(完整word版)高等数学不定积分相关题目和答案
高等数学 第四章不定积分课后习题详解.doc
第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x -=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
(完整版)高等数学不定积分例题、思路和答案(超全)
第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分★⑴dx x2 . x思路: 被积函数由积分表中的公式（2）可解。
解:dxx2-x5x 2dx★⑵1 ^=)思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
(x3x 2)dx1x3dx1x 2dx3 - 13x32x2C4★(3)(2x x2) dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。
解：(2x x2)dx 2x dx x2dx 2In 21x3 C 3★(4). x(x 3)dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。
解: ' x(x 3)dx3x2dx1x2dx5 32 2x2 C3x42x Jx1思路：观察到3x43x2 1x2 1 3x2 -后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积1分。
解：（注：容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分 解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
思路：分项积分。
思路：分项积分。
…、1 ★★(10) - ------- -dxx (1 x )思路：裂项分项积分。
解:4 2 ,3x 3x 12 ,dx 3x dx. 3—dx x arctan x Cx★★ (6)dx思路：注意到2x 1 x 2,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
25 x .斛：-------- 2dx1 xdx ----- 2dx1 xarctan x C.,/ x ★⑺( --- 21 + 1- 4、4)dx x…/x斛：（一 ——i - 3 x x 4、 —)dx 1 2 -x 4 In |x| x3 x 2 24 x 3 xdx-dx x 3 x 3dx 4 x 4dx C. 3 ★(8) (rv2-解:2、，-dx1 , c c . c ---- dx 3arctan x 2arcsin x C. x 2★★(9)x x xdx1 1x 2 47x 8,直接积分。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。
2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。
3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
(完整word版)高等数学不定积分相关题目和答案
不定积分一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 如果xe-是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰。
2. 若()2cos 2xf x dx C =+⎰，则()f x = 。
3. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 。
4.()()f x df x =⎰ 。
5. sin cos x xdx =⎰。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
A . cot 4xB . cot 4x -C . 3cos4xD . 3cot 4x2. ln x dx x =⎰（ ）。
A . 21ln 2x x C + B .21ln 2x C + C . ln x C x+ D .221ln xC x x-+ 3. 若()f x 为可导、可积函数，则（ ）。
A . ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B . ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰C .()()f x dx f x '=⎰ D . ()()df x f x =⎰4. 下列凑微分式中（ ）是正确的。
A . 2sin 2(sin )xdx d x = B .d = C . 1ln ()x dx d x = D . 21arctan ()1xdx d x=+ 5. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）。
A . 222(1)x C ++ B . 222(1)x C --+C . 221(1)2x C ++D . 221(1)2x C --+三、计算题（每小题8分，共48分） 1. 2194dx x -⎰2.3. dx x⎰4. arcsin xdx ⎰5. dx x xx ⎰++21arctan6. .)1(21222dx x x x ⎰++四、综合题（本大题共2小题, 总计22分）1.（10分）求⎰'''⋅-'dx x f x f x f x f x f ])()()()()([32的值。
不定积分的典型例题50题答案
例1． 解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1(11111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解 令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解 令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(21212111111222222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dxx x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx x x x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx x x x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx xx x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰ 例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos 1)(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx xx x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 12222x xx d xx x dxxx x x xdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dxtx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11.arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt t ttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51． 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解 用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c x x x x x dx x f x ---='⎰， 即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。
最新不定积分习题与答案
精品文档不定积分（Ａ）１、求下列不定积分dxdx??2xx2x２）１）?dx2?dx)(x?22x1?４）３）2x??dxdx x223xsincosx５）６）xx2?5?2?3x2cos13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx８）７）２、求下列不定积分（第一换元法）dx?3?dx)(3?2x3x32?２）１）dx tsin??dt)xlnxln(lnx t４）３）dxdx??x?x xsincosxe?e６）５）?dx2?dx)xcos(x4x1?８）７）3x3x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos）10９）dx?3?dxxcos21?2x12）11 ）3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13)??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15)3x1??dxdx)x?(x12x?117) 18)x2arccos arctanx10精品文档．精品文档3、求下列不定积分（第二换元法）1?dx?dxxsin2xx?1２）１）?)0(a?dx,?dx22x?a x４）３）2x24x?dx dx??32)1(x?x21?６）５）dxdx??22?1?x1?x1?x７）８）４、求下列不定积分（分部积分法）??xdxarcsinxsinxdx１）２）x x?2?dxsine2?xdxxln2４）３）?dxxcos2?xdxln2８）７）22??xdxxxcosarctanxdx６）５）x22５、求下列不定积分（有理函数积分）3x?dx3x?１）3x?2?dx210??3xx２）dx?2)?x(x1 3 ）（Ｂ）2)3e,(、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1 方程。
13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数，且当，试求此函数。
时函数值为精品文档．精品文档?cx)?f(x)dx?F(，则3、证明：若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。
高等数学100题不定积分及答案
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 63、 cos 2x cos 3xdx =
1 10
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 64、 tan x sec xdx = sec x + c
∫ 65、
tan2 x sec xdx =
1 2
sec
x
tan
x
−
1 2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+c
∫ 66、
tan x sec2 xdx =
x)2
+
c
∫ 78、
x
−
1
arctan + x2
x
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
3
−
2 3
(arctan
x)
2
+c
∫ 79、 arcsin x dx = (arc sin x )2 + c
x(1− x)
∫ 80、
1
dx = − 1 + c
(arcsin x)2 1− x2
arcsin x
∫ 81、 ex dx = ln(1+ ex ) + c
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x
不定积分习题及答案
不定积分习题及答案9．求()()()()()dx x f x f x f x f x f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''-'32。
10．()d x x x ⎰1,,max 23。
