解三角形 正弦定理和余弦定理复习学案教师版
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解三角形正弦定理和余弦定理复习学案
一、正、余弦定理解三角形的基本问题
例1 在△ABC 中，
(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；
(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．
点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．
解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2
sin 45°
，
得sin A ＝3
2
，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.
当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋2
2，
当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－2
2
(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．
设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，
则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π
3回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能
出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
►变式训练1 (1)△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠C ＝30°，求△ABC 的面积；
(2)已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．
解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝3
2
，∴B ＝60°或120°，
当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝3
2
.
当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝3
4
.
综上，△ABC 的面积为32或3
4
.
(2)∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝3
2
，于是C ＝60°或C ＝120°.
当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；
当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2
＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用
例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2
＝ac －bc .
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(1)求∠A 的大；(2)求b sin B
c 的值．
点拨 (1)利用cos A ＝b 2＋c 2－a
22bc 求解；
(2)利用正弦定理对代数式b sin B
c
进行转化．
解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，
∴b 2＋c 2－a 2
＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12
，∴A ＝60°.
(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝c
b
.
∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝3
2
.
方法二 在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝1
2ac sin B
∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2
sin B ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32
.
回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．
(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sin
A ，cos(
B ＋
C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A
2
等，进行三角变换的运算．
►变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝7
2
.
(1)求∠A 的度数；
(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．
解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A
2
.
由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝7
2
，
即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝7
2
.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.
∴cos A ＝1
2