(完整版)圆的动点问题--经典习题及答案
动点问题--圆(含答案)初三数学
2.如图7，梯形中，，，,，，点为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为．（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等)（2）试用表示，并写出的取值范围；（相似）（3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（2）如图2，交于点，与关于对称，则有：，又又与关于对称，（3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连接，得则又解得：（舍去）①②③3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等）（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（讨论对称轴+全等+相似）【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明，（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．【解答】：证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a，（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE[来源:学,科,网]∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=，（Ⅱ）如图4，当t＞2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似．【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．3.木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；（圆心距+勾股）方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；（相似+设半径）方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．（分类讨论）①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【考点】：圆的综合题【分析】：（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值．（3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为x，则新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径．另与前三方案比较，即得最终结论．【解答】：解：（1）方案一中的最大半径为1．分析如下：因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，r=（3﹣）=；当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当x=时，r最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．【点评】：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．4.如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（相似）（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．（相似+切线）（数形结合+分类讨论）【考点】：圆的综合题．【分析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．【解答】：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，[来源:学科网ZXXK]∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．【点评】：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．5.如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y 轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（垂径定理+直线方程）（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（相切+圆周角）【考点】：圆的综合题【分析】：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标，【解答】：解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，[来源:学科网]∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．【点评】：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系．6.如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】：（1）只要证到三个内角等于90°即可．（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G 矩形ABCD的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．【解答】：解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，[来源:学。
与圆有关的动点问题[下学期]--浙教版
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2
2
（0≤x≤1）．
F
若⊙O与CD相切必有OF OE AE
2
AE2=BE2+AB2 (2FO)2＝BE2+AB2
F
(2－x)2＝x2+12
4－4x＋x2＝x2＋1
x 3 4
(3)从(2)可得F是CD的中点
2
1H
(4)作FH⊥AE于H
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形/
（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么 t为何值时， ⊙P和⊙Q外切？
；图文快印 图文快印
；
别来无恙乎，挑帘入座，可对弈纵横、把盏擎歌，可青梅煮酒、红袖添香 国学大师陈寅恪，托十载光阴，毕暮年全部心血，著皇皇80万言《柳如是别传》。我想，灵魂上形影相吊，慰先生枯寂者，唯有这位300年前的秦淮女子了。其神交之深、之彻，自不待言。 6 古人尚神交古人，今 人当如何？ 附庸风雅的虚交、名利市场的攀交、蜂拥而上的公交、为稻粱谋的业交，甚嚣尘上，尤其炒栗子般绽爆的“讲坛热”“国学热”“私塾热”“收藏热”“鉴宝热”“拍卖热”。但人生意味的深交、挚交，纯粹的君子之交、私人的精神之恋，愈发稀罕。 读闲书者少了，读古人 者少了，读古心者更少。 星转斗移，今心性已大变。 有朋友曾说过一句：为什么我们活得如此相似？ 问得太好了。人的个体性、差异性越来越小。恰如生物多样性之锐减，人生多样性也急剧流失，精彩的生活个案、诗意的栖息标本，皆难搜觅。 某日，我半玩笑地对一同事说：“给我 介绍一两位闲人吧，有趣的人，和我们不一样的人，比我们有意思有意义 ”他长期做一档“讲述老百姓自己的故事”的节目，猎奇于民间旮旯，又兼话剧导演，脑筋活泛，当有这方面资源。他嘿嘿几声，皱眉半晌，摇头：“明白你的意思，但不骗你，这物种，还真绝迹了，恐怕得往古 时候找了。” 陋闻了
中考动点问题经典题型归类总结附答案
专题十动点型问题考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
（一）点动问题．例2 （2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t 的函数表达式，继而可得出函数图象． 解：在Rt △ADE 中，AD=2213AE DE +=，在Rt △CFB 中，BC=2213BF CF +=，①点P 在AD 上运动：对应训练2．（2013•北京）如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．A（二）线动问题例3 （2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选A．对应训练3．（2013•永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A．B．C．D．3．A（三）面动问题例4 （2013•牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．解：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，分析选项可得，A符合；故选A．对应训练4．（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）A．B．C．D．4．A究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．（4）△QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．解：（1）∵C （7，4），AB ∥CD ，∴D （0，4）．∵sin ∠DAB=22， ∴∠DAB=45°，∴OA=OD=4，∴A （-4，0）．设直线l 的解析式为：y=kx+b ，则有4-40b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：k=1，b=4，∴y=x+4．∴点A 坐标为（-4，0），直线l 的解析式为：y=x+4．（2）在点P 、Q 运动的过程中：①当0＜t≤1时，如答图1所示：过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，则BE=BQ•cos ∠CBF=5t•35=3t ． ∴PE=PB -BE=（14-2t ）-3t=14-5t ，S=12PM•PE=12×2t×（14-5t ）=-5t 2+14t ； ②当1＜t≤2时，如答图2所示：过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S=12PM•PE=12×2t×（16-7t）=-7t2+16t；③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如答图3所示：MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，S=12PM•MQ=12×4×（16-7t）=-14t+32．（3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-75）2+495，∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-87）2+647，∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647；③当2＜t＜167时，S=-14t+32∵k=-14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：①如答图4所示，点M在线段CD上，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=209；②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．故当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．对应训练5．（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A 运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q 两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．5．解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ=12AB•QE=12BQ×12，4当0＜t≤1时，如图③．∵S △BPM =S △BQM ，∴PM=QM ．∵AB ∥QR ，∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中PBM QRMBPM MQR PM QM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤83时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．34∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或83时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A-D之间或D-A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，解得：t=7或t=95 13．当P在A-D之间或D-A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50-5t+13=8（t-1）-50，解得：t=121 13．∴当t=7，t=9513，t=12113时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．中考真题演练一、选择题1．（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.51．D2．（2013•安徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大D．当y增大时，BE•DF的值不变2．D3．（2013•盘锦）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．3．B4．（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．54．B5．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．516、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A、①②③B、①④⑤（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．解：（1）∵A（8，0），B（0，6），8．（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7．解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O如图，过O 点作OK ⊥MN 于K ，∴∠MON=2∠NOK ，MN=2NK ，在Rt △ONK 中，sin ∠NOK=2NK NK ON =， ∴∠NOK 随NK 的增大而增大，∴∠MON 随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时∠MON 最大，当MN 最小时∠MON 最小，①当N ，M ，A 分别与D ，B ，O 重合时，MN 最大，MN=BD ，∠MON=∠BOD=90°，S 扇形MON 最大=π（cm 2），②当MN=DC=2时，MN 最小，∴ON=MN=OM ，∴∠NOM=60°，S 扇形MON 最小=23π（cm 2）， ∴23π≤S 扇形MON ≤π． 故答案为：30°．9．（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6．在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=33，DE=AD•sin30°=3，∴△AED的周长为：6+33+3=9+33．