静电场的环路定理

r +dr
q0
r
rb
a ra + q
——点电荷的电场力作功 只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关 与路径无关
2
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)
将电荷q0从a点移动到b点，在任意点c受电场力 F q0E
a
q1
q2
qi q j
r
En
q0
c
rE
E1
qn
b
该处的场强为
E E1 E2 En
无意义
VP

P
E
dr
rP
2 0r
dr

2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP

P0
P
E
dl

P
P
E 百度文库dl

P0
P
E dl
r0 P0

P
P
2
0r
dr

2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，

E
x


V x
E
y


V y
Ez


V z
E
(
V x
i

V y
j

V z
k ) V
23
例. 求均匀带电Q，半径为R的圆环轴线上任意一点的场强。
解: 已求得圆环轴线上 任意一点P的电势为
VP 40
Q R2 x2
则该点的电场
r
R
.
o
xP
x
E
P

(
V x
点电荷q的电场强度为 E
dA

F
dl qq0

qq0
4 0 r 2 cos dl
er
dl qq0
q
40r 2
dr
er
4 0 r 2
4 0 r 2
积分
A
b a
qq0
4 0 r 2
dr

qq0
4 0

1 ra

1 rb

F dl dr
b
c
10
例. 求均匀带电球面电场中任一点P的电势分布。
设球面半径为R，总带电量为q。
VP

V
P
0
E

dl
q
P

o
r
P
R

r



V
解: 用定义法, 选V= 0,
r R处 r R处
VP


P
E

dr


rP
q
40r2
dr

q
40r
0
VP


E dr

R
r
E1

dr
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
Va

V
a
0
E
dl
微分关系： E grad V
注
r
r
已知r E 可以求V , 已知V 可以求 E。
求 E 的方法又增加一个！
场强的大小取决于
E dV n dn
电势在该点的空间 变化率，与该点电
直角坐标系中，电势函数V=V(x,y,z) 势数值的大小无关！
i

V y
j

V z
k)
V y
0
V z
0
EP Ex
方向沿x轴

V x

Qx
40(R2
3
x2)2
24
例.由电偶极子的电势公式，求其电场的分布。
解: 已求得电偶极子电场中的电势为
V(r )

pe er
40r 2

ql cos 40r 2
e er
P
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP


P

E dl

r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
x
|
x , VP 0
相当于点电荷
17
一、等势面
第6节 电势梯度
Electric Potential Gradient
1.定义
电场中所有电势相等的点构成 的曲面叫等势面。
（可由实验测定）

V
q
40r
18
2. 等势面与场强的关系
① 在等势面上移动电荷时,电场力不做功；
Aab q0(Va Vb )
如图取极坐标系,则电场强度为
r
E Erer E e
其中
Er


V r

2ql cos 40r 3
E


V
r

ql sin 40r 3

r
r
r+
r q l +q
当



2
时
E E
pe
40r 3
中垂线上一点的场强
当
0
时
E

Er
2 pe
40r 3
解:根据迭加法，在带电圆环上取电荷元dq
VP
q
dq
40r
其在P点产生的电势为
dq
dVP

dq
4 0r
所有电荷在P产生的电势
. R
r
qo x P x
VP

0q
dq
40r
q

0q 40
dq R2

x2
讨论
1o 2o
|x4x|00, RRV,2PVPx424q0qR0|

1 2
mv2
v
2eU m
R2 R1
U
Va

Vb

b
a
E

dl

A q0
7
定义：电场中任意点P 的电势
VP

V 0
P
E
dl
Va
Vb

b
a
E
dl
把单位正电荷从P点沿任意路径移动到零势点,电场力力做的功
单位：伏特或焦耳/库仑, 记为V或J/C, 1V＝1J/C
注意
1o 电场中某点的 “V ” 由场源电荷及场点位置决定，与q0无关。 它描述的是电场“能的性质”。 2o 电势是标量，有正、负。 3o 电势是相对量，相对于 V =0 处而言。 原则上可选电场中任意一点的电势为零。
电势零点不能再选在无穷远处。
12
2. 用叠加法求V
在点电荷系 q1 , q2
任意点P处的电势
qn 的电场中,
V

q
40r
q1
r1
r2
q2
qi q j
.P
rn
qn
VP


P
E

dl


P
E1 E2
En dl


P
E1

dl
P E2 dl

P En dl
E

dl
即：a、b两点的电势差 = A/q0
将单位正电荷 从ab电场力作的功
与路径无关
6
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？
解：由电势差的定义可得
A q(V V ) (e)(U )

