混沌时间序列分析理论与方法

在上式中a=D2,且在嵌入维i和i+m下，有:
K lim
i
其中 b b b 。按最小二乘法思想，要得到 ˆ a，bi的最优估计 aˆ ，b ，要求残差平方和
i i i m
ˆ )]2 ˆ ij b Q(a, bi ) [ yij (ax i
i j
达到最小，因此，由二元函数取极值的必 要条件得到
(1) 计算延迟时间 、嵌入维数m、平均周期p； (2) 根据时间延迟 、嵌入维数m重构相空间:
{Yj , j 1, 2,..., M }
(3) 找相空间中每个点 暂分离，即
X
的最近邻点
，并限制短
d j (0) min || Yj Yˆj ||
| j ˆ j | p
(4) 对相空间中每个点 时间步后的距离
上述方程中，第一个方程的第一个零点和第 二个方程的第一个极小值点即为最优延迟时 间，第三个方程全局最小值为时间窗口长度
3.2嵌入维数计算
G-P算法的主要步骤 (1)利用时间序列X1,X2,…,XN,先给定一个较小的嵌入维数 m0,重构相空间，得到新的序列{Yi} (2)计算关联积分C(r) (3)对于r的某个取值范围，吸引子的维数d与累积分布函数 C(r)应满足对数线性关系，即d(m)=LnC(r)/Lnr,从而可用最 小二乘拟合得到对应于m0的关联维数估计d(m0) (4)增加嵌入维数m0,重新计算步骤(2)和(3),直到相应的维数 估计值d(m)不再随着m的增加而在一定误差范围内不变为 止。
2.1.1Lyapunov求解原理
在实际动力学混沌识别中，通常只估计最大Lyapunov 指数，下面介绍一种算法—— 小数据量法。 设混沌时间序列{x1,x2,…,xN},嵌入维数m，时间延迟 ，重构相空间后有：
其中N=M+(m-1) ,在重构向空间后，寻找给 定轨道上每个点的最近邻点，即
d j (0) min || Yj Yˆj ||
结
束
谢 谢！
总 结
关于混沌判定，一般应用最大Lyapunov 指数，或者Kolmogorov熵，或者结合两者判 定。在计算延迟时间方法上，常用的有互信 息法和C-C法，计算嵌入维常用的方法有GP 算法，这种方法是先计算出混沌时间序列 的关联维，然后在根据 m>(2d+1) 计算出嵌 入维数。还有一种方法是 Cao方法，这种方 法 可 以 直 接 计 算 出 嵌 入 维 数 。
| x(tn) || x (t 0) | | f '[ x (ti )] || x (t 0) | e tn
n 1 i 0
则称
1 n 1 lim ln | f '[ x(ti )] | tn tn i 0
为系统Lyapunov指数。 当 0 时，系统具有混沌特征。
ln d j (i) ln C j 1 (it ),( j 1,2,..., M )
最大Lyapunov 指数相当于上面这组直线的斜率， 通过最小二乘法逼近这组直线得到：
y (i ) 1 ln d j (i ) t
其中 表示所有关于j的平均值。
2.1.2算法实现及计算步骤
ij
( x
j
xi ) 2
其中
xi
yi
1 ni
1 ni
x
j
ij
y
j
ij
ni为嵌入维为i时，无标度区间内满足线性关系的 点的个数
3.混沌相空间重构理论
相空间重构是对一维时间序列，按照 延迟时间和嵌入维数重构一个与原动力系 统等价的相空间，而重构后的相空间可以 进行混沌的判定、分析及预测。即在重构 过程中有两个参数选取特别重要——延迟 时间和嵌入维数。
在某一嵌入维i下，在log2 l ~ log2 Cd2 (l) 关系的无标度区 间内，记:
xij [log2 l ]ij
2 yij [log2 Cd (l )]ij
在式中i为嵌入维数，j为在某一嵌入维数i下，无 标度区间内满足线性关系的点的角标。根据上式 有:
yij axij bi
bi m
其中 t 为样本周期,dj(i)是基本轨道上第j对最近邻 点对经过i个离散时间步长后的距离。最大Lyapunov 指数的几何意义是量化初始闭轨道的指数发散和估计 系统的总体混沌水平的量。因此，结合上式有：
d j (i) C j e1 (t ) , C j d j (0)
将上式两边取对数可得：
x(tn 1) x(tn 1) f [ x(tn) x(tn)] f [ x(tn)] x(tn) f '[ x(tn)]
所以
x(tn 1) x(tn) f '[ x(tn)]
Lyapunov定义：设相轨迹上两点之间的初始距 | x(tn) | 表示经过n次迭代后该两点之 | 离为 | x(t 0) ，用 间的距离，有
X
Y (ti ) ( xi , xi ,..., xi(m1) ) Rn (i 1,2,..., M )
| j ˆ j | p
其中p为时间序列的平均周期，则最大Lyapunov 指数就可以通过基本轨道上每个点的最近邻点的平均 发散速率估计出来：
M i d j (i) 1 1 1 (i) ln it (M i) j 1 d j (0)
计算出该邻点对的i个离散
d j (i ) | Y j i Y ˆj i |, i 1, 2,..., min(M j , M ˆ j)
(5)对每个i，求出所有j的
ln d j (i) 平均y(i)，即:
1 q y (i) ln d j (i ) qt j 1
其中，q为非零 d (i) 的数目，并用最小二乘法做 出回归直线，该直线斜率就是最大的Lyapunov 指数。
w d
w
p
2 C (m, N , r , t ) (r dij ) M (M 1) 1i j M