（2）在△AED向右平移的过程中：（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t，∴S=S△D0NK=12ND0•NK=12t•3t=32t2；（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，∴A0N=12A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=33（6-t）．∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=12×3×33-12×（6-t）×33（6-t）=-36t2+23t-332；（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．∵AA 0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，∴A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）；易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，S=S梯形BND0I-S△BKJ=12[t+（2t-6）]• 3（6-t）-12•（12-2t）•33（12-2t）=-1336t2+203t-423．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=2223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t tS t t tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩．（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．（I）当QB=QP时（如答图4），则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，即∠BCB1=30°，∴α=30°；（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，即∠BCB1=75°，∴α=75°．10．（2013•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式．11．解：（1）当点P 运动到点F 时，∵F 为AC 的中点，AC=6cm ，∴AF=FC=3cm ，∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ，∴BQ=AF=3cm ，∴CQ=8cm -3cm=5cm ，故答案为：5．（2）设在点P 从点F 运动到点D 的过程中，点P 落在MQ 上，如图1，则t+t -3=8，t=112， BQ 的长度为112×1=112（cm ）；（3）∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，∴DE=12AC=12×6=3， DF=12BC=12×8=4， ∵MQ ⊥BC ，∴∠BQM=∠C=90°，∵∠QBM=∠CBA ，∴△MBQ ∽△ABC ，∴BQ MQ BC AC=， ∴86x MQ =，MQ=34x，分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN•PD=34x（7-x）即y=-34x2+214x；②当4≤x＜112时，重叠部分为矩形，如图3，y=3[（8-X）-（X-3））]即y=-6x+33；③当112≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3[（x-3）-（8-x）]即y=6x-33．213．解：（1）如图，2如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线∴ME ⊥CE ，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD 与△MED 中COA DEMODC MD EOC ME∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△MED （AAS ），∴OD=DE ，DC=DM设OD=x 则CD=DM=OM -OD=4-x 则RT △COD 中，OD 2+OC 2=CD 2， ∴x 2+22=（4-x ）2∴x=32，∴D （32，0）设直线CE 的解析式为y=kx+b ∵直线CE 过C （0，2），D （32，0）两点，则3022k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：432k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩。
中考数学频考点突破--圆的动点问题
中考数学频考点突破--圆的动点问题1．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是AB⌢上异于A、B 的动点，过点C作CD∠OA于点D，作CE∠OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；⌢上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？（2）当点C在AB若存在，请求出该线段的长度；（3）若CD＝x，直接写出CD2+3CH2的结果．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABO的顶点A，B，O均落在格点上，OB为∠O的半径．（1）∠AOB的大小等于（度）；（2）将△ABO绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，点A，B旋转后的对应点为A′，B′．连接AB′，设线段AB′的中点为M，连接A′M．当A′M取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点B′，并简要说明点B′的位置是如何找到的（不要求证明）．3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，过B作BE⊥CD，垂足为点E，直线BE交⊙O于点F.（1）判断∠ABC与∠EBC的数量关系，并说明理由.（2）若点C在直径AB上方半圆弧上运动，⊙O的半径为4，则①当CB的长为时，以B、O、E、C为顶点的四边形是正方形；②当BE的长为时，以B、O、F、C为顶点的四边形是菱形.4．一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm.将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周.（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积.5．如图AB为∠O的直径，C为∠O上半圆的一个动点，CE∠AB于点E，∠OCE的角平分线交∠O于D点．（1）当C点在∠O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；（2）若∠O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．6．如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm．点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上．设运动时间为x(s)，半圆O与ΔABC的重叠部分的面积为S(cm2)．（1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为；MN的最小值为．（2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与ΔABC重叠部分的面积S；（3）当x为何值时，半圆O与ΔABC的边所在的直线相切？7．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”。
与圆有关的动点问题.doc题
动点问题（4）------与圆有关的动点直线与圆相切1.如图,⊙O 的半径为1,圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动,当⊙O 移动到与AC 边相切时,OA 的长是 .2.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ．（1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？3如图，ABC ∆中，090C ∠=，4AC =，3BC =.半径为1的圆的圆心P 以1个单位/s 的速度由点A 沿AC 方向在AC 上移动，设移动时间为t （单位：s ）. （1）当t 为何值时，⊙P 与AB 相切；（2）作PD AC ⊥交AB 于点D ，如果⊙P 和线段BC 交于点E ，证明：当165t s=时，四边形PDBE 为平行四边形.4.（2012河北中考25）如图14，(50)(30).A B --，，，点C 在y 轴的正半轴上，CBO∠=45，CD AB ∥，90CDA = ∠.点P 从点(40)Q ，出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒.（1） 求点C 的坐标；（2） 当15BCP =∠时，求t 的值；（3） 以点P 为圆心，PC 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，当P ⊙与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．5.如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 30°，BC=12cm。
半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC 上。
设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。
（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？(2)当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
九上 圆 动点、暗动点、最值问题 拔高提优 知识点+例题+练习 (分类全面)
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°, AD＝13cm，BC＝16cm，CD ＝5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；4（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2）s=2t+26T=3分之19S=3分之116（3）PQ=16-tH=43t-16T=4-根号14或 T=4+根号14相切，说明理由。
O ADBCE F二、最值问题1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是平面内的一个动点，且AD=4，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 ． 2分之3,2分之72、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则PQ 长的最小值为 ．13分之603、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=10，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．2倍跟24、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为．10.55、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=5，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．2倍根号26、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．247、如图，90MON ∠=︒ , Rt ABC ∆的顶点,A B 分别在,OM ON 上，90ACB ∠=︒，点A 从点O 出发沿射线OM 运动，同时点B 从点O 出发沿射线ON 运动，连接OC .若AB = 10，则OC 长的最大值是 .58、如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=10，则PM 的最大值是 ．49、如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且 EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___________ 410、在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .100P（x,y）PA2=(X+1)2+y2PB2=(x-1)2+y2PA2+PB2 =2（x2+y2）+2x2+y2最大值为72=4911、在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ//AB时，求PQ的长度；根号6（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．2分之3倍根号3PQ2=OQ2-OP2OP最小，PQ最大12、如图，圆O的半径为1，A，P，B，C是圆O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断三角形ABC的形状：；等边（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；PA+PB=PC （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．中点，根号313、如图，已知圆O的直径AB=12cm，AC是圆O的弦，过点C作圆O的切线交BA 的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当三角形ABQ与三角形ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．3分之5π3分之13π3分之23π三、暗动点、隐圆1、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上的两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长是___.π2、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ． 2（分之根号3+1）a3．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）AA 、21B 、5C 、1455D 、524、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，点D 是斜边AB 上的一个动点(不与点A 重合)，AED ∆为等边三角形.过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是 . 2分之35、如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，过点A 作AH BE ⊥于点H . 若正方形的边长为4，则线段DH 的最小值是多少? 2分之根号5-26、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，解决下列问题： （1）求证：BE ⊥AG ；（2）求线段DH 的长度的最小值．2分之根号5-27、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________根号5-18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求线段PM 的最大值39、如图,以y轴上一点M为圆心作M,分别与坐标轴交于点A,B,C,其中A(0,3),B(1,0),动点P在劣弧BC上由点B运动到C,过点B作BQ⊥AP于点Q,求垂足Q在此过程中经过的路径。
