高中物理竞赛培训《运动学》
全国高中物理竞赛专题一 运动学
全国高中物理竞赛专题一运动学全国高中物理竞赛专题一：运动学的奥秘运动学是物理学的基础分支之一，它研究的是物体位置随时间的变化以及物体速度和加速度的测量方法。
在全国高中物理竞赛中，运动学是必考的重要专题之一。
本文将带领大家深入探讨运动学的基本概念和规律，帮助大家更好地备战物理竞赛。
一、基本概念1、位移、速度和加速度位移、速度和加速度是描述物体运动的三个基本物理量。
位移指的是物体在空间中的位置变化，速度是物体在一定时间内位移的变化量，而加速度则是物体速度的变化率。
2、匀速运动和变速运动根据速度是否变化，可以将运动分为匀速运动和变速运动。
匀速运动是指速度大小和方向保持不变的运动，而变速运动则是指速度大小或方向发生变化的运动。
3、自由落体运动和竖直上抛运动自由落体运动是物体在重力作用下沿竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动。
竖直上抛运动则是物体以一定初速度沿竖直方向做减速直线运动，直至速度为零后返回。
这两种运动是高中物理竞赛中常见的考点。
二、基本规律1、位移公式根据匀速运动和变速运动的定义，我们可以得到位移公式：匀速直线运动：x = vt变速直线运动：x = v0t + 1/2at^2其中v0是初速度，a是加速度。
2、速度公式根据位移公式的微分形式，我们可以得到速度公式：匀速直线运动：v = v0 = const变速直线运动：v = v0 + at3、加速度公式根据速度公式的微分形式，我们可以得到加速度公式：匀速直线运动：a = 0变速直线运动：a = (v - v0)/t4、自由落体运动和竖直上抛运动的公式自由落体运动：v = gt, h = 1/2gt^2, t = sqrt(2h/g)竖直上抛运动：v = v0 - gt, h = v0t - 1/2gt^2, t = (v0 - gt)/g 其中g是重力加速度。
三、典型例题解析例1：一物体从高空自由下落，已知物体下落的加速度为g/2，求物体在时间t内的位移。
高中物理竞赛辅导讲义 第 篇 运动学
高中物理竞赛辅导讲义第2篇 运动学【知识梳理】一、匀变速直线运动二、运动的合成与分解运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。
我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。
以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则v 绝对 = v 相对 + v 牵连或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙位移、加速度之间也存在类似关系。
三、物系相关速度正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。
以下三个结论在实际解题中十分有用。
1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。
2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。
3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。
四、抛体运动： 1．平抛运动。
2．斜抛运动。
五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。
2．变速圆周运动：线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a tτ∆→∆=∆，方向指向切线方向。
六、一般的曲线运动一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆周运动的一部分。
在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理。
对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ=，ρ为点所在曲线处的曲率半径。
七、刚体的平动和绕定轴的转动1．刚体所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。
刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。
高中物理竞赛培训《运动学》
x vt
vt
x
x
略去二阶小量得：
x 2 x 2 3 xvt
由此式来研究在Δt时间内三角形边长的缩短 量（x - x′）！进而找出缩短的速率！
3vt 3vt 1 2 x(1 x ) x(1 ) x 2x 3 x x vt 即得到 2 3 显然三角形的边长是以 v的速度缩短的。 2 三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间： t
由此得 t
B
故有 0 l 3 vt . 2
2l . 3v
另解： 设经过某一小量时间Δt后，三角形的边长 由x变为x′. 如图，由余弦定理：
