函数的表示方法(优质课件)
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函数表示法 ppt课件
PPT课件
2
函数的表示法
1、列 表 法，就是列出表格来表 示两个变量间的对应关系。
2、解 析 法 ，就是用数学表达式 表示两个变量间的对应关系。
3、图 像 法，就是用图像表示两个
变量的对应关系。
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3
探究
大型港口的水位通常随着潮汐的变化升高或降低，下表给出了 某个港口某天整点时的水位数据。
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10
练习：P60 练习1，2 作业：P64 习题1，2
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11
把一根长9.14m的铁丝弯成下 部为矩形、上部为半圆形的框 架，设矩形的底边长为x(m)， 此框架围成的图形的面积为 y(m2).
(1)请将y表示成x的函数。
(2)当矩形的底边长为2m时， 该框架的面积为多少(精确到 0.01m2)？
时间/ 时
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
水位/m 14.6 15.5 17.2 18.5 19.5 21.2 19.4 19.6 16.9 15.4 14.3 14.0
时间/ 时
13
14
15
16
17
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19
20
21
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23
24
水位/m 14.4 15.4 18.1 18.5 19.4 20.0 19.6 19.3 17.0 15.6 14.7 14.2
解析法，就是用数学表达式表示两个变量 间的对应关系。
PPT课件
7
解析法有两个优点：
（1）函数关系清楚; （2）容易从自变量的值求出其对应的函数值； （3）便于研究函数的性质。
函数的表示法(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
思索交流
x+2, (x≤－1)
5. 已知函数f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x旳值是( D )
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3,
3 2
D. 3
怎样求函数解析式
一、【配凑法（整体代换法）】
若已知 f (g(x)) 旳体现式，欲求 f (x) 旳体现式， 可把 g(x)看成一种整体，把右边变为由 g(x) 构成 旳式子，再换元求出 f (x) 旳式子。
x
例3 、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函旳质量和相应旳邮资如表.
信函质量 (m)/g
0<m≤20
邮资(M)/元 1.20
20<m≤40 2.40
40<m≤60 3.60
60<m≤80 4.80
80<m≤100 6.00
画出图像,并写出函数旳解析式.
解：邮资是信函质量旳函数，函数图像如图。
函数旳解析式为
7.0
9.4
10.0
11.0
y 9 x 32 5
解析法
(6)某气象站测得本地某一天旳气温变化情况如图所示：
温度
8
T （℃）
6
4
２
0
２
时间
２ ４ ６ ８1
1
1
1
1
2
2
t2
( 时
函数的表示法优质示范课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
2024/9/22
1
1
一、复习函数的三种表达办法
问题
初中学过哪些函数的表达办法？
解析法、图象法、列表法
2024/9/22
1
2
问题 课本1.2.1节的三个实例分别用了哪些表达办法？能否用其
它的表达办法？其各自的优点是什么？
实例（1）中的函数是用解析法表达的，简要表达了h 与t之间的关系，也可用图象法、列表法表达，但列表 法不能全方面表达变量间的关系。
列表、描点、连线（视其定义域决定与否连线）
函数的图象既能够是持续的曲线，也能够是直线、折线、 离散的点等。
2024/9/22
1
7
三、学会运用表格画出函数的图象
【例2】下表是某校高一（1）班三名同窗在高一学年度 六次数学测试的成绩及班级平均分表。
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一 第二次 次
98
87
90
.▲
♦
.
