第24讲 RLC交流电路的分析(电路的串并联谐振)
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谐振频率
ω0
1 LC
1 或 f f0 2 LC
并联谐振的特征:
1. 阻抗最大，呈电阻性： (当满足 0L R时) 2.恒压源供电时，总电流最小。
Z0 L RC
I I0
U L RC
U Z0
Z ,I
Z0
Z
I
恒流源供电时，电路的端电压最大。
U I S Z0
总电流I=I0
【例2】 已知在R-L并联电路中，R = 50 ，L = 0.318 H，工频电源f = 50 Hz， 电压U = 220 V，试求：(1) 求各支路电流 IR、IL、总电流I；(2) 等效阻抗大小|Z|； (3) 电路呈何性质。 解：(1)由 IR = U/R = 220/50 = 4.4 A，XL = 2fL 100 ，IL = U/XL = 2.2 A，可得 2 2 I IR IL 4.92 A (2) |Z|= U/I = 220/4.92 = 44.7 (3) 在R、L并联电路中，BC = 0，BL > 0，则B = BC BL < 0， 电路呈感性。
值得注意
在 R-L-C 串联电路中，当感抗大于 容抗时电路呈感性；而在 R-L-C 并联电 路中，当感抗大于容抗时电路却呈容性。 当感抗与容抗相等时（X C=XL）两种电 路都处于谐振状态。
【例1】在R-L-C并联电路中，已知： 电源电压U = 120 V，频率f= 50 Hz，R = 50 ，L = 0.19 H，C = 80 F。试求：(1) 各支路电流IR、IL、IC ；(2) 总电流I，并 说明该电路成何性质？(3) 等效阻抗|Z|。 解：(1) = 2f = 314 rad/s，XL =L= 60 ，XC = 1/(C) = 40 IR = U/R = 120/50 = 2.4 A，IL = U/XL = 2 A，IC = U/XC = 3 A 2 (2) I I R ( I C I L )2 2.6 A，因XL > XC，则电路呈容性。 (3) |Z|= U/I = 120/2.6 = 46 。
+
R
i
L
C
u
_
串联谐振特怔:
、I 同相 1. U
X L XC arctan 0 R
+ u _L + uC _
u _R
+
电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， Q L和 QC 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。
2.阻抗最小，且呈纯阻
Z R2 X L X C R
-
含有不同频 率的信号源
LC并谐回路
①回路的谐振频率为:
0
is
C
f0
L
+ uO -
1 1 或f 0 LC 2 LC
固有振 荡频率
②当外加信号频率f=f0时，产生并联谐振。 ③此时回路的等效阻抗为纯阻性质，且阻抗最大。
• 【例2】P88：例3-7-2
• 【能力训练2】P95：3-20
【能力训练】 已知在R-C并联电路中， 电阻R = 40 ，电容C = 21.23 F，工频 电源f = 50 Hz，电压U = 220 V，试求：(1) 各支路电流IR、IC、总电流I；(2) 等效阻 抗大小|Z|；(3) 电路呈何性质。 解：(1) 由IR = U/R = 220/40 = 5.5 A，XC = 1/(2fC) 150 ， IC = U/XC = 1.47 A，得
I0
ω0
3.电感电流与电容电流几乎大小相等、相位相反。 4.电感或电容支路的电流有可能大大超过总电流。
当 0L R时，
+
I
R
X L I1
U I1 2 2 2π f 0 L R (2π f 0 L)
U
U
XC
I C
-
U IC U 2π f 0C 1 2π f 0C
根据基尔霍夫电流定律(KCL)，在任一时刻总电流i 的瞬时值为 i= iR iL iC
作出相量图，如图所示，并得到各电流之间的大小关系。
R、L、C并联电路的相量图
从相量图中不难得到
2 2 I IR ( I C I L )2 I R ( I L I C )2
上式称为电流三角形关系式。
UC 、UL将大 于电源电压U
+ 此时可能会击穿线圈或电容的绝缘， 在电力系统中应避免发生串联谐振。 u
令：
有： U L UC U R U
i
R
L
U L UC 0 L 1 Q _ U U R 0 RC
C
+ u _L + uC _
u _R
+
Q品质因数，表征串联谐振电路的谐振质量。 在无线电工程上，可利用此特点选择信号。
2
+ R
i
L
C
U 当电源电压一定时： I I 0 R 4.电压关系 U 电阻电压： U
R
3.电流最大
u
_
+ u _L + uC _
u _R
+
