相似三角形分类讨论典型题
初三相似三角形典型例题
初三相似三角形典型例题哎呀,初三的相似三角形,那可真是让人又爱又恨呐!就说有这么一道题,老师在黑板上画得那叫一个起劲。
题目是这样的:在三角形ABC 中,DE 平行于BC,AD = 3,BD = 2,AE = 4,求CE 的长。
我当时就蒙圈了,这咋整啊?心里直犯嘀咕:“这相似三角形也太难了吧!” 旁边的同桌小明倒是一脸镇定,还偷偷跟我说:“别慌,这题不难。
” 哼,他倒是轻松!老师开始讲解啦,“同学们,你们看,因为DE 平行于BC,所以三角形ADE 和三角形ABC 相似,这能理解吧?” 我心里想:“这能理解啥呀?” 但又不敢说出来。
老师接着说:“那相似三角形对应边成比例,AD 比AB 就等于AE 比AC 呀!” 我还是有点迷糊,就问老师:“老师,那AB 是多少呀?” 老师笑着说:“AB 不就是AD + BD 嘛,就是3 + 2 = 5 呀!” 我这才恍然大悟,“哎呀,我咋没想到呢!”然后我们就可以算出AC 的长是20 / 3 ,那CE 不就是AC - AE 嘛,也就是20 / 3 - 4 = 8 / 3 。
还有一道题也挺有意思的。
有两个三角形,一个三角形的三条边分别是3、4、5,另一个三角形的三条边分别是6、8、10,问这两个三角形是不是相似三角形。
我一开始还在那琢磨,这得怎么算呀?后来一想,这不是很明显嘛!第一个三角形三边之比是3 : 4 : 5,第二个三角形三边之比是6 : 8 : 10,约分一下不就是3 : 4 : 5 嘛!这两个三角形当然相似啦!我当时就特别高兴,心想:“嘿嘿,这道题可难不倒我!”相似三角形的题目有时候就像个迷宫,一不小心就会迷路。
但只要我们找到了关键的线索,就像找到了打开迷宫大门的钥匙,一下子就能走出来啦!我觉得呀,相似三角形虽然有时候让人头疼,但只要多做练习,多思考,就一定能把它拿下!。
相似三角形 经典模型总结与例题分类
相似三角形经典模型总结与例题分类相似三角形经典模型总结在相似三角形中,有一些经典的模型,包括平移型、平行型、旋转180°型、翻折180°型、一般型、特殊型、斜交型、双垂直型等。
这些模型可以帮助我们更好地理解和解决相似三角形的问题。
其中,平移型、平行型、翻折180°型、斜交型和双垂直型都是比较常见的模型。
在解决相似三角形的问题时,可以根据具体情况选择相应的模型进行分析。
以下是一些例题,可以帮助我们更好地理解相似三角形的模型和应用。
例1:如图,EE1∥FF1∥MM1,若AE=EF=FM=MB,则S△.例2:如图,AD∥EF∥MN∥BC,若AD=9,BC=18,.例3:已知,P为平行四边形ABCD对角线,AC上一点,过点P的直线与AD,BC,CD的延长线,AB的延长线分别相交于点E,F,G,H。
则PEPH=PFPG。
例4:已知:在△ABC中,D为AB中点,E为AC上一点,且AE=2,BE、CD相交于点F。
则ABF=2EFD。
例5:已知:在△ABC中,AD=11AB,延长BC到F,使CF=BC,连接FD交AC于点E。
则①DE=EF②AE=2CE。
例6:已知:D,E为三角形ABC中AB、BC边上的点,连接DE并延长交AC的延长线于点F,例7:如图,已知XXX,若AB=a,CD=b,EF=c,则a/b=c/(a+c)。
例8:如图,S△.例9:如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,M是AC上一点,ME⊥AD于点E,MF⊥BC于点F。
则MF/ME+1=BD/AC。
例10:如图,在△ABC中,D是AC边的中点,过D作直线EF交AB于E,交BC的延长线于F。
则AE·BF=BE·CF。
BCF:在线段AB上取一点C,以AC、CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB,AE交CD于点P,BD交CE于点Q,证明CP=CQ。
解法:首先,由等腰三角形的性质可知,∠XXX∠CEB,∠ACD=∠BCD,因此△ADC≌△CEB,从而AP=BP,AQ=CQ。
相似三角形分类讨论
相似三角形专题一——分类讨论类型一:AX 分类讨论例1、如图,在中,ABC 8cm,16cm AB AC ==,点P 从A 出发,以2cm/s 的速度向B 运动,同时点Q 从C 出发,以3cm/s 的速度向A 运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为t .(1)用含t 的代数式表示:AQ =_______;(2)当以A ,P ,Q 为顶点的三角形与ABC 相似时,运动时间t =________1、如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,动点P 从点B 出发,在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动,同时动点Q 从点C 出发,在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动,运动时间为t 秒(0<t <2),连接PQ .(1)用含t 的代数式表示BP 、BQ ;(2)是否存在某一时刻t 的值,使△BPQ 的面积是△BAC 面积的14;(3)若以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似,求t 的值.2、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =8,BC =6,CD ⊥AB 于点D ,点P 从点D 出发,沿线段DC 向点C 运动,点Q 从点C 出发,沿线段CA 向点A 运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P 运动到点C 时,两点都停止运动,设运动时间为t 秒.(1)求线段CD 的长;(2)设△CPQ 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(3)当t 为何值时,△CPQ 与△CAD 相似?请直接写出t 的值.二、直角三角形分类例2、如图所示,已知AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,AB=4,CD=6,BC=14,P为BC上一点,试问BP为何值时,△ABP与△PCD相似?1、如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米.点P从点O开始沿OA 边向点A以1厘米/秒的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么,当t为何值时,△POQ与△AOB相似?2、如图,在平面直角坐标系中,点,点、分别在轴、轴的正半轴上,且满足.求点、点的坐标;若点从点出发,以每秒个单位的速度沿线段由向运动,连接,是否存在点,使以点,,为顶点的三角形与相似若存在,请求出点的坐标若不存在,请说明理由.三、等腰三角形分类讨论例3、如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.现在有动点P从点B出发,沿线段BA向终点A运动,动点Q从点A出发,沿折线AC—CB向终点运动.如果点P的速度是1cm/s,点Q的速度是1cm/s.它们同时出发,当有一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动的时间为t秒.(1)如图1,Q在AC上,当t为多少秒时,以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?(2)如图2,Q在CB上,是否存着某时刻,使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.相似三角形专题二——三角形框四边形问题1、如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E为BD上一点,过点E作EF⊥BC交AB于点F,过点F作FG⊥EF分别交AD,AC于点N,G,过点G作GH∥EF交BC于点H.(1)求证:△AFG∽△ABC;(2)若AD=3,BC=9,设EF的长度为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x之间的函数表达式,并求y的最大值.1、如图,正方形MNPQ内接于△ABC,点M、N在BC上,点P、Q分别在AC和AB边上,且BC边上的高AD=6cm,BC=12cm,求正方形MNPQ的边长.2、如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=20cm,AC=15cm,在这个直角三角形内有一个内接正方形,正方形的一边FG 在BC 上,另两个顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上.(1)求BC 边上的高;(2)求正方形EFGH 的边长.相似三角形专题三——面积比问题例1.如图,在▱ABCD 中,E 为CD 的中点,连接AE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,则DEF S △:EFBC S 四边形为()1、如图,在▱ABCD 中,AC 、BD 相交于点O ,点E 是OA 的中点,联结BE 并延长交AD 于点F ,如果△AEF 的面积是4,那么△BCE 的面积是____.2、如图,在平行四边形中,点在边上,,交于点,若::,则:.。