关于圆的动点问题常见解决方案[例谈圆中常见两解问题]
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关于圆的动点问题常见解决方案[例谈圆中常见两解问题] 由于圆具有对称性，以及点、弦、角等元素在圆中位置的相对性.因此，在解答没有给出图形的圆的有关计算题时，就要仔细审题，周密思考，以防漏解. 一、有关点与圆的位置关系问题例1:点P到⊙O的最大距离是8cm，最小距离是4cm，则⊙O的半径是.分析:题中并没有说明点P与圆的位置关系，故需分点P在圆内与点P在圆外两种情况求解.（如图1）当点P在圆内时，由已知，得PA=4, PB=8.（如图2）当点P在圆外时，由已知，得PA=4,PB=8.综上所述，⊙O的半径为6cm或2cm.二、有关平行弦问题例2:已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8，CD=6.⊙O的半径等于5，求梯形ABCD的高.分析:求圆内接梯形的高就是求圆中两条平行弦间的距离.（如图3）当AB、CD在圆心的两侧时，过圆心O作EF⊥AB于E，交CD于F.∵AB∥CD，∴EF⊥CD.连结OA、OD，则△OAE、△ODF都是直角三角形.∴梯形的高EF＝OE+OF=3+4=7.（如图4）当AB、CD在圆心O的同侧时，作OF⊥CD于F，交AB于E，连结OA、OD.同理，求得OE＝3，OF＝4.∴梯形的高EF＝OF－OE＝4-3＝1.综上所述，⊙O的内接梯形ABCD的高为7或1.三、有关公共弦问题例3:⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，它们的半径AO1=20，AO2=15，公共弦AB＝24，则△AO1O2的周长为 .分析:因为已知两圆的半径不等，所以，圆心可能在公共弦AB 的两侧（如图5），也可能在AB的同侧（如图6）.分别在Rt△AO1C和Rt△AO2C中，由勾股定理求得O1C=16,O2C=9.∴O1O2=16+9=25.∴△AO1O2的周长为20+15+25＝60.在图6中，同理求得O1C=16,O2C=9.∴O1O2=16－9=7.∴△AO1O2的周长为20+15+7＝42.综上所述，△AO1O2的周长为60或42.四、有关两条弦的夹角问题分析：连结OA，则弦AC、AD可能在半径OA的两侧（如图7），也可能在OA的同侧（如图8）.在图7中，连结OC.∴∠OAD=30°.∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=45°+30°＝75°.在图8中，同理求得∠OAD=30°，∠OAC＝45°.∴∠CAD=∠OAC－∠OAD＝45°-30°＝15°.综上所述，∠CAD等于75°或15°.五、有关圆周角问题例5 ：PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ACB=.分析：如图9，因为C是⊙O上异于A、B的任意一点，所以点C可能在优弧AB上，也可能在劣弧 AB上.当点C在优弧AB上时，连结OA、OB,则OA⊥PA，OB⊥PB.又∠APB＝78°，∴∠AOB＝360°-90°-90°-78°＝102°.当点C"在劣弧AB上时，四边形AC"BC是圆内接四边形.∴∠AC"B=180°-∠ACB＝180°-51°＝129°.综上所述，∠ACB等于51°或129°.六、有关圆的相切问题例6：以O为圆心的两个同心圆的半径分别9cm和5cm,若⊙A 与这两个圆都相切，则⊙A的半径为 .分析：因为相切分内切和外切两种，所以⊙A可能与大圆内切，与小圆外切（如图10），也可能与两个圆都内切（如图11）.综上所述，⊙A的半径为2cm或7cm.本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文内容仅供参考。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的动点问题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的动点问题1．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊙AB于点E，⊙OCE的角平分线交⊙O 于D点．（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．2．如图．在Rt△ABC中，BC=4，∠BAC=30°，点E，F为边AB上的动点，点D是EF的中点，以点D为圆心，DE长为半径在△ABC内作半圆D．（1）若EF=2，P为半圆D的中点，在半圆D移动的过程中，求CP的最小值．（2）当半圆D同时与Rt△ABC的两直角边相切时，请求出EF的长．3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABO的顶点A，B，O均落在格点上，OB为⊙O的半径．（1）∠AOB的大小等于（度）；（2）将△ABO绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，点A，B旋转后的对应点为A′，B′．连接AB′，设线段AB′的中点为M，连接A′M．当A′M取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点B′，并简要说明点B′的位置是如何找到的（不要求证明）．4．一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm.将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周.（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积.5．如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦,点C是优弧AB上一个动点(点C不与A,B重合).（1）设⊙ACB的角平分线与劣弧AB交于点P,试猜想点P在AB⊙上的位置是否会随点C的运动而发生变化?请说明理由;（2）如图②,设A′B′=8,⊙O的半径为5,在(1)的条件下,四边形ACBP的面积是否为定值?若是定值,请求出这个定值;若不是定值,试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围.6．如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm．点E 与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上．设运动时间为x(s)，半圆O与ΔABC的重叠部分的面积为S(cm2)．（1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为；MN的最小值为．（2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与ΔABC重叠部分的面积S；（3）当x为何值时，半圆O与ΔABC的边所在的直线相切？7．如图，在△ABE中，BE>AE，延长BE到点D，使DE=BE，延长AE到点C，使CE=AE．以点E为圆心，分别以BE、AE为半径作大小两个半圆，连结CD．（1）求证：AB=CD；（2）设小半圆与BD相交于点M，BE=2AE=4．①当S△ABE取得最大值时，求其最大值以及CD的长；②当AB恰好与小半圆相切时，求弧AM的长．8．如图，在半径为5的扇形AOB中，⊙AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊙BC，OE⊙AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在⊙DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，⊙ABC＝90°，⊙C＝30°，AD＝3，AB=2√3，DH⊙BC 于点H．将⊙PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中⊙Q＝90°，⊙QPM＝30°，PM=4√3．（1）求证：⊙PQM⊙⊙CHD；（2）⊙PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且BK=9−4√3．若⊙PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D 旋转的速度为每秒5°，求点K在⊙PQM区域（含边界）内的时长；③如图3．在⊙PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．10．对于平面直角坐标系xOy内任意一点P，过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．（1）点A(2，0)，B(4，4)，C(−2，√2)的垂点距离分别为，，；（2）点P在以Q(√3，1)为圆心，半径为3的⊙Q上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；（3）点T为直线l：y=√3x+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．11．如图，在⊙O中，OA=2，AB=2√3，将弦AB与AB⌢所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转α(0°≤α≤360°)，点A的对应点为A′．（1）点O到线段AB的距离是；∠AOB=°；当点O落在阴影部分（包括边界）时，α的取值范围是；（2）若线段A′B与优弧ACB的交点为D，当∠A′BA=90°时，点D AO的延长线上（填“在”或“不在”）；（3）当直线．．A′B与⊙O相切时，求α的值并求此时点A′运动路径的长度．12．如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°,BC=4√3,AC=4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧．（1）求⊙O的半径；（2）当CD=4√2时，求∠ACD的度数；（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．13．如图，已知▱ABCD，AB=4√3，BC=8√3，∠B=60°，其内有一个圆心角为240°扇形EOF，半径OE=r．（1）发现：如图1，当E、F在BC边上，扇形EOF与AD相切时，①优弧EF上的点与BC的最大距离为，r=，S扇形EOF=；②当BE=CF时，优弧EF⌢上的点与点D的最小距离为；（2）思考：如图2，当r=2时，扇形EOF在▱ABCD内自由运动①当扇形EOF与▱ABCD的两条边同时相切时，求此时两切点之间的距离是多少？②OE与AD垂直时，扇形EOF▲ （填“有可能”或“不可能”）与▱ABCD的边切于点F；（3）拓展：如图3，将扇形的圆心O放在BC的中点处，点E在线段OB上运动，点F在▱ABCD外，当优弧EF⌢与▱ABCD的边有六个交点时，直接写出r的取值范围：．14．小航在学习中遇到这样一个问题：⌢于C，如图，点F是线段AB上一动点，线段AB=8cm，AB的垂直平分线交AB⌢于E，连接AE.若△AEF是等腰三角取线段CD的中点O，连接FO并延长交AB形，求线段AF的长度.小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点F在线段AB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AF，EF，AE的长度，得到下表的几组对应值.填空：m的值为，n的值为；（2）将线段AF的长度作为自变量x，EF和AE的长度都是x的函数，分别记为y W和y，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y kx的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数kxy的图象；w（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△AEF为等腰三角形时，线段AF长度的近似值（结果保留一位小数）.15．如图1，扇形AOB的半径为4，圆心角为90°，点C为AB⌢上任意一点（不与点A，B 重合），且CD⊥BO于点D，点P为△COD的内心，连接OP，BP，CP．（1）求∠OPB的度数；⌢上运动．（2）如图2，⊙ M为△BOP的外接圆，点C在AB①当CD=OD时，判断OC与⊙ M的位置关系，并加以证明；②设⊙ M的半径为r，若r的值不随点C的运动而改变，请直接写出r的值；若随着点C 的运动而在一个范围内变化，请直接写出这个变化范围．16．如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊙CD，垂足为E，P为AC⌢上的动点（不与端点重合），连接PD．（1）求证：⊙APD＝⊙BPD；（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：⊙AIP+⊙DAI＝180°；（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若⊙APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，ICIE是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；理由如下：连接OD．∵CD平分⊙OCE，∴⊙1=⊙3，而OC=OD，∴⊙1=⊙2，∴⊙2=⊙3，∴CE⊙OD，∵CE⊙AB，∴OD⊙AB，∴AD̂= BD̂，即点D为半圆AB的中点．（2）解：∵在直角⊙AOD中，OA=OD=5，∴AD=5√2．过点A作CD的垂线，垂足为G，∵∠ACD=12∠AOD=45°，∴⊙AGC是等腰直角三角形，∵AC=6，∴AG=CG=3√2．在直角⊙AGD中，DG=√(5√2)2−(3√2)2=4√2，∴CD=CG+DG=3√2+4√2=7√2，∴线段AD的长度为5√2，线段CD的长度为7√2．2．【答案】（1）解：在Rt⊙ABC中，BC=4，⊙BAC=30°∴AC=4√3，AB=8∵EF=2∴半圆半径为1∴DP=1如图，当D、C、P三点共线时，CP最小∵P为半圆D的中点，⊙CBA=60°∴CD⊙AB，CD=2√3∴CP的最小值是2√3−1（2）解：∵半圆D同时与两直角边相切，如图∴DM⊙AC，DN⊙BC，设半圆的半径为r，则CN=DM=DN=r∴BN=4-r，∵⊙CAB=⊙NDB=30°∴tan30°=4−rr=√3 3∴r=123+√3∴EF=2r=3+√3=12−4√33．【答案】（1）45（2）解：取OB′的中点N，连接MN，A′N，构成△A′MN，延长AO交⊙O于点H，如图，根据三角形三边关系，A′M≤A′N+MN,当点A′，N，M三点共线时，A′M取最大值，在Rt△A′B′N中，tan∠A′NB′=A ′B′B′N=2，∵点M，N分别是AB′,OB′的中点，∴A′M∥AH，作∠A′NB′=∠HOB′，由网格图的特点可得，在OH上取格点G，取格点C，连接OC与⊙O交于B′，如图所示，OG=√2,CG=2√2，此时tan∠HOB′=2，∠A′NB′=∠HOB′，故连接OC与⊙O交于B′，点B′即为所求．4．【答案】（1）解：∵三角板ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，∴AB=2BC=6cm，∴由勾股定理：AC= √AB2−BC2=√36−9=3√3，边BC在平面内绕顶点A旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：（2）解：BC扫过的面积S圆环= πAB2−πAC2=36π−27π=9π5．【答案】（1）解：如图，结论:点P在弧AB上的位置不会随点C的运动而发生变化∵CP平分⊙ACB∴ACP=⊙BCP (角平分线将这个角分为两个相等的角)∴AP⌢= BP⌢(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等)即点P为劣弧AB的中点（2）解：四边形A′C′B′P′的面积不是定值.