♦
▲
.▲
■♦
. 王伟
■♦ ▲ 张城
■
■
70
■
赵磊
■
60
0
12 3456
x
解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表达 出来。能够看出：王伟同窗学习状况稳定且成绩优秀；张城 同窗的成绩在班级平均水平上下波动，且波动幅度较大；赵 磊同窗的成绩低于班级平均水平，但成绩在稳步提高。
2024/9/22
76
68
65
88.2 78.3
第三次
91 88 73 85.4
第三次
92 75 72 80.3
第五次
88 86 75 75.7
第六次
95 80 82 82.6
1
1
一、复习函数的三种表达办法
问题
初中学过哪些函数的表达办法？
解析法、图象法、列表法
2024/9/22
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问题 课本1.2.1节的三个实例分别用了哪些表达办法？能否用其
它的表达办法？其各自的优点是什么？
实例（1）中的函数是用解析法表达的，简要表达了h 与t之间的关系，也可用图象法、列表法表达，但列表 法不能全方面表达变量间的关系。
列表、描点、连线（视其定义域决定与否连线）
函数的图象既能够是持续的曲线，也能够是直线、折线、 离散的点等。
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三、学会运用表格画出函数的图象
【例2】下表是某校高一（1）班三名同窗在高一学年度 六次数学测试的成绩及班级平均分表。
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一 第二次 次
98
87
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.▲
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▲
.▲
■♦
. 王伟
■♦ ▲ 张城
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赵磊
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12 3456
x
解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表达 出来。能够看出：王伟同窗学习状况稳定且成绩优秀；张城 同窗的成绩在班级平均水平上下波动，且波动幅度较大；赵 磊同窗的成绩低于班级平均水平，但成绩在稳步提高。
2024/9/22
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88.2 78.3
第三次
91 88 73 85.4
第三次
92 75 72 80.3
第五次
88 86 75 75.7
第六次
95 80 82 82.6
1【课件(人教版)】第1课时 函数的表示法
法二：(换元法) 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2(t≥1)， 所以 f(t)＝(t－1)2＋2 （t－1）2＝t2－1(t≥1)． 所以 f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)f(x)＋2f1x＝x，令 x＝1x， 得 f1x＋2f(x)＝1x.
于是得到关于 f(x)与 f1x的方程组
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数， 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的 关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变 量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．
1．(2020·辽源检测)设函数 f11－ ＋xx＝x，则 f(x)的表达式为
解析：选 A.法一：令 2x＋1＝t，则 x＝t－2 1.
所以 f(t)＝6×t－2 1＋5＝3t＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
法二：因为 f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
()
3．已知函数 f(x)＝x－mx ，且此函数的图象过点(5，4)，则实数 m 的值为 ________． 解析：因为函数 f(x)＝x－mx 的图象过点(5，4)， 所以 4＝5－m5 ，解得 m＝5. 答案：5
5．已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)． 解：因为 f(x)是二次函数，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝1，得 c＝1. 由 f(x＋1)－f(x)＝2x， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
4．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
中职数学基础模块上册《函数的表示法》ppt课件
三、求解函数解析式的方法：代入法、配凑法、换元法。
2.1.2 指数函数及其性质
1、优化学案课后作业本P87
八、作业
谢谢！
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐 述观点。
二、新知全解
h(t)=130t-5t2 （0≤t≤26）
（2）南极臭氧层空洞
（图象法）
（3）恩格尔系数
（列表法）
1.2.2 函数的表示法
三、3种表示方法的特点
解析法的特点：简明、全面地概括了变量间 的关系；可以通过用解析式求出任意一个自 变量所对应的函数值。
但不够形象、直观、具体，而且并不是 所有的函数都能用解析式表示出来 列表法的特点：不通过计算就可以直接看出与自变量的 值相对应的函数值。 但它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
做题步骤：整体代入→化简
1.2.2 函数的表示法
五、如何根据已知条件求函数的解析式
一、换元法和配凑法求解析式 类型二：已知f[g(x)] 的表达式，求f(x)的表达式
例2 已知f(x+1) ＝3x＋5，求f(x)的解析式
练习： 1 、 已f知 (＋ x 1＝ )x2 ＋ 2， x 求 f(． x)
2、f若 (x1)x2x1，f求 (x1)的解析式
做题步骤：换元或配凑代入→化简
2.1.2 指数函数及其性质
七、小结
一、函数的三种表示法：
解析式法，图像法，列表法
二、各表示法的注意事项：
解析法：必须明确函数的定义域
图象法： 函数图像既可以是连续 的曲线， 也可以是直 线、折 线、离散的点 等等； 是否连线的 问题； 注意判断一个图形是否 是函数图象的依据；
1.2.2 函数的表示法
函数的概念及表示法ppt课件
(1)对于x的每一个值，y都满足有唯一的值与之对应吗？
不满足
(2)y是x的函数吗？为什么？
不是，因为y的值不是唯一的.
26
26
随堂练习
演练
1. 下面四个关系式：① y ＝ ；② ＝ x ；
③2 x2－ y ＝0；④ y ＝ ( x ＞0).
其中 y 是 x 的函数的是(
D )
27
随堂练习
报酬按16元/时计算. 设小明的哥哥这个月工作的时间为t
小时，应得报酬为m元，填写下表：
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
对于这个函数，当t=5时，把它代入函数表达式，得
m = 16t=16×5=80（元）.
m = 80是当自变量t=5时的函数值.