相似三角形分类讨论类
相似三角形中分类讨论的数学思想(汤杰)相似三角形中分类讨论的数学思想(汤杰)讨论标志一:当两个三角形不用相似符号对应联立的问题讨论标志一:当两个三角形不用相似符号对应联立的问题1.在直角三角形ABC 中,∠B=90°,点D 在边BC 上,过点D 的直线将直角三角形ABC 分成一个三角形和一个四边形,得到的小三角形与原三角形相似,这样的直线可以画几条?并画出示意图。
到的小三角形与原三角形相似,这样的直线可以画几条?并画出示意图。
2.(2013,永州)如图,已知AB ^BD ,CD ^BD (1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD 上是否存在P 点,使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP 的长;若不存在,请说明理由;的长;若不存在,请说明理由;(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD 上存在多少个P 点,使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似?并求BP 的长;的长;(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD 上存在多少个P 点,使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似?并求BP 的长;的长;(4)若AB=m ,CD=n ,BD=l ,请问,,m n l 满足什么关系时,存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点?两个P 点?三个P 点?点?3(2014•武汉)如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,动点P 从点B 出发,在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动,同时动点Q 从点C 出发,在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动,运动时间为t 秒(0<t <2),连接PQ .(1)若△BPQ 与△ABC 相似,求t 的值;的值;(2)连接AQ ,CP ,若AQ ⊥CP 求t 的值;的值;4.(2012014•4•益阳)如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ⊥AB ,∠B =60°,AB =10,BC =4,点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动,设AP =x .(1)求AD 的长;(2)点P 在运动过程中,是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似?若存在,求出x 的值;若不存在,请说明理由;的值;若不存在,请说明理由;A B CD P(2013徐州中考)徐州中考)讨论标志二:利用相似三角形解决等腰三角形的讨论问题。
(精心整理)相似三角形分类讨论
D C BA DCBA CBACBACB CP《相似三角形中分类讨论思想的运用》一、温故知新:1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8,△DEF 的一条边为24,如果△DEF 与△ABC 相似,则相似比为2.两个相似三角形的面积之比是9:25,其中一个三角形一边上的高是6,那么另一个三角形对应边上的高为3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点,则AP 的长为 问题:什么是分类讨论?为什么要分类?二、新知学习: 题组一:1.例1.如图所示,在ABC ∆中,AB=6,AC=4,P 是AC 的中点,过P 点的直线交AB 于点Q ,若使APQ ∆与ABC ∆相似,则AQ 的长为2.变式一:如图所示,在ABC ∆中,P 是AC 上一点,过P点的直线截ABC ∆交AB 于点Q ,使截得的三角形与原三角形相似,则满足这样的直线有 条. 3. 变式二:如图所示,在ABC ∆中,P 是AC 上一点,过P 点的直线截ABC ∆,使截得的三角形与原三角形相似,则满足这样的直线最多有 条.探究:如果ABC ∆是直角三角形,点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗?等腰三角形呢?题组二:1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3,点E 在直线AD 上,DE =1,联结BE 与对角线AC 相交于点M ,则MCAM=CBCBCB2.变式一: 等腰ABC 中,AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上,若PA 与腰垂直,则BP= .3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°,AD 是BC 边上的高,并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三1.在矩形ABCD 中,AB=4,AD=5,P 是射线BC 上的一个动点,作PE ⊥AP ,PE 交射线DC 于点E ,射线AE 交射线BC 于点F ,设BP=x ,CE=y .求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(点P 与点B 、C 都不重合),2.已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E 是射线BC 上的动点(点E 与点B 不重合),M 是线段DE 的中点.联结BD ,交线段AM 于点N ,如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似,求线段BE 的长.三、课后反思:1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论?分类的原则是什么?2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题.ACD ACDDC BAD CBAQPCBA CB ACB AAB C 四、检测反馈:1.已知在Rt ABC ∆中,︒=∠90C ,AB=5,AC=3,点D 是射线BC 上的一点,(不与端点B 重合),联结AD ,如果ACD ∆与ABC ∆相似,则BD= 2.在等腰ABC ∆中,AB=AC ,若一条中线长为6厘米,另一条中线为9厘米,则等腰ABC ∆的底边长为3. AD ∥BC,∠D=90°,DC=6,AD=2,BC=4.若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似,求DP 的长.4.如图,4,3,90==︒=∠=∠AC BC ABD ACB ,当ABC ∆与ADB ∆相似时 ,求AD 的长.5.拓展题:如图:在⊿ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=8. P 、Q 分别为AC 、BA 上的动点,且BQ=2AP,联结PQ,设AP=x.① 在点P 、点Q 移动的过程中,⊿APQ 能否与⊿ABC 相似?若能,请求出AP 的长;若不能,请说明理由。
相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)