U 电容、电感电压： U L C
大小相等、相位相差180
U L I0 X L UC I0 X C
5.品质因数 当 X L X C R时：
I C
相量图
I
IC U ( 2f 0C ) U ( 2 f 0 C ) L I0 U Z0 U
2f 0 L 0 L Q R R
RC
1
U
I
I 1
R
I1 I C QI0
支路电流是总电流I0的 Q倍 电流谐振
+
U
XC
I C
X L I1
四、R-L并联与R-C并联电路
在讨论R-L-C并联电路的基础上，容易分析R、L并 联和R-C并联电路的电流情况，只需将R-L-C并联电路中
的电容开路去掉（IC=0），即可获得R、L并联电路；若 将R-L-C并联电路中的电感开路去掉（IL=0），即可获得 R-C并联电路。有关R-L-C并联电路的公式对这两种电路 也完全适用。
二、并联谐振
I
+
U U I 1 R jX L R jωL
U
R
XL
XC
I 1
I C
总电流：
U U C I jCU jX C j 1 ωC
U I 1 I C I jCU R jωL R L U 2 j C 2 2 2 R L R L
R L I j C U 2 2 2 2 R L R L
L 则： C 2 2 R L
虚部为 0
实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有 ω 0 L R
1 谐振条件：ω0C 0 ω0 L
由相量图可以看出总电流i与电压u的相位差为
IC I L BC BL B ' arctan arctan arctan IR G G
式中 叫做导纳角。 由于阻抗角 是电压与电流的相位差，因此有 B ' arctan G
三、R-L-C并联电路的性质
同样是根据电压与电流的相位差(即阻抗角 )为正、为 负、为零三种情况，将电路分为三种性质： 1．感性电路：当B < 0时，即BC < B L，或X C > XL， > 0， 电压u比电流i超前 ，称电路呈感性； 2．容性电路：当B > 0时，即B C >B L，或X C < XL， < 0， 电压u比电流i滞后||，称电路呈容性； 3．谐振电路：当B = 0时，即BL = B C，或X C = XL， = 0， 电压u与电流i同相，称电路呈电阻性。
2 2 I IR IC 5.69 A
(2)
|Z|= U/I = 220/5.69 = 38.7
(3) 在R、C并联电路中，BC > 0，BL = 0，则B =BC BL > 0， 电路呈容性。
一、串联谐振
二、并联谐振
概念 在RLC 交流电路中，当电感上的电压与电 容上的电压相等时，它们互相抵消，电路中的 电流与电压同相位，这时称电路发生了谐振。 分类 串联谐振：L 与 C 串联时 u、i 同相 并联谐振：L 与 C 并联时 u、i 同相 研究谐振的目的 ①在生产实践中（无线电工程、电子测量技术 等）利用。 ②预防它可能产生的危害。
补充：RLC并联电路
一、R、L、C并联电路的电流关系
R、L、C并联电路由电阻、电感、电容相并联构成的电 路叫做R 、 L 、 C并联电路。
R、L、C并联电路
设电路中电压为u =Umsin( t)，则根据R、L、C的基 本特性可得各元件中的电流：
iR Um sin(t ) ， R iL Um sin t ， XL 2 iC Um sin t XC 2
二、R-L-C并联电路的导纳与阻抗
在R-L-C并联电路中，有
IR U GU ， R
1 XL
IL
U BLU ， XL
IC
U BCU XC
其中 BL
叫做感纳、 BC
1 叫做容纳，单位均为西门子(S)。 XC
于是
2 I IR ( I C I L )2 U G2 ( BC Bபைடு நூலகம் )2
I 令 Y 则 Y G2 ( BC BL )2 G2 B2 U 上式称为导纳三角形关系式，式中|Y|叫做R-L-C并联电路的导 纳，其中B = BC BL叫做电纳，单位均是西门子(S)。
导纳三角形的关系如图所示。
R-L-C 并联电路的导纳三角形
电路的等效阻抗为
U 1 1 Z I Y G2 B2
LC组成谐 振电路
e1 e2
输出 磁性接收天线
f1 f2
R L C
输出
en
fn
来自不同电台(不同 频率)的电动势信号
调C，选择所 等效电路 需信号频率
f=f1时，串联谐振→阻抗最小→电流最大→输 出电压UL=QU最大。 对于其他电台信号不发生谐振→阻抗最大→ 电流最小→输出电压最小。
【例1】P85：例3-7-1 【能力训练1】P95：3-19
一、串联谐振
+
R
i
L C
、 同相 谐振时：U I
u
_
+ u _L + uC _
u _R
+
X L XC 即 arctan 0 R
谐振条件： X X L C
1 或： O L OC
谐振时的角频率