x 2 (vt )2 ( x vt )2 2(vt )( x vt ) cos 60
x 3 xvt 3v ( t )
分析：子弹同地出发，设第一颗子弹射出t后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹 在空中的时间为t-n(n=1,2…)
方法一：位移相等法 子弹同地出发，空中相遇时位移相等，由竖直上抛规律可得
1 2 1 0t gt 0 (t n) g (t n)2 2 2
考虑到 t
t 3
20 6s g
方法三：利用图象法 作出子弹的运动的s-t图
拓展：杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球， 若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是 1.25m，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其它 三球的高度
分析：每个球上升的最大高度都是1.25m，故各球在空中运动的时间都是1s
p y tgx 2
x 2 py
2
x 2 ptg p 0
2 2
x A x B
高中物理竞赛辅导运动学
高中物理竞赛辅导运动学§2.1质点运动学的差不多概念2．1．1、参照物和参照系要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，那个被选的物体叫做参照物。
为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。
通常选用直角坐标系O –xyz ，有时也采纳极坐标系。
平面直角坐标系一样有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向〔我们常把这种坐标称为自然坐标〕。
2．1．2、位矢 位移和路程在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x ，y ，z 表示，当质点运动时，它的坐标是时刻的函数 x=X 〔t 〕 y=Y 〔t 〕 z=Z 〔t 〕 这确实是质点的运动方程。
质点的位置也可用从坐标原点O 指向质点P 〔x 、y 、z 〕的有向线段r来表示。
如图2-1-1所示, r 也是描述质点在空间中位置的物理量。
r 的长度为质点到原点之间的距离，r 的方向由余弦αcos 、βcos 、γcos 决定,它们之间满足1cos cos cos 222=++γβα当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时刻而变,可表示为r =r (t)。
在直角坐标系中,设分不为i 、j 、k 沿方向x 、y 、z 和单位矢量，那么r 可表示为k t z j t y i t x t r )()()()(++=位矢r 与坐标原点的选择有关。
研究质点的运动，不仅要明白它的位置，还必须明白它的位置的变化情形，假如质点从空间一点),,(1111z y x P运动到另一点),,(2222z y x P ，相应的位矢由r 1变到r 2，其改变量为r ∆k z z j y y i x x r r r )()()(12121212-+-+-=-=∆称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。
它描写在一定时刻内质点位置变动的大小和方向。
高中物理竞赛辅导资料第一章运动学
x t 图关键要将一
些特殊点的位置先求出来，如 t 1 、2、3、4、5、6、7、8s 末各时刻的位移，再将这些点用平滑的曲线 连接起来。如下图所示。 例 2 用边长为 l 的正方形薄板做成一个小屋，置于地面上，并且屋顶面相互垂直，如图所示。已知 水滴沿屋顶从 A 点流到 B 点所需的时间为从 B 点滴落地面所需时间的 2 倍。假定水滴从 A 点以初速度零开 始滴下，试求水滴从 A 流到地面所需的时间。
r xi yj zk .
2．运动方程 质点在空间运动时，位矢随时间变化的规律即为运动方程，记为：
r r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k .
（1）运动方程中包含了质点运动的全部信息。或者说知道了也就可以解决质点的运动问题。 （2）运动方程的分量式 x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)，是运动方程的分量式。 （3）轨道（轨迹）方程 在运动方程的分量式中，消去时间 t 得 f(x, y, z)=0，此方程称为质点的轨迹方程；轨迹是直线的称为 直线运动；轨迹是曲线的称为曲线运动。 3．位移 t 时刻，质点在 P1 点，位矢为 r1 ；t+Δ t 时刻，质点在 P2 点，位矢为 r2 ，则在Δ t 这段时间内位矢的 增量 r r2 r1 称为质点在Δ t 时间内的位移。 4. 路程Δ S 与位移大小 | r | 的区别：路程是Δ t 内走过的轨道的长度，而位移大小是质点实际移动的直 线距离，位移和位矢均为向量，但路程为标量，路程用Δ S 表示。即使在直线运动中，位移和路程也是截 然不同的两个概念。 三、速度
解析：由图中的阴影三角形 BDE 可得