相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h .(2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A MN△与四边形BCNM 重叠部分的面积为y,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少?【答案】解:(1)MN BC Q ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34xh ∴= (2)1AMN A MN Q △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ,①当点1A 落在四边形BCNM内或BC边上时,1A MNy S =△=211332248MN h x x x ==··(04x <≤) ②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<,设1A EF △的边EF 上的高为1h ,则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴Q ∥△∽△11A MN ABC A EF ABC∴Q △∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=Q △22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭Q △△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述:当04x <≤时,238y x =,取4x =,6y =最大当48x <<时,2912248y xx =-+-,取163x =,8y=最大86>Q ∴当163x =时,y 最大,8y=最大2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点.(1)求出抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; 【答案】解:(1)Q 该抛物线过点(02)C -,,∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-.将(40)A ,,(10)B ,代入,M NC BEF AA 1得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩,解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-.(2)存在.如图,设P 点的横坐标为m ,则P 点的纵坐标为215222m m -+-,当14m <<时,4AM m =-,215222PM mm =-+-.又90COA PMA ∠=∠=Q °,∴①当21AM AO PM OC ==时,APM ACO △∽△, 即21542222m mm ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭.解得1224m m ==,(舍去),(21)P ∴,.②当12AM OC PM OA ==时,APM CAO △∽△,即2152(4)222m mm -=-+-.解得14m =,25m =(均不合题意,舍去)∴当14m <<时,(21)P ,.类似地可求出当4m >时,(52)P -,.当1m <时,(314)P --,.综上所述,符合条件的点P 为(21),或(52)-,或(314)--,. 3.如图,已知直线128:33l y x =+与直线2:216ly x =-+相交于点C l l 12,、分别交x 轴于A B 、两点.矩形DEFG 的顶点D E、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G与点B 重合.(1)求ABC △的面积;(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长;(3)若矩形DEFG 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为(012)t t ≤≤秒,矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出相应的t 的取值范围.【答案】(1)解:由28033x +=,得4x A =-∴.点坐标为()40-,由2160x -+=,得8x B =∴.点坐标为()80,.∴()8412AB =--=. 由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩,.解得56x y =⎧⎨=⎩,.∴C点的坐标为()56,.∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·.(2)解:∵点D 在1l 上且2888833DB D xx y ==∴=⨯+=,.∴D 点坐标为()88,. 又∵点E 在2l 上且821684ED E E yy x x ==∴-+=∴=,..∴E 点坐标为()48,. ∴8448OE EF =-==,.(3)解法一:①当03t <≤时,如图1,矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR (0t =时,为四边形CHFG ).过C 作CM AB ⊥于M ,则Rt Rt RGB CMB △∽△.∴BG RG BM CM =,即36t RG =,∴2RG t =. Rt Rt AFH AMC Q △∽△,∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△.即241644333S t t =-++.·············································当83<≤t 时,如图2,为梯形面积,∵G (8-t,0)∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s当128<≤t 时,如图3,为三角形面积,4883)12)(328(212+-=--=t tt t s4.如图,矩形ABCD 中,3AD =厘米,AB a =厘米(3a >).动点M N ,同时从B 点出发,分别沿B A →,B C →运动,速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于AB,分别交AN ,CD 于P Q ,.当点N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (1)若4a =厘米,1t =秒,则PM =______厘米; (2)若5a =厘米,求时间t ,使PNB PAD △∽△,并求(图(图(图出它们的相似比;(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值范围; (4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA积都相等?若存在,求a 明理由.【答案】解: (1)34PM =, (2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2 (3)PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠Q ⊥,⊥,,AMP ABC △∽△,PM AMBN AB∴=即()PM a t t a t PM t a a--==Q ,,(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+,3t Q ≤,636a a ∴+≤,则636a a ∴<≤,≤,(4)36a <Q ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等NM M∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,则CN PM =()3ta t t a∴-=-,把66a t a =+代入,解之得a =±,所以a =.所以,存在a ,当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等.5.如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s ,点Q 运动的速度是2cm/s ,当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t (s ),解答下列问题:(1)当t =2时,判断△BPQ 的形状,并说明理由;(2)设△BPQ 的面积为S (cm 2),求S 与t 的函数关系式;(3)作QR //BA 交AC 于点R ,连结PR ,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ ?【答案】 解:(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=-23t 2+33t ;(3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因为∠C=600,所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ~△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PRQR,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ~△PRQ6.在直角梯形OABC 中,CB ∥OA ,∠CO A =90º,CB =3,OA =6,BA =35.