代入法
19
19
探究新知
函数与函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函
判断一个关系是否是函数关系，根据函数定义，主
要从以下3个方面分析：
(1) 是否在一个变化过程中；
(2) 在该过程中是否有两个变量；
(3) 对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量
是否有唯一确定的值与其对应.
13
13
探究新知
知识点
函数的三种表示法
合作探究
m = 16t
这几个函数用等式来表示，
这种表示函数关系的等式，
16
80
160
240
320
…
t
…
16t
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
5
5
探究新知
合作探究
2.跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s
（米）与助跑的速度v（米/秒）有关. 根据经验，跳
函数的概念与表示法课件(共19张PPT)
( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
函数的表示法 ——PPT
能力目标：
1.了解生活中的函数表示方法； 2.使学生掌握函数的三种常用表示方 法的选用；使学生初步认识用函数的 知识解决具体问题；
素养目标：
1、通过本节课的教学，使学生认识到数学源于生活， 也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题，培养学 生勇于探索、敢于创新的钻研精神。 2.倡导“三爱三节”的人文精神和“共同抗疫“的社会 责任感。
不利因素
学生应用数学知识的意识不强， 创造力较弱，看待与分析问题不 深入，因此在选择恰当的方法表 示函数时有一定的难度；
03
教法学法
教法和学法
1 教法 根据学生的认知水平和知识特点； 为突出重点，突破难点； 微课教学法、情境教学法、引导探究法、激励教学法等； 运用多媒体辅助教学的的一种手段； 激发兴趣，在教师的引导下解决问题；
函数的三种表示方法，各有优、缺点，因此，在实际中要根据不同问题与需 要，灵活地采用不同的方法,许多函数是可以用三种方法来表示的，但在实际 操作中，仍以解析法为主；在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方 法结合起来，相互兼容和补充。
在课堂结构上，根据学生的认知水平，我设计了八个层次的学法：它们环环 相扣，层层深入，并结合师生共同讨论、归纳，从而顺利完成教学目标。希望 在这种设计下，学生能一步一步地接触到数学的本质，一点一点地体会到数学 的简洁、简约之美。
2 学法
学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者； 学生主动探究问题，发现知识，提高能力； 合作学习法、探究学习法、自主学习法等； 从中体会到学习数学的兴趣；
04
教学过程
教
导入篇
学
探究篇
过 程
巩固篇入
创设情景 引入新课
活动：学校内举办一次“物资捐赠” 要求: 各班派出一个团队参加此次活动 目的：既可以锻炼自身的专业素质，又为灾 区人民做出了贡献。 方式：由团队成员去进行口罩采购。
(新)人教版高中数学必修一1.2.2《函数的表示法》课件(共23张PPT)
的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x ＋ 1”及“ x ＋ 1”看成一个整体来求解．
1 1 (2)设f( ＋1)＝ 2－1，则f(x)＝________. x x (3)若对任意x∈R，都有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝ ________.
[答案]
(1)D (2)x2－2x(x≠1)
6．(2012· 全国高考数学文科试题江西卷)设函数f(x)＝ x2＋1 x≤1 2 ，则f(f(3))＝( x>1 x 1 A.5 2 C. 3 B．3 13 D. 9 )
[答案] D
7．已知函数f(x)＝
2 x －4，0≤x≤2， 2x，x>2，
，则f(2)＝
2．作图时忘记去掉不在函数定义域内的点 [例5] 数的值域． [错解]
x，－1≤x≤1， 由题意，得y＝ －x，x<－1或x>1.