4 / 70
x BE ED
2l l 2
2 1 l 2
物理竞赛辅导一运动学(高考难度)
第一章 运动学第一节 质点运动的位移和路程1．质点运动学只是客观地描述物体的运动，它并不考虑物体运动状态改变的原因，若在所研究的问题中，物体的形状、大小可以忽略时，我们就可以把物体近似地看成是一个有同等质量的点，称为质点。
质点突出了“物体具有质量”和“物体占有的位置”这两个根本性质。
2．参照物宇宙间的一切物体卖都在永恒不停的运动中，绝对静止的物体是不存在的，因此物体在空间的位置只能相对于另一个物体来确定。
要正确地确定质点的位置及其变化，必须事先选取另外一个假定为不动的物体作为参照才有意义。
这个选来作为参照的物体，就叫做参照物。
为了能准确地、定量地来表示物体相对于参照物的位置和位置的变化，我们就需要建立一个坐标系，参照系是参照物的数学抽象，固结于参照物上的坐标系叫做参照系。
在参照物中引入坐标系，质点P 的位置就可以用坐标系中一组坐标来确定。
以直角坐标系为例，质点P 的位置可用一组直角坐标x 、y 、z 确定，如图1-1-1所示。
质点运动时，它可分别表示为时刻t 的函数()x x t = ()y y t = ()z z t =这就是用坐标表示的运动学方程。
如果在方程中消去t ，就可得到质点的轨道方程。
为了更简捷地表示质点的位置，人们还常引入位置矢量（简称位矢）的概念，在直角坐标系中，位矢r定义为自坐标原点到质点位置P （x 、y 、z ）所引的有向线段，故有()()()r x t i y t j z t k =++222z y x r ++=r的方向为原点O 指向质点P 。
3、位移和路程位移是指质点运动过程中，在一段时间△t 内位置的变化，即是位矢的增量，如图1-1-2所示。
()()B A r r r r t t r t ∆=-=+∆-其中k t t z j t t y i t t x t t r)()()()(∆++∆++∆+=∆+r xi yj zk ∆=∆+∆+∆)()(t x t t x x -∆+=∆ )()(t y t t y y -∆+=∆ )()(t z t t z z -∆+=∆从中我们不难看出，在计算位移时，通常先求出x 轴、y 轴、z轴三个方面向上位移的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移。
高一物理竞赛培训教材(有讲解和答案)
第1讲-----运动学专题『本讲要点』:深刻的理解相对运动、最佳参考系的选取方法『重点掌握』:图象法解决复杂问题1.隧道长550米,一列火车车厢长50米,正以36千米/时的速度匀速行驶,车厢中某乘客行走的速度为1米/秒,当列车过隧道时,乘客经过隧道的时间至少为()A.5A.8:7A.455.Aback is 0.6hit a在B=2v1为匀10.在一静水湖的南北两岸，有两只船同时相向开出，各以其速度垂直于湖岸匀速驶向对岸。
两船在离北岸800米处迎面相会，相会后继续驶向对岸。
靠岸后立即返航，两船又在离南岸600米处迎面相会。
若不计两船靠岸时间，求湖宽。
homework:9.提示用图像法40m/s10.1800m第2讲-----匀变速直线运动-----追击专题『本讲要点』:各类追击问题及其变形,掌握四种方法:公式法图像法二次函数法相对运动法『本章知识点概括』:匀变速直线运动的5个量:______、______、______、______、______外加1个量______,前5量任取3个可求另外两个123度为**4**5汽车的初速度是21v v <,此时汽车开始减速，加速度大小为2a 。
为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，求其加速度至少需要多少？『课后作业』:*6练习(追击问题变形)摩托车初速度为0,最大速度为30m/s,这辆摩托车以恒定的加速度追前方100m 处的汽车,汽车匀速运动,速度为20m/s.摩托车恰好用180s追上,求摩托车的加速度.7练习(追击问题变形):火车A速度为30m/s,正常刹车需要450m才能停下.火车司机突然发现前方100m 处有火车B在向前匀速行驶(AB同向),求B的速度至少为多大,两车才不相撞?(AB视为质点)高中思维训练《高一物理》第3讲-----自由落体-----双物体下落专题、1秒专题『本讲要点』:熟练掌握双物体下落过程两物理的位置、时间和速度的联系1例有一种测量楼高的方法:用一根长为L的绳,两端各系一个铁球.一个人手拿其中一个铁球(另一个球自然下垂),从楼顶让其自由下落,两铁球落地的时间差为t.求:(1)请用L,t,g表示出楼高h?(2)这种方法的不足之处在哪里?图:自己画2例小球A从高H处自由下落,与此同时,在小球A正下方的地面上,B小球以初速度V竖直上抛,不计空气阻力,设V=40m/s,g=10m/s2.求:⑴若要在B小球上升时两球相遇,则H的取值范围各是多少?⑵若要两小球在空中相遇,则H的取值范围又是多少?【方法一】先来看看B能上升多久，也就是在多少时间之内它的速度变为0，很显然：v=V0-gt，v=0，V0=40m/s，∴t=4s。
高中物理竞赛辅导教程(新大纲版)
高中物理竞赛辅导教程(新大纲版)一、力学部分1. 运动学- 基本概念：位移、速度、加速度。
