线性代数 2-3 第2章3讲-矩阵的运算(2)

(2) 当 AB BA 时，有 ( A B)n An Cn1 An1B
C n1 n
AB n 1
Bn
.
7
矩阵的幂运算
例1
已知A
cos
sin
sin cos
，求An
.
解
A2
cos
sin
sin cos
cos sin
sin
cos
cos2 sin2
2sin cos源自文库
2sin cos cos 2
线性代数（慕课版）
第二章 矩阵
第三讲 矩阵的运算(2)
主讲教师 |
本章内容
01 矩阵的线性运算 02 线性变换与矩阵乘法(1) 03 线性变换与矩阵乘法(2)
线性变换与矩阵乘法(2)
性质2.3
01 (AB)C A(BC) 02 A(B C) AB AC
(B C)A BA CA
03 k( AB) (kA)B A(kB) 04 Em Amn A AmnEn
解 本题可采用排除法，排除(A) 、(B) 、(C) 三选项. ( A B)2 ( A B)(A B) A2 AB BA B2 因为一般情况下 AB BA ，故排除(A) ( A B)2 A2 2AB B2 AB BA ( A B)( A B) A2 AB BA B2 ( A B)( A B) A2 B2 AB BA
cos2
sin 2
sin
2
sin 2
cos 2
设An1
cos(n 1)
sin(n
1)
sin(n 1)
cos(n
1)
8
矩阵的幂运算
例1
设An1
cos(n 1)
sin(n
1)
sin(n 1)
cos(n
1)
已知A
cos sin
sin cos
，求An
.
解
则An
An1 A
cos(n 1)
故应填 O
10
矩阵的幂运算
例3
1
1 2
1
3
已知A 2
1
2 3
，求An
.
3
3
1
2
解 记 (1, 2,3)， (1, 1 , 1)，则A T T 为3 3矩阵，而 T 为数
23
An ( T )(T ) ( T )＝ T ( T )( T )
T ( T )n1
n个
1 0 1
1 0 1
解
An 2 An1＝An1( A 2E)
A
2E
0
0
0
1 0 1
n 2 时，An 2An1 A2 2A A( A 2E)
1 0 1 1 0 1 0 0 0
0
2
0
0
0
0
0
0
0 O
1 0 1 1 0 1 0 0 0
n 2 时，An 2 An1 An2[ A( A 2E)] O
若a、b为数，则 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)(a b) a2 b2
4
一、矩阵的乘法运算(2)
接 已知A, B均为n 阶方阵，则必有 上 (A) ( A B)2 A2 2 AB B2 (B) ( AB)T AT BT
(C) AB 0时, A 0或B 0 (D) A AB 0 A 0或 E B 0
sin(n
1)
sin(n 1) cos(n 1)
cos sin
sin
cos
cos n
sin
n
sin n
cos n
An
cos n sin n
sin n
cos
n
9
矩阵的幂运算
1 0 1 例2 设A 0 2 0，而n 2为正整数，则An 2 An1 ______ .
3n1 ( T )
n1个
1
3n1
2 3
1
1 2
( T ) 1
1 3
3n1 2
3
1 2 1
3
1
3
2
3
1
2
11
记为Ak，即 Ak A A A
k个
性质 Ak Al Akl , Ak l Akl
注 ( AB)k Ak Bk
?
( AB)k AB AB AB A A A B B B
k个
k个
k个
结论 (1) 当 AB BA 时，有 ( AB)k Ak Bk ;
当AB BA 时，有 ( A B)2 A2 2AB B2;
解 A2 A(BC) A ( AB)(CA) E E E B2 B(CA)B (BC)( AB) E E E
C2 C( AB)C (CA)(BC) E E E
所以 A2 B2 C 2 3E
A
6
矩阵的幂运算
定义 设A为n 阶方阵，k 为正整数，则k 个A 的连乘积称为A 的k 次幂，
而( AB)T BT AT AT BT，故排除(B)
设
A
2 3
4 6
B
2
1
4 2
，则AB
0，但A
0, B
0
，
故(C)不成立，
选项(D)正确，
事实上，A AB A(E B) A E B 0
D
A 0或 E B 0
5
一、矩阵的乘法运算(2)
例2 设A, B, C均为n 阶方阵，且AB BC CA E ，则A2 B2 C 2 (A) 3E (B) 2E (C) E (D) 0
不满足交换律: AB BA.
不满足消去律: AB AC不能得到B C; AB 0不能得到A 0或B 0
3
线性变换与矩阵乘法(2)
例1 已知A, B均为n 阶方阵，则必有 (A) ( A B)2 A2 2 AB B2 (B) ( AB)T AT BT (C) AB 0时, A 0或B 0 (D) A AB 0 A 0或 E B 0