x|1－x2| 画出函数y＝ 2 的图象，并根据图象指出函 1－x
[例 5]
(1)已知 f(x)＝x2，求 f(2x＋1)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1 (3)设函数 f(x)满足 f(x)＋2f(x )＝x (x≠0)，求 f(x)． [分析] 我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计算
5．(山东冠县武的高2012～2013月考试题)已知函数f(x)
x＋1x≥0 ＝ fx＋2x＜0
则f(－3)的值为( B．－1 D．2
)
A．5 C．－7
[答案] D
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折 线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为 x，△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
4.函数的表示法PPT课件16张
课后活动
每位同学寻找发现两个生 活中的函数关系的实例。
课堂练习 P35 2 、4题
用函数的三种表示法来 表示y 与 n 的函数关系
某礼堂共有25排座位，第一排 有20个座位，后面每一排都比前一 排多一个座位，写出每排的座位数
m与这排的排数n 的函数解析式， 并写出自变量nA
t
s
S1
S2
O
t
C
s
O
B s
S1 S2 t
S1
S2
O
D
t
握握手，好朋友
• 你想过吗？开学的时候，同学们 • 初次见面，如果每两人握一次手且只 • 握一次手，那么全班同学共握几次手？ • 全年级同学又共握多少次手？全校同 • 学又总共握多少次手？有规律吗？
用y表示握手的次数，用x表示 握手的人数，用列表法和公式法 表示y与x的函数关系。
这节课 我学会了--我印象最深的是---
列表法： x 1 y2
公式法：
y=2x
2 3 4 --4 6 8 ---
(x取正整数）
图象法：
如上图：用边长为1的等边三 角形拼成图形，用 y表示拼成的 图形的周长，用 n表示其中等边 三角形的个数。
y 是 n 的函数吗？
想 一 想 ？
用y表示拼成的图形的周长， 用 n表示其中等边三角形的个数。
函数的表示法
数青蛙
如果变量Y随着变量X而变化，并 且对于X取的每一个值，Y都有唯一 的一个值与它对应，那么称Y是X的 函数。
想 一 想 ？
儿歌中包含了哪些函数关系？
青蛙的嘴的张数是青蛙的只数 青蛙的眼睛只数与青蛙的只数 青蛙的腿数与青蛙的只数 青蛙跳入水中的次数与青蛙的只数
青蛙的眼睛只数y是青蛙只数x的函数
课件2：2.1.2 函数的表示方法
，y= x 1 ，
x3
优点：函数关系清楚，容易从自变量求出对应 的函数值，便于用解析式研究函数的性质.
解析法 y=5x，x 1,2,3,4,5
注：用解析法必须注明函数的定义域。
列表法
笔记本数x 1
钱数y
5
2 34 5 10 15 20 25
三种表示方法的特点
解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关 系；可以通过用解析式求出任意一个自变量所对 应的函数值。 列表法的特点：不通过计算就可以直接看出与自 变量的值相对应的函数值。
法1 列表法（略）
法2 y=x2 , x＞0
法3 图象法，如右图
y
o
x
函数的表示法
列表法 解析法 图象法
列表法
就是列出表格表示两个变量的函数关系
例如平方表， 平方根表， 三角函数表， 银行的利息表 下表也是表示函数关系.
我国国内生产总值(单位亿元)
年份
生产 总值
1990
1859 8.5
1991
如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上任一 点的坐标(x，y)都满足函数关系y=f(x)，反之， 满足函数关系y=f(x)的点(x，y)都在图象F上。
解析式法
解析式法：把两个变量的函数关系，用一个等式
来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称
解析式. y=3x+2，y=x2，y= x f(x)=ax2+bx+c 等等
图象法的特点：直观形象地表示出函数的变化情 况 ，有利于通过图形研究函数的某些性质。
例2. 做函数 y x 的图象.
y
x 0
做函数图象的步骤： 1. 列表，求出某些恰当自变量x的对应函 数值； 2. 在直角坐标系中描出对应点； 3. 用光滑的曲线连接这些点。
新教材北师大版必修第一册 第二章2.2函数的表示法1函数的表示法 课件(49张)
x
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.
函数的表示法 课件
x 1 x2
【解题指导】
【规范解答】令 1 1， t…………………………………2分
x
则x 1 , t, …1①…………………………………………4分
t 1
1
∴
f
t
1
t (
1 1
)2……t2t…12…t .………………………8分
t 1
又t2-2t≠0，∴t≠0且t≠2，
∴t≠0，且t≠1，t≠2②, …………………………………10分 ∴f(x)= x (x1≠0,且x≠1，x≠2).……………………12分
缺 只能近似求出自变量的
点
值所对应的函数值，而 且有时误差较大
2.函数三种表示方法的内在联系 (1)解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自 变量和函数值的对应关系.
(2)在已知函数的解析式研究函数的性质时，可以先由解析式确 定函数的定义域，然后通过取一些有代表性的自变量的值与对 应的函数值列表，描点连线作出函数的图象，利用函数图象形 象直观的优点，能够帮助我们理解概念和有关性质.数形结合是 研究数学的一种重要的数学思想，是解题的一种有效途径.