分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系. (1)求点B 的坐标;(2)已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点,OD =5,OE =2E B ,直线DE 交x 轴于点F .求直线DE 的解析式;(3)点M 是(2)中直线DE 上的一个动点,在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N .使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.A B D EF C O M Nx y图7-2A DOBC21 MN图7-1ADBM N12图7-3ADOBC21 MNO.7.在图15-1至图15-3中,直线MN 与线段AB 相交于点O ,∠1 = ∠2 = 45°. (1)如图15-1,若AO = OB ,请写出AO与BD 的数量关系和位置关系; (2)将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2,其中AO = OB .求证:AC = BD ,AC ⊥ BD ; (3)将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3,求ACBD 的值. 【答案】 解:(1)AO = BD ,AO ⊥BD ;(2)证明:如图4,过点B 作BE ∥CA交DO 于E ,∴∠ACO = ∠BEO .又∵AO = OB ,∠AOC = ∠BOE ,∴△AOC ≌ △BOE .∴AC = BE . 又∵∠1 = 45°, ∴∠ACO = ∠BEO = 135°.∴∠DEB = 45°. ∵∠2 = 45°,∴BE = BD,∠EBD = 90°.∴AC = BD . 延长AC 交DB 的延长线于F ,如图4.∵BE ∥AC ,∴∠AFD = 90°.∴AC ⊥BD . (3)如图5,过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ,图4ADO B C21 MNEF A2E∴∠BEO = ∠ACO .又∵∠BOE = ∠AOC,∴△BOE ∽ △AOC .∴AOBOAC BE =. 又∵OB = kAO ,由(2)的方法易得 BE = BD .∴k ACBD =. 10.如图,已知过A (2,4)分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,若点P 从O 点出发,沿OM 作匀速运动,1分钟可到达M 点,点Q 从M 点出发,沿MA 作匀速运动,1分钟可到达A 点。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中,∠A = 50°,AB = 3cm,AC = 4cm,∠A'= 50°,A'B'= 6cm,A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中,(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2),(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2),且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图,在四边形ABCD中,∠B = ∠ACD,AB = 6,BC = 4,AC = 5,CD=(7)/(2),求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD,且(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD,(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD,(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的,应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
相似三角形典型例题30道
相似三角形典型例题30道1: 在△ABC中,DE是平行于BC的线段,且AD/DB = 2/3。
求DE/BC的比值。
2: 已知△PQR与△XYZ相似,PQ = 6,XY = 9,求QR 与YZ的比值。
3: 在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE平行于BC,已知AD = 3,DB = 6,求AE与EC的比值。
4: 已知两个相似三角形的面积比为4:9,求它们对应边的比。
5: 在△XYZ中,MN是平行于XY的线段,且XM = 4,MY = 6,求MN/XY的比值。
6: 在△ABC中,AD是BC的中线,且AE是AB的延长线,若AE与BC相交于点F,求AF与FB的比值。
7: 在△DEF中,GH平行于EF,已知DE = 8,DF = 10,求GH/EF的比值。
8: 在一个相似三角形中,若大三角形的周长是36,小三角形的周长是24,求它们的面积比。
9: 在△JKL中,MN平行于JK,若JM = 3,MK = 5,求MN/JK的比值。
10: 如果两个相似三角形的对应边长分别为5和15,求它们的面积比。
11: 在△ABC中,AD是BC的中线,且DE平行于BC,已知AD = 4,BC = 8,求DE的长度。
12: 已知相似三角形的对应边长比为1:4,求它们的周长比。
13: 在△PQR中,S是PQ的中点,若ST平行于QR,求PS与PQ的比值。
14: 在相似三角形中,若小三角形的每条边长为5,大三角形的对应边长为15,求它们的面积比。
15: 在一个三角形中,若一条边的延长线与另一边的平行线相交,则形成的两小三角形与原三角形相似,求相似比。
16: 在△XYZ中,若XY = 10,XZ = 15,YZ = 12,求△XYZ的周长。
17: 已知△ABC与△DEF相似,若AB = 4,DE = 8,求AC与DF的比值。
18: 在△GHI中,JK平行于GH,若GJ = 5,GH = 20,求JK的长度。
19: 在相似三角形中,若一个三角形的面积是36,另一个三角形的面积是144,求其对应边的比。
2相似三角形分类讨论
分类专题第8期相似三角形中的分类讨论作者:王玉娇 E-mail 地址:yujiaowang@相似三角形常因对应边或对应角的不确定,而需要分类讨论。
下面我们根据相似三角形所给条件的不同,分类展示相似三角形分类讨论的三种情况。
一、对应边不确定例1 、(05济南)如图在△ABC 中,AB=24,AC=18,D 是AC 上一点,AD=12,在AB 取一点E ,使A ,D ,E 三点组成的三角形与△ABC 相似,则AE 的长为_____。
答案:9或16,分析:题中已知△ADE 与△ABC 相似,但没有指明具体的对应边,所以需要分别以,AE 与AB 为对应边;AE 与AC 为对应边,两种情况分类讨论:解:(1)当AE 与AB 为对应边时(如图二),有AC AD AB AE =,即181224=AE ,可得AE=16 (2)当AE 与AC 为对应边时(如图三),AB AD AC AE =,即241218=AE ,可得AE=9 所以AE 的长为9或16。
二、对应角的不确定例2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,点P 在BD 上由点向D 点移动.当P 点移动到离B 点多远时,△ABP 与△CPD?分析:题中已知两个直角三角形相似,并没指名具体的对应角,所以,有∠A=∠CPD 或∠A=∠C ,两种情况。
解: (1)当∠A=∠CPD 时△ABP ∽△PDC,此时BP:DC=AB:PD ,即BP:4=6:(14-BP ),可得BP=2cm 或BP=12cm.(2)当∠A=∠C 时,△ABP ∽△CDP,此时BP:PD=AB:CD ,即BP:(14-BP )=6:4, 可得BP=8.4 cm 所以BP 分别等于2cm 、12cm 、8.4cm 时,△ABP 与△CPD 。
三、所求作的图形位置不确定例 2、如图,△ABC 中,∠C=90°,BC=8cm ,5AC -3AB=0,点P 从B 出发,沿BC 方向以2cm/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1cm/s 的速度移动。
2相似三角形分类讨论
专题练习 姓名____________
1、如图在△ABC 中,AB=24,AC=18,D 是AC 上一点,
AD=12,在AB 取一点E ,使A ,D ,E 三点组成的三角形与△ABC 相 似,求AE 的长。
2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,AB=6cm,CD=4cm,
BD=14cm,点P 在BD 上由点向D 点移动.当P 点移动到离 B 点多远时,△ABP 与△CPD?
