2.3等差数列求和及其性质

一层有n支铅笔。
问：这个V形架上共放
着多少支铅笔？
问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n -1) ＋ n 若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计算： 1 (n 1) n ① n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ② 2 3
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项和.
n(n 1) 5 75n 5n 2 Sn 5n ( ) 2 7 14 5 35 5n 5 40 5n an 5 (n 1)( ) 7 7 7
令an 0得n 8
等差数列的前n项的最值问题 例4.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=－2
则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.
Sn
3 11 n 7 2
n 3 7 11
等差数列的前n项的最值问题 例4.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 15 n an 0 2 由 得 13 a 0 n 1 n 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列
an an1 d
递推公式 （定义）
an an1 d an an1 an1 an 2an an1 an1
an a1 (n 1)d
通项公式
an am (n m)d an am (n m)d
an dn p
Sn a1 a2 a3 an Sn an a n1 an2 a1
①
②
又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
2Sn n(a1 an ) 即S n n(a1 an ) 2
求和公式 等差数列的前n项和的公式： n(a1 an ) Sn 2
Sn a1 a2 a3 an
Sn g (n)
商店有一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层
都比它下面一层多放一
支，最上面一层放100支. 请问这个V形架上共放着多少支铅笔吗？
问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都 比它下面一层多放一支，最上面
an dn p
求和公式
Sn n(a1 an ) n(n 1) na1 d 2 2
公式应用
根据下列各题中的条件，求等差数列｛an｝的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=－2，n=50
n(a1 an ) 10 (5 95) 500 解： 1 Sn 2 2 n(n 1) 解： d 2 Sn na1 2 50 (50 1) 50 100 -2 2550 2
S 28 28
S28＝1092.
n(n 1) Sn na1 d 2
来自百度文库
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
等差数列
an an1 d
递推公式 （定义）
an an1 d an an1 an1 an 2an an1 an1
an a1 (n 1)d
通项公式
an am (n m)d an am (n m)d
法三： ∵{an}为等差数列， ∴等段求和依然等差数列． 设每 4 项一段，第 n 段的和为 bn ，
b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7
b1 b2 b3 84 3b2 , b1 b2 b3 b4 b5 460 5b3
b2 28, b3 92 d 64
2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
n (n 1) 1 2 3 (n 1) n 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的 项和呢？ 前n项和
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数 是n，第n项为an，求前n项和Sn .
2 12 a ＋ 12 b ＝ 84 ， ∴ 2 20 a ＋ 20 b ＝ 460 ，
2
12a ＋ b ＝ 7 ， 整理得 20a ＋ b ＝ 23 ，
a ＝ 2 解得 b ＝－ 17
2
，
∴ Sn ＝ 2n － 17n ， S28 ＝ 1092.
等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
1
，
2a1＋ 11d＝ 14， a1＝－ 15， 整理得 解得 2a1＋ 19d＝ 46， d＝ 4，
n n－1 ∴Sn＝－15n＋ ×4＝2n2－17n， 2 ∴S28＝2×282－17×28＝1092.
法二：设 Sn＝ an ＋ bn. ∵ S12 ＝ 84 ， S 20 ＝ 460 ，
求和公式
Sn n(a1 an ) n(n 1) na1 d 2 2
An2 Bn
2 S An Bn m n 2 2 A ( n m ) B ( n m) m n 2 Sm Am Bm n
2 7 A 7B 7 2 15 A 15 B 75
不含d
由于an a1 n 1 d , 故
n(n 1) Sn na1 d 2
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
a1 n an
n(a1 an ) Sn 2
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
a1 n a1 an (n-1)d
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
n n－1 【解】 法一：设{an}的公差为 d，则 Sn＝na1＋ d. 2
由已知条件，得 20×19 20a ＋ 2 d＝460
12×11 12a1＋ d＝84 2
等差数列的前n项的最值问题 例4.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0
法四：
Sn ∵{an}为等差数列，∴{ }是等差数列． n 设 bn
Sn n
，则 b12
S S12 7, b20 20 23 12 20
S28 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 7b4 7*(92 64) 1092
∵12+28=20*2 ∴2×b20 ＝ b12 ＋ b28 ， 解得 b28 39 所以
1 1 3 13 3 2 d 11 13 11 10 d 2 2
1 Sn 13n n( n 1) ( 2) 2 2 2 n 14n (n 7) 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题 例4.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－2<0