第四章 不定积分(A 层次)1．⎰xx dx cos sin解：原式()()⎰⎰+===C tgx tgxtgx d dx tgx x ln sec 2 2．⎰--dx xx 2112解：原式()⎰⎰+---=-----=C x x x dx x x d arcsin 1211122223．()()⎰-+21x x dx解：原式()()[]⎰+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=C x x dx x x 2ln 1ln 31211131 C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+-=12ln 314．⎰xdx x 7sin 5sin 解：原式()⎰⎰⎰-=--=xdx xdx dx x x 12cos 212cos 212cos 12cos 21C x x +-=12sin 2412sin 41 5．()⎰+dx x x x arctg 1解：原式()()()⎰⎰+==+=C xarctg x arctg d x arctg dx x x arctg 222126．⎰-+21xx dx解：⎰⎰⎰+-++=+=-+dt tt tt t t t t tdt t x x x dx sin cos sin cos sin cos 21cos sin cos sin 12令()()C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰cos sin ln 2121cos sin cos sin 2121 ()C x x x ++-+=21ln 21arcsin 21 7．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰⎰dx x x arctgx x x arctgxd 2333113131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 6161318．()⎰dx x ln cos解：原式()()[]⎰+=dx x x x x x 1ln sin ln cos ()()⎰+=dx x x x ln sin ln cos()()()[]⎰-+=x xd x x x x ln sin ln sin ln cos ()()()⎰-+=dx x x x x x x ln cos ln sin ln cos 故()()()[]C x x x x dx x ++=⎰ln sin ln cos 21ln cos 9．⎰--+dx xx x x 3458解：原式()⎰⎰--++++=dx xx x x dx x x 32281⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 131******** ()()C x x x x x x +--+-+++=1ln 31ln 4ln 821312310．()⎰+dx x x 2831解：原式()()()⎰⎰⎰=+=+=t tdt tgt u u du u x x x d 42224284sec sec 41141141令令 ()⎰⎰+==dt t tdt 2cos 181cos 412C t t ++=2sin 16181C uu u arctgu ++⋅++=221118181 ()C x x arctgx +++=844188111．⎰xdx x 2cos解：原式⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=dx x x 22cos 1[]()⎰⎰⎰+=+=x xd x xdx x xdx 2sin 41412cos 212 ⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412C x x x x +++=2cos 812sin 4141212．⎰dx e x 3解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23=原式[]⎰⎰⎰-===t d t e e t de t dt t e t t t t 2333222[]⎰⎰--=-=dt e te e t tde e t ttttt 636322C e te e t t t t ++-=6632 ()C x x e x++-=2223332313．⎰xx x dxln ln ln解：原式()()[]()()[]C x x x d x x x d +===⎰⎰ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 14．()⎰+21x e dx解：()()()()⎰⎰⎰⎰+-+=+-+=+222111111t dtdt t t t t t t t e e dxx x令 ()()C t t t t t d dt t t ++++=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰111ln 111112()C e e x C e e e xxx x x ++++-=++++=111ln 111ln15．()⎰+dx exe xx21解：原式()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=11112x xx e xd ee xd()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=+++-=x x x x x x x x e d e e e x dx e e e e x 111111()C e e e xx x x++-++-=1ln ln 1()C e e xe x xx++-+=1ln 116．dx x ⎰3sin解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23= 原式⎰⎰-=⋅=t d t dt t t cos 33sin 22⎰⎰+-=⋅+-=t td t t tdt t t t sin 6cos 32cos 3cos 322 ⎰-+-=tdt t t t t sin 6sin 6cos 32 C t t t t t +++-=cos 6sin 6cos 32C x x x x x +++-=333332cos 6sin 6cos 3 17．⎰-dx xx 1arcsin解：令u x sin =，则u x 2sin =，udu u dx cos sin 2= 原式⎰=udu u uucos sin 2cos ()⎰⎰--=-=udu u u u d u cos cos 2cos 2C x x x C u u u ++--=++-=2arcsin 12sin 2cos 218．()⎰+dx x x 321ln解：原式()⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=-22211ln x d x()⎰+++-=dx xx x x x 2222122121ln ()()⎰+++-=2222212121ln x x dx x x ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=222221112121ln dx x x x x ()()[]C x x xx ++-++-=22221ln ln 2121ln ()()C x x xx ++-++-=2221ln 21ln 21ln 19．⎰+-dx xx xx sin 2cos 5sin 3cos 7解：原式()()⎰+-++=dx x x x x x x sin 2cos 5sin 5cos 2sin 2cos 5dx x x x x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-+=sin 2cos 5sin 5cos 21C x x x +++=sin 2cos 5ln 20．()⎰++dx x xx 21ln解：原式()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x d x x 11ln⎰+++++-=dx x x x x x 1111ln ⎰+++-=dx x x x x 11ln C x xxx ++++-=ln 1ln 21．⎰xdx x 35cos sin解：原式⎰=xdx x x cos cos sin 25()x d x x sin sin 1sin 25⎰-=C x x +-=86sin 81sin 6122．⎰dx x x tgxsin cos ln解：原式()⎰⎰==tgx d tgx tgxdx xtgxtgx ln cos ln 2 ()()⎰+==C tgx tgx tgxd 2ln 21ln ln 23．dx xx ⎰-2arccos 2110解：原式()⎰-=x d x arccos 21021arccos 2 C C x x ar +-=+-=arccos 2cos 21010ln 211010ln 12124．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎰=331x arctgxd ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰dx x x arctgx x 2331131 dx xxx x arctgx x ⎰+-+-=23313131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 61613125．⎰-+dx x xx 1122解：令t x 1=，dt tdx 21-=原式dt t t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=222111111⎰⎰⎰----=-+-=dt tt tdt dt tt 2221111C t t +-+-=21arcsinC xx x+-+-=11arcsin 2 26．dx x a x ⎰+222 解：令atgt x =，tdt a dx 2sec = 原式dt t a ttg a t a ⎰=222sec sec ⎰⎰+==dt tt tt t t dt cos sin cos sin cos sin 2222dt tttdt ⎰⎰+=2sin cos sec C t tgt t +-+=sin 1sec lnC xx a a x a x a ++-++=2222lnC x a x a x ++-++=2222ln 27．()dx tgx e x 221⎰+解：原式()⎰+=dx tgx x e x 2sec 22 ⎰⎰+=tgxdx e xdx e x x 2222sec ⎰⎰+=tgxdx e dtgx e x x 222dx tgx e dx e tgx tgx e x x x ⎰⎰+⋅-=22222C t g xe x +=2 28．()()()⎰+++321x x x xdx解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=⎰⎰⎰3312421x dx x dx x dx()()()[]C x x x ++-+-+=1ln 3ln 32ln 421()()()C x x x ++++=34312ln2129．()⎰+xx dxsin cos 2解：令t x tg =2，则arctgt x 2=，212t dt dx +=，212sin t tx +=，2211cos t t x +-=，于是原式()⎰++=dt tt t 3122⎰⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=dt t t t 313322()⎰⎰+++=dt tt t d 131333122 ()C t t ++=3ln 313C x tg x tg +⎪⎭⎫⎝⎛+=232ln 31330．dx xxx x ex⎰-23sin cos sin cos 。
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。
对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。
对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。
对于常数项1，则积分结果是x。
将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。
2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。
对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。
3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。
对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。
4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。
因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。
5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。
对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。
6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。
不定积分例题及答案
第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法;思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分★1⎰思路: 被积函数52x -=,由积分表中的公式2可解; 解：532223x dx x C --==-+⎰★2dx-⎰ 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★322x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★43)x dx -思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★54223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分; 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★6221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分;解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出56两题的解题思路是一致的;一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分;★7x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分;解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★823(1dx x -+⎰思路:分项积分;解：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰ ★★9思路=11172488xx ++==,直接积分; 解：715888.15x dx x C ==+⎰ ★★10221(1)dx x x +⎰思路:裂项分项积分;解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x=-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★11211x x e dx e --⎰ 解：21(1)(1)(1).11x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰★★123x x e dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变,底数相乘;显然33x x x e e =（）;解：333.ln(3)x x x