3、如图,△ABC 中,∠C=90°,BC=8cm ,5AC -3AB=0,点P 从B 出发,沿BC 方向以2cm/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1cm/s 的速度移动。
若P 、Q 分别从B 、C 出发,经过多少时间△CPQ 与△CBA 相似?
4、已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A , 与反比例函数的图象分别交于点C 、D ,CE x ⊥轴于点E ,
1
tan 422
ABO OB OE ∠===,,.
(1)求该反比例函数的解析式;(2)求直线AB 的解析式.(3)求出点C 、D
的坐标
5. 如图,长方形ABCD 沿AE 折叠,使D 落在边BC 上的F 点处,如果∠BAF=60°,求∠DAE=___。
6. 如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD
上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG.
C B 图一
A B
C D
F E G
B
如图一。
浙教版九年级上学期第四章相似三角形动点问题分类讨论(包含答案)
由动点产生的相似三角形的解题方法和策略:1.寻找题目中特殊的条件和不变的量,并找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件;(挖掘题目中的隐藏条件)2.注意分类讨论,先找是否有相等角,再决定分类讨论情况:3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好,如果不能求出,注意转化相似(是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件)4.注意三个易忘定理:线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。
例1.如图,在Rt △ABC 中,︒=∠90ACB ,CE 是斜边AB 上的中线,10=AB ,43tanA =,点P 是CE 延长线上的一动点,过点P 作CB PQ ⊥,交CB 延长线于点Q ,设EP x =,BQ y =。
(1)求y 关于x 的函数关系式及定义域;(2)过点B 作AB BF ⊥交PQ 于F ,当BEF ∆和QBF ∆相似时,求x 的值。
【解答】(1)在Rt △ABC 中,90ACB ︒∠=,∵4tan 3BC A AC ==,10AB = ∴8,6BC AC ==.∵CE 是斜边AB 上的中线,∴152CE BE AB === ∴,PCB ABC ∠=∠∵90PQC ACB ︒∠=∠=∴△PQC ∽△ABC∴484,555CQ BC y PC AB x +===+即 ; ∴445y x =-,定义域为5x >. (2)∵90,Q ACB QBF A ︒∠=∠=∠=∠∴△BQF ∽△ABC当△BEF 和△QBF 相似时,可得△BEF 和△ABC 也相似. 分两种情况: ①当FEB A ∠=∠时,在Rt △FBE 中,90FBE ︒∠=,5BE =,53BF y =∴54445353x ⎛⎫-=⨯⎪⎝⎭,解得10x =; ②当FEB ABC ∠=∠时,在Rt △FBE 中,590,5,3FBE BE BF y ︒∠===∴54345354x ⎛⎫-=⨯⎪⎝⎭,解得12516x = 综合①②,12516x =或10. 练习1.已知如图,在等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC ,AB=CD ,AD=3,BC=9,34tan =∠ABC ,直线MN是梯形的对称轴,点P是线段MN上一个动点(不与M、N重合),射线BP交线段CD于点E,过点C作CF∥AB 交射线BP于点F。
压轴题四:相似三角形的分类讨论问题
育才实验学校九年级数学压轴题库(四)相似三角形的分类讨论例1 如图10-5,已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==,.某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动,问:(1)经过多少时间,AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的19? (2)是否存在时刻t ,使以A M N ,,为顶点的三角形与ACD △相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.C D例2 如图,在平面直角坐标系中,点C (-3,0),点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,且满足2310OB OA -+-=.(1)求点A 、点B 的坐标;(2)若点P 从C 点出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB 由C 向B 运动,连结AP ,设ABP △的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 的函数关系式;(3)在(2)的条件下,是否存在点P ,使以点A ,B ,P 为顶点的三角形与AOB △相似?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.例3 已知在平面直角坐标系中,点C 在y 轴上,以C 为圆心,4cm 为半径的圆与x 轴相交于点A,B ,与y 轴相交于点D,E ,且,点P 是⊙C 上一动点(点P 与点A,B 不重合)连BP,AP(1)求∠BPA 的度数;(2)若过点P 的⊙C 的切线交x 轴于点G ,是否存在点P ,使△ABP 与以A,G,P 为顶点的三角形相似?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由。
BA ED xy Cy xAO CB例4 如图1,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.(1)求此抛物线的解析式;(2)如图2,若P点为抛物线上不同于A的一点,连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为S、R.①求证:PB=PS;②判断△SBR的形状;③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似,若存在,请找出M点的位置;若不存在,请说明理由.例5 如图,抛物线2y ax bx c =++经过点O(0,0),A(4,0),B(5,5),点C 是y 轴负半轴上一点,直线l 经过B,C 两点,且5tan 9OCB ∠= (1)求抛物线的解析式; (2)求直线l 的解析式;(3)过O,B 两点作直线,如果P 是直线OB 上的一个动点,过点P 作直线PQ 平行于y 轴,交抛物线于点Q 。
分类讨论思想在相似三角形中应用
f /
E C
・
.