串联谐振电路
1 2 f 0 L 2 f 0 C 1 1 0 f0 或 LC 2 LC
ω0
1 LC
1 或 f f0 2 LC
并联谐振的特征:
1. 阻抗最大，呈电阻性： (当满足 0L R时) 2.恒压源供电时，总电流最小。
Z0 L RC
I I0
U L RC
U Z0
Z ,I
Z0
Z
I
恒流源供电时，电路的端电压最大。
U I S Z0
总电流I=I0
【例2】 已知在R-L并联电路中，R = 50 ，L = 0.318 H，工频电源f = 50 Hz， 电压U = 220 V，试求：(1) 求各支路电流 IR、IL、总电流I；(2) 等效阻抗大小|Z|； (3) 电路呈何性质。 解：(1)由 IR = U/R = 220/50 = 4.4 A，XL = 2fL 100 ，IL = U/XL = 2.2 A，可得 2 2 I IR IL 4.92 A (2) |Z|= U/I = 220/4.92 = 44.7 (3) 在R、L并联电路中，BC = 0，BL > 0，则B = BC BL < 0， 电路呈感性。
值得注意
在 R-L-C 串联电路中，当感抗大于 容抗时电路呈感性；而在 R-L-C 并联电 路中，当感抗大于容抗时电路却呈容性。 当感抗与容抗相等时（X C=XL）两种电 路都处于谐振状态。
【例1】在R-L-C并联电路中，已知： 电源电压U = 120 V，频率f= 50 Hz，R = 50 ，L = 0.19 H，C = 80 F。试求：(1) 各支路电流IR、IL、IC ；(2) 总电流I，并 说明该电路成何性质？(3) 等效阻抗|Z|。 解：(1) = 2f = 314 rad/s，XL =L= 60 ，XC = 1/(C) = 40 IR = U/R = 120/50 = 2.4 A，IL = U/XL = 2 A，IC = U/XC = 3 A 2 (2) I I R ( I C I L )2 2.6 A，因XL > XC，则电路呈容性。 (3) |Z|= U/I = 120/2.6 = 46 。
+
R
i
L
C
u
_
串联谐振特怔:
、I 同相 1. U
X L XC arctan 0 R
+ u _L + uC _
u _R
+
电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， Q L和 QC 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。
2.阻抗最小，且呈纯阻
Z R2 X L X C R
-
含有不同频 率的信号源
LC并谐回路
①回路的谐振频率为:
0
is
C
f0
L
+ uO -
1 1 或f 0 LC 2 LC
固有振 荡频率
②当外加信号频率f=f0时，产生并联谐振。 ③此时回路的等效阻抗为纯阻性质，且阻抗最大。
• 【例2】P88：例3-7-2
• 【能力训练2】P95：3-20
【能力训练】 已知在R-C并联电路中， 电阻R = 40 ，电容C = 21.23 F，工频 电源f = 50 Hz，电压U = 220 V，试求：(1) 各支路电流IR、IC、总电流I；(2) 等效阻 抗大小|Z|；(3) 电路呈何性质。 解：(1) 由IR = U/R = 220/40 = 5.5 A，XC = 1/(2fC) 150 ， IC = U/XC = 1.47 A，得
I0
ω0
3.电感电流与电容电流几乎大小相等、相位相反。 4.电感或电容支路的电流有可能大大超过总电流。
当 0L R时，
+
I
R
X L I1
U I1 2 2 2π f 0 L R (2π f 0 L)
U
U
XC
I C
-
U IC U 2π f 0C 1 2π f 0C
根据基尔霍夫电流定律(KCL)，在任一时刻总电流i 的瞬时值为 i= iR iL iC
作出相量图，如图所示，并得到各电流之间的大小关系。
R、L、C并联电路的相量图
从相量图中不难得到
2 2 I IR ( I C I L )2 I R ( I L I C )2
上式称为电流三角形关系式。
UC 、UL将大 于电源电压U
+ 此时可能会击穿线圈或电容的绝缘， 在电力系统中应避免发生串联谐振。 u
令：
有： U L UC U R U
i
R
L
U L UC 0 L 1 Q _ U U R 0 RC
C
+ u _L + uC _
u _R
+
Q品质因数，表征串联谐振电路的谐振质量。 在无线电工程上，可利用此特点选择信号。
2
+ R
i
L
C
U 当电源电压一定时： I I 0 R 4.电压关系 U 电阻电压： U
R
3.电流最大
u
_
+ u _L + uC _
u _R
+
U 电容、电感电压： U L C
大小相等、相位相差180
U L I0 X L UC I0 X C