xe e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★132cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”;解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰★★1423523x xx dx ⋅-⋅⎰思路:被积函数 235222533x x x x ⋅-⋅=-（）,积分没困难; 解：2()2352232525.33ln 2ln 3x x xx x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★152cos 2x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分;解：21cos 11cos sin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰★★1611cos 2dx x +⎰ 思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分;解：221111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x===++⎰⎰⎰ ★17cos 2cos sin x dx x x -⎰ 思路:不难,关键知道“22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”;解：cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x dx x x dx x x C x x=+=-+-⎰⎰ ★1822cos 2cos sin x dx x x ⋅⎰ 思路:同上题方法,应用“22cos 2cos sin x x x =-”,分项积分;解：22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x-==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰★★19dx ⎰思路:注意到被积函数==,应用公式5即可;解：22arcsin .dx x C ==+⎰ ★★2021cos 1cos 2x dx x ++⎰思路:注意到被积函数 22221cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x++==++,则积分易得; 解：221cos 11tan sec .1cos 2222x x x dx xdx dx C x ++=+=++⎰⎰⎰ ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰,求()f x ;知识点：考查不定积分原函数与被积函数的关系;思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()d f x dx f x dx =⎰即可; 解：等式两边对x 求导数得：★3、设()f x 的导函数为sin x ,求()f x 的原函数全体;知识点：仍为考查不定积分原函数与被积函数的关系;思路分析：连续两次求不定积分即可;解：由题意可知,1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰（）;★4、证明函数21,2x x e e shx 和x e chx 都是s x e chx hx -的原函数 知识点：考查原函数不定积分与被积函数的关系;思路分析：只需验证即可;解：2x x e e chx shx =-,而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx ===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程; 知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数不定积分与被积函数的关系; 思路分析：求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可;解：设曲线方程为()y f x =,由题意可知：1[()]d f x dx x =,()ln ||f x x C ∴=+； 又点2(,3)e 在曲线上,适合方程,有23ln(),1e C C =+∴=,所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+★★6、一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是23(/)t m s ,问：（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少（2） 物体走完360米需要多少时间知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数不定积分与被积函数的关系; 思路分析：求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可;解：设物体的位移方程为：()y f t =,则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+d dt, 又因为物体是由静止开始运动的,3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=;1 3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米；2令3360t t =⇒=秒;习题4-2★1、填空是下列等式成立;知识点：练习简单的凑微分; 思路分析：根据微分运算凑齐系数即可;解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dx d x xdx d x x dx d x =-=--=-2、求下列不定积分;知识点：凑微分第一换元积分法的练习;思路分析：审题看看是否需要凑微分;直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握;此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍★13t e dt ⎰思路:凑微分;解：33311(3)33t t t e dt e d t e C ==+⎰⎰ ★23(35)x dx -⎰思路:凑微分; 解：33411(35)(35)(35)(35)520x dx x x x C -=---=--+⎰⎰d ★3132dx x -⎰思路:凑微分;解：1111(32)ln |32|.322322dx d x x C x x =--=--+--⎰⎰ ★4⎰ 思路:凑微分;解：1233111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+⎰ ★5(sin )xb ax e dx -⎰思路:凑微分;解：11(sin )sin ()()cos x x x b b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a-=-=--+⎰⎰⎰★★6思路:如果你能看到td =,凑出d 易解;解：2C ==+⎰ ★7102tan sec x xdx ⎰思路:凑微分;解：10210111tan sec tan (tan )tan .11x xdx xd x x C ==+⎰⎰ ★★8ln ln ln dx x x x ⎰思路:连续三次应用公式3凑微分即可;解：(ln ||)(ln |ln |)ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+⎰⎰⎰★★9tan ⎰思路:是什么,是什么呢就是这有一定难度解：ln ||C ==-+⎰⎰ ★★10sin cos dx x x ⎰思路:凑微分;解：方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =;方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数;方法三： 三角公式22sin cos 1x x +=,然后凑微分;★★11x x dx e e -+⎰思路:凑微分：222111()x x x x x x x x dx e dx de de e e e e e -===++++;解：22arctan 11()x x x x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++⎰⎰⎰ ★122cos()x x dx ⎰思路:凑微分;解：222211cos()cos sin 22x x dx x dx x C ==+⎰⎰ ★★13思路:22==凑微分易解; 解：1222211(23)(23)66x d x C -=-=---=⎰ ★★142cos ()sin()t t dt ωω⎰思路:凑微分;解：22211cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωωω==-⎰⎰⎰★★153431x dx x -⎰ 思路:凑微分;解：33444444433431313(1)ln |1|.44441111x x dx dx dx d x x C x x x x===--=--+----⎰⎰⎰⎰ ★163sin cos x dx x ⎰思路:凑微分;解：332sin 111cos .2cos cos cos x dx d x C x x x =-=+⎰⎰ ★★179思路:经过两步凑微分即可;解：9101010111010C ===+⎰ ★★18思路:分项后分别凑微分即可;解：=-⎰ ★★19 221dx x -⎰ 思路:裂项分项后分别凑微分即可;解：21212dx dx x ==-⎰⎰⎰ ★202(45)xdx x -⎰思路:分项后分别凑微分即可;解：22214541114(45)(45)5(45)2545(45)xdx x dx d x x x x x --=-=------⎰⎰⎰（）（） ★212100(1)x dx x -⎰思路:分项后分别凑微分即可;解：222100100100100100(11)(1)(1)1(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dx x dx x x dx x x x x x -+--==++-----⎰⎰⎰ ★★2281xdx x -⎰思路:裂项分项后分别凑微分即可;解：28444444111111()()241(1)(1)1111xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+⎰⎰⎰⎰ ★233cos xdx ⎰思路:凑微分;cos sin xdx d x =;解：3222cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰★★242cos ()t dt ωϕ+⎰思路:降幂后分项凑微分; 解：21cos 2()11cos ()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ωϕωϕωϕωϕω+++==+++⎰⎰⎰⎰★★★25sin 2cos3x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分;解：111sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102x xdx x x dx xd x xdx =-=-⎰⎰⎰⎰ ★★★26sin5sin 7x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分;解：111sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424x xdx x x dx xd x xd x =-=-⎰⎰⎰⎰ ★★★273tansec x xdx ⎰思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =;解：3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰★★28arccos x思路:(arccos )d x =-;解：arccos arccos arccos 1010arccos .ln10x xxd x C =-=-+⎰★★29思路:(arcsin )d x =;解：2arcsin 1arcsin (arcsin )d x C x x ==-+⎰★★★★30思路:==;解：==⎰★★★★31ln tan cos sin xdx x x ⎰思路:被积函数中间变量为tan x ,故须在微分中凑出tan x ,即被积函数中凑出2sec x , 解：2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x xdx dx d x xd x x x x x x===⎰⎰⎰⎰ ★★★★3221ln (ln )xdx x x +⎰思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+ 解：221ln 11(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x x x x x +==-+⎰⎰ ★★★★331x dxe -⎰解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以 x e ,则凑微分易得; 方法二： 思路:分项后凑微分 方法三：思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x e ,裂项后凑微分;★★★★346(4)dx x x +⎰解：方法一:思路：分项后凑积分;方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换; 令1x t =,则21dx dt t=-; ★★★★3582(1)dxx x -⎰解：方法一: 思路：分项后凑积分;方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换; 