位移是矢量，表示位置的变化；速度是描述物体运动快慢和方向的物理量，加速度则反映速度变化的快慢。
- 匀变速直线运动公式：v = v_0+at，x=v_0t+(1)/(2)at^2，v^2-v_{0}^2 = 2ax。
这些公式在解决直线运动问题时非常关键，要注意各物理量的正负取值。
- 相对运动：要理解相对速度的概念，例如v_{AB}=v_{A}-v_{B}，在处理多个物体相对运动的问题时很有用。
- 曲线运动：重点掌握平抛运动和圆周运动。
平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动；圆周运动中要理解向心加速度a =frac{v^2}{r}=ω^2r，向心力F = ma的来源和计算。
2. 牛顿运动定律- 牛顿第二定律F = ma是核心。
要学会对物体进行受力分析，正确画出受力图。
- 整体法和隔离法：在处理多个物体组成的系统时，整体法可以简化问题，求出系统的加速度；隔离法用于分析系统内单个物体的受力情况。
- 超重和失重：当物体具有向上的加速度时超重，具有向下的加速度时失重，加速度为g时完全失重。
3. 动量与能量- 动量定理I=Δ p，其中I是合外力的冲量，Δ p是动量的变化量。
- 动量守恒定律：对于一个系统，如果合外力为零，则系统的总动量守恒。
在碰撞、爆炸等问题中经常用到。
- 动能定理W=Δ E_{k}，要明确功是能量转化的量度。
- 机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的系统内，机械能守恒。
要熟练掌握机械能守恒定律的表达式E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}。
二、电磁学部分1. 电场- 库仑定律F = kfrac{q_{1}q_{2}}{r^2}，描述真空中两个静止点电荷之间的相互作用力。
- 电场强度E=(F)/(q)，电场线可以形象地描述电场的分布情况。
- 电势、电势差：U_{AB}=φ_{A}-φ_{B}，电场力做功与电势差的关系W = qU。
高中物理竞赛培训《运动学》52页PPT
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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15、机会是不守纪律的。——雨果
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生运动学》
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
-高中物理竞赛辅导参考资料---运动学
2. 角位移
匀角速
(t+△t) (t)
转动平面 （包含p并与转轴垂直）
参考方 向
常量 匀角加速
转轴
描述刚体转过的大小常和量方向 变角加速
3.
角速度 定轴转动的
只有
同 描述和刚反体转动两的个快方慢向和，方故向，
是转动状态量。 也可用标量
静止
中的常正量和负匀表角方速向代替矢量。 常量 变角速
Z
Z
XX
伽利略的相对性原理
相对性原理
伽利略的加速度变换
表明，在两个相互作
匀速直线运动的参考系（惯性系）中，观测同一质点的力
学运动，其加速度大小和方向，两系观测结果都是一样的。
也就是说，做一切力学实验都无法判断实验者所在系统是
绝对静止还是在作绝对匀速直线运动。
由于任意两个惯性系都可以由伽利略变换联系起来，故 力学规律在一切惯性系中具有相同的
aτ 表示切向加速度， 下列四种表达式中， 正确的是 （请点击你要选择的项目）
（1）
（链接3）
（2） （3）
（4）
一质点作曲线运动， r 表示位矢， s 表示路程， v 表示速度，
aτ 表示切向加速度， 下列四种表达式中， 正确的是 （请点击你要选择的项目）
（1）
（链接4）
（2） （3）
（4）
第二节 两类问题 1 -2
aτ 表示切向加速度， 下列四种表达式中， 正确的是 （请点击你要选择的项目）
（1）
（链接1）
（2） （3）
（4）
一质点作曲线运动， r 表示位矢， s 表示路程， v 表示速度，
aτ 表示切向加速度， 下列四种表达式中， 正确的是 （请点击你要选择的项目）
高中物理竞赛辅导讲义：运动学
运动学§2.1质点运动学的基本概念2．1．1、参照物和参照系要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，这个被选的物体叫做参照物。
为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。
通常选用直角坐标系O –xyz ，有时也采用极坐标系。
平面直角坐标系一般有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）。
2．1．2、位矢 位移和路程在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x ，y ，z 表示，当质点运动时，它的坐标是时间的函数 x=X （t ） y=Y （t ） z=Z （t ） 这就是质点的运动方程。
质点的位置也可用从坐标原点O 指向质点P （x 、y 、z ）的有向线段r来表示。