当C′P′经过圆心时，点C′到A′B′的距离最大,故四边形A′C′B′P′的面积最大,此时C′P′垂直平分A′B′:设C′P′交A′B′于M∵A′M=4，A′O′=5 O′M⊙ A′B′∴O′M=3 (直角三角形勾股定理求值)∴M P′=2 C′=8∵C′M=8 M P′=2 C′P′⊙ A′B′A′B′=8 ;∴△A′B′C′的最大面积= 12×A′B′×C′M=32，△A′B′P′的面积= 12×A′B′×MP′=8∵点C在优弧上运动,且不与A、B重合∴8 <四边形ACBP的面积≤406．【答案】（1）24cm；(9√2−6)cm（2）解：当点O与BC的中点重合时，如图②，点O移动了12cm，设半圆与AB交于点H，连接OH、CH．∵BC为直径，∴∠CHB=90°，∵∠ABC=45°∴∠HCB=45°，∴HC=HB，∴OH⊥BC，OH=OC=OB=6，S阴影=S扇形HOC+SΔBOH=90360π⋅62+12×6×6=9π+18；（3）解：当半圆O与直线AC相切时，运动的距离为0或12，∴x=0（秒）或6（秒）；当半圆O与直线AB相切时，如图③，连接OH，则OH⊥AB，OH=6∵∠B=45°，∠OHB=90°，∴OB=√2OH=6√2，OC=BC−OB=12−6√2，移动的距离为6+12−6√2=18−6√2(cm)，运动时间为x=18−6√22=9−3√2（秒)，综上所述，当x为0或6或9−3√2时，半圆O与ΔABC的边所在的直线相切．7．【答案】（1）证明：在△ABE和△CDE中，{BE=DE∠AEB=∠CEDAE=CE，∴△ABE≌△CDE；∴AB=CD（2）解：①当AE⊥BE时，S△ABE取得最大值，S△ABE最大值=12×BE×AE=12×4×2=4，在Rt△ABE中，AB=√BE2+CE2=√42+22=2√5，∴CD=AB=2√5；②当AB恰好与小半圆相切时，AB⊥AE，∵在Rt△ABE中，BE=2AE=4，∴AE=2，∴∠ABE=30°，∴∠BEA=60°，∴∠AEM=120°，∴弧AM的长=120π×2180=4π38．【答案】（1）解：如图（1），∵OD⊙BC，∴BD= 12BC=12×6=3，∵⊙BDO=90°，OB=5，BD=3，∴OD= √OB2−BD2=4，即线段OD的长为4．（2）解：存在，DE保持不变．理由：连接AB，如图（2），∵⊙AOB=90°，OA=OB=5，∴AB= √OB2+OA2=5 √2，∵OD⊙BC，OE⊙AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE= 12AB=5√22，∴DE保持不变．9．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，DH⊥BC∴DH⊥AD则在四边形ABHD中∠ABH=∠BHD=∠HDA=90°故四边形ABHD为矩形DH=AB=2√3，BH=AD=3在Rt△DHC中，∠C=30°∴CD=2DH=4√3，CH=√3DH=6∵{∠DHC=∠Q=90°∠C=∠QPM=30°CD=PM=4√3∴△CHD≌△PQM(AAS)；（2）解：①过点Q作QS⊥AM于S由（1）得： AQ =CH =6 在 Rt △AQS 中， ∠QAS =30°∴AS =√32AQ =3√3平移扫过面积： S 1=AD ⋅AS =3×3√3=9√3 旋转扫过面积： S 2=50°360°⋅π⋅PQ 2=50°360°⋅π⋅62=5π故边PQ 扫过的面积： S =S 1+S 2=9√3+5π ②运动分两个阶段：平移和旋转 平移阶段：KH =BH −BK =3−(9−4√3)=4√3−6t 1=KH v =(4√3−6)s旋转阶段：由线段长度得： PM =2DM取刚开始旋转状态，以PM 为直径作圆，则H 为圆心，延长DK 与圆相交于点G ，连接GH ，GM ，过点G 作 GT ⊥DM 于T设 ∠KDH =θ ，则 ∠GHM =2θ 在 Rt △DKH 中：KH =BH −BK =3−(9−4√3)=4√3−6=2√3×(2−√3)DK=√DH2+KH2=√(2√3)2+(4√3−6)2=4√3×√2−√3设t=√2−√3，则KH=2√3t2，DK=4√3t，DH=2√3tanθ=KHDH=t 2，sinθ=KHDK=t2，cosθ=DHDK=12t∵DM为直径∴∠DGM=90°在Rt△DGM中：DG=DM⋅cosθ=4√3×12t=2√3 t在Rt△DGT中：GT=DG⋅sinθ=2√3t×t2=√3在Rt△HGT中：sin2θ=GTGH=√32√3=12∴2θ=30°，θ=15°PQ转过的角度：30°−15°=15°t2=15°5°=3s总时间：t=t1+t2=4√3−6+3=(4√3−3)s③CF=60−12d9−d10．【答案】（1）ℎA=2；ℎB=4√2；ℎC=√6（2）解：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，∴四边形PMON是矩形．∴OP=MN．∵Q点坐标为(√3，1)，∴OQ=2．∵PQ−OQ⩽OP⩽PQ+OQ，∴3−2≤OP⩽3+2．∴1⩽ℎ⩽5（3）解：如图，设直线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，过点O作OM⊥直线l于点M，以OA为半径作⊙O，交直线l于点N．∵∠BAO=60°，AO=2√3，∴AM=√3.过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC=√32，即OC=3√32．∵△AON是等边三角形，∴OD=12AO=√3．∴t=−3√32或−√3⩽t<0．11．【答案】（1）1；120；30°≤α≤60°（2）在（3）解：①当A′B与⊙O相切，∴⊙OBA′=90°，此时α=⊙ABA′=90°+30°=120°，或α=120°+180°=300°；②当α=120°时，A′运动路径的长度= 120π⋅2√3180=4√33π．当α=300°时，A′运动路径的长度= 300π⋅2√3180=10√33π．综上可知，α=120°或α=300°；A′运动路径的长度为4√33π或10√33π．12．【答案】（1）解：如图1中，∵AB是直径，∴⊙ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝4 √3，∴AB =√AC2+BC2=√42+(4√3)2=8，∴⊙O的半径为4．（2）如图1中，连接OC，OD．∵CD＝4 √2，OC＝OD＝4，∴CD2＝OC2+OD2，∴⊙COD＝90°，∴⊙OCD＝45°，∵AC＝OC＝OA，∴⊙AOC是等边三角形，∴⊙ACO＝60°，∴⊙ACD＝⊙ACO﹣⊙DCO＝60°﹣45°＝15°．（3）如图2中，连接OM，OC．∵AM＝MD，∴OM⊙AD，∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．∵⊙AOC是等边三角形，AJ＝OJ，∴CJ⊙OA，∴CJ =√AC2−AJ2=2 √3，∵CM≤CJ+JM＝2 √3+2，∴CM的最大值为2 √3+2．13．【答案】（1）6；4；32π3；2√31−4（2）解：①2或者2√3理由：（i）如图当扇形与AB、AD边相切时（当扇形与CB、CD边相切时），过点O做OM⊥AD，ON⊥AB，连接AO，易证Rt△AMO≌Rt△ANO，∠ONA=∠OMA=60°，∠NOM=60°，∴ΔOMN为等边三角形，∴MN=2（ii）当扇形与DC、AD边相切时（当扇形与AB、BC边相切时），同理可求得∠NOM= 120°，MN=2√3②有可能（3）6<r<4√314．【答案】（1）3.0；5.6（2）解：如图，描点连线：（3）解：如图，作直线y=x，△AEF为等腰三角形有三种情况：①AE=EF时，即AF=x为y kx与y w的交点横坐标，如图，AF=5.4cm，②当AF=EF时，即求y=x与y w的交点横坐标，如图，AF=3.3cm，③当AE=AF时，即求y kx与y=x的交点横坐标，如图，AF=4.6cm，综上所述，当⊙AEF为等腰三角形时，AF的长为3.3cm，4.6cm，或5.4cm. 15．【答案】（1）解：∵点P为△COD的内心，∴∠COP=∠BOP．又∵PO=PO，CO=BO，∴△COP≌△BOP．∵CD⊥BO于点D，∴∠OCD+∠COD=90°．∴12∠OCD+12∠COD=45°．∴∠OPC=135°．∴∠OPB=∠OPC=135°．（2）解：①当CD=OD时，OC与⊙M相切．证明如下：如图，在优弧OB上取一点Q，连接OQ，BQ．∵点P在劣弧OB上，且∠OPB=135°，∴∠OQB=45°．∴∠OMB=90°．连接MO，MB．∴OM=BM．∴∠BOM=∠OBM=45°．而当CD=OD时，∠COD=∠OCD=45°，∴∠COD+∠BOM=90°．∴当CD=OD时，OC与⊙M相切．②r的值是定值；r=2√2．理由如下：⌢上运动时，由（2）证得∠OMB=90°，OM=MB=r，⊙OBM为等腰直角三角形，而当点C在ABOB=4，故OM=MB= r=2√2．16．【答案】（1）证明：∵直径CD⊙弦AB，⌢=BD⌢，∴AD∴⊙APD=⊙BPD；（2）解：如图，作⊙BAP的平分线，交PD于I，证：∵AI平分⊙BAP，∴⊙PAI=⊙BAI，∴⊙AID=⊙APD+⊙PAI=⊙APD+BAI，⌢=BD⌢，∵AD∴⊙DAB=⊙APD，∴⊙DAI=⊙DAB+⊙BAI=⊙APD+⊙BAI，∴⊙AID=⊙DAI，∵⊙AIP+⊙DAI=180°，∴⊙AIP+⊙DAI=180°；（3）解：如图2，连接BI，AC，OA，OB，∵AI平分⊙BAP，PD平分⊙APB，∴BI平分⊙ABP，⊙BAI=12⊙BAP，∴⊙ABI=12⊙ABP，∵⊙APB=60°，∴⊙PAB+⊙PBA=120°，∴⊙BAI+⊙ABI=12（⊙BAP+⊙ABP）=60°，∴⊙AIB=120°，∴点I的运动轨迹是AB⌢，∴DI=DA，∵⊙AOB=2⊙APB=120°，∵AD⊙AB，∴AD⌢=BD⌢，∴⊙AOB=⊙BOD=60°，∵OA=OD，∴⊙AOD是等边三角形，∴AD=AO，∵CD是⊙O的直径，∴⊙DAC=90°，∵CD⊙AB，∴⊙AED=90°，∴⊙AED=⊙CAD，∵⊙ADC=⊙ADE，∴⊙ADE⊙⊙CDA，∴ADCD=DEAD，∴AD2=DE•CD，∵DI′=DI=AD，∴DI2=DE•CD，∵⊙I′DE是公共角，∴⊙DIE⊙⊙DCI，∴ICIE=CDDI=2．。
2020中考复习专题之圆中的动点问题练习(含答案解析)
圆中的动点问题练习一、单选题（共3题；共6分）1.如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= √3，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（）A. √3B. √6C. 3D. 2 √3【答案】B【解析】【解答】如图所示：∵OA、OP是定值，∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，∴PA⊥OA时，PA取最小值；在直角三角形OPA中,OA=3√，OP=3，∴PA= √OP2−OA2=√6故答案为：B.【分析】要想让∠OPA最大，在PO和OA的长一定的情况下，只有当PA最短时，∠OPA 才会最大，所以利用垂线段最短的原理，当PA⊥OA时，∠OPA最大，用勾股定理即可求出PA的值.2.如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（a≥2√3r）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A. π3r2 B. (3√3−π)3r2 C. (3√3−π)r2 D. πr2【答案】C【解析】【解答】如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 1作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连接AO 1 ， 则Rt ∆ADO 1中，∠O 1AD=30° ， O 1D=r ，AD=√3r ， ∴S ∆ADO 1=12O 1D ·AD=√32r 2 ， 由此S 四边形ADO 1E=2S ∆ADO 1=√3r 2 ， ∵由题意，∠DO 1E=120° ， 得S 扇形O 1DE=π3r 2 ， ∴圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是3（√3r 2-π3r 2）=（3√3−π）r 2 . 故答案为：C.【分析】本题考查了面积的计算，等边三角形的性质和切线的性质. 注意所求面积等于四边形ADO 1E 面积减去扇形O 1DE 面积的三倍.3.如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（ ）A. 5B. 6C. 2 √5D. 3 √2【答案】C【解析】【解答】解：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∴AB•DH=32O ，∴DH=16，在Rt △ADH 中，AH= √AD 2−DH 2 =12，∴HB=AB ﹣AH=8，在Rt △BDH 中，BD= √DH 2+BH 2 =8 √5 ，设⊙O 与AB 相切于F ，连接AF ．∵AD=AB ，OA 平分∠DAB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴ OA BD = OF BH ，∴ 8√5 = OF 8 ，∴OF=2 √5 ．故选C ．【分析】如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得 OA BD = OFBH ，延长即可解决问题． 二、填空题（共5题；共5分）4.如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为√2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长是 ________．【答案】π3【解析】【解答】解：如图，分别连接OA 、OB 、OD ；∵OA=OB=√2 ， AB=2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；同理可证：∠OAD=45°，∴∠DAB=90°；∵∠CAB=60°，∴∠DAC=90°﹣60°=30°，∴当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为：30π×2180=π3． 故答案为：π3．【分析】作辅助线，首先求出∠DAC的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．5.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4 √5，AC=4，点D在线段AB上运动，点E 与点D关于AC对称，DF⊥DE，DF交EC的延长线于点F，当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是________．【答案】32【解析】【解答】解：∵点C在以AB为直径的半圆上，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形，∵AB=4 √5，AC=4，∴BC= √(4√5)2−42=8，∴S△ABC=8×4÷2=16，∴线段EF扫过的面积是：16×2=32．故答案为：32．【分析】当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，据此求出线段EF扫过的面积是多少即可．6.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．【答案】32【解析】【解答】解：作A关于y轴的对称点A′，则A′（－4，0），∴OC是△AA′P的中位线，当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小．在Rt△OA′B中，OA′=4，OB=3，∴A′B=5，∴A′P=5-2=3，∴OC= 3，2∴OC的最小值3．2故答案为：3．2【分析】作A关于y轴的对称点A′，可得出点A′的坐标，可证得OC是△AA′P的中位线，因此当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小，再利用勾股定理求出A′B，再根据圆的半径求出A′P的长，利用三角形的中位线定理，即可求出OC的最小值。
专题7 巧解圆中的动态问题（含答案）
专题7 巧解圆中的动态问题知识解读圆中的动态问题，通常以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探究点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系.解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，锅示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径。