【规范训练】(12分)用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为
半圆形的框架，若矩形底边长为2ｘ，求此框架围成的面积ｙ
与ｘ的函数关系式，并指出其定义域．
【解题设问】(1)矩形的另一边怎样表示？ l 2x . x
2
(2)矩形的边长应满足什么关系？_两__边__均__大__于__0.
【规范答题】由条件知，矩形的底边长为2ｘ，即半圆的半径
【想一想】(1)解答题2的关键点是什么？ (2)用换元法求函数解析式应注意什么问题？ 提示：(1)解答题2的关键点是设出所求函数解析式利用恒等式 求解. (2)用换元法求函数解析式时，要注意新元的取值范围，即换 元后的函数的定义域.
【解题指导】
【规范解答】令 1 1， t…………………………………2分
x
则x 1 , t, …1①…………………………………………4分
t 1
1
∴
f
t
1
t (
1 1
)2……t2t…12…t .………………………8分
t 1
又t2-2t≠0，∴t≠0且t≠2，
∴t≠0，且t≠1，t≠2②, …………………………………10分 ∴f(x)= x (x1≠0,且x≠1，x≠2).……………………12分
缺 只能近似求出自变量的
点
值所对应的函数值，而 且有时误差较大
2.函数三种表示方法的内在联系 (1)解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自 变量和函数值的对应关系.
(2)在已知函数的解析式研究函数的性质时，可以先由解析式确 定函数的定义域，然后通过取一些有代表性的自变量的值与对 应的函数值列表，描点连线作出函数的图象，利用函数图象形 象直观的优点，能够帮助我们理解概念和有关性质.数形结合是 研究数学的一种重要的数学思想，是解题的一种有效途径.
【规范训练】(12分)用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为
半圆形的框架，若矩形底边长为2ｘ，求此框架围成的面积ｙ
与ｘ的函数关系式，并指出其定义域．
【解题设问】(1)矩形的另一边怎样表示？ l 2x . x
2
(2)矩形的边长应满足什么关系？_两__边__均__大__于__0.
【规范答题】由条件知，矩形的底边长为2ｘ，即半圆的半径
【想一想】(1)解答题2的关键点是什么？ (2)用换元法求函数解析式应注意什么问题？ 提示：(1)解答题2的关键点是设出所求函数解析式利用恒等式 求解. (2)用换元法求函数解析式时，要注意新元的取值范围，即换 元后的函数的定义域.
八年级数学下册教学课件《函数的表示方法》
【单击图片跳转几何画板】
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（1）由图象可得BC=4×2=8（cm）， CD=（6-4）×2=4（cm），DE=（9-6）×2=6（cm）， EF=AB-CD=6-4=2（cm）， 所以多边形ABCDEF的面积为6×8+6×2=60（cm2）
【单击图片跳转几何画板】
（2）由题意易得a 1 AB·BC 1 6 8 24，
5.已知动点P以2cm/s的速度沿如图①所示的边框按 B→C→D→E→F→A的路径匀速移动，相应的△ABP的 面积S（单位：cm2）关于时间t（单位：s）的函数图象 如图②所示.若AB=6 cm，试回答下列问题：
（ 1 ） 求出图①中BC的长和多边形ABCDEF的面积 ； （2）求出图②中a和b的值.
图像法
把自变量与函数的每 对对应值分别作为点 的横、纵坐标，顺次 连接这些点组成的图 形. 能直观、形象地反映 函数关系变化的趋势.
以自变量的值往往难 以找到对应函数的准 确值.
合作探究
小组交流讨论下面的问题。
一个水库的水位在最近5h内持续上涨，表中记录 了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间， y表示水位高度.
5 6 7 8 9…
蟋蟀1min鸣叫的次数y 14 21 28 35 42 …
（3）求这种蟋蟀1min鸣叫的次数y与当地温度x
（单位：℃）之间的关系式；
（4）当这种蟋蟀1min鸣叫的次数y =105时，求
当时该地的温度.
（3）y =14+7（x-5），即y =7x-21. （4）当y =105时，7x-21=105，解得x=18. 故当这种蟋蟀1min鸣叫的次数y =105时，当时该地的温度为18℃.