如图2-1-1所示, r 也是描述质点在空间中位置的物理量。
的长度为质点到原点之间的距离，r 的方向由余弦αcos 、βcos 、γcos 决定,它们之间满足1cos cos cos 222=++γβα当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而变,可表示为=(t)。
在直角坐标系中,设分别为、、沿方向x 、y 、z 和单位矢量，则可表示为t z t y t x t )()()()(++=位矢r 与坐标原点的选择有关。
研究质点的运动，不仅要知道它的位置，还必须知道它的位置的变化情况，如果质点从空间一点),,(1111z y x P运动到另一点),,(2222z y x P ，相应的位矢由r 1变到r 2，其改变量为∆k z z j y y i x x r r r )()()(12121212-+-+-=-=∆称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。
它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。
它与坐标原点的选择无关。
2．1．3、速度平均速度 质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度)2zy图2-1-1t s v ∆=平均速度是矢量，其方向为与r∆的方向相同。
高中物理竞赛辅导《运动学》导学.doc
高中物理竞赛导学材料运动学【高中物理竞赛考点】1.质点的位移2.直线运动/曲线运动的的速度和加速度3.运动的合成4.抛体运动和圆周运动【学习内容概括】：运动的分解：固定坐标，瞬时坐标速度和加速度的关联性相对运动^_ + 4两线交点的运动矢量投影法【运动学导学】1.质点的位置、位置矢量、位移：(1)在研究物体运动时，如果物体的大小和形状在所研究的问题中可以忽略，把物体看作一个有质量的儿何点，这样的物体就成为质点。
(2)在研究物体运动时，耑要研究物体的空间位置。
而物体的位置只能相对的确定，因此首先找出另一个物体作为参考，这个作为参考的物体叫做参考系。
被选作参考系的物体，可认为他是“静止”的。
(3)参考系确定后，我们就可以在它上而适当的选取坐标系，来确定物体在空间的相对位置。
罔A 罔B如罔A确立直角坐标系o-xyz。
质点P的位罝可由矢量r表示，r称为P点相对于原点0的位矢(位置矢量)。
r的长度力质点到原点之间的距离，r的方向由方向余弦cos u、cosp、cosy决定，且cos2 a +cos2 3 +cos2 y =1.质点运动时，其位矢是时间的函数，可记为7 = f (t),称作质点的运动学方程。
在直角坐标系屮，设h jZ分别为沿x、y、z方向的单位矢量，则P可表示为争~#r=x (t) i+y (t) 7+z (t) k由位矢r 的矢端画出的曲线称为矢:W:的矢端曲线，亦即质点的运动轨迹。
4)经过一段时间，物体P 由Pl (x P y P Zl )点运动到P 2 (x 2, y 2, z 2)点，其对应位矢分别为门，，则物体这段时间的位移为：A r = r 2-r (x 2-xi )Z+ (y 2-yi) 7+ (z 2-zi) k.2. 速度和加速度1) 平均速度：物体从t 吋刻运动到t+At 吋刻，其位移为= P (t+At) -r (t),则物体在At 吋间内的平—A v均速度为：Av =— Ar平均速度仅提供了一段时间内物体位置总变动的方㈦和平均快慢。
高中物理竞赛专题运动学课件
A
t x Ox
II: X<0 V<0 a>0
III: X<0 V>0 a>0
I: X>0 V<0 a<0
IV: X>0 V>0 a<0
由参考圆上P点的水平投 影及其V, a 的x分量可以判 断简谐振动的速度、加速 度的方向。 y
V
V
aa
II
Ix
III
IV
• 直角坐标系
矢量及其分量
A
矢量A用分量表示：
B
v+v
v
v
v+v
方向的改变
矢量速度的变化
具有加速度
大小的改变
径矢运r动微学分问速题度（v一）dr
微分
加速度a
dv
dt
dt
径矢Δ r
t
vdt
积分 速Δ度v
t
adt
积分 加速度a
t0
t0
坐标系的运
需初始条件
用
矢量表示的优点：给定了参考系时，与选择的 坐标形式无关，便于作一般性的定义陈述和关 系式推导。然而，在做具体计算时，必须根据 问题的特点选择适当的坐标系。
O 极点
极轴
v 0
v R v0
a 2 R 2 R 2
a 2 0
v0
a v02 / R
极点 O
极轴
练习数学：方试法在：直 角解坐匀曲标速径系圆通中周幽求运 动的物理加方速法度：。
直观简洁
/ 2 v0t / 2R 2R cos 2R cos(v0t / 2R) v v0 sin(v0t / 2R) v v0 cos(v0t / 2R)
t0
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x
2x
即得到
x x 3 vt 2
显然三角形的边长是以 3 v的速度缩短的。
2 三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：t
3
l 2v
2l 3v
.