令1x t=,则21dx dt t =-; 6426422753751111(1)()(1)()211111111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++⎰⎰⎰⎰3、求下列不定积分;知识点：真正的换元,主要是三角换元第二种换元积分法的练习;思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式三角函数中,下列二恒等式起到了重要的作用;为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调;不妨将角的范围统统限制在锐角范围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可;★★★1⎰ 思路:令sin ,2x t t π=<,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式;解：令sin ,2x t t π=<,则cos dx tdt =;tan arcsin .2t t C x C =-+=+或arcsin x C =+ 万能公式sin 1cos tan 21cos sin tt tt t-==+,又sin t x =时,cos t★★★2⎰思路:令3sec ,(0,)2x t t π=∈,三角换元;解：令3sec ,(0,)2x t t π=∈,则3sec tan dx t tdt =;3sec x x =时,3cos ,sin tan x x x x===★★★3思路:令tan ,2x t t π=<,三角换元;解：令tan ,2x t t π=<,则2sec dx tdt =;★★★4思路:令a tan ,2x t t π=<,三角换元;解：令tan ,2x a t t π=<,则2a sec dx tdt =;★★★★52思路:先令2u x =,进行第一次换元；然后令tan ,2u t t π=<,进行第二次换元;解：2224112x x x +=+⎰,令2u x =得：212=,令tan ,2u t t π=<,则2sec du tdt =, 与课本后答案不同★★★6思路:三角换元,关键配方要正确;解：22549(2)x x x --=-+,令23sin ,2x t t π+=<,则3cos dx tdt =;★★4、求一个函数()f x ,满足'()f x =,且(0)1f =;思路:,由条件(0)1f =确定出常数C 的值即可;解：1(1).1x C x=+=+⎰⎰令()f x C =+,又(0)1f =,可知1C =-,★★★5、设tan ,n n I xdx =⎰,求证：1-21tan 1n n n I x I n -=--,并求5tan xdx ⎰; 思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n x 分开成22tan tan n x x -,进而写成：22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-,分项积分即可;证明：222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-⎰⎰⎰⎰ 习题4-3 1、求下列不定积分：知识点：基本的分部积分法的练习;思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分;”的原则进行分部积分的练习;★1arcsin xdx ⎰思路:被积函数的形式看作0arcsin x x ,按照“反、对、幂、三、指”顺序,幂函数0x 优先纳入到微分号下,凑微分后仍为dx ;解：21arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+-⎰⎰ ★★22ln(1)x dx +⎰思路：同上题;解：22222222ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x+=+-=+-++⎰⎰⎰ ★3arctan xdx ⎰思路：同上题;解：222(1)arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x+=-=-++⎰⎰⎰1★★42sin 2xx e dx -⎰ 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：22221111sin sin ()sin cos 22222222xx x x x x x x e dx d e e e dx ----=-=-+⎰⎰⎰ ★★52arctan x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：32332111arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x dx x ==-+⎰⎰⎰ ★6cos 2xx dx ⎰ 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin 2222222xx x x x x xx dx xd x dx x d==-=-⎰⎰⎰⎰ ★★72tan x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰d★★82ln xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222211ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x x=-⋅⋅=-=-+⋅⎰⎰⎰⎰★★9ln(1)x x dx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：22211ln(1)ln(1)ln(1)2221x x x x dx x d x x dx x -=-=---⎰⎰⎰★★1022ln xdx x ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x x=-=-+⋅=-+⎰⎰⎰⎰★★11cosln xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：1cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x =+⋅=+⎰⎰⎰ ★★122ln x dx x ⎰思路：详见第10 小题解答中间,解答略;★★13ln (1)nx xdxn ≠-⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：111111ln ln ln 111n nn n x x xdx xdx x x dx n n n x+++==-⋅+++⎰⎰⎰ ★★142xx e dx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222222x x x x x x x e dx x e e xdx x e xe e dx ------=-+=--+⎰⎰⎰★★1532(ln )x x dx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：32244241111(ln )(ln )()(ln )2ln 444x x dx x d x x x x x dx x==-⋅⋅⎰⎰⎰ ★★16ln ln xdx x ⎰思路： 将积分表达式ln ln xdx x写成ln ln (ln )xd x ,将ln x 看作一个整体变量积分即可; 解：ln ln 111ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x x x x==-⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰ ★★★ 17sin cos x x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：11111sin cos sin 2(cos 2)cos 2cos 222244x x xdx x xdx xd x x x xdx ==-=-+⎰⎰⎰⎰★★1822cos 2x x dx ⎰思路：先将2cos 2x 降幂得1cos 2x+,然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：2222221111cos (cos )cos 22222xx dx x x x dx x dx x xdx =+=+⎰⎰⎰⎰ ★★192(1)sin 2xxdx -⎰思路：分项后对第一个积分分部积分;解：22211(1)sin 2sin 2sin 2(cos 2)cos 222x xdx x xdx xdx x d x x -=-=-+⎰⎰⎰⎰★★★20⎰思路：首先换元,后分部积分;解：令t =,则32,3,x t dx t dt ==★★★212(arcsin )x dx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：22(arcsin )(arcsin )x dx x x x =-⎰⎰222(arcsin )2(arcsin )2(arcsin )2.x x x x x x dx x x x x C =+-=+-=+-+⎰★★★222sin x e xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：方法一： 方法二：★★★23思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：ln(1))1x d x x =++-+⎰⎰令t=则2,dx tdt =所以原积分)4arctan x C=+-++;★★★24ln(1)x x e dx e +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：ln(1)ln(1)()ln(1)1x x x x x x xx xe e dx e d e e e e dx e e---+=+-=-+++⎰⎰⎰ 注：该题中11x dx e +⎰的其他计算方法可参照习题4-2,233; ★★★251ln 1xx dx x +-⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：2222111111111lnln ()ln 1122121(1)x x x x x xx dx d x x x dx x x x x x +++--++==-⋅---+-⎰⎰⎰ 注： 该题也可以化为 1ln[ln(1)ln(1)]1xx dx x x x dx x+=+---⎰⎰再利用分部积分法计算; ★★★26sin 2cos dxx x ⎰思路：将被积表达式sin 2cos dxx x 写成22sec tan 2sin 2sin 2sin cos dx xdx d x x x x x ==,然后分部积分即可; 解：22sec tan sin 2cos 2sin 2sin 2sin cos dx dx xdx d xx x xx x x ===⎰⎰⎰⎰2、 用列表法求下列不定积分;知识点：仍是分部积分法的练习;思路分析：审题看看是否需要分项,是否需要分部积分,是否需要凑微分;按照各种方法完成;我们仍然用一般方法解出,不用列表法;★13xxedx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：33333331111111()3().3333933x x x x x x xxe dx xd e xe e dx xe e d x x e C ==-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★2(1)xx e dx +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：(1)(1)(1)x x x x x x e dx x de x e e dx xe C +=+=+-=+⎰⎰⎰;★32cos xxdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：2222cos sin sin 2sin sin 2cos x xdx x d x x x x xdx x x xd x ==-=+⎰⎰⎰⎰★42(1)x xe dx -+⎰思路：分项后分部积分即可;解：222(1)()x x x x x x e dx x e dx e dx x d e e dx -----+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰★5ln(1)x x dx +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222111ln(1)ln(1)()ln(1)-2221x x x dx x d x x x dx x +=+=++⎰⎰⎰★6cos xe xdx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：cos cos ()cos sin xx x x exdx xd e e x e xdx ----=-=--⎰⎰⎰★3、已知sin xx是()f x 的原函数,求()xf x dx '⎰; 知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习;思路分析：积分 ()xf x dx '⎰中出现了()f x ',应马上知道积分应使用分部积分, 条件告诉你sin xx是()f x 的原函数,应该知道sin ().xf x dx C x=+⎰解：()()()()xf x dx x f x xf x f x dx '=-⎰⎰⎰d()=又2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x xf x dx C f x xf x x x x --=+∴=∴=⎰★★4、已知()xe f x x=,求()xf x dx ''⎰;知识点：仍然是分部积分法的练习;思路分析：积分()xf x dx ''⎰中出现了(f x '',应马上知道积分应使用分部积分; 解：()(())()()()().xf x dx xd f x xf x f x dx xf x