5.品质因数 当 X L X C R时：
I C
相量图
I
IC U ( 2f 0C ) U ( 2 f 0 C ) L I0 U Z0 U
2f 0 L 0 L Q R R
RC
1
U
I
I 1
R
I1 I C QI0
支路电流是总电流I0的 Q倍 电流谐振
+
U
XC
I C
X L I1
四、R-L并联与R-C并联电路
在讨论R-L-C并联电路的基础上，容易分析R、L并 联和R-C并联电路的电流情况，只需将R-L-C并联电路中
的电容开路去掉（IC=0），即可获得R、L并联电路；若 将R-L-C并联电路中的电感开路去掉（IL=0），即可获得 R-C并联电路。有关R-L-C并联电路的公式对这两种电路 也完全适用。
二、并联谐振
I
+
U U I 1 R jX L R jωL
U
R
XL
XC
I 1
I C
总电流：
U U C I jCU jX C j 1 ωC
U I 1 I C I jCU R jωL R L U 2 j C 2 2 2 R L R L
R L I j C U 2 2 2 2 R L R L
L 则： C 2 2 R L
虚部为 0
实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有 ω 0 L R
1 谐振条件：ω0C 0 ω0 L
由相量图可以看出总电流i与电压u的相位差为
IC I L BC BL B ' arctan arctan arctan IR G G
式中 叫做导纳角。 由于阻抗角 是电压与电流的相位差，因此有 B ' arctan G
三、R-L-C并联电路的性质
同样是根据电压与电流的相位差(即阻抗角 )为正、为 负、为零三种情况，将电路分为三种性质： 1．感性电路：当B < 0时，即BC < B L，或X C > XL， > 0， 电压u比电流i超前 ，称电路呈感性； 2．容性电路：当B > 0时，即B C >B L，或X C < XL， < 0， 电压u比电流i滞后||，称电路呈容性； 3．谐振电路：当B = 0时，即BL = B C，或X C = XL， = 0， 电压u与电流i同相，称电路呈电阻性。
2 2 I IR IC 5.69 A
(2)
|Z|= U/I = 220/5.69 = 38.7
(3) 在R、C并联电路中，BC > 0，BL = 0，则B =BC BL > 0， 电路呈容性。
一、串联谐振
二、并联谐振
概念 在RLC 交流电路中，当电感上的电压与电 容上的电压相等时，它们互相抵消，电路中的 电流与电压同相位，这时称电路发生了谐振。 分类 串联谐振：L 与 C 串联时 u、i 同相 并联谐振：L 与 C 并联时 u、i 同相 研究谐振的目的 ①在生产实践中（无线电工程、电子测量技术 等）利用。 ②预防它可能产生的危害。
补充：RLC并联电路
一、R、L、C并联电路的电流关系
R、L、C并联电路由电阻、电感、电容相并联构成的电 路叫做R 、 L 、 C并联电路。
R、L、C并联电路
设电路中电压为u =Umsin( t)，则根据R、L、C的基 本特性可得各元件中的电流：
iR Um sin(t ) ， R iL Um sin t ， XL 2 iC Um sin t XC 2
二、R-L-C并联电路的导纳与阻抗
在R-L-C并联电路中，有
IR U GU ， R
1 XL
IL
U BLU ， XL
IC
U BCU XC
其中 BL
叫做感纳、 BC
1 叫做容纳，单位均为西门子(S)。 XC
于是
2 I IR ( I C I L )2 U G2 ( BC Bபைடு நூலகம் )2
I 令 Y 则 Y G2 ( BC BL )2 G2 B2 U 上式称为导纳三角形关系式，式中|Y|叫做R-L-C并联电路的导 纳，其中B = BC BL叫做电纳，单位均是西门子(S)。
导纳三角形的关系如图所示。
R-L-C 并联电路的导纳三角形
电路的等效阻抗为
U 1 1 Z I Y G2 B2
LC组成谐 振电路
e1 e2
输出 磁性接收天线
f1 f2
R L C
输出
en
fn
来自不同电台(不同 频率)的电动势信号
调C，选择所 等效电路 需信号频率
f=f1时，串联谐振→阻抗最小→电流最大→输 出电压UL=QU最大。 对于其他电台信号不发生谐振→阻抗最大→ 电流最小→输出电压最小。
【例1】P85：例3-7-1 【能力训练1】P95：3-19
一、串联谐振
+
R
i
L C
、 同相 谐振时：U I
u
_
+ u _L + uC _
u _R
+
X L XC 即 arctan 0 R
谐振条件： X X L C
1 或： O L OC
谐振时的角频率
串联谐振电路
1 2 f 0 L 2 f 0 C 1 1 0 f0 或 LC 2 LC