当地温度x/℃
5 6 7 8 9…
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（1）由图象可得BC=4×2=8（cm）， CD=（6-4）×2=4（cm），DE=（9-6）×2=6（cm）， EF=AB-CD=6-4=2（cm）， 所以多边形ABCDEF的面积为6×8+6×2=60（cm2）
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（2）由题意易得a 1 AB·BC 1 6 8 24，
5.已知动点P以2cm/s的速度沿如图①所示的边框按 B→C→D→E→F→A的路径匀速移动，相应的△ABP的 面积S（单位：cm2）关于时间t（单位：s）的函数图象 如图②所示.若AB=6 cm，试回答下列问题：
（ 1 ） 求出图①中BC的长和多边形ABCDEF的面积 ； （2）求出图②中a和b的值.
图像法
把自变量与函数的每 对对应值分别作为点 的横、纵坐标，顺次 连接这些点组成的图 形. 能直观、形象地反映 函数关系变化的趋势.
以自变量的值往往难 以找到对应函数的准 确值.
合作探究
小组交流讨论下面的问题。
一个水库的水位在最近5h内持续上涨，表中记录 了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间， y表示水位高度.
5 6 7 8 9…
蟋蟀1min鸣叫的次数y 14 21 28 35 42 …
（3）求这种蟋蟀1min鸣叫的次数y与当地温度x
（单位：℃）之间的关系式；
（4）当这种蟋蟀1min鸣叫的次数y =105时，求
当时该地的温度.
（3）y =14+7（x-5），即y =7x-21. （4）当y =105时，7x-21=105，解得x=18. 故当这种蟋蟀1min鸣叫的次数y =105时，当时该地的温度为18℃.
当地温度x/℃
5 6 7 8 9…
函数的表示法课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(３)列表法:用列出的表格来表示两个变量之间的对应关系. 例如：问题４中的表格
例1. 某种笔记本的单价是5元，买 x(x {1,2,3,4,5}) 个笔记本需要 y 元. 试用函数的三种表示法表
示函数 y=f(x) . 解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.
用解析法可将函数 y=f(x) 表示为 y=5x,x {1,2,3,4,5}.
解：为了直观地反映每位同学和班级平均成绩的变化情况，我们用图 象法将表格中的4个函数表示出来，如图：
可以看出: 王伟同学的数学成绩始终高于平均水平， 学习情况稳定且成绩优秀。 张城同学的数学成绩不大稳定，总在班 级平均水平上下波动,且波动幅度较大。 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平, 但他成绩在稳步提高。
（1）画出函数 f (x), g(x) 的图象.
（2）x R,用m(x)表示f (x), g(x)中的较小者，记为m(x) min{ f (x), g(x)},
请分别用图象法和解析法表示函数 m（x）.
解：（1）f (x) x 1 的图象如图（1）；g(x) (x 1)2 的图象如图（2）.
所以，在同一直角坐标系中函数f ( x), g( x) 的图象为：
（2）由图象可知，函数M(x)的解析式为：
(x 1)2, x 1,
M
(x)
x
1,1
x
0,
(x
1)2 ,
x
0.
另：f (x) g(x)
(x 1) (x 1)2= x(x 1)
-1 0
x
练6. 给定函数 f (x) x 1, g(x) (x 1)2 , x R,
（2）x R，用M (x)表示f (x), g(x)中的较大者，记为 M (x) max{ f (x), g(x)}.
例1. 某种笔记本的单价是5元，买 x(x {1,2,3,4,5}) 个笔记本需要 y 元. 试用函数的三种表示法表
示函数 y=f(x) . 解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.
用解析法可将函数 y=f(x) 表示为 y=5x,x {1,2,3,4,5}.
解：为了直观地反映每位同学和班级平均成绩的变化情况，我们用图 象法将表格中的4个函数表示出来，如图：
可以看出: 王伟同学的数学成绩始终高于平均水平， 学习情况稳定且成绩优秀。 张城同学的数学成绩不大稳定，总在班 级平均水平上下波动,且波动幅度较大。 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平, 但他成绩在稳步提高。
（1）画出函数 f (x), g(x) 的图象.
（2）x R,用m(x)表示f (x), g(x)中的较小者，记为m(x) min{ f (x), g(x)},
请分别用图象法和解析法表示函数 m（x）.
解：（1）f (x) x 1 的图象如图（1）；g(x) (x 1)2 的图象如图（2）.