f x C ''''''==-=-+⎰⎰⎰又22(1)(1)(,(),();x x x x x e xe e e x e x f x f x xf x x x x x---''∴=∴)=== ★★★★5、设n I =sin n dx x ⎰,(2)n ≥；证明：211cos 21sin 1n n n x n I I n x n ---=-⋅+--; 知识点：仍然是分部积分法的练习; 思路分析：要证明的目标表达式中出现了n I ,1cos sin n x x -和2n I - 提示我们如何在被积函数的表达式1sin n x中变出1cos sin n xx- 和21sinn x- 呢这里涉及到三角函数中1的变形应用,初等数学中有过专门的介绍,这里1可变为22sin cos x x +;证明：22sin cos x x +1=2222222221222-1sin cos cos sin cos 1sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n n n n n dx x x x x x I dx dx dx dx dx x xx x x x x x dx I d x I x x x x x n x x x x dx I x x x I x -----+∴===+=+=+=+-⋅-=-⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222212222112.1cos cos 1sin sin sin sin cos cos (2)sin sin 1cos 21sin 1n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x n dx I I n dx I x x x x x I nI nI I nI n I x xx n I I n x n --------------++=+++=++-+=+---∴=-⋅+--⎰⎰★★★★6、设f x ()为单调连续函数,f x -1()为其反函数,且()()f x dx F x C =+⎰ ,求：1fx x -⎰()d ;知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系,还有就是分部积分法的练习; 思路分析：要明白1(())x f f x -=这一恒等式,在分部积分过程中适时替换;解：f x x x f x x f x ⎰⎰-1-1-1()d =()-d(())又1(())x f f x -=又()()f x dx F x C =+⎰习题4-41、 求下列不定积分知识点：有理函数积分法的练习;思路分析：被积函数为有理函数的形式时,要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式,若是假分式,通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析;★133x dx x +⎰思路：被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分; 解：3327272739333x x x x x x x +-==-+-+++2 ★★★2 5438x x dx x x +--⎰思路：被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分; 解：545342323338()()()881,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+-+-++-+-==+++---22而3(1)(1),xx x x x -=+-令23811x x A B C x x x x x +-=++-+-,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：118A B C C B A ++=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解此方程组得：843A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩★★★3331dx x +⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：321(1)(1)x x x x +=+-+,令323111A Bx Cx x x x +=+++-+等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：⎧⎪⎨⎪⎩A+B=0B+C-A=0A+C=3解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩★★★431(1)x dx x +-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：令32311(1)(1)(1)x A B Cx x x x +=++----,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0,21,1A B A A B C =-=-+=,解此方程组得：0,1,2A B C ===;★★★5332(1)x dx x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：3333232(1)(1)(1)x x x x x x +=++++,令32321(1)(1)(1)A B C Dx x x x x x =+++++++等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0320302A B A B C A B C D A +=⎧⎪++=⎪⎨+++=⎪⎪=⎩解此方程组得：2222A B C D =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩;★★★62(2)(3)xdxx x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：22222222(2)(3)(2)(3)(2)(3)(2)(3)x x x x x x x x x x x +-+==-++++++++ 2212(3)(2)(3)x x x =-+++；令22223(2)(3)(3)A B Cx x x x x =+++++++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：06509622A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解此方程组得：2222222223(2)(3)(3)2A B x x x x x C =⎧⎪=-∴=--⎨+++++⎪=-⎩★★★7331xdx x -⎰思路：将被积函数裂项后分项积分;解：332333(1)3331111x x x x x x x -+==+--++- 令323111A Bx C x x x x +=+--++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 003AB A BC A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩而222222131313(21)(21)(21)2222222111111x x x x x x x x x x x x x x x x +++++==+=+++++++++++++ ★★★82221(1)x x dx x --+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分;解：22222222112(1)1(1)(1)x x x x x x x --=--+++++又由分部积分法可知：222212(1)11dx x dx x x x =++++⎰⎰★★★9(1)(2)(3)xdxx x x +++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：3313(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x x +-==-+++++++++++令3(1)(2)(3)123A B Cx x x x x x =++++++++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：054306323A B C A B C A B C ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：333233223(1)(2)(3)12332A B x x x x x x C ⎧=⎪⎪=-∴=-+⎨++++++⎪⎪=⎩而111(1)(2)12x x x x =-++++★★★10221(1)(1)x dx x x ++-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：22222112121(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x +-+==+++-+-+- 令22211(1)(1)(1)A B Cx x x x x =++-++-+,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0,20,2A B A C A B C +=+=--=；解之得：11,,122A B C ==-=-;★★★1121(1)dx x x +⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：令221(1)1A Bx Cx x x x +=+++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 001A B C A +=⎧⎪=⎨⎪=⎩解之得：221111(1)10A xB x x x xC =⎧⎪=-∴=-⎨++⎪=⎩★★★1222()(1)dxx x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：22211()(1)(1)(1)x x x x x x =++++令22211()(1)1A B Cx Dx x x x x x +=++++++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 0,0,0,1A B C A C D A B D A ++=++=++==,解之得：★★★★★1341dx x +⎰思路：将被积函数裂项后分项积分;解：4221(1)(1)x x x +=+-++令411x =++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0001A C B D A C B D +=⎧+-+=++-=⎪⎪+=⎩解之得：412412A B C D ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩注：由导数的性质可证21)1)arctan1x ++-=-本题的另一种解法：注：由导数的性质可证22arctan21xπ=+-; ★★★★★142222(1)x dx x x --++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：222222211(1)(1)x x x x x x x x --++-+=-++++ 又22223112122(1)11x dxdx x x x x x x +=+++++++⎰⎰ 注：本题再推到过程中用到如下性质：本性质可由分部积分法导出;若记22()n ndxI x a =+⎰,其中n 为正整数,0a ≠,则必有：122211[(23)]2(1)()n n n xI n I a n x a --=+--+; 2、 求下列不定积分知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习;思路分析：求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成;★★123sin dxx+⎰思路：分子分母同除以x 2sin 变为2csc x 后凑微分;解：2222()csc cot 63sin 3csc 13cot 4d x dx xdx d x x x x ==-=-+++⎰⎰⎰⎰★★23cos dxx+⎰思路：万能代换解：令tan 2xt =,则22212cos ,;11t dt x dx t t -==++ 注：另一种解法是：★★32sin dxx+⎰思路：万能代换 解：令tan2x t =,则2222sin ,;11t dt x dx t t ==++ ★★41tan dx x+⎰思路：利用变换tan t x =万能代换也可,但较繁 解：令tan t x =,则2arctan ,;1dtx t dx t ==+ ★★51sin cos dxx x++⎰思路：万能代换解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++ ★★652sin cos dxx x+-⎰思路：万能代换解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++而22133221(33dt C t t ===++++⎰ ★★★★7(54sin )cos dxx x+⎰思路一：万能代换解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++ 而22244(585)(1)(585)(1)(1)t t t t t t t =++-++-+,令22411(585)(1)(1)585At B C Dt t t t t t t t +=++-+++-+++,等式右边通分后比较两边分子t 的同次项的系数得：55013301330554A C DBCD A C D B C D ++=⎧⎪++=⎪⎨-+-=⎪⎪+-=⎩解之得：116,;916C D ⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩5A=27B=8 2222221191110891161161458585851191110871()(54sin )cos 