其中 r 0, dij || Yi Yj || , (Z ) {1, Z 0 关联积分是一个累积分布函数，表示相空间 中任意两点之间距离小于半径r的概率，这里点与 点之间的距离用矢量之差的无穷范数表示。定义 检测统计量为
S2 (m, t ) max{S2 (m, r, t )} min{S2 (m, rj , t )}
在实际计算过程中我们常选取：N=3000， m=2,3,4,5, ri i / 2 ,i=1,2,3,4
1 5 4 S 2 (t ) S 2 ( m, r , t ) 16 m 2 j 1 1 5 S 2 (t ) S 2 ( m, t ) 4 m2 S 2 cor (t ) S 2 (t ) | S 2 (t ) |
Q ˆ )]x 0 ˆ ij b 2[ yij (ax i ij ˆ a i j
Q ˆ )] 0 ˆ ij b 2[ yij (ax i ˆ b j
i
求解上式得：
ˆ a lxy lxx
( x
i j i
பைடு நூலகம்
ij
xi )( yij yi )
• 对于初值条件的极端敏感依赖性 该特征是指混沌不可无限预测，即使 初始状态极为靠近的两点，随着时间也会 呈指数函数扩大。 • 非周期性表明混沌的非线性和无序性 • 存在奇异吸引子 吸引子是指相空间中的一点集或一个 子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡后 所有轨迹都趋向与它。
对确定性系统来说，吸 引子维数为整数，但混 沌吸引子的维数却是分 数，所以称为奇异吸引 子。 右上1：单摆吸引子 右下2：Lorenz奇异吸引 子
混沌理论把混沌描述为无序的，非周期 性的现象。自从科学家不懈地探索自然规 律以来，无序、非周期性现象就一直被忽 略。自然界中不规则的方面、不连续和不 稳定的方面，一直是科学的难题，是无法 理解的怪物。科学家常常把它们当做噪声 或科学垃圾扔掉。而混沌不同于噪声，有 其自身的规律。这正是科学家所要研究的
3.1延迟时间计算
C-C法计算延迟时间: s 指时间序列的采样间隔， d t s 我们定义： 指时间序列的最优延时， (m 1) 指延迟时间窗 ( t ) 为时间延 口， p 是平均轨道周期 ( ) ， 迟的数值，m是嵌入维数，N是数据组的大小， 数据点数位 M N (m 1) ，则重构相空间中嵌入时 间序列Y(i)的关联积分定义为：
j
2.2Kolmogorov熵
Kolmogorov熵K在混沌的度量中有着相 当重要的应用。对于规则运动，K=0; 随机 系统K=无穷，若系统表现确定性混沌 ， 则 Kolmogorov熵是大于0的常数。Kolmogorov 熵越大，那么信息的损失速度越大，系统的 混沌程度越大。
Kolmogorov的计算
2.混沌识别
混沌识别主要包括定性和定量两种方法，定 性方法主要通过揭示混沌信号在时域或频域中表 现出的特殊空间结构或频率特性来判别，这种方 法简单直观，但是过于笼统。 定量方法通过计算混沌信号奇异吸引子的特 性参数来辨别混沌行为的方法。主要有两个： (1)描述邻近轨道发散率的Laypunov指数 (2)描述吸引子维数的关联维数和反映信息产生 频率的Kolmogorov熵
0, Z 0
S1 (m, N , r, t ) C(m, N , r, t ) Cm (1, N , r, t )
上式在实际计算时，需要先把时间序列{x(n)} 拆分为t个不相交的子序列，长度均为： Ns N / t ， t为重构时延：
X 1 {x1 , xt 1 ,..., xN t 1} X 2 {x2 , xt 2 ,..., xN t 2 } ................. X t {xt , x2t ,..., xN }
2.1Lyapunov指数
混沌系统初值敏感性是指相空间中初始距离 很近的两条轨迹会以指数速率发散，Lyapunov 指数即是根据相轨迹有无扩散运动特征来判别系 统的混沌特性。在相空间中，轨迹间的距离分别 表现为线度、面积和体积。 对一维映射x(t+1) = f[x(t)],假设初始位置x(t0) 附近有一 x(t 0) x(t 0) ,则经过n次迭代后，有
1.2混沌的定义
• 非线性确定性系统中, 由于系统内部非线性 相互作用而产生的一种非周期的行为 • 对初始状态敏感，表现似周期、非周期和 不可预报性的过程 • 在确定性的非线性动态系统中出现的貌似 随机的、不能预测的运动。 • 对初始条件敏感的非线性确定性系统的动 态，具有正的李雅普诺夫指数。
1.3混沌运动的特点
然后将上式采用分块平均策略，计算每个 序列的S(m,N,r,t)为：
1 t N N m S2 (m, N , r , t ) [Cs (m, , r , t ) Cs (1, , r , t )] t s 1 t t
对于延迟时间Td的确定：S(m,N,r,t)的 第一个零点对应的t或者下式中的第一个极 小值点对应的t
混沌时间序列分析理论与方法
主讲人：杨 磊
内容安排
• 混沌基本概念介绍
• 混沌识别方法 • 混沌序列相空间重构理论
1.混沌基本概念介绍
1.1 混沌的起源和发展
牛顿经典力学表明，力学系统服从确定的 规律。即当初始条件确定后，力学系统就将按 确定的轨道运动。在我们日常经验中，事物的 一般重复现象很明显。这些现象似乎表明我们 的世界是规则、和谐、有序的，自然现象的变 化是周期的、重复的。 1963年美国气象学家洛伦兹发现大气变化 的非周期性，天气预报难就难在天气变化不是 周期性的。