解决这类问题常常用到分类讨论、数形结合、方程与函数等数学思想方法.培优学案典例示范例1 如图1－7－1，扇形OAB 的半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是⌒AB 上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG ＝GH ＝HE .求证：223CH CD +是定值.【提示】题中半径不变，DG ，GH 和HE 之间的等量关系不变，可过点H 作HF ⊥CD 于点F ，构造相似三角形，应用相似三角形的性质及勾股定理等知识用2CD 来表示2CH .【解答】图1-7-跟踪训练如图1－7－2，A ，B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A ，B 重合），我们称∠APB 为⊙O 上关于A ，B 的滑动角.（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角. ①若AB 为⊙O 的直径，则∠APB ＝ ； ②若⊙O 半径为1，2=AB ，求∠APB 的度数；（2）已知2O 为⊙1O ，外一点，以2O 为圆心作一个圆与⊙1O ，相交于A ，B 两点，∠APB 为⊙1O 上关于点A ，B 的滑动角，直线PA ，PB 分别交⊙2O 于点M ，N （点M 与点A ，点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN ，∠ANB 之间的数量关系.【提示】（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB ＝90°；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，再分点P在优狐AB上，点P在劣弧AB上两种情况讨论即可；（2）根据点P在⊙O上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN，∠ANB之间的数量关系.1【解答】例2如图1－7－3，正方形ABCD的边长为1，点E为BC边上一动点，以AE为直径作⊙O.（1）设BE＝x，⊙O的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当BE为何值时，⊙O与CD相切；（3）在（2）的条件下，切点F在CD边上的位置如何，并加以证明；（4）判断以CD为直径的圆是否与（2）条件下的AE相切，说明理由.【解答】图1-7-3跟踪训练如图1－7－4，以M（－5，0）为圆心，4为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是⊙M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于C，D，以CD为直径的ON与x轴交于E，F，则EF的长（）A.为24C.为6 D.随P点位置的变化而变化4 B.为3图1-7-4 图1-7-56，0），B（0，6），经过A，B的直线l以每秒1个单位的速度向下作例3 如图1－7－5，已知点A（3匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t秒.（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心，1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系.【提示】（1）求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离，因此需过点P作x轴或y轴的垂线，然后探索运动过程中，点P的运动情况；（2）探索⊙P与直线CD的位置关系，即探索圈的半径与圆心到直线的距离之间的关系，分⊙P在左侧与直线OC相切和⊙P在右侧与直线OC相切两种情况讨论即可。
2015中考数学专题复习试题-和圆有关的动点问题(精品含答案解析)
2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题1、如图，00的直径AB=4, C为圆周上一点，AC=2过点C作OO的切线DC, P点为优弧CBA上一动点(不与A. C重合).(1) 求/ APC与/ACD的度数；(2) 当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形.(3) P点移动到什么位置时，△ APC与厶ABC全等，请说明理由.2、如图，在O O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P, AC=丄AB，点P在半圆弧AB2上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.图1 图2 '圈3(1) 如图1,求证：△ PCDABC ;(2) 当点P运动到什么位置时，△ PCD BA ABC ?请在图2中画出△ PCD并说明理由;(3) 如图3,当点P运动到CP丄AB时，求/ BCD的度数.3、如图，在半径为2的扇形AOB中，/ AOB=90，点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)ODL BC OEL AQ 垂足分别为D E.(1 )当BC=1时，求线段OD的长；(2)在厶DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；(3)设BD=x △ DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域.4、如图，菱形ABCD的边长为2cm / DAB=60 .点P从A点出发，以(1 cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时，P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts .(1 )当P异于A. C时，请说明PQ/ BC(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，OP 与边BC分别有1个公共点和2个公共点？5、如图，在菱形ABCD中, AB= 2 ：3, / A= 60o,以点D为圆心的OD与边AB相切于点E.⑴求证：OD与边BC也相切；⑵设OD与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3) OD上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当&HDF= .'3& MDF时，求动点M经过的弧长(结果保留).6、半径为2cm的与O O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线I的同侧，O O与I相切于点F , DC在I上.(1)过点B作的一条切线BE , E为切点.①填空：如图1，当点A在O O上时，/ EBA的度数是_____________ ;②如图2，当E , A , D三点在同一直线上时，求线段0A的长；(2 )以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形(图3)，至边BC与.OF重合时结束移动，M , N分别是边BC , AD与O 0的公共点，求扇形MON的面积的范围7、如图，Rt△ ABC的内切圆O O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,且/ACB=90 ° AB=5 , BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH丄AB，垂足为H .(1) 直接写出线段AC、AD及O O半径的长；(2) 设PH=x, PC=y，求y关于x的函数关系式;(3) 当PH与O O相切时，求相应的y值.8、如图1 ,正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不与M、C 重合)，以AB为直径作O 0,过点P作O O的切线，交AD于点F，切点为E.(1)求证：OF// BE ;(2)设BP=x, AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)延长DC、FP交于点G,连接0E并延长交直线DC与H (图2),问是否存在点P, 使厶EFOEHG (E、F、O与E、H、G为对应点)？如果存在，试求( 2)中x和y的值；如果不存在，请说明理由.「阴1（團2）9、如图，O O的半径为1,直线CD经过圆心O,交O O于C、D两点，直径AB丄CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于O O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN .(1)当点M在O O内部，如图一，试判断PN与O O的关系，并写出证明过程；(2)当点M在O O外部，如图二，其它条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由；(3)当点M在O O外部，如图三，/ AMO=15 °求图中阴影部分的面积.S B B(屋］一〕(圉二) (图三)10、如图，在O O中，直径AB丄CD，垂足为E,点M为OC上动点，AM的延长线交O O 于点G,交过C的直线于F, /仁/ 2,连结CB与DG交于点N .(1)求证：CF是O O的切线；(2)点M在OC上移动时(点M不与O、C点重合)，探究△ ACM与厶DCN之间关系，并证明1(3)若点M移动到CO的中点时，O O的半径为4, cos/ BOC=，求BN的长.411、如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED丄AB于点F,交BC于点G ,过点C 作圆0的切线与ED 的延长线交于点 P .(1) 求证：PC = PG ; (2) 点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若点G 是BC 的中点，试探究 CG 、BF 、BO 三者之间的数量关系，并写出证明过程；(3) 在满足(2)的条件下，已知圆为 O 的半径为5,若点O 到BC 的距离为 .5 时，求弦12、如图1,已知O O 的半径长为3,点A 是O O 上一定点，点 P 为O O 上不同于点 A 的动 占 八、、♦(1 )当tanA -时，求AP 的长；2(2) 如果O Q 过点P 、O ,且点Q 在直线AP 上(如图2),设AP = x , QP = y ,求y 关 于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(3 )在(2)的条件下，当tanA 4时(如图3),存在O M 与O O 相内切，同时与O Q3ED 的长.试求O M 的半径的长.图1图2 图3答案：1解：(1连接AC如图所示：，/•/AB=4 二OA=OB=O C2A B=2又••• AC=2 ••• AC=OA=OC・.A ACO为等边三角形。
动点问题圆(含答案)初三数学(2020年整理).pptx
∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+ ，
∴4t1+ ﹣3t1=2，
9
∴t1=2﹣ ，
②当直线 AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1 共线时位置二，第二次相切时为位置 三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2），
5
分析如下： 因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最 大为 1．
（2） 如图 1，方案二中连接 O1，O2，过 O1 作 O1E⊥AB 于 E， 方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰 为⊙O 与 AB，BF 的切点． 方案二： 设半径为 r， 在 Rt△O1O2E 中， ∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r， ∴（2r）2=22+（3﹣2r）2， 解得 r= ．
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ =
，无解，
当△OEQ∽△MFP 时，∴ = ， =
，解得，t=2± ，
所以当 t=
，t= ，t=2± 时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F
为顶点的三角形相似． 【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系．
分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，
连接 PF，过点 PE⊥PF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t＞0）
2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题及参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题1．“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．（1）【知识理解】如图1，圆O 的内接四边形ACBD 中，60ABC ∠=︒，BC AC =，①BDC ∠=；DAB ∠DCB ∠（填“>”，“=”，“<”）②将D 点绕点B 顺时针旋转60︒得到点E ，则线段DB DC DA ，，的数量关系为．（2）【知识应用】如图2，AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，猜想DA DB DC ，，的数量关系，并证明；（3）【知识拓展】如图3，已知2AB =，A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，以AB 为边往外构造等边ABC ，点C 在MDN ∠内部，若120D ∠=︒，直接写出四边形ADBC 面积S 的取值范围．2．如图1，对于PMN 的顶点P 及其对边MN 上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PQ 为半径的圆与直线MN 的公共点都在线段MN 上，则称点Q 为PMN 关于点P 的内联点．在平面直角坐标系xOy 中：（1）如图2，已知点(70)A ，，点B 在直线1y x =+上．①若点(34)B ，，点(30)C ，，则在点O ，C ，A 中，点是AOB 关于点B 的内联点；②若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；（2）已知点(20)D ，，点(42)E ，，将点D 绕原点O 旋转得到点F ．若EOF 关于点E 的内联点存在，直接写出点F 横坐标m 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（B C ''，分别是B C ，的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233A B C B C B C ，，，，，，的横､纵坐标都是整数．在线段112233B C B C B C ，，中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0A t ，，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，12AB AC ==，．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．已知：点C 为⊙O 的直径AB 上一动点，过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D 和点E ，连接AD 、BD ，∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ．（1）若DF ＝BD ，求证：GD ＝GB ；（2）若AB ＝2cm ，在（1）的条件下，求DG 的值；（3）若∠ADB 的角平分线DM 交⊙O 于点M ，交AB 于点N ．