思考题1：此类问题亦可进一步推而广之，假设有个 人同时从边长为的正边形顶点出发，以相同速率运动， 运动中始终保持1朝着2，2朝着3，……(n-1)朝着 n,n朝着1,试问经过多少时间相遇？
VD
VD
VD' 2 D'
θ
' 2
抛体运动中的边界和最值问题
例题：迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h的小山。 迫击炮到山顶的水平距离为a目标到山的距离为b。试求为击毁目标 炮弹必需具有的最小初速度以及发射角（空气阻力不计）
如何找到切入点呢？ 思维的障碍在哪里？ 小山？
x 0 cost
P’ N
150
300
M
O
l
P
拓展：如图的示，MN为竖直墙，平面镜OB绕O的垂 直于纸面的水平轴以恒定的角速度ω转动，在墙上的A 点发出一水平光线投射到OB上，并被反射到墙上D点。 设∠AOC=θ,AO=d,求D的速度。
D的速度方向总是向上，大小则等于OD长度的变化
率
OD OD'
'
d
cos2
tg 2
g
3，4，5，6颗子弹和第1颗子弹相遇的时刻
方法二：速率对称法 竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大 小相等，方向相反
(0 gt) 0 g(t n)
t 3 n 2
方法三：利用图象法 作出子弹的运动的s-t图
拓展：杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球， 若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是 1.25m，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其 它三球的高度
设每经过Δt 的时间后三角形的边长依次缩短为：
A1B1C1 ： l1， A2B2C2 : l2， ……， AnBnCn ： ln . 当ln 0时，三演员相遇。 如图，依据小量近似有
l1 A1B1 l AA1 BB1 cos 60 l vt vt cos60
l vt 1 vt l 3 vt
高中物理竞赛培训——运动学部分
一、数形结合处理竖直上抛
对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理， 物理过程将大大简化，计算快速便捷。竖直上抛的统一物理 公式是
x
0t
1 2
gt
2
位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。
例题一个以30m/s的初速度将小球上抛，每隔1秒抛出一球，
假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问（1） 最多能有几个球在空中？（2）设在t=0时将第1个球抛出，在哪 些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？
h
1 2
gt 2
h0
1 2
gt02
利用的辅助条件 h0 1
h
49
t0
1t 7
可见放电影时应将模型运动时间“放大”7倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真
的画面。为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的7倍。
24张/ 秒7 168张/ 秒
又设实物在某段时间△t内以速度υ通过位移△s，而模型与之对应的量则分别是时间△t0 、
证明：
任取一条轨道PQ，PQ和水平面夹角为φ.
