专题一 数学思想方法

代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其
代数意义；(2)是恰当设未知数建立关系，由数思形，以形想 数，做好数形转化；(3)是正确确定未知数的取值范围.
【例2】(2012·益阳中考)已知：如图，抛物线y=a(x-1)2+c与x 轴交于点 A(1 3， 和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落 0) 在点P＇(1，3)处.
6.(2012·株洲中考)如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(1， 0)，对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是( )
(A)(-3,0)
(C)x=-3
(B)(-2,0)
(D)x=-2
【解析】选A.因点A到对称轴的距离为1+|-1|=2，所以抛物线 与x轴的另一交点到对称轴的距离也为2，在原点的左侧,则到 原点的距离为3，故另一交点坐标为(-3，0).
化归转化思想 【技法点拨】 定义：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难， 通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数 学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说自己 较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，
这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.
6 6 所以ab=-6，所以□ABCD的面 y (x 0) 的图象上，所以 b ， x a
积为-ab=6.
5.(2012·兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
示，若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值 范围是( )
(A)k＜-3
(1)当t＝1秒时，S的值是多少？ (2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围． (3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E,B,F为顶 点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似？请说明理由．
【思路点拨】(1) S=S梯形EGCB-S△EBF-S△FCG. (2)求S和t之间的函数解析式时要分0≤t≤2和2＜t≤4来求得. (3)由于以点E,B,F为顶点的三角形与以F,C,G为顶点的三角形相 似的对应关系不明确，因此本题也要分类讨论.
和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，①若
为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.
【对点训练】 1.(2012·广安中考)已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且
1 则△ABC底角的度数为( AD BC， 2
)
(A)45°
(B)75°
(C)45°或15°
(D)60°
【解析】选C. 设等腰三角形的底角为x，AB=AC时，
2 6 4
于0.612 3).
【对点训练】 4.(2012·黔东南中考)如图，点A是反比例函数 y 6 (x 0) 的
x
图象上的一点，过点A作□ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴
上，则□ABCD的面积为( )
(A)1
(B)3
(C)6
(D)12
【解析】选C.设点A的坐标为(a,b)，则AD=BC=-a,BC边上的高 为b,所以□ABCD的面积为-ab,因为点A(a,b)在反比例函数
(3)如图甲，当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2，在△EBF
12 2t 4t EB BF ，解 ，即 8 4t 2t FC CG 得 t＝2 ， t＝2 满足0≤t≤2，所以当t＝2 时，△EBF∽△FCG; 又 3 3 3 ②若 EB BF ， 12 2t 4t ， 即 解得 t＝3 ，又t＝3 满足0≤t≤2，所 GC CF 2t 8 4t 2 2 以当 t＝3 时△EBF∽△GCF，综上知，当 t＝2 或 3 时，以点E,B,F 2 3 2
半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半 径是( (A)2 (C)2或5 ) (B)7 (D)2或8
【解析】选D.连结BC，∴BC⊥AD，∵AC＝4，BC=3， ∴AB=5，∴当⊙A与⊙B相外切时，⊙A的半径是2;当⊙A
与⊙B相内切时，⊙A的半径是8．
3.(2012·张家界中考)已知线段AB=6，C,D 是AB上两点，且AC=DB=1,P是线段CD上一动 点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边 三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时， G点移动的路径长度为_________.
(3)拓展结论，设计新题.
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且
ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出
结果).
【思路点拨】
【自主解答】(1)= (2)= 剩余解题过程：在等边三角形ABC
∵ AD 1 BC， ∴AD=BD=CD，4x=180°，x=45°；
2
当AC=BC时，∵ AD 1 BC， AD 1 AC， ∴ ∴∠ACD=30°，
2 2
∴x=15°. ∴等腰三角形的底角为45°或15°.
2. (2011·大理中考)如图，已知⊙B与
△ABD的边AD相切于点C，AC＝4，⊙B的
2
个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：
5 2.236，6 2.449，结果可保留根号)
【思路点拨】
【自主解答】(1)∵P与P′(1，3) 关于x轴对称，
∴P点坐标为(1，-3).
∵抛物线y=a(x-1)2+c过点 A(1 3，， 0)
顶点是P(1，-3) ，
a(1 3 1) 2 c 0， a 1， ∴ 解得 2 c 3； a(1 1) c 3；
(1)求原抛物线的解析式.
(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿 生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折 后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型 的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓 意深远；而且小明通过计算惊奇地发现这个“W”图案的高与宽 (CD)的比非常接近黄金分割比 5 1 (约等于0.618).请你计算这
分类讨论思想 【技法点拨】 定义：在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对
各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类
讨论法.