当点C 与点O 重合时，AD BD DM+＝；据此猜想，当点C 在AB （不含端点）运动过程中，AD BD DM +的值是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于ABC 和直线l 给出如下定义：若ABC 的一条边关于直线l 的对称线段PQ 是O 的弦，则称ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，直线l 是“关联轴”．（1）如图1，若ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，请画出ABC 与O 的“关联轴”（至少画两条）；（2）若ABC 中，点A 坐标为(23)，，点B 坐标为(41)，，点C 在直线3y x =-+的图像上，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，求点C 横坐标的取值范围；（3）已知A ，将点A 向上平移2个单位得到点M ，以M 为圆心MA 为半径画圆，B ，C 为M 上的两点，且2AB =（点B 在点A 右侧），若ABC 与O 的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC 最大时AC 的长．6．如图，在⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，且AB ⊥CD ，垂足为E ，P 为 AC 上的动点（不与端点重合），连接PD ．（1）求证：∠APD ＝∠BPD ；（2）利用尺规在PD 上找到点I ，使得I 到AB 、AP 的距离相等，连接AD （保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI ＝180°；（3）在（2）的条件下，连接IC 、IE ，若∠APB ＝60°，试问：在P 点的移动过程中，IC IE 是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB 和点P ，给出如下定义：若PA PB =且点P 不在线段AB 上，则称点P 是线段AB 的等腰顶点．特别地，当90APB ∠≥︒时，则称点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点．（1）已知点(20)A ，，(42)B ，．①在点(40)C ，，(31)D ，，(15)E -，，(05)F ，中，是线段AB 的等腰顶点的是▲；②若点P 在直线3(0)y kx k =+≠上，且点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点，求k 的取值范围；（2）直线33y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．⊙P 的圆心为(0)P t ，，半径为，若⊙P 上存在线段MN 的等腰顶点，请直接写出t 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．（1）当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；（2）当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CPOQ的值．9．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．①点B '在以点E 为圆心，的长为半径的圆上；②B M '=；③DB C ' 为三角形，请证明你的结论．（2）拓展延伸当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ' 面积的最大值为；②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接PQ AQP AB E ∠=∠'，，则2B C PQ '+的最小值为．10．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T （半径为r ）外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若0＜PQ≤2r ，则称点P 为⊙T 的伴随点．（1）当⊙O 的半径为1时，①在点A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O 的伴随点是▲；②点D 在直线y ＝x+3上，且点D 是⊙O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）⊙M 的圆心为M(m ，0)，半径为2，直线y ＝2x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．11．定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 为图形M 上一点，点Q 为图形N 上一点．若存在OP OQ =，则称图形M 与图形N 关于原点O “平衡”．（1）如图，已知⊙A 是以()1,0为圆心，2为半径的圆，点()1,0C -，()2,1D -，()3,2E ．①在点C ，D ，E 中，与⊙A 关于原点O “平衡”的点是；②点H 为直线y x =-上一点，若点H 与⊙A 关于原点O “平衡”，点H 的横坐标的取值范围为：；（2）如图，已知图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形．⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2．若⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，请直接写出圆心K 的横坐标的取值范围．12．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB 是一条定线段，且90APB ∠=︒，则所有满足条件的直角顶点P 组成的图形是定边AB 为直径的O （直径两端点A 、B 除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD 是边长为8的正方形，点E 从点B 出发向点C 运动，同时点F 从点C 出发以相同的速度向点D 运动，连接AE ，BF 相交于点P ．①当点E 从点B 运动到点C 的过程中，APB ∠的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出APB ∠的度数．②当点E 从点B 运动到点C 的过程中，点P 运动的路径是（）A ．线段；B ．弧；C ．半圆；D ．圆③点P 运动的路经长是▲．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP ，请直接写出E 、F 运动过程中，CP 的最小值．13．对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()60A ，，(0B ．（1）在()30R ，，()20S ，，(1T 三点中，点A 和点B 的等距点是；（2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为▲；②若直线y a =上存在点A 直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围；（3）记直线AB 为直线1l ，直线2l ：33y x =-，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点（0m ≠，0n ≠），求m n ≠时，求r 的取值范围．14．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．15．如图，在ABC 中，AB BC =，30CAB ∠=︒，8AC =，半径为2的O 从点A 开始（如图1）沿直线AB 向右滚动，滚动时始终与直线AB 相切（切点为D ），当O 与ABC 只有一个公共点时滚动停止，作OG AC ⊥于点G ．（1）图1中，O 在AC 边上截得的弦长AE =；（2）当圆心落在AC 上时，如图2，判断BC 与O 的位置关系，并说明理由．（3）在O 滚动过程中，线段OG 的长度随之变化，设AD x =，OG y =，求出y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d(M ，N)，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d(M ，N)＝0．已知：如图，点A(2-，0)，B(0，．（1）如果⊙O 的半径为2，那么d(A ，⊙O)＝，d(B ，⊙O)＝．（2）如果⊙O 的半径为r ，且d （⊙O ，线段AB ）=0，求r 的取值范围；（3）如果C(m ，0)是x 轴上的动点，⊙C 的半径为1，使d （⊙C ，线段AB ）<1，直接写出m 的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P m n ，，我们称直线y mx n =+为点P 的关联直线.例如，点()24P ，的关联直线为24y x =+．（1）已知点()12A ，．①点A 的关联直线为；②若O 与点A 的关联直线相切，则O 的半径为；（2）已知点()02C ，，点()0.D d ，点M 为直线CD 上的动点．①当2d =时，求点O 到点M 的关联直线的距离的最大值；②以()11T -，为圆心，3为半径作.T 在点M 运动过程中，当点M 的关联直线与T 交于E ，F 两点时，EF 的最小值为4，请直接写出d 的值．18．在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为，点M 关于圆O 的特征值为；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）60︒；=；DC DB DA=+（2）解：在AB 上取一点E ，使ADE BDC ∠=∠，如图所示：∵AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，∴1tan 2AC ABC BC BC =∠⋅=，∴在Rt ACB 中，52AB BC ==，∵ BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∵ADE BDC ∠=∠，∴ADE CDB ∽，∴ADAECD CB =，∴AD CB CD AE ⋅=⋅，∵ AD AD =，∴DBA DCA ∠=∠，∵ADE CDE CDB CDE ∠-∠=∠-∠，即ADC BDE ∠=∠，∴BDE CDA ∽，∴BDBECD AC =，∴BD AC CD BE ⋅=⋅，∴()AD CB AC BD CD AE CD BE CD AE BE CD AB⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅，∴AB CD AC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴122BC CD BC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴5122CD DB AD ⋅=⋅+，∴5122CD DB AD =+，即2DB AD =+，故答案为：2DB AD =+．（3）解：∵A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，120D ∠=︒，ABC 是等边三角形，∴四边形ADBC 的两个对角180ADB ACB ∠+∠=︒，∴构造四边形ADBC 的外接圆，∴根据四边形外接圆的性质可得：当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小；当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，①当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴60CBD ∠=︒，2AB BD BC ===∴1sin 602CBD S BC BD =⋅⋅⋅= ，②当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴30ACD ∠=︒，2AC =，∴tan 233AD ACD AC =∠⋅==，∴11232322233ADC S AD DC =⋅⋅=⨯= ，∴23ADC ADBC S S == 四边形；433S <≤．2．【答案】（1）解：①O ，C ②当点B 的坐标为（0，1）时，如图，此时以BO 为半径的B 与线段OA 相切于点O ，∴点O 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 移动到在y 轴左侧时，作图发现B 与x 轴有相交，且有一个交点不在线段OA 上，∴不再有OAB 关于点B 的内联点；当点B 的坐标为（7，8）时，以BA 为半径的B 与x 轴相切于点A ，∴点A 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 直线x=7的右侧时，以BA 为半径的B 与x 轴相交，且有一个交点不在线段OA 上∴不再有OAB 关于点B 的内联点；综上所述，若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围为18n ≤≤；（2）80m 555m -≤≤≤≤或3．【答案】（1）22B C （2）解：由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C '' 是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得B C y ''⊥轴，∴12B D DC ''==，∴32OD ==，32==，∴OA =，∴t =；当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =，∴t =；（3）当1min OA =时，此时BC =；当2max OA =时，此时2BC =．4．【答案】（1）证明：∵CD ⊥直径AB ，∴ BDBE =，∵DF ＝BD ，∴ DFBD =，∴ BEDF =，∴∠1＝∠2，∴DG ＝BG（2）解：∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ，∴∠2＝∠3，由（1）知，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠4＝90°﹣∠2﹣∠3＝30°，∵AB ＝2，∴BD ＝1，在Rt △BCD 中，∠1＝30°，∴BC ＝12BD ＝12，在Rt △BCG 中，∠3＝30°，∴CG ＝＝6，∴BG ＝2CG ＝33，由（1）知，DG ＝BG ＝33（3）5．【答案】（1）解：如图1，作BM ⊥x 轴，垂足为M ，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，∴∠EFB=90°，∴四边形ABFE 是正方形，∴边AE ，BF 的中点所在直线就是ABC 与O 的一条“关联轴”；∵O 的半径为1，∴，且∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，∵∠EFG+∠EFB=180°，∴B 、F 、G 三点共线，∴直线EF 是ABC 与O 的一条“关联轴”．（2）解：如图2，根据A （2，3），B （4，1），C （4，1），计算2=，故AB 不能落在圆的内部；过点A 作AN ⊥y 轴，垂足为N ，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时0C x =；作点B 关于x 轴的对称点P ，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时4C x =，综上所述，点C 横坐标的范围是04C x ≤≤．（3）解：OC 的最小值为2-；OC 最大，根据勾股定理，AC=4.6．