理论力学11梁的位移计算汇总.

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梁的位移计算
确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件。 边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零 或为已知
y
l
x
y
l
x
固定铰链支座
固定端约束
x = 0, v = 0
x = l, v = 0
⎧v = 0 x = 0⎨ θ =0 ⎩
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梁的位移计算
变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处 的挠度和转角相等。在中间铰链位置左右极限截面的挠度 相等。
第十一章 梁的位移计算
梁的位移计算
工程实例
2
梁的位移计算
工程实例
3
梁的位移计算
工程实例
本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及 简单静不定梁进行简要介绍。
4
梁的位移计算
§１１－１
挠度、转角及其相互关系
挠曲线：梁变形后的轴线。
在小变形情况下，任意横 截面的形心位移是指ｙ方向的 线位移，截面形心垂直于轴线 方向的线位移称为挠度
y
2l 3 l
x
边界条件
变形连续条件
2 x = 0, v = 0; x = l , v = 0 3
2 x = l , v1 = v2 ,θ1 = θ 2 ; 3
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梁的位移计算
思考：
用积分法计算图示梁的挠度和转角，其边界条件和 连续条件是什么？
y
q
x
l
答：边界条件 x = 0 v = 0 连续性条件 x = l
2
A
a
F
b
Bx
a F l
17
例
３
２、分两段积分
b
2
b
3
EIv 1 = Fx1 + C1 x 1 + D1 y EIθ 1 =Fx1 + C1 F b a bF 2 F2 6 l A 2l C x 1 EIθ 2 =x2 − ( x2 − a ) + C2 b x2 F 2 l2 l bF 3 F3 l EIv2 =x2 − ( x2 − a ) + C 2 x2 + D2 6 l6 ３、确定积分常数 Fb 22 x1 = 0, v1 = 0 x1 = x2 = a , C1 = C2 = −(l − b ) 6 l x2 = l , v2 = 0 v1 = v2 θ 1 = θ 2 D1 = D2 = 0
3
16
例
３
求简支梁最大挠度，Ｆ已知，EI为常数。
解
１、建立挠曲线微分方程
y
dvb (0 ≤ x1 ≤ a ) EI 2 = Fx1 dxl2 dvb (a ≤ x 2 ≤ l ) EI 2 = Fx2 − F ( x2 − a ) dxl
b C x 1 b x 2 M 1 ( x 1 ) = F x1 F l l (0 ≤ x1 ≤ a ) l b (a ≤ x 2 ≤ l ) M 2 ( x2 ) = Fx2 − F ( x2 − a ) l
y A
q
θ
Bx
x
v
l
向上为正，向下为负
v = f ( x)
－－挠曲线方程
弯曲变形时，横截面绕中性轴转动的角度称为转角
θ = θ ( x)
－－转角方程Βιβλιοθήκη 逆转为正，顺转为负5
梁的位移计算
q
θ
B
A
x
v
l
θ
dv θ ≈ tgθ = dx
横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近似相等， 即挠曲线方程的一阶导数为转角方程。
=
２、积分求通解
2
x
2
dxEI z PP x
θ =∫
13
例
θ =∫
１
PP x
2
( x − l )dx =( − lx) + C EI zEI z 2 ３、确定积分常数 32
P
xvlxP x=0 θP= =0 C =D=0 v = ∫∫
y
l
x
( x − l )dxdx =( − ) + Cx + D ４、转角方程和挠曲线方程 EI zEI z 62 3 2 2
3 2
M ( x) = EI z
7
－挠曲线微分方程
梁的位移计算
在小变形情况下
dvM =±
2
2
正负号与弯矩符号规定及所取坐标系有关 dxEI z
y
M >0
dv >0
2
y
M <0
dv <0
2
O
2
dx
x
O
2
dx
x
d vM =
2
2
－挠曲线近似微分方程
8
dxEI z
梁的位移计算
§１１－３
积分法求梁的位移
d vM ( x) =
３、确定积分常数
ql 3 q 4 EI z v = x −x + Cx + D 1224
x=0 v=0
3
Bx
ql 2
x=l
x
l
ql D=0 C=−, 24 ４、转角方程和挠曲线方程
q l 21 3l θ=( x − x − ) EI z 4624
3
qx l 2 1 3 l v=x − )( x − EI z 122424
6
梁的位移计算
§１１－２
曲率公式
挠曲线微分方程
q
θ
B
1M ( x) = ρ ( x) EI z dv
2
A
x
v
l
θ
挠曲线为一平面曲线，其上任一点的曲率
ρ
1 =±
dv
2
2
2
dx ⎡ ⎛ dv ⎞ ⎢1 + ⎜⎟ ⎢ ⎝ dx ⎠ ⎣
⎤ 2 ⎥ ⎥ ⎦ 微小量
3
±
2
dx dv 2 ⎤⎡ 1+ ( ) ⎥⎢ dx ⎦⎣
P x lx Px v=( − ) θ=( − lx) EI z 62 EI z 2 ５、确定最大挠度和最大转角 θ max
x
Pl =−
2
Pl v=−
3 14
例
２
求简支梁挠曲线方程，ｑ已知，EI为常数。
解
１、建立挠曲线微分方程
ql 2
y
q
11 2 M ( x) = qlx − qx 2 d v M ( x) 22 1 11 2
a
x = a+l v = 0 θ = 0 v1 = v2
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例
１
如图所示悬臂梁，在自由端受集中力Ｐ作用，设ＥＩ为 常量，试求梁的最大挠度和最大转角。
解 １、建立挠曲线近似微分方程
取坐标系如图所示，弯矩方程
P
y
l
x
M ( x) = − P (l − x) = P ( x − l) 2 d v P( x − l )
==( qlx − qx )
2
A
Bx
x
l
ql 2
２、积分求通解 dxEI zEI z 22 ql 2 q 3 EI zθ = x − x + C 46 ql 3 q 4 EI z v = x −x + Cx + D
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例
２
ql 2 q 3 EI zθ = x − x + C y 46 q
v=0
A
ql 2
2 2
dvM dxEI ( z x)
θ ( x) = = ∫
⎛ M ( x) ⎞ v( x) = ∫ dxEI ⎜∫ z
dx + C
dx ⎟dx + Cx + D C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定。 ⎝ EI z⎠ 挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得 到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积 分法。