PQ的长为 l 2Rsin
下滑的加速度 g// g sin
所以
tPQ
2l g//
4Rsin 2 R
g sin
g
由于 tPQ 与φ无关，故对应任意轨道的时间均相同。
P g//
g φ Qφ
最速路径：例题1
解原题： 以P为顶点作一球面，使其与所给球面相切于Q， 则线段PQ即为所求的轨道。 （1）作图确定线段PQ：
1
(h
ab ab
)
2
h ab ab
h a(1 a )tg
ab
tg1
h
ab ab
例题：从离地面上同一高度h，相距L的两处同时各抛出一个石块： 一个以初速度V1竖直向上抛；另一石块以速度V2水平抛出。求这两 个石块在运动过程中它们之间的最短距离？（两个石块初速度位于 同一竖直平面内）
y
0
sin
t
1 2
gt
2
消去t
x a b, y 0 y
xtg
gx 2
202
(1
tg 2 )
要击中目标，满足什么条件？ 说明什么？
0
(a
b)tg
g(a b)2
202
(1
tg 2 )
y x(1 x )tg
ab
y x(1 x )tg
ab
当α为从0到π/2范围内的不同值时，得到所 有的一切轨道。
分析：每个球上升的最大高度都是1.25m，故各球在空中运动的时间都是1s
要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一 球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，
各球在手中停留的时间都是1/3s
学生练习：一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。每隔0.4s 抛出一球，接到球后便立即把球抛出。已知除正在抛、接球的 时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。
速度υ0 、位移△s0 ，由于有
t0
1 7
t
s0
1 49
s
0 s0 / t0 1 s / t 7
二、最速路径问题
何谓最速路径问题？ 著名的“伽利略最速路径问题”：1 伽利略的答案：圆弧曲线（错误） 伯努利兄弟的答案：滚轮曲线的一部（分正确）
最速路径问题
➢寻找一条运动时间最短的路径 ➢从两条路经中找出运动时间较短的一条
在运动过程中三位演员的位置有什么关系？ 三位演员任何时候的位置均构成正三角形。但
B 诸三角形的边长越来越短。
最后三位演员在何处相遇？
三位演员最终在三角形ABC的中心相遇。此时三 角形边长缩短为零。
研究三角形的边长的变化情况，设法找出 三角形边长由l 缩短为零所用的时间！！
将从开始到相遇的时间t分为n份小量时间Δt：
x2 2 ptg p 2 0
xA xB 2 ptg
xAxB p2
xA xB
cos
(xA xB )2 4xAxB
cos
2p
cos2
1 g sint 2
2
渡河中的流速线性变化问题
例题：河流宽度为L，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为零， 河中心流速为v0，一小船以恒定的相对速度vr垂直于流速方向， 从一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。
分析：手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此 本次表演共有4个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出 当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。
如图，第3个球位于最高点，2、4两球等高，由于上半 段平均速度小，下半段平均速度大，故2、4两球位于 半高度的上方。
每个球空中的循球周期
t
(1
cos
2
)
n
思考题2：假如演员的速率不变，加速度的大小如何变化？
a 3 2
2
光反射定律的类比应用
某些质点的运动类似光的反射现象，若应用光的反射定 律可使复杂的问题得到简单的求解。
例题、 如图，光滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成15°夹角交于O点，小球在 OM的内侧与O相距l=20cm的P点处，以与MO成30°角方向的初速朝ON杆运动，初速度 大小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到P处？
tmin 2
g
Hg
相关变换：竖直平面内建立直角坐标系xoy，x轴水平，过抛物 线x2 =2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上 端A无初速释放，问滑到轨道底端B所用时间最小为多少？此时 AB与水平面的夹角满足什么条件？
焦点F（0、p/2)
AB的直线方程 y p tgx
2
x2 2 py
问题1、如图所示，地面上有一固定的球面， 球面的斜上方P处有一小球。现要确定一条从P到 球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨 道滑行到球面所历的时间最短。
分析： 先凭直觉猜一猜结果？
A
B P
× ？？ ？
最速路径：例题1
先讨论
预备问题、 如图，地面附近有一空心球，过顶点 P有很多光滑直轨道抵达球内表面。试证明小球沿任意 轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。
接下去的转折点在哪呢？
当α为π/4时，标出的轨道为 y x(1 x ) ab
在满足什么条件下这条轨道从山的上方通过？为此，求当轨道上x=a这点的高度
h1
a
ab
h1
a(1
a
) b
a
b
y x(1 x ) a b h a b ab
h ab ab
0min
g(a b) 0min
gab 2h
x2 (vt)2 ( x vt)2 2(vt)(x vt)cos60 x2 3xvt 3v2(t)2 略去二阶小量得：
x2 x2 3xvt
x vt x
x
由此式来研究在Δt时间内三角形边长的缩短 量（x - x′）！进而找出缩短的速率！
由此式有
x
x(1
3vt
)
1
2
x(1
3vt
)
解：小球作的是匀速折线运动。
P’’
可将小球的运动类比为光线在平
面镜M、N之间的反射。
而光线经镜面反射后的行进等效 于光线沿原入射方向的行进。
因此光线在两平面镜之间的不断
P’ N
反射可等效为光线沿PP′直线传播。
由于POP 415 60，所以PPO 900，