【答案】（1）证明：∵直径CD ⊥弦AB ，∴ AD BD=，∴∠APD=∠BPD ；（2）解：如图，作∠BAP 的平分线，交PD 于I ，证：∵AI 平分∠BAP ，∴∠PAI=∠BAI ，∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI ，∵ AD BD=，∴∠DAB=∠APD ，∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI ，∴∠AID=∠DAI ，∵∠AIP+∠DAI=180°，∴∠AIP+∠DAI=180°；（3）解：如图2，连接BI ，AC ，OA ，OB ，∵AI 平分∠BAP ，PD 平分∠APB ，∴BI 平分∠ABP ，∠BAI=12∠BAP ，∴∠ABI=12∠ABP ，∵∠APB=60°，∴∠PAB+∠PBA=120°，∴∠BAI+∠ABI=12（∠BAP+∠ABP ）=60°，∴∠AIB=120°，∴点I 的运动轨迹是 AB ，∴DI=DA ，∵∠AOB=2∠APB=120°，∵AD ⊥AB ，∴ AD BD=，∴∠AOB=∠BOD=60°，∵OA=OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴AD=AO ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠CAD ，∵∠ADC=∠ADE ，∴△ADE ∽△CDA ，∴AD DE CD AD=，∴AD 2=DE•CD ，∵DI′=DI=AD ，∴DI 2=DE•CD ，∵∠I′DE 是公共角，∴△DIE ∽△DCI ，∴2IC CD IE DI==．7．【答案】（1）解：①C(4，0)，E(-1，5)；②（Ⅰ）当点(40)，在直线3y kx =+上时，430k +=，34k =-；（Ⅱ）当点(31)，在直线3y kx =+上时，331k +=，23k =-；（Ⅲ）当点(22)，在直线3y kx =+上时，232k +=，12k =-；结合图象可得3142k -≤≤-且23k ≠-；（2）解：直线333y x =-+与x 轴的交点M 坐标为()30，，与y 轴交点N 的坐标为(03，，∴tan 3NMO ∠=，∴30NMO ∠=︒，如图，作出线段MN 的垂直平分线，如图为两个临界情况：，利用待定系数法求得MN 垂直平分线解析式为y =，∴(0R -，，12230ORQ P RQ ∠=∠=︒，∴1112PR PQ ==，2222P R P Q ==，∴(10P ，(20P -，，∴t -≤<．8．【答案】（1）A 、B 、D（2）解：如图，依题意作⊙O 的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ ，∠TQP=90°过Q 点作MH //x 轴，交y 轴于M 点，过点P 作PH ⊥MH 于H 点∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ ≌△QHP （AAS ）∴TM=QH ，MQ=HP设Q （x ，y ）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y ，PH=MQ=x∴P （x-y+3，x+y ）∵C （3，0）∴∵∴CP OQ ．9．【答案】（1）BE ；3332-；等边；证明：B′D=BC CD ==，∴△DB'C 为等边三角形（2）310．【答案】（1）B ，C ；解：②如图2中，设点D 的坐标为(3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD ==由两点之间的距离公式得：OD =解得1221d d =-=-，结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d -≤≤-；（2）解：对于22y x =-当0y =时，220x -=，解得1x =，则点E 的坐标为(10)E ，当0x =时，2y =-，则点F 的坐标为(02)F -，⊙M 的半径为2，⊙M 的圆心为(0)M m ，24r ∴=，OM m=由题意，由以下两种情况：如图3-1中，点M 在点E 的右侧设FT 是⊙M 的切线则有两个临界位置：4FT =和点E 对应的切线长为0当4FT =时，则4OM m FT ===当点E 对应的切线长为0，即2EM =12EM m ∴=-=解得3m =结合图象得，当34m <≤时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点②如图3-2和3-3中，点M 在点E 的左侧则有如下两个临界位置：如图3-2，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，2222245EM MT ET =+=+此时15m -=解得15m =-如图3-3，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT∵(10)(02)E F -，，，∴12OE OF ==，∴22125EF =+=∵EF 是切线∴EF MT⊥∴90MTE FOE ∠=∠=︒∵MET FEO∠=∠∴MTE FOE~ ∴EM MTEF OF =，即22=解得EM =，即1m -=解得1m =-结合图象得，当11m -≤<-时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点综上，m 的取值范围是11m -≤<-或34m <≤．11．【答案】（1）点C 、D ；22H x -≤≤-或22H x ≤≤（2）解： 图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形，∴原点O 到正方形的最短距离是1d =，最长距离是d =，⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，∴原点O 到⊙K 上一点的距离1d ≤≤，⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2，∴当⊙K 在x 轴正半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x -≤≤+，当⊙K 在x 轴负半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x --≤≤，综上所述，圆心K 的横坐标的取值范围22x -≤≤+或22x --≤≤．12．【答案】（1）解：①90°；②B ；③2π（2）解：413．【答案】（1）S(2，0)（2）解：①（4，0）或（8，0）；②如图，设直线y a =上的点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ．点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，QA QC ∴=．22QA QC ∴=．点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为()Q x a ，．()()22262x a a ∴-+=--⎡⎤⎣⎦．整理得2123240x x a -+-=．由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．()()()212413241610a a ∴∆=--⨯⨯-=+≥．解得1a ≥-．（3）解：如图．直线l 1和直线l 2的等距点在直线l 3：33y x =-+上，直线l 1和y 轴的等距点在直线4l y =+：或33y x =+上，点O 与l 4的距离为32，点O 与l 3的距离为，点O 与l 5的距离为3，当r ＜时，n=0不符合题意，当r=时，m=2，n=0，符合题意，当＜r ＜3时，m=n=2，不符合题意，当r≥3时，m=2，n=3或4，符合题意，综上所述，r=或r≥3.14．【答案】（1）C（2）解：∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．∴AP ＝BP ＝＝2，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE＝，∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1﹣≤x k≤1﹣或﹣1≤x k≤1+（3）解：分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝12x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝ON EFOH FH＝36＝12，设EF＝a，则FH＝2a，EH＝a，∴OE＝6﹣a，Rt △OEP 中，OP ＝1，EP ＝a ，由勾股定理得：EP 2＝OP 2+OE 2，∴2221(6)a =+-，解得：a ＝2+（舍去）或2，∴QG ＝2OE ＝2（6﹣a ）＝﹣3+2，∴m≤3﹣2；②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，同理得QG ＝3+2，∴m≥3+2，综上，m 的取值范围是m≤3﹣2或m≥3+215．【答案】（1）2（2）解：BC 与O 相切；理由：如图2，过点O 作OH BC ⊥于H ，连接OD ，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，在Rt AOD 中，30BAC ∠=︒，∴24OA OD ==，∵8AC =，∴4OC =，在ABC 中，AB BC =，∴30C BAC ∠=∠=︒，在Rt OHC 中，30C ∠=︒，∴122OH OC OD ===，∴BC 与O 相切，（3）解：①当点O 在AC 的左侧时，连接OD 交AC 于F ，如备用图1，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，∵OG AC ⊥，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FDA 中，tan FD BAC AD ∠=，∴tan 3FD AD BAC x =⋅∠=，∴23OF x =-，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG ⎛⎫==⋅∠=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭，即12y x =-+，此时x 的取值范围为0x ≤≤；②当点O 在AC 的右侧时，连接DO 并延长交AC 于F ，如备用图2，同①的方法得，33FD x =，∴23OF x =-，∵FD AB ⊥，∴90BAC AFD ∠+∠=︒，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG x x ⎛⎫==⋅∠=-⨯- ⎪⎪⎝⎭，即12y x =-，此时x 的取值范围为1433x ≤≤．16．【答案】（1）0；2-（2）解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2OA OB ==，，∴4AB ==，∵1122OA OB AB OD ⋅=⋅，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO =，∵d （⊙O ，线段AB ）=0，∴当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，∴r r ≤≤（3）43423m -<<-17．【答案】（1）2y x =+（2）解：①当2d =时，()20D ，，设直线CD 的解析式为：y kx b =+，()02C ，，202k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为：y x =-+，设点M 的坐标为()2m m -+，，∴点M 的关联直线为：()212y mx m m x =-+=-+，∴点M 的关联直线经过定点()12N ，，如图2，过点O 作直线2y mx m =--+的垂线，垂足为H ，连接ON ，ON OH ∴≥，∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M=；2 d=②或2 3-18．【答案】（1）；3（2）解：设点G是O的特征值为4的点，∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条， 经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2，=，∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上，直线y x b=+分别与x，y轴交于点A、B，()0A b∴-，，()B b，，OA OB b∴==，45OBH∴∠=︒，当0b>时，线段AB与以O为半径的圆相切时，点G特征值为4，设切点为为H，连接OH，则OH=，OB∴==，b∴=，设以O 为半径的圆与y 轴正半轴的交点记为1B ，则1OB =，当线段AB 与以O 1B 时，可得b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤，综上，b b b ≤≤-≤（3）当372122t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=。
2017武汉元调与圆有关的动点问题(答案)
1.【答案】D 【解析】如解图，点D 运动的路径是以AO 中点M 为圆心，AO 一半的长为半径的圆，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，∴AO ＝12AB ＝4，∴点D 运动的路径长为：π×4＝4π．2.【答案】B 【解析】如解图，过A 作⊙O 的直径AE ，连接ED ，AD ，∴∠ADE ＝90°，∵∠E ＝∠B ＝30°，∴∠EAD ＝60°．在Rt △ADE 中，AD ＝12AE ＝6，∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，∴∠CAD ＝90°－60°＝30°，过点D 作AC 的垂线，垂足为C ＇，在Rt △DA C ＇中，∵∠DAC ＇＝30°，∴DC ＇＝12AD ＝3，∴当点C 在C ＇点时，CD 有最小值，最小值为3．3.【答案】D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝60°．∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝6．当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵当GH 为直径时，E 点与O 点重合，∴AC 也是直径，AC ＝12．∵∠ABC 是直径所对的圆周角，∴∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，∴AB ＝12AC ＝6．∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ＝12AB ＝3．∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝12－3＝9． 4.【答案】D 【解析】∵AB ＝15，AC ＝9，BC ＝9，∴2AB ＝2AC ＋2BC ，∴△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点C 在圆上，所以EF 为圆的直径，若求线段EF 的最值，即要使圆最小，圆与AB 的切点为D ，如解图，连接CD ，当CD 垂直于AB 时，即CD 是圆的直径时，EF 长度最小，即最小值是斜边AB 上的高CD ，利用三角形面积可得：12AB ·CD ＝12AC ·BC ＝12×15×CD ＝12×12×9，解得CD ＝365． 5.【答案】C 【解析】当点C 为劣弧AB 的中点时，△ABC 内切圆半径r 最大，如解图，连接OC 交AB 于D 点，⊙M 为△ABC 内切圆，作ME ⊥AC 于E 点，∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB ＝3，AC ＝BC ，∴点M 在CD 上，∴ME 和MD 都为⊙M 的半径，设ME ＝MD ＝r ，∵∠ACB ＝120°，∴∠A ＝30°，∠ACD ＝60°，在Rt △ACD 中，CD在Rt △CEM 中，∠ECM ＝60°，∠CME ＝30°，CEEM，∴CM ＝2CE，CM ＋DM ＝CD＋rr ＝6－第1题解图B第2题解图第3题图D第4题解图AF E CB6.【答案】C 【解析】由题可知=ABC ACD ABCD S S S + 四边形，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，如解图，则1=2ABCD S AC BF ∙四边形＋12AC DE ∙＝12＋12DE，当点D 为劣弧 AC 的中点时，DE 取得最大值，此时∠DAC ＝∠ACD ＝∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，在Rt △ADE 中，AE ＝12AC，DE ＝12AD ，由勾股定理可得DE ＝12，∴此时12ABCD S 四边形7.