分类原因：分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合
性、探索性， 引起分类讨论的原因主要是以下四个方面：
(1)问题所涉及的数学概念是分类进行定义的;
(2)问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或 者条件限制，或者是分类给出的; (3)解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行 讨论; (4)题目条件笼统，存在不确定的数量,不确定的图形的形状或 位置,不确定的结论等.
专题一 数学思想方法
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1.数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓， 是把知识转化为能力的桥梁.随着中考改革的深入，中考试题 从知识型转变到能力型，更加突出了对数学思想方法的考查.
2.分析近几年的中考试题,不难看出,中考命题都遵循着两 条线:一条是明线:以选择题、填空题、解答题等外在形式考查 数、式、方程、函数、三角形、四边形、圆等初中数学的重点 内容;一条是暗线:通过试题重点考查初中数学常用的思想方法.
长度为2. 答案：2
数形结合思想 【技法点拨】 定义：数形结合思想是指从几何直观角度，利用几何图形的性 质研究数量关系，寻找代数问题的解决途径，或利用数量关系 来研究几何图形的性质、解决几何问题的一种数学思想. 其实 质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问
题与图形之间的相互转化.
解题关键：数形结合的应用内涵主要体现在两个方面：一是利 用图形的直观性研究数量关系，二是应用数形结合的工具(数轴、 平面直角坐标系)通过数量关系研究图形性质.在运用数形结合 思想分析和解决问题时，要注意三点： (1)是要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及函数图象的
则抛物线的解析式为y=(x-1)2-3， 即y=x2-2x-2.
(2)∵CD平行于x轴，P′(1，3) 在CD上， ∴C，D两点的纵坐标为3； 由(x-1)2-3=3得： 1 1 6，x 2 1 6， x ∴C，D两点的坐标分别为 (1 6，， 6， 3) (1 3) ∴CD 2 6， ∴“W”图案的高与宽(CD)的比 3 6 (或约等
【解析】以点A为原点，AB所在直线为x轴，
建立如图所示的直角坐标系，当点P在点C时， 这时E1点坐标为 ( 1 , 3 ), F1点坐标为 ( 7 , 5 3),
2 2 2 2 可得点G1坐标为(2, 3 3); 当点P到达点D时， 2 这时E2点坐标为 ( 5 , 5 3)， F2点坐标为 (11 , 1 3)， 这时可得点G2坐 2 2 2 2 标为 (4, 3 3). 从而可得线段G1G2的长度为2，所以G点移动的路径 2
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请
你直接写出结论：
AE____DB(填“＞”“＜”或“=”).
(2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是:AE____DB(填“＞”“＜” 或Байду номын сангаас=”).理由如下： 如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F. (请你完成以下解答过程)
(C)k＜3
(B)k＞-3
(D)k＞3
4ac b 2 【解析】选D .由题意知 3, b2-4ac=12a,当 4a
ax2+bx+c>0时，k＞0.当ax2+bx+c<0时，ax2+bx+c+k=0,b24a(c+k)>0,12a-4ak＞0,4ak<12a,k＞3,所以k的取值范围为 k＞3.
解决.
(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题
的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.
【例3】(2011·绍兴中考)数学课上，李老师出示了如下框中 的题目. 在等边三角形ABC中，点E在AB上， 点D在CB的延长线上，且ED=EC， 如图.试确定线段AE与DB的大小关系， 并说明理由.
3.对数学思想方法的考查主要集中在两个方面：一是代数 综合题，其特点是：①综合考查多个知识点；②与生产生活实
际内容相结合.用到的数学思想方法有化归思想、分类讨论思想、
整体思想以及代入法、消元法、待定系数法等.二是代数与几何
的综合题，其特点是：题目所涉及的数学思想方法很多，以数
形结合思想为主线，综合考查其他思想方法的灵活运用，难度 较大，一般为中考中的压轴题.
化归与转化应遵循的五个基本原则：
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我
们运用熟知的知识、经验和问题来解决.
(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单 问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启 示和依据.
(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符 合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演 有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律. (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来
【自主解答】(1)如图甲，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝
4，FC＝4，CG＝2，
由 S＝S梯形EGCB S EBF S FCG＝1 (10 2) 8 1 10 4 1 4 2 24. － － ＋ － － ＝
2 2 2
图甲
图乙
(2)①如图甲，当0≤t≤2时，点E,F,G分别在AB,BC,CD上移动， 此时AE=CG=2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2 －32t＋48(0≤t≤2). ②如图乙，当点F追上点G时，4t－2t=8，解得t＝4，当2＜ t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝ －8t＋32(2＜t≤4).
【例1】(2011·聊城中考)如图，在矩形 ABCD中，AB＝12 cm，BC＝8 cm，点 E,F,G分别从点A,B,C三点同时出发，沿 矩形的边按逆时针方向移动，点E,G的速 度均为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当
点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移
动开始后第t秒时，△EFG的面积为S(cm2)．