二重积分

第十章 二重积分

一、内容概要

1.二重积分的定义

定义 设函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上有定义.

分割 用任意两组曲线将区域D 分成n 个小区域，分别记为

12,,,n σσσ∆∆∆ .并以i σ∆代表第i 个小区域的面积.

求和 在每个小区域i σ∆上任意一点(,)i i x y 作乘积(,)i i i f x y σ∆，并求和

1

(,

)n

i

i i

i f x y σ=∆∑. 取极限 记λ为n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆ 中的最大的直径，如果 0

1l i m (,)n

i i i

i f x y λσ→=∆∑. 存在，且此极限值不依赖区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i x y 的取法，则称此极限值为函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，记为

1

(,

)l i m

(,)n

i i i i D

f x y d f x y λσσ→==∆∑⎰⎰，

称d σ为面积元素.

2.二重积分的几何解释

由二重积分的定义可知，二重积分为一个数值.从几何上可以解释为： 若在区域D 上，(,)f x y 0≥，则二重积分的值等于以区域D 为底，以曲面

(,)z f x y =为顶的曲顶直柱体的体积.若在区域D 上，(,)f x y 0≤，则二重积分的

值的绝对值等于以D 为底，以曲面(,)z f x y =为曲顶的直柱体体积，此时二重积分的值为负值.若在区域D 上的某些子区域上(,)f x y 0≥，而另一些子域上

(,)f x y 0≤，则二重积分的值等于这些子区域上，以(,)z f x y =为曲顶的直柱体

体积的代数和，其中(,)f x y 0≥的直柱体体积值前取“+”，在(,)f x y 0≤的直柱体体积前取“-”.

3.二重积分的存在性

存在定理 若(,)f x y 在闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上的二重积分必存在.

4.二重积分的性质

设下列被积函数都是可积的. 性质1

(,)(,)D

D

kf x y d

k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.

此性质由左向右看，可以解释为：常数因子可以提到积分号外面去.

由右向左看，可以解释为：常数乘以二重积分，可以将此因子送入积分表达式中去.

性质2

(,)(,)(,)(,)D D D

f x y

g x y d f x y d g x y d σσσ⎡⎤±=±⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 性质3 如果闭区域D 由有限条曲线分为两个区域12,D D ,则

1

(,)(,)D

D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰2

(,)D f x y d σ+⎰⎰.

性质4 若记区域D 的面积为S ，则

D

d S σ=⎰⎰.

性质5 在D 上若(,)(,)f x y g x y ≤，则 (,)(,)D

D

f x y d

g x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰,

(,)(,)D

D

f x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰

.

性质6 若在D 上有(,)m f x y M ≤≤,则 (,)D

m S f x y d M

S σ≤≤

⎰⎰, 其中S 为区域D 的面积.

性质7 设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，S 为区域D 的面积，则在D

上至少存在一点ξη（，），使得

(,)D

f x y d f σ

ξη⋅⎰⎰=（，）S , 称此性质为二重积分的中值定理.

5.二重积分的计算

二重积分是定积分的推广.计算的基本途径是将其转化为二次积分计算，不同积分次序的二次积分计算量可能相差很大，甚至其中一种次序易于计算，而另一种次序计算复杂，以至于不能用初等函数形式表出.因此计算二重积分时选择积

分次序是至关重要的问题.

有些问题中给定了积分次序，但依此次序积分可能计算复杂，以至于不能用初等函数形式表示，但是这并不能断言二重积分不能计算，此时应考虑交换积分次序或改变坐标系.因此二重积分有交换积分次序的问题与转换坐标系的问题.

常见的二重积分计算可归纳为以下规律： （1） 选择积分次序

对于给定的二重积分应先选定积分次序，积分次序的选择要考虑两个因素：被积函数

与积分区域.选定积分次序之后，关键是确定二次积分的积分限，通常的方法是：

先画出积分区域D 的图形.

若先对y 积分，且平行于y 轴的直线与区域D 的边界线的交点不多于两点，那么确定

关于y 的积分限的方法为：

作平行于y 轴的直线与区域D 相交，沿y 轴的正向看，所作出的直线与区域D 先相交的边界线1()y y x =（称之为入口线），作为积分下限.离开区域D 的边界线2()y y x =（称之为出口线），作为积分上限.而后对x 积分时，其积分下限取自区域D 在Ox 轴上投影的最小值；积分上限取自区域D 在Ox 轴上投影的最大值.即

先对y 积分

（入口线）下限 （出口线）上限

12()()y x y y x ≤≤

后对x 积分 将区域D 在Ox 轴上投影

（最小值）下限 （最大值）上限 a x b ≤≤

其特点是：内层积分限为外层积分变量的函数（或常数），而外层积分限一定为常数！

（2） 交换积分次序

如果给定的积分为二次积分，它不能用初等函数形式表示出来，或者积分的计算量较

大，可考虑采用交换积分次序，其一般步骤为：

○1先依给定的二次积分限，写出积分区域D 的不等式表达式，并依此作出区域D 的图形.

○

2再依区域D 的图形，按前面（1）所述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限. （3） 选取坐标系

如果二重积分不宜在直角坐标系中计算，可考虑利用极坐标系计算，特别是被积函数 为22()f x y +，或积分区域为圆域、扇形域、圆环域时，利用极坐标系计算二重