第二章习题解答

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z 1 由H ( z ) = Roc : < z < 3 求h ( n ) 1 3 z − ( z − 3) 3 H ( z) 1 A1 A2 = = + 1 1 ( z − 3) z z − ( z − 3) z − 3 3
H ( z) 3 A1 = Res =− 8 z z =1/ 3 H ( z) 3 A2 = Res = z z =3 8
第二章习题讲解
2-1求以下序列的z 变换并画出零极点图和 收敛域：
1 (2) x(n) = u (n) 2
ZT [ 解：x ( n ) ] =
n =−∞
n
∑
∞
x(n) z
−n
1 −n = ∑ z n =0 2
∞
n
1 −1 z <1 2
j Im[ z ]
1 z = 1 −1 = 1 1− z z− 2 2
∞ n =−∞
− jω n
得 X (e j0 ) =
n =−∞
∑
∞
x ( n ) e− j 0⋅n =
∑ x (n)
=6
（2）
∫π
−
π
X ( e jω )dω
解：由序列的傅里叶反变换公式 1 π −1 jω x(n) = DTFT [ X (e )] = X (e jω )e jωn dω 2π ∫−π
−1
n
∞
2z z =− = 1 − 2z z − 1 2 零点：z = 0 1 极点： z = 2 1 收敛域： z < 2
2z < 1
j Im[ z ]
1/ 2 0 Re[ z ]
2-2 用长除法，留数定理，部分分式法求以下 的z反变换
X ( z)
部分分式法
1 −1 1− z 2 （1） X ( z ) = 1 −2 1− z 4
π
jω −
2
dω = 2π
∑ x (n)
= 28π
2-7 研究一个输入为 x(n)和输出为 y (n) 的 时域线性离散移不变系统，已知它满足
10 y (n − 1) − y (n) + y (n + 1) = x(n) 3
并已知系统是稳定的。试求其单位抽样 响应。
10 y (n − 1) − y (n) + y (n + 1) = x(n) 3
z 1 z− 3
z > 1/ 3
1 u ( n) 3
n
n
−z z −3
z <3
3n u (−n − 1)
3 1 3 n ∴ h ( n ) = − u ( n ) − × 3 u ( −n − 1) 8 3 8
得
∫π
−
π
X (e
X (e
jω
dω = ∫ X ( e jω )e jω⋅0 dω = 2π x ( 0 ) = 4π ) −π
π
（3）∫
π
jω
−π
)
2
dω
n =−∞
解：由Parseval公式 Parseval公式
∑ x (n)
∞ n =−∞
∞
2
1 = 2π
2
∫ π X (e )
π
jω −
2
dω
得
∫ π X (e )
u ( n)
x(n)e − jωn = ∑ e − (α + jω0 ) n e − jωn
n =0 ∞
X (e jω ) =
n =−∞
∑
∞
∞
= ∑e
n=0
−[α + j (ω0 +ω ) ]n
= ∑ e
n=0
∞
−α
⋅e
− j (ω0 +ω )

n
1 = 1 − e −α ⋅ e − j (ω0 +ω )
解：对差分方程两边取z变换
10 z Y ( z ) − Y ( z ) + zY ( z ) = X ( z ) 3 Y ( z) 1 得系统函数：H ( z ) = = X ( z ) z −1 − 10 + z 3 z z = = 1 10 2 z − z + 1 z − ( z − 3) 3 3 零点：z = 0, ∞ 1 Q系统稳定 ∴ Roc : < z < 3 1 极点：z = , 3 3 3
求 ZT x2 ( −n − 1)
x2 (n) 翻褶 x2 (− n) 左移一位 x2 ( −n − 1) uuuur uuuuuuuuur
1 ZT x2 ( − n ) = X 2 z 1 = 1 1− z 3
1 ZT x2 ( − n − 1) = z ⋅ X 2 z 1 = z⋅ 1 1− z 3
1 1 > ⇒ z 3
z <3
2-4 求以下序列 x(n)的频谱 X (e jω ) : （1）
X (e jω ) = =
δ (n − n0 )
n=−∞ n =−∞
∑
∞
∞
x(n)e − jωn
n =−∞
δ (n − n0 )e− jωn ∑
= e − jωn0
（3） e
− (α + jω0 ) n
得 x(n) = 8δ (n) + 7 × 4− n u ( − n − 1)
2-3 有一个信号 y (n) ，它与另两个信号 x1 (n) 和 x2 (n)的关系是
y (n) = x1 (n + 3) * x2 (−n − 1)
1 x2 (n) = u (n) 3 1 已知 ZT a n u ( n ) = 1 − az − 1 , z > a 1 其中 x1 (n) = 2 u (n),
当 e −α < 1 ⇒ α > 0
X ( e jω ) 是如图所示的 x ( n ) 信号的傅 2-6 设 里叶变换，不必求出 X ( e jω ) ，试完成下列
计算：
（） X ( e j 0 ) 1
解：由序列的傅里叶变换公式
∞
X (e ) = DTFT [ x(n)] =
jω
n =−∞
∑ x ( n)e
1 z > 2
1 Q X ( z) = 1 −1 1+ z 2
n
1 1 z > =− 2 2
z >a
1 查表由 ZT [a u (n)] = 1 − az −1 得 1 x ( n) = − u ( n) 2
n
1 − 2 z −1 1 X ( z) = z < （2） 1 −1 4 1− z 4 X ( z) z−2 A B = = + 1 z z z−1 z − z 4 4 X ( z) A = Res = 8 B = Res X ( z ) = −7 z 1 z z =0 z= 4 −7 z ∴ X ( z) = 8 + 1 z− 4 −1 n 查表由 ZT [a u (−n − 1)] = z <a −1 1 − az
3 3 − z z H ( z) = 8 + 8 1 z −3 z− 3
3 3 − z z 1 8 + 8 H ( z) = Roc : < z < 3 1 z −3 3 z− 3 1 n ZT [a u (n)] = z >a −1 1 − az −1 n ZT [a u (−n − 1)] = z <a −1 1 − az
n n
利用 z 变换性质求 y (n) 的 z 变换Y ( z )
1 解： 由x1 (n) = u (n) 2
n
1 1 z > 得 X 1 ( z ) = ZT [ x1 (n)] = 1 −1 2 1− z n 1 2 由x2 (n) = u (n) 3 1 1 得 X 2 ( z ) = ZT [ x2 (n)] = z > 1 −1 3 1− z 3 由序列的移位性质，得 z3 1 3 ZT [ x1 (n + 3)] = z X 1 ( z ) = z > 1 −1 2 1− z 2
零点： z = 0 1 极点： z =
1/ 2
0
2
Re[ z ]
1 收敛域： z > 2
1 （3） x( n) = − u ( − n − 1) 2
解：
ZT [ x(n)] =
n
n =−∞
∑ x ( n) z
∞
−n
1 − n = −2n z n = ∑ − z ∑ n =1 n =−∞ 2