【人教a版】高中数学选修4-4全册配套ppt课件.4

类型一
柱坐标与直角坐标的转化
【典例】把点P的直角坐标(2,2 3 ,4)化为柱坐标.
【解题探究】直角坐标与柱坐标互化的依据是什么? 提示:直角坐标与柱坐标互化的依据是公式
x cos， y sin， z z.
【解析】点P的直角坐标(2,2 3来自百度文库,4)化为柱坐标
x 2cos 2 ， x cos， x 0， 由 y sin， 得 y 2sin ， 即 y 2， 2 z z， z 3. z 3，
2
所以点P (2, ,3) 的直角坐标为(0,2,3).
方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示过z轴的半平面,且与平 面xOz所成的二面角为θ0; 方程φ=φ0(0≤φ0≤π)表示顶点在原点,半顶角为φ0 的“圆锥面”,其中心轴为z轴,当φ0= 时,“圆锥 面”为平面xOy;当φ0<
时,“圆锥面”在平面xOy上 2 2
方;当φ0> 时,“圆锥面”在平面xOy下方. 2
2.对球坐标系的三点说明 (1)在球心为O,r为半径的球中,建立球坐 标系,如图, 其中,|OP|=r与射线Oz构成极坐标系,且 OP在平面xOy内的射影OQ与射线Ox也构成极坐标系,所 以球坐标系也称为空间极坐标系.
(2)球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用,在 测量实践中,球坐标P(r,φ,θ)中的角θ称为被测点P 的方位角,90°-φ称为高低角. (3)在球坐标系中,方程r=r0(r0为正常数)表示球心在 原点,半径为r0的球面;
2
2.将球坐标 (2， ， ) 化为直角坐标为 3 2
(
)
A.(1, 3 ,1) C.(1,0, 3 )
B.(1, 3 ,0) D.(0, 3 ,1)
【解析】选D.点的球坐标(r,φ,θ)化为直角坐标为 (x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),
所以 (2， ， ) 化为直角坐标为 3 2 (2sin cos , 2sin sin , 2cos ) (0, 3,1). 3 2 3 2 3
(2)点P的直角坐标是有序实数组(x,y,z),柱坐标是含 有一个极角的有序数组(ρ,θ,z),球坐标是含有两个 极角的有序数组(r,φ,θ).
2.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什 么限制? 提示:空间点的坐标都是三个数值,至少有一个是距离.
【归纳总结】 1.柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系 柱坐标系和球坐标系都要定位在空间直角坐标系中,柱 坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和 空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点 到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置.
【知识探究】 探究点 柱坐标系与球坐标系
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中点的坐标 有什么特点?
提示:(1)柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系 为背景,柱坐标系在平面xOy内构造平面极坐标系,球坐 标系是构造点P到原点的距离|OP|=r与射线Oz构成极坐 标系,且OP在平面xOy内的射影与射线Ox也构成平面极 坐标系.
四
柱坐标系与球坐标系简介
【自主预习】 1.柱坐标系 如图,在柱坐标系中, |OQ| ρ: _____
∠xOQ θ:______
QP z:___ 0 θ<____, 2π ____<z< -∞ +∞ 范围:ρ≥0,__≤ ____.
2.球坐标系 如图,在球坐标系中,
|OP| r: _____
∠zOP φ:______
2.将点的直角坐标(- 3 ,-3,4)化为柱坐标为________.
转换公式
ρcosθ ρsinθ
z
rsinφcosθ rsinφsinθ
rcosφ
【即时小测】 1.柱坐标系中,点的柱坐标 (2, ,3) 化为直角坐标为
2
( A.(2,2,3) B.(2,3,0) C.(0,2,3)
)
D.(2,0,3)
【解析】选C.设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为 (ρ,θ,z), 因为(ρ,θ,z)= (2, ,3)
即柱坐标(ρ,θ,z)的直角坐标为(x,y,z)=(ρcosθ, ρsinθ,z).
x 2 y 2， (2)直角坐标化为柱坐标的公式为 y tan （x 0）， x
即直角坐标(x,y,z)的柱坐标为 (ρ，θ，z)=( x 2 +y2，θ，z)，
其中, tan y 且θ的终边经过(x,y). （x 0），
x
【变式训练】1.将点的柱坐标 为 ( )
(2,
5 , 1) 6
化为直角坐标
A.( 3 ,1,-1) C.(- 3 ,1,-1)
B.( 3 ,-1,-1) D.(- 3 ,-1,-1)
【解析】选C.因为M点的柱坐标为 (2, 5 , 1)，
6
设点M的直角坐标为(x,y,z),
5 x 2cos , 6 x 3, 5 即 所以 所以 M（ 3， 1 ， 1） . y 1, y 2sin , 6 z 1. z 1,
∠xOQ θ:______
0≤φ≤π 0≤θ<2π 范围:r≥0, __________,__________.
3.点的空间坐标的互相转化公式设空间一点P的直角坐 标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),
则
空间直角坐标(x,y,z) 柱坐标 (ρ,θ,z) 球坐标 (r,φ,θ)
2 cos , 2 3 sin , z 4,
解得 4， ，z 4，
3
所以点P的柱坐标为 (4， ， 4). 3
【方法技巧】点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式 设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),
x cos ， (1)柱坐标化为直角坐标的公式为 y sin ， z z，