161161458585851191110871(54sin )cos 161161458585851ln 16t t t t t t t dx t dt x x t t t t t t dx t dt dt dt dt x x t t t t t t t +=⋅-⋅+⋅-⋅-++++++∴=-⋅+⋅-⋅-⋅+-++++++∴=-+--+-+++++=--⎰⎰⎰⎰⎰22917541ln 1ln(585)arctan()1642435tan 419172ln tan 1ln tan 1ln(5tan 8tan 5)arctan()162162422243t t t t C x x x x x C +++-++-++=--++-++-+思路二：利用代换sin t x = 解：令sin t x x π=，<2,则dxx ==令21(54)(1)5411A B Ct t t t t =+++-+-+,等式右边通分后比较两边分子t 的同次项的系数得：44090551A B C B C A B C ++=⎧⎪+=⎨⎪-+-=⎩解之得:216911161111118(54)(1)9541812112A B t t t t t C ⎧=⎪⎪⎪=∴=⋅+⋅-⋅⎨+-+-+⎪⎪=-⎪⎩注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单★★★★81sin (1cos )sin xdx x x++⎰思路：将被积函数分项得,对两个不定积分分别利用代换cos t x =和万能代换 解：1sin 11(1cos )sin (1cos )sin 1cos x x x x x x+=++++对积分1(1cos)sin dx x x+⎰,令cos ,(0,)t x x π=∈,则dx x == 令22111(1)(1)(1)A B Ct t t t t =++-++-+,等式右边通分后比较两边分子t 的同次项的系数得：0201A B A C A B C +=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解之得：221411111111441412(1)(1)(1)12A B t t t t t C ⎧=⎪⎪⎪=-∴=⋅-⋅-⋅⎨-++-+⎪⎪=-⎪⎩对积分11cos dx x+⎰,令22212tan ,os ,211x t dt t c x dx t t -===++★★9思路：变无理式为有理式,变量替换t =解：令t =则 321,3;x t dx t dt +==★★103思路：变无理式为有理式,变量替换t =;解：令2,2;t x t dx tdt ===★★11思路：变无理式为有理式,变量替换t =解：令21,2;t x t dx tdt =+==222122222(2)1111124444ln 11)1t t t t t tdt dt dt t dtt t t t tdt dt dt t t t C x Ct---∴====-+++++=-+=-+++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰★★★12思路：变无理式为有理式,变量替换t =; 解：令87,8;t x t dx t dt ===★★★133思路：变无理式为有理式,三角换元; 解：令2tan ,,sec .2x t t dx tdt π=<=则★★★14 思路,三角换元;解：令sin ,;2x a t t π=<则cos dx a tdt =；注： 另一种解法,分项后凑微分;★★★15思路：换元;解：令11x t x +=-,则22.(1)dx dt x -=- 总习题四★1、设()f x 的一个原函数是2x e -,则()().f x =A 2x e -B -22x e -C -42x e -D 42x e - 知识点：原函数的定义考察; 思路分析：略; 解：B;★2、设()arcsin xf x dx x C =+⎰,则()dxf x =⎰; 知识点：原函数的定义性质考察;思路分析：对条件两边求导数后解出()f x 后代入到要求的表达式中,积分即可; 解：对式子()arcsin xf x dx x C =+⎰两边求导数得：★★3、设222(1)ln 2x f x x -=-,且(())ln f x x ϕ=,求()x dx ϕ⎰;知识点：函数的定义考察;思路分析：求出()f x 后解得()x ϕ,积分即可; 解：22222111()1(1)ln ln ,()ln ,(())ln ,1()1211x x t x f x f t f x t x x x ϕϕϕ-+++-==∴=∴=-----又()11(())ln ,,()()11x x f x x x x x x ϕϕϕϕ++=∴∴=--=;★★★4、设F()x 为()f x 的原函数,当>0x 时,有2()F()sin 2f x x x =,且(0)1F =, ()0F x ≥试求()f x ;知识点：原函数的定义性质考察;思路分析：注意到()()dF x f x dx =,先求出()F x ,再求()f x 即可; 解：22()()sin 2()()sin 2f x F x x f x F x dx xdx =∴=⎰⎰；即2221()()sin 2,(())sin 2,2F x dF x xdx F x xdx =∴=⎰⎰⎰ 又21(0)1,1;(())sin 41;(0.)4F C F x x x x =∴=∴=-+>又()0,()F x F x >∴=又22()()sin 2,()f x F x x f x =∴=5、求下列不定积分; 知识点：求不定积分的综合考察; 思路分析：具体问题具体分析;★★1⎰思路：变无理式为有理式,变量替换t =解：令t =则222,,55t tx dx dt -==- ★21)x >⎰思路：变无理式为有理式,变量替换sec x t =; 解：令sec ,02x t t π=<<,则sec tan dx t tdt =;★★★32394x xx x dx -⎰思路：将被积函数2394x x x x - 变为2222()33221[()]1()33x xx xx x --=后换元或凑微分;解：令2()3x t =,则22()ln 33x dt dx =;★★4266(0)x dx a a x >-⎰思路：凑微分;解：23336666632111133()x dx dx dx t x a xa x a x ===---⎰⎰⎰,令, ★★5思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元; 解：方法一：(1dx x =+⎰令11sec ,0,222x tt π+=<<,则1sec tan ;2dx ttdt = 方法二：22(1dxx ==+⎰⎰令2t=∴=再令tan ,2t z z π=<,则2sec ,dtzdz =★★★610(2)dxx x +⎰思路：倒代换解：令1x t =，,则21,dx dt t =-★★★★77cos 3sin 5cos 2sin x xdx x x -+⎰思路：大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分,一般思路是将被积函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式,然后分项分别积分即可;解：7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )x x x x x x '-=+++★★★★8 (1sin )1cos x e x dx x ++⎰思路：分项积分后对前一积分采用分部积分,后一积分不动;解：2(1sin )sin ()(tan )1cos 1cos 1cos 22cos 2x x x xx e x e e xe xdx dx e dx x x x x +=+=++++⎰⎰⎰ ★★★★6、求不定积分：23()()()[]()()f x f x f x dx f x f x ''-''⎰知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性;思路分析：分项后,第二个积分显然可凑现成的微分,分部积分第二个积分,第一个积分不动,合并同种积分,出现循环后解出加一个任意常数即可;解：2233()()()()()()[]()()()()f x f x f x f x f x f x dx dx dx f x f x f x f x ''''-=-''''⎰⎰⎰ 而22223333()()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x f x dx df x f x f x d f x f x f x f x '''''==-''''⎰⎰⎰ ★★★★7、设tan (1)n n I xdx n =>⎰，,求证：121tan 1n n n I x I n --=--，,并求5tan xdx ⎰; 知识点：分部积分法考察,三角恒等式的应用,凑微分等;思路分析：由要证明的目标式子可知,应将tan n x 分解成22tan tan n x x -,进而写成22tan (sec 1)n x x --,分部积分后即可得到2n I -;证明：2222tan tan tan tan (sec 1)n n n n I xdx x xdx x x dx --===-⎰⎰⎰22121tan tan tan tan 1n n n n xd x xdx x I n ----=-=--⎰⎰; ★★★8、().B = 思路：化无理式为有理式,三交换元; 解：11x x +=-令sin ,2x t t π=<,则cos dx tdt =;★★★9、设不定积分1(1)xxdx x xe +=+⎰1I ,若x u xe =,则有()D ; 思路：x u xe =,提示我们将被积函数的分子分母同乘以x e 后再积分;解：1(1)(1)(1)x x x xx e x dx dx x xe e x xe ++==++⎰⎰1I 又()(1);x x x du e xe dx e x dx =+=+2,(1)duI u u ∴==+⎰1I 选()D ;10、求下列不定积分:知识点：求无理函数的不定积分的综合考察; 思路分析：基本思路——将被积函数化为有理式;★★★★1、思路：先进行倒代换,在进行三角换元 ; 解：令1x t =,则21dx dt t=-; 令2tan ,02tu u π=<<,则22sec dtudu =;★★★2、.思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令sec ,02x t t π=<<,则sec tan ,dx t tdt =注： 11(arccos )(arcsin )xx''=-★★★3、.思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令sin ,02x t t π=<<,则cos dx tdt =；★★★★★4、思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令sin ,02x t t π=<<,则cos dxtdt =；★★★5、思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令2sin ,02x t t π=<<,则2cos dx tdt =；11、求下列不定积分:知识点：较复杂的分部积分法的考察;思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分;★★★1、ln(x dx +⎰思路：分部积分;解：ln(ln(x dx x x dx +=+-+⎰★★2、2ln(1)x dx +⎰思路：分部积分;解：222222222(1)2ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x dx x x dx x x +-+=+-=+-++⎰⎰⎰ 2221ln(1)22ln(1)22arctan 1x x dx dx x x x x C x=+-+=+-+++⎰⎰; ★★★★3、4tan sec x x xdx ⎰思路：分部积分; 解：4343tan sec sec sec sec sec (sec x x xdx x xd x x x x x ==-⎰⎰⎰★★★4、22arctan 1x xdx x +⎰思路：分项后分部积分;解：22222111arctan arctan arctan arctan 111x x xdx xdx xdx xdx x x x +-==-+++⎰⎰⎰⎰ ★★★★5、23ln(1)x dx x +⎰思路：分部积分后 倒代换;解：22222232ln(1)111ln(1)()ln(1)22221x x dx x d x x x xdx xx ---+=+-=-+++⎰⎰⎰ 对于积分2(1)dx x x +⎰应用倒代换,令1x t =,则21dx dt t =-, ★★★6、1cos xdx x +⎰思路：将被积函数变形后分部积分; 解：2221sec sec tan 1cos 222222cos 2xx x x x x dx dx x dx x d xd x x====+⎰⎰⎰⎰⎰ 11cos tanln tan ln 1cos 222x x xx C x x C +=++=+++; ★★★12、求不定积分:,n x n I x e dx n =⎰为自然数;知识点：较复杂的分部积分法的考察;思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分,推一个递推关系式; 解：1x I xe x C =-+★★★13、求不定积分:2(23)cos 2.x x xdx -+⎰知识点：较复杂的分部积分法的考察;思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分,分项后分别积分; 解：22(23)cos2cos22cos23cos2x x xdx x xdx x xdx xdx -+=-+⎰⎰⎰⎰14、求下列不定积分:知识点：求解较复杂的有理函数和无理函数的不定积分; 思路分析：基本思路——有理式分项、无理式化为有理式;★★★★1、118432x dxx x ++⎰思路：将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式,然后积分;。
不定积分习题(含答案)
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
(整理)§4不定积分习题与答案.