所以，在同一直角坐标系中函数f ( x), g( x) 的图象为：
（2）由图象可知，函数M(x)的解析式为：
(x 1)2, x 1,
M
(x)
x
1,1
x
0,
(x
1)2 ,
x
0.
另：f (x) g(x)
(x 1) (x 1)2= x(x 1)
-1 0
x
练6. 给定函数 f (x) x 1, g(x) (x 1)2 , x R,
（2）x R，用M (x)表示f (x), g(x)中的较大者，记为 M (x) max{ f (x), g(x)}.
函数及其表示方法ppt课件
（2）正比例函数
y kx, (k 0)
（3）反比例函数
k
y
, (k 0)
x
（4）二次函数
y ax 2 bx c,(a 0)
一、概念的引入
随着研究的深入，我们会遇到更多的问题，例如：
（1）正方形的周长与边长的对应关系:
= 4,
这个函数与正比例函数 = 4相同吗？
二、概念的形成
某电气维修告诉要求工人每周工作
至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的
工资标准是每人每天350元，而且每周付一
次工资，那么
(4)问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，
你认为它们是同一个函数吗？为什么？
影响函数的要素有哪些？
不是.自变量的取值范围不一样.
问题3 如图3.1-1，是北京市2016年11月23日
的空气质量指数变化图.(1)你认为这里的I是的函数吗？
如果是,你能仿照前面的方法描述与对应关系吗？
图3.1-1
一、概念的形成
是，对应关系：图3.1-1
的变化范围是 A 3 {t | 0 t 24}
，
的值都在数集 B3 {I | 0 I 150 }
问题3 如图3.1-1，是北京市2016年11月23日
2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015}
r的取值范围是数集B4 ={r | 0 r 1}
二、概念的形成
思考1.上述四个问题中的函数有哪些共同特征？
共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用，来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：
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用两点确定的直线
3.一次函数：f (x) kxf(bx)(k kx0) b (k 0)
4.二次函数：f (x) ax2f (xb)xacx(a2 b0)x抛 c物(a线：0开) 口方向、对称轴、顶点坐标
5.反比例函数：f (x) kf (kx)0)k双(k曲线0，) k>0在一三象限；k<0在二、四象限
4.二次函数：f (x) ax2f (xb)xacx(a2 b0)x c(a 0)
5.反比例函数：f (x) kf (kx)0)k (k 0)
x
x
待定系数法
【例 2】已知 f (x) 是一次函数，且满足3 f (x 1) 2 f (x 1) 2x 7 ，求 f (x) ．
197 221 226
列举法的优势：清晰明了，自变量对应的函数值一目了然
思考
【例 1】已知函数 f x、g x 分别由下表给出：
x
123
f x 2 1 1
x
1
2
3
gx 3
2
1
则 f g 1 的值为_____1_______，当 g f x 2 时， x ______1_________.
x
x
基本函数的图像
6.反比例函数型函数：f (x) x b (x a) (b a) 1 b a
xa
xa
xa
左加右减，上加下减
画函数的图像
【例 6】画出下列函数的图像
（1） f (x) 2x 3 ，x 1，2，3，4，5
（2） f (x) x2 2x 3 ，x [3，0)
试用三种方法表示函数 y f (x) ．
GAME OVER！
【例 4】已知 f (x 1) x2 2x ，求 f (x) 的解析式.
换元法
【例 4】已知 f (x 1) x2 2x x 1) x 2 x ，求 f (x+1) 的解析式．
构造方程法
【例 5】已知函数 y f (x) 满足 f (x) 2 f (x) x2 2x ，求函数 f (x) 的解析式．
函数的表示方法
高一 逯老师
列表法
函数的表示方法
解析法
图像法
列表法
列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系
列表法 姚明的年龄 x 作为自变量（ x 4，7，10，13，16，19），年龄对应的身高 y 作为函数值，则此函
数可表示为：
年龄（岁） x 4
7
10 13 16 19
身高（cm） y 120 150 170
解析法
解析法就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解 析表达式，简称解析式
常见函数的解析式
常见函数的解析式
1.常数函数： f (x) fk(x) k
2.正比例函数：f (x) kfx(x()kk0x) (k 0)
3.一次函数：f (x) kxf(bx)(k kx0) b (k 0)
【练习】已知函数y f (x)满足2 f (1) f (x) x(x 0)，求函数f (x)的解析式. x
图像法
图像法就是用函数的图像来表示两个变量之间的函数关系
基本函数的图像
基本函数的图像
1.常数函数： f (x) fk(x)平行k 于x轴的直线
2.正比例函数：f (x) kfx(x()kk0x) (k 0)
（3） f (x) x 3（ 2 x 2） x 1
（4） f (x) x x x
函数图像的应用
函数图像的应用
列表法
函数的表示方法
解析法
图像法
函数的表示方法
【例 7】已知锅盔 5 元一个，某人去买 x 个锅盔（ x 1，2，3，4，5）， y 表示买锅盔的价钱，
练习
【练习】已知函数 hx f x gx ,其中 f (x) 是 x 的正比例函数, g(x) 是 x 的反比
例函数，且 h（1） 16, h1 8 ,则 hx
.
