)高一数学同步讲义(新教材人教A版必修第一册)

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3.1.1 函数的概念

一、知识点归纳

知识点1. 函数的有关概念 (1)函数的概念

(2)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，

即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．

(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 知识点2．知识点二 区间及相关概念 (1)区间的概念及记法

设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：

(2)无穷大

实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示

二、题型分析

题型一函数的定义

【例1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：

(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；

(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；

(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；

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(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.

【答案】见解析

【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一

的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．

(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．

(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.

【规律方法总结】

(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：∈A，B必须都是非空数集；∈A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．

【注意】A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．

(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．

【变式1】. 下列对应或关系式中是A到B的函数的是()

A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：

C．A＝R，B＝R，f：x→y＝

1 x－

2

D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1

【答案】B

【解析】：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．

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题型二 求函数的定义域

【例2】求下列函数的定义域．

(1)y ＝3－1

2x ；(2)y ＝(x ＋1)0x ＋2

；(3)y ＝5－x |x |－3；

(4)f (x )＝

x ＋1

－x 2－3x ＋4

. 【答案】见解析

【解析】(1)函数y ＝3－1

2x 的定义域为R.

(2)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2＞0，即x ＞－2，所以x ＞－2且x ≠－1. 所以函数y ＝(x ＋1)0

x ＋2

的定义域为{x |x ＞－2且x ≠－1}．

(3)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩

⎪⎨⎪⎧

5－x ≥0，

|x |－3≠0，

解得x ≤5，且x ≠±3，

所以函数y ＝

5－x

|x |－3

的定义域为{x |x ≤5且x ≠±3}． (4)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1≥0，

－x 2－3x ＋4>0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

x ≥－1，

(x ＋4)(x －1)<0，解不等式组得－1≤x <1. 因此函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <1}．

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【规律方法总结】求函数定义域的常用方法 (1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；

(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 【变式2】．设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∈R M 为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞)

【答案】A

【解析】： 由2－x ≥0解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2]，所以∈R M ＝(2，＋∞)． 【变式3】．函数f (x )＝x x －1的定义域为________．

【答案】：{x |x ≥0且x ≠1}

【解析】：要使x x －1有意义，需满足⎩

⎪⎨⎪⎧

x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}．

题型三 同一函数

(2)两个注意点：

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题型四 求函数的值、值域问题

【例4】(1)f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝

1

x ＋2

，则f (2)＝________；g (f (2))＝________；g (a )＋g (0)(a ≠－2)＝________. (2)求下列函数的值域： ∈y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； ∈y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ∈y ＝2x ＋1x －3；∈y ＝2x －x －1.

【答案】：10

112 1a ＋2＋1

2

【解析】(1)因为f (x )＝2x 2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10， 又因为g (x )＝

1x ＋2

，