【答案】B 【解析】如解图，作直径BD ，连接CD ，OC ，BM ，CM ，OM ，则∠BCD ＝90°，则∠BAC ＝∠D ，∵BC ＝BD ＝2OB ＝4，∴CD2，∴CD ＝12BD ，∴∠DBC ＝30°，∴∠BAC ＝∠D ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∵P 点是△ABC 的内心，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）＝60°，∴∠BPC ＝120°＝∠BOC ，∴点O 在⊙M 上，∴OM ＝CM ，∵BM ＝CM ，∴ BM＝ CM ，∴∠BOM ＝∠COM ＝60°，∴△OCM 是等边三角形，∴CM ＝OC ＝2，即⊙M 的半径不变等于2．故选B ． 8.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠ACB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，又∵OA =OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵AB ＝6，∴OA =OB =6M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN =12AC ，要使MN 最大，即AC 最大，而AC 是⊙O 的弦，故AC 是⊙O 的直径时，值最大，此时AC=2OA MN 长的最大值是12AC =12⨯9.【答案】B 【解析】如解图，将⊙O 补全，延长BO 交⊙O 于点C ，连接AC 交MO 于点P ，连接BP ，∵CB ⊥MN ，OB =OC ，∴BP =CP ，∴PA +PB =PA +PC ，根据两点之间线段最短可知所作点P 即为所求，此时PA +PC =AC ．∵CB 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC中，AB =4，BC =2OB=10，∴AC10.【答案】C 【解析】如解图，∵AC 为其直径，∠ACB ＝30°，∴∠A ＝60°，∵点A ＇在AC第5题解图A第6题解图第7题解图第8题解图上运动，∴∠A ＇＝∠A ＝60°，∵C ＇B ⊥A ＇B ，∴∠C ＇＝90°－60°＝30°，∵∠C ＇是定值，∴点C ＇的运动路径是一个圆，当点C ＇运动到C ''时，C C ''＝2BC ，∵⊙O 的半径为7，∴AC ＝14，AB ＝7 ，∴BC ＝C C ''＝C ＇以在C C ''中点M 为圆心，BC ＇的最大值为11.【答案】A 【解析】连接AE ，如解图①，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝AB ＝AC ＝4，∵AD 为直径，∴∠AED ＝90°，∴∠AEB ＝90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙O 的上，∵⊙O 的半径为2，∴当点E 为线段OC 与⊙O 的交点时，CE 最小．如解图②，在Rt △AOC 中，∵OA ＝2，AC ＝4，∴OCCE ＝OC －OE＝－2．即线段CE长度最小值为2．当点E 为射线CO 与⊙O 的交点时，CE 最大，最大值为+2，∴－2≤CE ≤＋2．12.【答案】A 【解析】如解图，连接OQ ，∵MN ＝OP （矩形对角线相等），⊙O 的半径为2，OQ ＝12MN ＝12OP ＝1，可得点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 也是转过45°．∴Q 运动过的长度为45360︒︒×2π＝4π．故选A ． 13.【答案】C 【解析】如解图，连接CE ，∵点E 是AD 的中点，A ＇E ＝AE ＝12AD ，点F 为动点，则随着F 的运动，A ＇的运动轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径在矩形ABCD 内的圆弧，则C A ＇、A ＇E 和CE 围成三角形，根据三角形的三边关系，即A ＇E + C A ＇＞CE ，当E 、A ＇、C 在同一直线上时，则A ＇E + C A ＇＝CE ，此时C A ＇最小．在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝1，则CEC A ＇1．14.【答案】A 【解析】过点A 、B 作圆P ，且使OA 、OB 交⊙P 于A 、B 两点，如解图，连接第9题解 图第10题解图②图B①图第12题解图CF第13题解图第14题解图第15题解图AP ，BP ，∵OA ＝OB ＝AB ＝4，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°，∵BD ⊥BC ，∴∠D ＝60°，∵AB ＝4，是一个定值，∴点D 在圆P 上，要使△ABD 面积的最大，∴点D 到AB 的距离要最大时，此时D 为圆P 优弧AB 的中点，此时△ABD 为等边三角形，D 到AB 的距离为ABD S ∆＝12△ABD 面积的最大值为15.【答案】B 【解析】当点C 运动到A 点处时，点D 在如解图D ＇的位置处，当点C 运动到B 点处时，点D 与点B 重合，∵△BCD 是等边三角形，∴∠CDB ＝60°，又∵CO ＝BO ，∴△CDO ≌△BDO ，∴∠ODB ＝30°，∴点C 在半圆AB 上运动时，点D 在以BD ＇为直径的圆上运动，当点O ，D 与BD ＇的中点M 共线时，线段OD 最长，为⊙M 的直径，∴OD 的长随点C 的运动而变化，最大值为16.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵⊙O 的半径是2，∴AB＝＝，∵A M BA NM A N B S S S ∆∆=+四边形,∴要使四边形MANB 面积最大，则需两个三角形的高的和最大，当MN 为直径时，NM 最大，∴由垂径定理可知MN ⊥AB 时，四边形MANB 面积有最大值，∴MANB S 四边形＝12·AB ·MN ＝1217.【答案】C 【解析】如解图，取劣弧 CB的中点D ，连接AD ，BD ，∵∠BCA ＝90°，AB ＝2AC ＝4，∴CA ＝2，则∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∵D 为劣弧 CB的中点，∴BD ＝CD ，∴∠BAD ＝30°，∴BD ＝12AB ＝2，∠BPC ＝60°，∴∠BDC ＝120°，∵I 为△PBC 的内心，∴∠PBI ＝∠IBC ，∵BD ＝CD ，∴∠BPD ＝∠DBC ，∴∠PBI +∠BPD ＝∠IBC +∠DBC ，即∠BID ＝∠IBD ，∴ID ＝BD ，∵BD ＝CA ＝2，∴ID ＝2，∴动点I 到定点D 的距离为2，即点I 的轨迹是以点D 为圆心，2为半径的弧 CIB （不含C 、B ），弧 CIB的长为1202180π⨯＝43π，则l 的取值范围是：0＜l ＜43π18.【答案】A 【解析】如解图，分别作∠A 与∠B 的角平分线，交点为P ，∵△ACD 和△BCE第16题解图第17题解图第18题解图B第19题解图都是等边三角形，∴AP 与BP 为CD 、CE 的垂直平分线．又∵圆心O 在CD 、CE 垂直平分线上，则交点P 与圆心O 重合，即圆心O 是一个定点，连接OC ，若半径OC 最短，则OC ⊥AB ．又∵∠OAC ＝∠OBC ＝30°，AB ＝4，∴OA ＝OB ＝2OC ，∴AC ＝BC ＝2，∴在Rt△AOC 中，2OC =2AO －2AC ，即2OC =42OC －4，解得OC19.【答案】C 【解析】如解图，连接OP ，∵PM ⊥CD ，PN ⊥AB ，∴∠PMO ＝∠PNO ＝90°，∴点M 、N 在以OP 为直径的圆上，∴∠MPN ＝90°，MN 有最大值2．20.【答案】B 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点P ′，由圆的性质知，当点P运动到点P ′时，DP 的值最大．∵△ABC 为等腰直角三角形，且AB＝∴BC＝根据勾股定理得8AC ==，∵点D 、O 分别为AB 、AC 的中点，∴DO为△ABC的中位线，∴12DO BC ==DP ′＝DO ＋OP ′＝4，故DP 的最大值为4．第20题解图第22题解图第23题解图 21.C 【解析】如解图，点P 运动的路径是以G 为圆心的劣弧，在⊙G 上取一点H ，连接EH 、FH ，∵四边形AOCB 是正方形，∴∠AOC ＝90°，∵∠CEA ＝12∠COA ＝45°，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠EAF ＝90°，∴∠APF ＝∠AFP ＝45°，∴∠H ＝∠APF ＝45°，∴∠EGF ＝2∠H ＝90°，∵EF ＝4，GE ＝GF ，∴GE ＝GF＝ EF=22.A 【解析】作DH ⊥BC 于H ，如解图，∵四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴四边形ABHD 为矩形，∴AB 为直径，∴AD 和BC 为⊙O 的切线，∵CD 和MN 为⊙O 切线，∴DE ＝DA ，CE ＝CB ，NE ＝NF ，MB ＝MF ，∵四边形ABHD 为矩形，∴BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝6，设BC ＝x ，则CH ＝x －2，CD ＝x ＋2，在Rt △DCH 中，∵222CH DH DC +=，∴222(2)6(2)x x -+=+,解得x ＝92，∴CB ＝CE ＝92，∴△MCN 的周长＝CN ＋CM ＋MN ＝CN ＋CM ＋NF ＋MF ＝CE ＋CB ＝923.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在以AO 为直径的圆上，当点D 运动C到点C 处时，AE ′＝12AC ；当点D 运动到点B 处时，AE ′′＝12AB ，∴E ′E ′′为△ABC 的中位线，∴E ′E ′′＝12BC ＝2，∵∠A ＝45°，∴ E E '''所对的圆心角为90°，点E 所在圆的半径rD 在优弧 BAC上运动，∴点E=．24.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在⊙M 上，点D 运动到D ′处时，D ′、O 、B 、M 共线，此时D ′B 为⊙O 的直径，∵BE ＝12BD ，∴BM ＝12BO ，在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB ＝4，∴AC＝BO ＝AO＝BMD 与点A 重合时，点E 运动到E ′′处，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C ＝45°，∴∠BOA ＝90，∴∠E ′′MB ＝90°，∴当点D 从点A 运动至点B 时，点E的运动路径长为901802=．第24题解图第25题解图25.C 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥OM ，交直线l 同侧的⊙O 于点F ，连接OF ，记OF 的中点为G ，∵CM ⊥直线l ，∴∠MCO ＝∠OPF ＝90°，在Rt △CMO 和Rt △POF ，∴∠POF ＝∠CMO ，OF ⊥直线l ，∵点G 是OF 的中点，∴OG =GP =GF ，∴点P 在以点G 或G ′为圆心，OG 或OG ′长为半径的圆上，当点M 运动一周时，点P 的运动路程是⊙G 周长的2倍，∵OF ＝OM ＝10，∴点P 运动路程为2×10π＝20π．。
圆中动点与最值问题集锦
第20题图第21题图第22题图
21.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是.
（1）求弦CD的长；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．
第15题图第16题图第17题图
16.如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= ，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四※边形ABCD面积的最大值为_________．
※17.如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS取值范围．
8.如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是_________．
9.如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB的中点，AC= OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB= 时，△APC的面积的最大值为_________．
10.如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．
第10题图第11题图第12题图
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________．
12.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________．
圆中的动点问题
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（） ｌ Ｍｚ Ａ ２过点 作Ｍ， ／ Ｂ ￣Ｏ ＂ ／ ｆ
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（ ） 点Ｒ在 Ｃ ２当 Ｄ边 上 时 ， 图５ 如 所 示 ， 易 证 △Ａ Ｐ Ｂ △Ｂ Ｒ． 所 以 Ｃ
／ Ｐ ＿Ｂ Ａ＝／ Ｃ ＲＢ． Ｒ＝ １ Ｂ Ａ Ｑ
数 譬公开 Ｉ翘 学 专数
蓠 研 点， 运 过 究 ｐ的 动 程 尺
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１０ — ２ ： ８
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所示
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圆的动点问题--经典习题及答案
圆的动点问题25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线MN 上的一个动点，（1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求AE 的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径．AB C PEM 第25题图1D A BCM第25题图2N25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ．（1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．ABEFCDO AB EFCD O25．如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O1的半径；（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．25.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分）在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，AB=4，AD=5，CD=5．E 为底边BC 上一点，以点E 为圆心，BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F ． (1) 如图，当点F 在线段DE 上时，设BE x =，DF y =，试建立y 关于x 的函数关系式， 并写出自变量x 的取值范围；(2) 当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时，求x 的值；(3) 联接AF 、BF ，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值。