化工应用数学期末复习

1.4 化工数学建模及求解方法
理论分析法（主要基于三传一反主要方程建模） 利用理论分析法建立化工数学模型一般要遵循以下原则： ➢ 首先对研究对象进行观察分析，根据问题的性质和精度要 求，作出合理的假设和简化，抽象出问题的物理模型； ➢ 在充分了解物理模型内涵的基础上，确定输入和输出变量 以及模型参数，根据相关的守恒及平衡原理建立基本模型方 程；
数值分析法（主要基于建立曲线方程、微分方程等） 利用数值分析法建立化工数学模型一般要遵循以下原则： ➢ 首先对研究对象进行观察分析，确定输入和输出变量，作 出合理的假设和简化，抽象出问题的数学模型（曲线方程、 微分方程等）； ➢ 根据已有实验数据，求解数学模型（拟合、解方程、解方 程组、解微分方程）。
而对于特征数关联模型，通常是具有一定普适性的，如对 流传质或传热特征数关联式就能适用于很多设备和流体体系。 广泛应用特征数关联模型是化学工程科学的一大特色，应在 工程研发和应用中给予充分重视。
1.4 化工数学建模及求解方法
1）相似论因次分析 相似论是在寻求实验模型与真实模型之间内在联系时值得遵 循的工程研究方法。它在实验设计和工程放大中均有广泛的 应用。 化工中的相似论包含两个定理：一是π定理，即一个系统的 无因次数群（特征数）的个数等于系统的变量个数与基本量 纲个数之差。二是相似定理：如果化工系统可由相同的一组 特征数描述，并且其数值相等，则另个系统是相似的；相反， 如果两个系统相似，则对应的特征数一定相等。
1.4 化工数学建模及求解方法
实验归纳法（“黑箱”模型，主要基于量纲分析） 根据实验结构进行归纳建立的数学模型称为经验模型，这 类数学模型又分为物理量关联和特征数关联两种形式。 物理量关联没有任何普适性，只能就事论事，如物质的密 度、比热容、黏度等参数随温度变化的关联式就是这样。
1.4 化工数学建模及求解方法
1.4 化工数学建模及求解方法
2）特征数关联模型
化工中广泛使用着特征数关联模型，尤其是涉及湍流这类尚
无法定量描述的复杂过程时，根据实验结果建立经验模型是
唯一可行的方法。如在研究对流传热时，发现影响给热系数
hp的主要因素包括体系特征长度L、流体流速u、流体密度ρ、 黏度μ、导热率λ和热容cp。利用因次分析法，可得描述对流 传热过程的三个无因次特征数：Nusselt数、Reynolds数和
1.4 化工数学建模及求解方法
根据相似论进行实验研究，一方面可以减少系统自变量的 数目，从而可以提高实验效率和节省实验费用；另一方面可 以拓宽实验结果的适用范围，为实验结果进行工程放大提供 方便。但是，化工中的相似论一般只适用于单一的物理过程 或化学反应过程。因为同时满足物理过程和化学过程都相似 是很困难的。
x
y
z
式(e)即为流体流动时的微分质量衡算方程，亦称连续性方 程。任何流体的流动均满足此方程，即对于稳态或非稳态流 动、理想流体或实际流体、不可压缩流体或可压缩流体、牛 顿型或非牛顿型流体均使用。连续性方程是研究动量、热量 与质量传递过程的最基本和最重要的微分方程之一。
1.4 化工数学建模及求解方法
1.3 化工传递及反应动力学模型
流入与流出微元控制体的质量流率可按x，y，z三个方向 分别考虑。
在x方向，流体经控制体的左侧面流入控制体的质量通量
为 ux ，则质量流率为 uxdydz ；而由控制体右侧平面流出的
质量通量则为
ux
(ux) dx，故由右侧平面流出的质量流率为
x
[ux
(ux x
)
dx]dydz
Prandtl数： Nu hpL ,
Re Lu ,
Pr cp
2.2 迭代法求解非线性方程
直接迭代法
迭代公式
通过代数恒等变形，将方程f(x)=0化成与之等价的方程 x=φ(x)。
令xk+1=φ(xk)，此式即为直接迭代法的迭代公式。给定初值 x0,由迭代公式产生点列{xk}k=0,1,2...,若
1.3 化工传递及反应动力学模型
1.3 化工传递及反应动力学模型
在直角坐标系中取如图1-1所示 的无限小微元体，微元体体积 为dxdydz，假定流体的质量流 率在某一方向存在微小变化 (ux / x)dx 而在三维空间上应满 足质量守恒定律，即
[累计质量流率] [输出质量流率] [输入质量流率] 0
(uz z
)
dz]dxdy
uz dxdy
(uz z
)
dxdydz
(c)
控制体内任一时刻的流体质量为 dxdydz，因此累积率为
dxdydz
(d )
1.3 化工传递及反应动力学模型
将式(a)、(b)、(c)和(d)联立，即可得微分质量衡算方程如
下
(ux ) (uy ) (uz ) 0
(e)
检验数学模型的手段通常是将模型计算结果与实验结果进 行对比，进而考察模型的准确性。
化工建模对象往往涉及各种不同尺度的问题，例如有事需 要研究小至一个催化剂颗粒的催化效率，有时需要描述一个 装置的特性，而有时需对大至整个化工厂进行建模分析。在 建立化工数学模型的过程中，抓住主要矛盾，充分利用“三 传一反”基本方程和合理简化，均存在一定技巧。
1.4 化工数学建模及求解方法
➢ 利用有关物理和化学原理，引入附加的函数关系对不完全 封闭的基本模型方程进行封闭完善； ➢ 根据研究对象和环境之间的关系，为基本模型方程补充初 始条件和边界条件； ➢ 对所建数学模型进行检验和修正，直至得到能够反映问题 内在本质的数学模型为止。
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1.3 化工传递及反应动力学模型
连续性方程 化工传递过程所研究的体系一般遵循质量守恒定律。并且， 质量守恒不仅适用于单组分流体，而且也适用于多组分流体。 运用质量守恒原理进行微分质量衡算，所得方程称为连续 性方程。连续方程的推导采用欧拉(Euler)观点。
（去年考试题）请采用微元体推导无源条件下的 直角坐标的连续性方程！
于是，x方向流出与流入微元控制体的质量流率之差为
[ux
(ux
x
)
dx]dydz
uxdydz
(ux
x
)
dxFra Baidu bibliotekydz
(a)
1.3 化工传递及反应动力学模型
同理，可得y和z方向流出与流入微元控制体的质量流率之 差分别为
[uy
(uy ) y
dy]dxdz
u y dxdz
(uy ) y
dxdydz
(b)
[uz