1 2
mv2

0
即
eU
E
b
L
dA F dl q0E dl
在力 F 作用下，q0从a点经某路径L到
达b点，电场力做的总功为
a
A
F dl
L

L q0E dl
q0
E dl
L
q0 dl
电场强度E 沿路径L的线积分
E dl A
L
布
q0
积分取决于电场强E度 的分
1
1.在点电荷q的电场中
电场力做功 dA F dl q0E dl
② 电场线与等势面处处正交; ③ 电场线方向指向电势降低方向; ④ 若相邻等势面电势差相等,则
等势面密处场强大；
等势面疏处场强小。
Va
Vb

b
a
E
dl



19
二、电势梯度矢量（ grad V ）
Va
Vb

b
a
E
dl
表示 E 与V的积分关系 E 与V的微分关系?
r P1 E
P2 n
Electric Potential Difference and Electric Potential
一、电势差和电势
从上一节讨论可知
b
a
E

dl

b
a
E

dl
L1
L2
存在与位置
有关的态函数
b
L1
L2
q0
与重力势能类似
a
定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，
则两点间的电势差为
Va
Vb

b
a
8
注意
4º电势零点的选取
电荷分布在有限空间，
理论上
取无穷远为 V = 0 点。
电荷分布在无限空间， 取有限远点为V = 0 点。
一般工程上 选大地或设备外壳为V =0点
9
二、电势的计算
1. 用定义法求V
VP

V
P
0
E

dl
例. 求点电荷q电场中任意一点P 的电势V =？

qP
解: 设 r V 0
q0Vo 28.81011 J
14
例 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中 两点电荷+q、-q的距离为l。
解：用迭加法
VP


Vi
iq
4 0
((Pr)r4) q0r r r

q
4 0r
P
r
r
r+
当 r >> l 可做如下近似
r

r

2)将q0=1×10-9C从无穷远处移动到o点，电场力做的功。
解：1) 用迭加法，各点在o点的电势
q
V1 V0

V2 V3 V4 q
4V1 40r

4 0 r
28.8 102V
2) 由定义知，电场力做的功
o
o

A
F dl

q0E dl
o q0E dl
求:延长线上任意一点 P 的电势。
r

o
x

x dx
P
L
l
x
解：用迭加法，取电荷元
dq dx
dV

dq
40r

dx 40(L l

x)
P 的电势
VP dV
L
0
dx 40(L l x)

40
ln
L
l
l
VP
q
dq
40r
16
例.求一均匀带电圆环轴线上任意点P 的电势. 设圆环半径为R，总带电量为q。
延长线上一点的场强
25
小结
r （1） E grad V
dn
E
n
P1
P2
取决于V 在该点的空间变化率,
第4节 静电场的环路定理
Circuital Theorem of Electrostatic Fields
电场力 场
→ 高斯定理 → 有源
一、静电场力做电功场力做功 → 环路定理 → 无旋场
由电场强度的定义可知，在静电场 E 中，电荷q0
受位到移电为dl场力时F，电q0场EF力
的作用。当q0在电场中的 做功：
b电场力作功：
b L2
L1
q0
a
A Lq0E dl

b
a
q0
E
dl

a
b
q0
E
dl
L1
L2

b
L1a
q0
E

dl

b
L2a
q0
E

dl
ab q0E dl ab q0E dl
L1
L2
A Lq0E dl 0
LE dl 0 静电场的环路定理
l 2
cos
r

r

l 2
cos
r q l +q
VP

q
4 0
(
r r r r
)

q
4 0
(r2
l
cos l2 cos2
)
4
由 pe er ql er ql cos
得
VP

pe er
4 0r 2
15
例.长为L 的均匀带电导线, 电荷线密度为+.
El


dV dl
电势V沿 dl 的空间变化率
20
1.电势梯度定义：
电场中某点的电势沿过该点等势面的 法线方向的空间变化率叫该点的电势 梯度。
r E
（实际上是电势在该点的最大空间变
化率）
P1
dl
P2 n
P2
梯度定义：
grad V

dV dn
n
V V dV 大小：ddVn
方向:与n 同向
21


R
E2

dr
0 Rr
P


R
q
40r2
dr

q
4 0 R
注意 E =0的区域, “V ”不一定为零
关 场 区 是 等 势 区
与 点 的 位 置 无
11
例. 求半径为R, 电荷线密度为的无限长均匀带电细线的
电势分布？
解：无限长均匀带电细线电场分布
E

20r
er
若令V= 0 则任意点P的电势为
dl P2
在静电场中取两个相距很近的等势面
V
V和V+dV，讨论V和V+dV上任意两点
P1和P2的电势差。
V dV
沿电势增加的方向作等势面的法线n ，电场强度E 与 n方向相反。
VP1
VP2
dV

P2 P1
E
dl
E cos dl
E cos 为场强 E 在 dl 方向的分量 El
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E


dV dn
grad V
E


dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
电场力作功
A
F dl

b
a
q0E
dl
q0ab(E1E2 En) dl
结论
A q0ab E1 dl q0ab E2 dl q0ab En dl
电场强度的线积分与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。 3
二、环路定理
在任意电场中, 将q0从a
经L1 经L2
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
4
注
1º若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该矢量场为无旋场。
静电场两个基本性质：
高斯定理
S
E

dS

1
0
qi
S
有源场
环路定理 LE dl 0
无旋场
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场部分 讨论。
5
第5节 电势差和电势

V1q1
V2
q2
Vk
40r1 40r2
qn
4 0rn
VP
Vi
i
i
qi
4 0ri
电势叠加原理
任意带电体场中的电势
VP
q
dq
40r
13
例 点电荷q1= q2= q3= q4=4×10-9C，放置在一正方形的顶角上 ，各顶角距离中心5cm 。 求: 1)中心o点的电势；