.
AE =
A:O 2 ‘O . B=O 1 C= ,
’ . .
图4
・
.
.
A E的长是 3 或÷
J
’ .
。
A / C . /P B= 5 . P/ B.. A 4 0 ’
A 长 或 或或 . P 是 16警 的
例 3 ( 0 8年 广 东湛 江 市) 20 如
C
6求 A , E的长是 多少? B 分析 当以 A D E为顶点 ,、
图1
图 3所示 , 已知 抛物线 Y= 一1 与
轴交于 A, B两点 , Y 与 轴交于点 c . ( ) A , 1 求 , c三点的坐标. () 2 过点 作 A / C P / B交抛 物线
P( , a a+1 . )
允一
G C
・ .
。
形 与以 P B, , C为顶 点 的三 角形相 似, A 求 尸的长. 分析 从题意 的理解可知 , 以
C
.
点 P在抛物线 Y 一1 , = 上
a +1 =a 一 1.
・ .
图5
图2
解得 a : , 。 2 a =一 ( 1 不合 题意 , 舍去 )
. .
PE =3,
P, , A D为顶点 的三角形和 以 P, C为顶点 的三角形 相 B,
・ . .
似存在 两种情形 : A -AP C或 AP D' " B 通 过对应 边的比相等 的关 系来求解.
解
AP C 下面 B.
四边形 A B C P的面积
中考相似三角形经典题集锦
中考相似三角形经典题集锦1、如图,Rt三角形ABC中,∠BAC=90度,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能经过B、C),过D作∠ADE=45度,DE交AC于E。
1)三角形ABD与三角形ABC一定相似,因为∠BAC=∠BAD=90度,∠ABD=∠ACB,且AB=AC;2)设BD=x,则AD=2-x,DE=x/2,由三角形ADE的余弦定理可得y=(2-x)²/2-x/2;定义域为0<x<2;3)当三角形ADE为等腰三角形时,有x=2/√3,代入公式得AE=2-√3.2、已知:∠A=90°,矩形DGFE的D、E分别在AB、AC上,G、F在BC上1)由勾股定理可得DG²+GF²=DF²,代入BG=22,FC=2可得DG=4,GF=5,因此DGFE为3×4的正方形,边长为12;2)由矩形面积公式可得y=xy/2,即y=x²/2;当y=10时,代入公式得AD=4/√5.3、如图,矩形EFGD的边EF在三角形ABC的BC边上,顶点D、G分别在边AB、AC上.已知AB=AC=5,BC=6,设BE=x,矩形EFGD的面积为y。
1)由相似三角形可得EF=5x/6,DG=5-5x/6,因此y=x(5x/6-5)/2;定义域为0<x<6/5;2)当三角形GEC为等腰三角形时,有x=3/5,代入公式得y=9/4.4、在Rt三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E、F分别是AC、BC边上一点,且CE=AC,BF=BC。
1)由相似三角形可得CD=AB×BC/AC,BD=AB×AC/BC,因此XXX;2)由角平分线定理可得∠EDF=∠ADB=45°。
5、已知:在四边形ABCD中,∠B=90°,AD//BC,AB=2,AD=4,M是边CD中点,设BC=x,△ABM的面积为y。
相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)
1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h .(2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1)MN BC Q ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34x h ∴=(2)1AMN A MN Q △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ,①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时,1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··(04x <≤)②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<,设1A EF △的边EF 上的高为1h ,则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴Q ∥△∽△11A MN ABC A EF ABC ∴Q △∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=Q △22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭Q △△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述:当04x <≤时,238y x =,取4x =,6y =最大 MNA当48x <<时,2912248y x x =-+-,取163x =,8y =最大 86>Q ∴当163x =时,y 最大,8y =最大 2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;【答案】解:(1)Q 该抛物线过点(02)C -,,∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-. 将(40)A ,,(10)B ,代入,得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩,解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-. (2)存在.如图,设P 点的横坐标为m ,则P 点的纵坐标为215222m m -+-, 当14m <<时,4AM m =-,215222PM m m =-+-. 又90COA PMA ∠=∠=Q °,∴①当21AM AO PM OC ==时,APM ACO △∽△,即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭.解得1224m m ==,(舍去),(21)P ∴,.②当12AM OC PM OA ==时,APM CAO △∽△,即2152(4)222m m m -=-+-. 解得14m =,25m =(均不合题意,舍去)∴当14m <<时,(21)P ,. 类似地可求出当4m >时,(52)P -,.当1m <时,(314)P --,.综上所述,符合条件的点P 为(21),或(52)-,或(314)--,. 3.如图,已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12,、分别交x 轴于A B 、两点.矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G 与点B 重合.(1)求ABC △的面积;(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长;(3)若矩形DEFG 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为(012)t t ≤≤秒,矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出相应的t 的取值范围.【答案】(1)解:由28033x +=,得4x A =-∴.点坐标为()40-,.由2160x -+=,得8x B =∴.点坐标为()80,.∴()8412AB =--=. 由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩,.解得56x y =⎧⎨=⎩,.∴C点的坐标为()56,.111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·.(2)解:∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=,.∴D 点坐标为()88,. 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=,..∴E 点坐标为()48,. ∴8448OE EF =-==,.