3
代入法
【例 3】已知 f (x) x2 4x 3 ，求 f (x+1) 的解析式．
配凑法
3.一次函数：f (x) kxf(bx)(k kx0) b (k 0)
4.二次函数：f (x) ax2f (xb)xacx(a2 b0)x抛 c物(a线：0开) 口方向、对称轴、顶点坐标
5.反比例函数：f (x) kf (kx)0)k双(k曲线0，) k>0在一三象限；k<0在二、四象限
4.二次函数：f (x) ax2f (xb)xacx(a2 b0)x c(a 0)
5.反比例函数：f (x) kf (kx)0)k (k 0)
x
x
待定系数法
【例 2】已知 f (x) 是一次函数，且满足3 f (x 1) 2 f (x 1) 2x 7 ，求 f (x) ．
197 221 226
列举法的优势：清晰明了，自变量对应的函数值一目了然
思考
【例 1】已知函数 f x、g x 分别由下表给出：
x
123
f x 2 1 1
x
1
2
3
gx 3
2
1
则 f g 1 的值为_____1_______，当 g f x 2 时， x ______1_________.
x
x
基本函数的图像
6.反比例函数型函数：f (x) x b (x a) (b a) 1 b a
xa
xa
xa
左加右减，上加下减
画函数的图像
【例 6】画出下列函数的图像
（1） f (x) 2x 3 ，x 1，2，3，4，5
（2） f (x) x2 2x 3 ，x [3，0)
试用三种方法表示函数 y f (x) ．
GAME OVER！
【例 4】已知 f (x 1) x2 2x ，求 f (x) 的解析式.
换元法
【例 4】已知 f (x 1) x2 2x x 1) x 2 x ，求 f (x+1) 的解析式．
构造方程法
【例 5】已知函数 y f (x) 满足 f (x) 2 f (x) x2 2x ，求函数 f (x) 的解析式．
函数的表示方法
高一 逯老师
列表法
函数的表示方法
解析法
图像法
列表法
列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系
列表法 姚明的年龄 x 作为自变量（ x 4，7，10，13，16，19），年龄对应的身高 y 作为函数值，则此函
数可表示为：
年龄（岁） x 4
7
10 13 16 19
身高（cm） y 120 150 170
解析法
解析法就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解 析表达式，简称解析式
常见函数的解析式
常见函数的解析式
1.常数函数： f (x) fk(x) k
2.正比例函数：f (x) kfx(x()kk0x) (k 0)
3.一次函数：f (x) kxf(bx)(k kx0) b (k 0)
【练习】已知函数y f (x)满足2 f (1) f (x) x(x 0)，求函数f (x)的解析式. x
图像法
图像法就是用函数的图像来表示两个变量之间的函数关系
基本函数的图像
基本函数的图像
1.常数函数： f (x) fk(x)平行k 于x轴的直线
2.正比例函数：f (x) kfx(x()kk0x) (k 0)
（3） f (x) x 3（ 2 x 2） x 1
（4） f (x) x x x
函数图像的应用
函数图像的应用
列表法
函数的表示方法
解析法
图像法
函数的表示方法
【例 7】已知锅盔 5 元一个，某人去买 x 个锅盔（ x 1，2，3，4，5）， y 表示买锅盔的价钱，
练习
【练习】已知函数 hx f x gx ,其中 f (x) 是 x 的正比例函数, g(x) 是 x 的反比
例函数，且 h（1） 16, h1 8 ,则 hx
.
3
代入法
【例 3】已知 f (x) x2 4x 3 ，求 f (x+1) 的解析式．
配凑法