3、 (1) ln csct cot t c
（ 2） 2( x cos x sin x ) c
x2 4
2
（ 3） 2(tan
arccos ) c
2
x
a2
x
(4) (arcsin
2
a
x a2
a2
x2)
c
x
(5)
c
1 x2
(6) 2x ln(1 2x) c
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1 (7) (arcsin x ln x
(3) ln x 1 ln( x 2 1) c 2
(4) ln x
1 ln x 1
1 ln( x2
1)
1 arctanx
c
2
4
2
1 x2 1
3
2x 1
(5) 2 ln x2 x 1
arctan 3
3
c
1、 设曲线 y
(B)
f ( x) ，由导数的几何意义： y
11 ， dx
ln x
c ，点 (e2 ,3) 代入即可。
１） (3 2x) 3dx
dx
２）
3 2 3x
３） sin t dt t
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dx
４）
x ln xln(ln x)
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５）
dx
cos x sin x
７） x cos(x2 ) dx
dx
６）
ex e x ８） 3 x3 dx
1 x4
９）
sin x
3
dx
cos x
10）
1 x dx
9 4x2
dx
x2 )
c
3
高等数学不定积分练习题及答案
不定积分练习题A一、填空题 1. 已知22xe是()f x 的一个原函数，则()f x dx '=⎰ 24x e C +，()f x dx =⎰ 22xe C +，(sin )cos f x xdx =⎰2sin 2xe C +，(1)f x dx +=⎰ 2(1)2x e C ++，()xf x dx '=⎰ 22(21)xx e C -+.2. 若(2)2cos f x dx x C =+⎰，则()f x =2sin2x- .（两边求导得(2)2sin f x x =-，再换元） 3. 过点(1,1) 且在任一点(,)x y 处切线斜率为x 的曲线方程为722577y x =+.4. 若2()f x dx x x C =++⎰，则(21)f x dx +=⎰ 21[(21)21]2x x C ++++ .5. 若()1xf e x '=+ ，则()f x =ln x x C + . （由已知()1ln f x x '=+，再积分即可）6. 若()f x 具有连续的一阶导数，则[]()()x e f x f x dx '+=⎰()xe f x C + .（后半部分用分部积分可与前半部分抵消） 二、计算题1. 解：4232211(1)arctan 113x dx x dx x x x C x x =-+=-++++⎰⎰ ； 2. 解：32222222()1111111(1)ln(1)22122x xdx x dxx x x d x x x C x =-++=-+=-+++⎰⎰⎰ ；3. 解：3231sin (1cos )cos cos cos 3xdx x d x x x C =--=-++⎰⎰；4. 解：2222222112221(25)22522525225(1)2x x d x x dx dx dx dx x x x x x x x x x +--+=+=+-+-+-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 211ln 25arctan 22x x x C -=-+++ ； 5. 解：222223(310)ln 310310310x d x x dxdx x x C x x xx ++-==+-++-+-⎰⎰； 6. 解：212C== ；7. 解：212C =-= ；8. 解：23cos 1sin 3cos 33(csc sin )3sin sint t dxtdt dt t t dt x t t-===-⎰⎰⎰⎰ 3ln csc cot 3cos tt t C C =-++=+ ；9. 解：当0x >时，223tan3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec tt tdt tdt t dt t===-⎰⎰⎰ 33tan 33arccos t t C C x=-+=+ ，当0x <时，333arccos 3arccos x u du C C u x =-==+=+-，所以dx x⎰33arccos C x=+； 10.解：231sec cos sin sec dx tdt tdt t C C t ===+=+⎰⎰ ； 11.解：2222221arctan arctan arctan arctan (1)11t tdt t t dt t t dt t t==-=--++⎰⎰⎰⎰2arctan arctan (1)t t t t C x C =-++=+； 12.解：22222ln(1)2(ln(1)2)1t t dt t t dt t =+=+-+⎰⎰22ln(1)44arctan )4arctan t t t t C x C =+-++=+- ；B1. 求下列不定积分1. 解：3432536411tan sec tan sec tan (tan tan )tan tan tan 64x xdx x xd x x x d x x x C ⋅=⋅=-=-+⎰⎰⎰； 2.解：sin()sin()cos()sin 14444sin cos 2))44x x x xdx dx dx x x x x ππππππ+-+-+==+++⎰⎰⎰ 11(1cot()(ln sin())2424x dx x x C ππ=-+=-++⎰； 3. 解：2223232111111cos (1cos 2)sin 2sin 2sin 2264642x xdx x x dx x x d x x x x x xdx ⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰32321111111sin 2cos 2sin 2cos 2cos 26446444x x x xd x x x x x x xdx =++=++-⎰⎰ 321111sin 2cos 2sin 26448x x x x x x C =++-+； 4.t =，则211x t =-， 原式222221111ln(1)ln(1)442ln(1)()11(1)(1)111(1)t dt t t d dt t t t t t t t t ++=+=-=------+--++⎰⎰⎰ 2ln(1)111ln(1)ln(1)1442(1)t t t C t t +=--++-+-+1ln(14x C =+； 5. 解：2222arctan 111arctan arctan arctan 222x x x x xx x x e dx e de e e e d e e ---=-=-+⎰⎰⎰ 222222111111arctan arctan arctan 22(1)22122x x x x x x x x x x x e de e e dx e e e e C e e e -----=-+=-+=-++++⎰⎰；6.t =，则2ln(1)x t =+，原式2222222(1)ln(1)ln(1)2ln(1)2ln(1)41t t t d t t dt t t dt t t ++=+=+=+-+⎰⎰⎰22ln(1)44arctan 2t t t t C C =+-++=；7.解：2242221111()1111()2d x x x x x dx dx C x x x x x+--+===+++-+⎰⎰⎰； 8. 解：2222444222211111111111111212122x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x +-+-=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰22111()()111122()2()2d x d x x x x C x x x x -+-=-=+-++-⎰⎰； 9. 解：当0x ≥时，xx x e dx e dx e C ---==-+⎰⎰，. 当0x <时，1xx x edx e dx e C -==+⎰⎰，所以1,0,0x xx e C x e dx e C x --⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩⎰，又因为1,0,0x xx e C x e dx e C x --⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩⎰可导，故函数连续，所以111C C +=-，所以12C C =-，所以,02,0x xx e C x e dx e C x --⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩⎰.2. 已知函数2(1), 1()ln , 1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，求()f x 的一个原函数.解：记1()()xF x f t dt =⎰，则()F x 为()f x 的一个原函数，当1x ≥时，1()ln ln 1xF x tdt x x x ==-+⎰，当1x <时，21()2(1)(1)xF x t dt x =-=-⎰，所以2ln 1,1()(1),1x x x x F x x x -+≥⎧=⎨-<⎩.。
大一不定积分习题及答案
大一不定积分习题及答案大一不定积分习题及答案大一的不定积分是数学系学生必修的一门课程，它是微积分的重要组成部分。
不定积分是求解函数的原函数的过程，也被称为反导数。
在学习不定积分的过程中，习题是非常重要的，通过解答习题，可以加深对知识点的理解和掌握。
下面将介绍一些常见的大一不定积分习题及其答案。
1. 求解∫(2x + 3)dx解答：根据不定积分的性质，可知∫(2x + 3)dx = ∫2xdx + ∫3dx。
对于∫2xdx，根据幂函数的不定积分公式，可以得到∫2xdx = x^2 + C1，其中 C1为常数。
对于∫3dx，根据常数函数的不定积分公式，可以得到∫3dx = 3x +C2，其中 C2 为常数。
因此，原式的解为 x^2 + 3x + C，其中 C = C1 + C2。
2. 求解∫(sinx + cosx)dx解答：根据不定积分的性质，可知∫(sinx + cosx)dx = ∫sinxdx + ∫cosxdx。
对于∫sinxdx，根据三角函数的不定积分公式，可以得到∫sinxdx = -cosx + C1，其中 C1 为常数。
对于∫cosxdx，同样根据三角函数的不定积分公式，可以得到∫cosxdx = sinx + C2，其中 C2 为常数。
因此，原式的解为 -cosx + sinx + C，其中 C = C1 + C2。
3. 求解∫(e^x + 2x)dx解答：根据不定积分的性质，可知∫(e^x + 2x)dx = ∫e^xdx + ∫2xdx。
对于∫e^xdx，根据指数函数的不定积分公式，可以得到∫e^xdx = e^x + C1，其中 C1 为常数。
对于∫2xdx，根据幂函数的不定积分公式，可以得到∫2xdx =x^2 + C2，其中 C2 为常数。
因此，原式的解为 e^x + x^2 + C，其中 C = C1 +C2。
4. 求解∫(1/x)dx解答：对于∫(1/x)dx，根据分式函数的不定积分公式，可以得到∫(1/x)dx = ln|x| + C，其中 ln|x| 表示以 e 为底的自然对数。
(完整word版)高等数学课后习题及参考答案第四章
高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231.(3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx x x 21; 解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x mn mC x mn dx x dx x mn m m n m nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx x x 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224. (15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx x e e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532;解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为y =ln|x |+1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解 设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e xch x 都是x x e x sh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x +e x ch x =e x (sh x +ch x )x x x x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x +e x sh x =e x (ch x +sh x )x x x x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332x dx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d x dx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2.(11)⎰-+dx ee x x 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ;解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d xx dx x x x x +--=-+⎰⎰C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx x x 239;解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421.(35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+x dx 21; 解C x x C t t dt t tdt t tx xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan .(40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解 因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d x x x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x xx x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解 因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458;解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx x x x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222. 