保险精算第五章

1． 设随机变量T ＝T(x)的概率密度函数为0.015()0.015t f t e
-=⋅(t ≥0)，利息强度为δ＝0.05 。

试计算精算现值 x a 。

2．设 10x a =, 27.375x a =, ()50T Var a =。

试求：（1）δ；（2）x Ā 。

3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。

而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。

试求此人每次所获得的年金额。

5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD 假设和利率6%下，计算其精算现值。

6． 在UDD 假设下，试证：
(1) ()()||()m x x n x n n a m a m E αβ=- 。

(2) ()()
::()(1)m n x x n x n a m a m E αβ=-- 。

（3）()()::1(1)m m n x x n x n a a E m
=-- 。

7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。

8． 试证：
(1)
()()m x x m a a i δ= (2)():()
:m x n m x n a a i δ
= 。

(3) ()lim m x x m a a →∞= 。

(4) 12
x x a a ≈- 。

9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金，缴付到64岁为止。

到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。

试求数额R 。

10． Y 是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 10x a =， 26x a =，124
i = ，求Y 的方差。

11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。

12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。

13. 给定(4)17.287a ∞=，0.1025x A =。

已知在每一年龄年UDD 假设成立， 则(4)x a
是（ ）
A. 15．48
B. 15.51
C. 15.75
D. 15.82
14. 给定()100()9
T Var a x t k μ=+=及, 0t >, 利息强度4k δ=，则k =（ ） A. 0.005 B. 0.010 C. 0.015 D. 0.020
15. 对于个体（x ）的延期5年的期初生存年金，年金每年给付一次，每次1元，给定： ()50.01,0.04, 4.524x x t i a μ=+===, 年金给付总额为S 元（不计利息）
，则 P （51x S a >）值为（ ）
A. 0.82
B. 0.81
C. 0.80
D. 0.83 16．UDD 假设下死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的 倍。

（√）
17。

年龄为35岁的人，购买按连续方式给付的金额2000元的生存年金，试利用生命表以及利率i=6%，求在UDD 假设下的下列生存年金的精算现值。

（1） 终身生存年金；
（2） 20年定期生存年金；
（3） 延期10年的终身生存年金； （4） 延期10年的20年的定期生存年金。

1053535353535105351053511353535350035353637105237135120002000110.0620002000*
*(1*0.1115777)0.0582690.058269***11111(1.06(1.06)(1.06)(1.06)t t x UDD k k k k k k k A a v p dt i A d A v p q v l d d d d l δδδ---++++==-==-
==-=
==
++++⎰
∑∑35
35
)M D = 3535
1
3637381052370353535
353635
200020001111 2000()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k a v p l l l l l l l l N D ∞
===++++=
∑
i δ
(2)
v
=0.5429
19
18设死力是常值 在此假设条件下，求 （1）终身生存年金的精算现值 （2）终身生存年金现值
（3） 06
.0=δ；
x a 超过的概率。

（1） 解
⎰∞
+⋅=0dt
p v a x t t x ⎰∞
+--⋅=0dt
e e t t μδ10
1
=+=μδ
的标准差；
，利息力 04.0=μ|T a x
a |T a ：
][T a Var ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=δT v Var 1[]T v Var 21δ=[]222)(1x x A A -=δ⎰∞
+=0)(dt
t f v A T t x 0.01()0.01t x f t e -=0≥t 0.03δ=
求
20计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸缴纯保费。

已知 假定i ＝6％
假定i ＝2.5％
48.293378765825.0025.11000010000)1(78
.76578765825.006.11000010000)1(402540402540=⨯⨯==⨯⨯=--E E x
a dt t f p x t x t )(⎰∞=ds e t s ⎰∞-=015.0015.0t e 015.0-=x a 38
.150015.005.0==⎰
∞--dt e
e t t 78765825.02540=p。