(3)解法一:①当03t <≤时,如图1,矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR (0t =时,为四边形CHFG ).过C 作CM AB ⊥于M ,则Rt Rt RGB CMB △∽△.∴BG RG BM CM =,即36t RG=,∴2RG t =. Rt Rt AFH AMC Q △∽△,∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△.即(图3)(图1)(图2)241644333S t t =-++.····························· 当83<≤t 时,如图2,为梯形面积,∵G (8-t,0)∴GR=32838)8(32t t -=+-, ∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时,如图3,为三角形面积,4883)12)(328(212+-=--=t t t t s4.如图,矩形ABCD 中,3AD =厘米,AB a =厘米(3a >).动点M N ,同时从B 点出发,分别沿B A →,B C →运动,速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于AB ,分别交AN ,CD 于P Q ,.当点N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (1)若4a =厘米,1t =秒,则PM =______厘米;(2)若5a =厘米,求时间t ,使PNB PAD △∽△,并求出它们的相似比;(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值范围;(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求a【答案】解: (1)34PM =,(2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2 (3)PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠Q ⊥,⊥,,AMP ABC△∽△,PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==Q ,,(1)3t a QM a-∴=- 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a=+,3t Q ≤,636aa∴+≤,则636a a ∴<≤,≤, N(4)36a <Q ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,则CN PM =()3t a t t a ∴-=-,把66at a=+代入,解之得23a =±,所以23a =. 所以,存在a ,当23a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等. 5.如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s ,点Q 运动的速度是2cm/s ,当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t (s ),解答下列问题: (1)当t =2时,判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积为S (cm 2),求S 与t 的函数关系式;(3)作QR //BA 交AC 于点R ,连结PR ,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ ?【答案】 解:(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=-23t 2+33t ;(3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ~△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ~△PRQ6.在直角梯形OABC 中,CB ∥OA ,∠CO A =90º,CB =3,OA =6,BA =35.分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1)求点B 的坐标; (2)已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点,OD =5,OE =2E B ,直线DE 交x 轴于点F .求直线DE 的解析式;(3)点M 是(2)中直线DE 上的一个动点,在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N .使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.A BDEFC OMNxy精选文档图7-2A D O BC 2 1MN 图7-1ADB M N12图7-3AD O BC21MN O .7.在图15-1至图15-3中,直线MN 与线段AB 相交于点O ,∠1 = ∠2 = 45°.(1)如图15-1,若AO = OB ,请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系; (2)将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2,其中AO = OB . 求证:AC = BD ,AC ⊥ BD ; (3)将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3,求ACBD的值.【答案】 解:(1)AO = BD ,AO ⊥BD ;(2)证明:如图4,过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ,∴∠ACO = ∠BEO .又∵AO = OB ,∠AOC = ∠BOE ,∴△AOC ≌ △BOE .∴AC = BE . 又∵∠1 = 45°, ∴∠ACO = ∠BEO = 135°.∴∠DEB = 45°. ∵∠2 = 45°,∴BE = BD ,∠EBD = 90°.∴AC = BD . 延长AC 交DB 的延长线于F ,如图4.∵BE ∥AC ,∴∠AFD = 90°.∴AC ⊥BD .(3)如图5,过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ,∴∠BEO = ∠ACO . 又∵∠BOE = ∠AOC , ∴△BOE ∽ △AOC .∴AO BOAC BE =. 又∵OB = kAO ,由(2)的方法易得 BE = BD .∴k ACBD=. 10.如图,已知过A (2,4)分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,若点P 从O 点出发,沿OM 作匀速运动,1分钟可到达M 点,点Q 从M 点出发,沿MA 作匀速运动,1分钟可到达A 点。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4,则它们的周长之比为()A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案:A解析:相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4,所以相似比为 1∶2,那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE∥BC,若 AD∶DB = 1∶2,则下列结论中正确的是()A AE∶EC = 1∶2B AE∶EC = 1∶3 C DE∶BC = 1∶2 DDE∶BC = 1∶3答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB =1∶2,所以 AD∶AB = 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例,所以AE∶AC = AD∶AB = 1∶3,所以 AE∶EC = 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C',相似比为 3∶4,△ABC 的周长为 6,则△A'B'C'的周长为()A 8B 7C 9D 10答案:A解析:因为相似三角形周长的比等于相似比,所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x,则6∶x =3∶4,解得 x = 8。