8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u x u dxx 221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u x u dxx 221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17. ⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解 ⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dxx x )122(221111111令C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4x x dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解 令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxx x x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx.解 令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u u dx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662. 4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln . 6. ⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9. ⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax axax ax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e b a ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e e dxx x)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x xdx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12. 16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a ++=tan 1tan 31434C xa x a x a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241x xdx;解tdt t t tx x xdx2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx .24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444. 25.⎰-416x dx; 解⎰⎰⎰++-=+-=-dx xx dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx x xx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x ex23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x e x x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dxx x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x xC t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C e e x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xde d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x x xx de e e e x )111(1C e e e x x x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x ++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ; 解 因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t tx dx x 2232/321sin cos secsec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx xx xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令 ⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。
高等数学不定积分例题和答案
高等数学不定积分例题和答案(1)解：(dx x ==+-⎰⎰(x +⎰，令t =2;dx tdt =2425315322122((1)22()5322(53x t t tdt t t dt t t C x x x C ∴+=+=+=++∴+=++⎰⎰⎰⎰⎰，令u =2;dx udu =242532532225533222222(1)22()5322(1)(1)5322[(1)][(1)].53u u udu u u du u u C x x C x x x x C ∴=-=-=-+∴=+-++∴=-++++++⎰⎰⎰⎰ (3)解：887888881(1)(1)(1)(1)1x dx x dx x dx dx dx x x x x x x x x x-=-=-+++++⎰⎰⎰⎰⎰ 对8(1)dx x x +⎰采用倒代换，令1x t=，则21dx dt t =-。
788182888111()ln(1)1(1)18181dx t t dt dt dt t C x x t t t t∴=-=-=-=-++++++⎰⎰⎰⎰ 111ln();8x C x+=-+88 78828811ln(1);8811x x dx x C x x ==++++⎰⎰d888811111ln()ln(1)ln ln(1).(1)884x x dx x C x x C x x x -+∴=--++=-+++⎰88 （5）、2(23)cos 2.x x xdx -+⎰解：22(23)cos2cos22cos23cos2x x xdx x xdx x xdx xdx -+=-+⎰⎰⎰⎰ 213sin 2sin 2cos 222213(sin 22sin 2)(sin 2sin 2)sin 222113(sin 2cos 2)(sin 2sin 22)sin 222211113sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 22222211sin 2c 22x d x xd x xd x x x x x x x x xdx x x x xd x x x xd x x x x x x xdx x x x x x x x =-+=--=+-=+---+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222d -+-+2113os 2sin 2sin 2cos 2sin 24221511()sin 2()cos 2.2422x x x x x x C x x x x x C --++=-++-+- (7)解：22222111arctan arctan arctan arctan 111x x xdx xdx xdx xdx x x x +-==-+++⎰⎰⎰⎰ 222arctan arctan arctan 111arctan ln(1)(arctan ).22x x x dx xd x x x x x x C =--+=-+-+⎰⎰ (9)解：令2sin ,02x t t π=<<，则2cos dx tdt =；2cos 11csc ln csc cot 2sin 2cos 2sin 22121ln .22tdt dt tdt t t C t t t C C x ∴====-+=+=+⎰⎰⎰（7）解：2233()()()()()()[]()()()()f x f x f x f x f x f x dx dx dx f x f x f x f x ''''-=-''''⎰⎰⎰ 而22223333()()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x f x dx df x f x f x d f x f x f x f x '''''==-''''⎰⎰⎰ 245226()2()()3()()()()()()f x f x f x f x f x f x f x dx f x f x ''''-'=-''⎰ 2223()()()()23()()()f x f x f x f x dx dx f x f x f x ''=-+'''⎰⎰ 2223232232()()()()()()()[]3[]()()()()()()()()1()[].()2()()f x f x f x f x f x f x f x dx dx f x f x f x f x f x f x f x f x f x dx C f x f x f x ''''∴-=-+-'''''''∴-=+'''⎰⎰⎰解：7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )x x x x x x '-=+++7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )5cos 2sin 5cos 2sin (5cos 2sin )(5cos 2sin )[1]5cos 2sin 5cos 2sin (5cos 2sin )ln 5cos 2sin .5cos 2sin x x x x x x dx dx x x x xx x d x x dx dx x x x xd x x dx x x x C x x'-+++∴=++'++=+=++++=+=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：令2tan ,,sec .2x t t dx tdt π=<=则3323223tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec sec 1sec sec .3t tdt t tdt td t t d t t t t C C ∴====-=-+=⎰⎰⎰⎰解：令t=则321,3;x t dx t dt+==22231333(1)333ln111123ln1.t dt t dtt dt dt t t t Ct t tC∴===-+=-++++++=+⎰⎰⎰⎰解：令tan2xt=，则2222212sin,cos,;111t t dtx x dxt t t-===+++222221ln1ln1tan2112111dtdt xt t C Ct t tt t+∴==++=++-+++++⎰⎰解：令221(1)1A Bx Cxx x x+=+++，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：01A BCA+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解之得：221111(1)1AxBx x x xC=⎧⎪=-∴=-⎨++⎪=⎩222221111ln(1)2(1)111ln ln(1).2xdx dx dx x d xxx x x xx x C C∴=-=-++++=-++=+⎰⎰⎰⎰()f x()xf x dx'⎰解：()()()()xf x dx x f x xf x f x dx'=-⎰⎰⎰d()=又2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x xf x dx C f x xf xx xx--=+∴=∴=⎰cos sin sin2()cos sin Cx x x xxf x dx C x xx x x-'∴=-+=-+⎰二、求一个函数()f x,满足'()f x=(0)1f=。
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不定积分
一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 如果x
e
-是函数()f x 的一个原函数，则
()f x dx =⎰。
2. 若()2cos 2
x
f x dx C =+⎰，则()f x = 。
3. 设1
()f x x
=，则()f x dx '=⎰ 。
4.
()()f x df x =⎰ 。
5. sin cos x xdx =⎰。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 设3
()ln sin 44
f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
A . cot 4x
B . cot 4x -
C . 3cos4x
D . 3cot 4x
2. ln x dx x =⎰（ ）。
A . 2
1ln 2x x C + B .
2
1ln 2
x C + C . ln x C x
+ D .
221ln x
C x x
-+ 3. 若()f x 为可导、可积函数，则（ ）。
A . ()()f x dx f x '
⎡⎤=⎣⎦
⎰
B . ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦
⎰
C .
()()f x dx f x '=⎰ D . ()()df x f x =⎰
4. 下列凑微分式中（ ）是正确的。
A . 2
sin 2(sin )xdx d x = B .
d = C . 1ln ()x dx d x = D . 2
1
arctan ()1xdx d x
=+ 5. 若
2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）。
A . 22
2(1)x C ++ B . 22
2(1)x C --+
C . 221(1)2x C ++
D . 221
(1)2
x C --+
三、计算题（每小题8分，共48分） 1. 21
94dx x -⎰
2.
3. dx x
⎰
4. arcsin xdx ⎰
5. dx x x
x ⎰++21arctan
6. .)
1(212
2
2
dx x x x ⎰++
四、综合题（本大题共2小题, 总计22分）
1.（10分）求⎰'''⋅-'dx x f x f x f x f x f ])
()
()()()([3
2的值。
2.（12分）设()F x 为()f x 的一个原函数，当0x ≥时有2
()()sin (0)0,()0f x F x x F F x ==≥且,求()f x 。
不定积分测试题答案
一、填空题（每小题3分，共15分）
1. x e C -+
2. sin 2x -
3. 1C x +
4. ()212f x C +
5. 21sin 2
x C + 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. D 2. B 3. A 4. A 5. D 三、计算题（每小题8分，共48分） 1.
.2323ln 121C x
x +-+ 2. C x x x x ++-+-1ln 6632663. 3. C x
x +--2arccos 242. 4. C x x x +-+21arcsin . 5．2211ln(1)(arctan )22x x C +++. 6．C x x
++-arctan 1. 四、综合题（本大题共2小题, 总计22分）
1. C x f x f +'
2
])()([
21. 2. 2
2sin sin 22sin 22cos 12x x x
x x x -
--或
.。