《1.2.1 对应、映射和函数》教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]

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xx市实验学校

《1.2.1 对应、映射和函数》教案【教学重难点】

1.了解映射、一一映射的概念；

2.初步了解映射与函数间的关系；

3.会判定一些对应关系是不是映射、一一映射．

【教学过程】

通过对教材上实例的研究，引入映射的概念. 通过映射与函数的对比，加深对函数概念的理解，进一步体会特殊与一般的辩证关系.

填一填：知识要点、记下疑难点

1.映射的概念

设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．

2.映射的定义域、值域

集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．

3.一一映射的概念

如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.

4.函数与映射的关系

由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合A、B必须是数集.

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境]大家想一想，如果我们都没有名字了，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是居民集合到声音符号集合的一种确定的对应．

在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．

探究点一映射的概念及应用

问题1初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例，你能举出几个？

答：对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．

问题2某个数学学习小组共有5个成员，一次数学测试，他们各自取得的成绩(分)如下表所示：

姓名李小平高英木田萍萍范江鲁智成绩/分100 98 89 95 98

答：5名同学构成一个集合A，成绩构成另一个集合B.

这样对集合A中的每一名同学，在集合B中都有唯一的成绩与之对应．

问题3数轴上的点集与实数集R，通过怎样的法则构成一种对应？

答：数轴上任一点P，对应唯一实数x，使|x|等于点P到原点O的距离．

当点P在数轴的正半轴上时，取x>0；

当点P在数轴的负半轴上时，取x<0；

当P为数轴的原点时，取x＝0.

问题4函数关系实质上是两个集合之间的一种对应关系，这两个集合有什么特点？

答：两个集合是非空数集．

问题5函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应

关系，即映射．你能给映射下个定义吗？

答：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．

这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．

小结：集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域

(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．问题6映射与函数存在怎样的关系？

答：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合是数集．

例1在下面的图(1)(2)(3)中，用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？

解： 由于图(1)(2)(3)中的对应关系，都满足对于A 中任一元素，按照图中所示的对应法则，在B 中都有唯一的元素与之对应，所以图(1)(2)(3)中的对应都是由A 到B 的映射，

又因三个图中的集合A 、B 都是数集，

所以它们也都是函数关系．

小结： 判断对应是否是集合A 到集合B 的映射，首先应看A 中的每一个元素是否都在B 中有且有唯一的象，对于映射f ：A→B ，A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．

跟踪训练1 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？

(1)集合A ＝{P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y)|x ∈R ，y ∈R}，对应法则f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

(2)集合A ＝{x|x 是三角形}，集合B ＝{x|x 是圆}，对应法则f ：每一个三角形都对应它的内切圆；

(3)集合A ＝{x|x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x|x 是新华中学的学生}，对应法则f ：每一个班级都对应班里的学生．

解：(1)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，

所以这个对应f ：A→B 是从集合A 到集合B 的一个映射．

(2)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，

所以这个对应f ：A→B 是从集合A 到集合B 的一个映射．

(3)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个， 所以这个对应f ：A→B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．

例2 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y)|x ，y ∈R}，f ：A→B 是从A 到B 的映射，f ：x→(x

＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54的原象．

解： A 中元素2在B 中的象为(2＋1,3)． 由⎩⎨⎧ x ＋1＝32x 2＋1＝54，得x ＝12

. ∴B 中元素