4、如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且DE∥BC,如果 AD = 2cm,DB = 1cm,AE = 15cm,则 EC =()A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以 AD∶AB =AE∶AC。
因为 AD = 2cm,DB = 1cm,所以 AB = 3cm。
所以 2∶3= 15∶(15 + EC),解得 EC = 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是()A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案:B解析:等边三角形的三个角都相等,都是 60°,所以两个等边三角形一定相似。
相似三角形经典例题
初三期末考试综合题——相似三角形相似三角形在期末考试综合题部分经常出现,相似三角形的判定,相似三角形的分类讨论都是中考的考察重点.经典例题:一、相似三角形的判定1.如图,△ABC中,点D在AC上,CD=2AD,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连结AE. 已给的图形中存在哪几对相似三角形?请选择一对进行证明.解:图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB两对证明:(1)△ADE∽△AECCE⊥BD于E∠BDC=60°,CD=2AD,∠BDC=60°,△ADE∽△AEC证明:(2)∽提示:在证明△BCD∽△ACB时证出①②③④△BCD∽△ACB【点评】判定相似三角形的时候,计算角度是一个常用方法.两个三角形中两个角对应相等,则这两个三角形相似.本题每个角度都能计算自然相似的判定并不麻烦.2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,∠ABC=2∠BAC,弦BE交AC于点D,连接AE,若,点C坐标是(a,0),点F坐标是(0,b).(1)请你写出圆心O的坐标(____,____);(用含a,b的代数式表示)(2)求线段BD的长.解:(1)()(2),,,,,,,∽,,,,点坐标是(,0),设的长为∽即解之得:的长为.【点评】本题看到比例式和圆中同弧所对的圆周角相等,可以判定相似三角形.二、相似三角形中的分类讨论3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,将另外一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D 放在AB边上,E、F分别在AC、BC上,当点D在AB 边上移动时,DE始终与AB垂直.(1)设AD=x ,CF=y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围;(2)如果△CEF与△DEF相似,求AD的长.解:(1)∵∠EDF=30°,ED⊥AB于D,∴∠FDB=∠B=60°.∴△BDF是等边三角形.∵BC=1,∴AB=2.∴2-x=1-y.∴y=x-1.自变量的取值范围是:.(2)①如图,∠FED=90°,△CEF∽△DEF,∴,即解得,.∴..②如图,∠EFD=90°,△CEF∽△FED,∴,即.解得,.∴.∴.【点评】在没有指明对应顶点的前提下,分类讨论也是相似三角形所需要注意的问题.。
相似三角形八大模型归纳例题
相似三角形八大模型归纳例题相似三角形,这可是个有趣的话题!大家好,今天我们就来聊聊这八大模型,轻松又幽默地让你了解它们,没问题吧?想象一下你在公园里散步,忽然看到两个小朋友,一个高一个矮,他们在玩搭积木。
高的小朋友把积木堆得高高的,矮的小朋友也不甘示弱,拼命地跟着学。
这不就是相似三角形的真实写照吗?他们的比例相同,但是大小却不一样,这样想就简单多了。
咱们得了解相似三角形的基本概念。
简单来说,相似三角形就像一对亲密无间的兄弟,虽然身高不一样,但长相、比例却是那么相似。
就好比你家猫咪和邻居的猫咪,虽然毛色不同,但总能一眼认出它们是亲戚。
这种相似可不光是外表,连角度都得一样。
没错,角度就像我们的性格,各有千秋但都能和谐共处。
我们来聊聊相似三角形的判定。
首先是AA判定,就是两个三角形的两个角相等,嘿,这简直像是两个人在合唱,和声完美,谁都不敢说不。
这一招,绝对是相似三角形的杀手锏。
然后就是SSS判定,三个边的比例相等,这可不简单,像极了团队合作,每个人都发挥了自己的作用,最终实现了目标。
SAS判定,两个边的比例相等,还有夹角相等。
这就像打麻将,牌虽然不一样,但搭配得当,赢的机会就大大增加了。
咱们再来看看实际应用。
比如,建筑师设计房子的时候,就得用到这些相似三角形的原理,保证建筑的稳定性和美观性。
你想想,如果房子的角度都乱了,那可就麻烦大了!还有航海测量,水手们通过相似三角形来测量距离,别小看这个,关键时刻可关乎生死,真是一不小心就得跳海了。
学习相似三角形不光是为了考试,生活中处处都能见到它的影子。
你去超市买东西,看到两瓶相同品牌的饮料,虽然瓶子大小不一样,但标签和设计却一模一样。
这样一来,你就能轻松判断哪瓶更划算。
这就像购物时遇到的“买一送一”,表面看似优惠,其实是相似三角形的另一种变相体现。
说到这里,可能有人会觉得相似三角形太抽象,不够有趣。
学数学就像是吃大餐,得慢慢品味,才能发现其中的美味。
想象一下,你在烧烤摊,烤肉时得掌握火候,太熟了或者太生了都不好,学数学也是如此,掌握了相似三角形的精髓,才能在考试时游刃有余。
相似三角形---圆和相似的分类讨论
5. (2014•黑龙江牡丹江)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6, CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发, 沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P 运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒. (1)求线段CD的长; (2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是 否存在某一时刻t,使得S△CPQ:S△ABC=9:100?若存在,求出t的值; 若不存在,说明理由. (3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
5.(2013湖北宜昌)如图9,点A,B,C,D的坐标分别 是(1,7 ),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶 点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是 (
.
).
• 6.如图,△ABC是格点三角形(三角形的三 个顶点都是小正方形的顶点),若以格点P、 A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等, 则格点P的坐标是 .
1.(2011•白云区模拟)如图,在直角△ABC内,以A 为一个顶点作正方形ADEF,使得点E落在BC边上. (1)用尺规作图,作出点E在BC上的位置(保留作图 痕迹,不写作法和证明); (2)若AB=6,AC=2,求正方形ADEF的边长.
• 9.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.半径为1的圆 的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动, 设移动时间为t(单位:s). • (1)当t为何值时,⊙P与AB相切;
• 10.如图,在平面直角坐标系中,直线l∶y=-2x-8分别 与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上 的一个动点,以p为圆心,3为半径作 ⊙P . • (1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P 与x轴的位置关系, 并说明理由; • (2)当k为何值时,以⊙P 与直线l的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形?