傅里叶级数总结1
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傅里叶级数总结
TASK1:(x f 在[-π ,π]上的周期函数，需展开成傅里叶级数，公式：
⎰⎰--==π
π
π
π
nxdx x f b nxdx
x f a n n sin )(cos )(
例1：将x x f 4sin )(=展开成傅里叶级数
x
x x f x f n xdx x b n n n dx nx x nx x nx nxdx x a dx x x dx x a x x x x n n 4cos 8
1
2cos 2183)(,...)
3,2,1(0sin sin 1
)4(81)
2(2
1
...)4,2(0)cos 4cos 81cos 2cos 21cos 83(2cos sin 24
3
)4cos 812cos 2183(sin 2
24cos 1412cos 2141)22cos 1(sin :40040
4024+-=∴===
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
==-≠=+-===
+-==
+-
-=-=⎰⎰⎰⎰
-
）（，即傅里叶级数收敛于本身处处连续
解 π
π
πππ
π
πππ
TASK2:(x f 在[-π ,π]上的奇函数，需展开成傅里叶级数，公式：
,...)3,2,1(sin )(2
,...)
2,1,0(00
==
==⎰n nxdx x f b n a n n π
π
例2：
)(sin sin ..)1(sin 2)
()
(.)1.(sin 2])cos()[cos(2
sin sin 2
0)()(sin )(1
2
212210
0πππ
π
ππ
π
πππ
π
<<-=--∴--=
+--=
=
==∴<<-=∑⎰
⎰
∞
=++x ax a n nx
n a x f a n n
ax dx x a n x a n nxdx ax b a a x f x ax x f n n n n n 按展开定理有为奇函数解：展开成傅里叶级数将
TASK3:(x f 在[-π ,π]上的偶函数，需展开成傅里叶级数，公式：
,...)
3,2,1(0,...)
2,1,0(cos )(2
====
⎰n b n nxdx x f a n n π
π
例3：
)(||)12().12cos(42
)(]
1)1[(2sin 2|sin 2cos 2
|22cos 2
0||)()(||)(02
20
00
020
0πππ
ππ
π
ππ
π
πππππ
ππ
π
π
<<-=++-
=
--=
-==
=
====∴=<<-=∑⎰
⎰
⎰
∞
=x x n x
n x f n nxdx n nx x n nxdx x a x nxdx x a b x x f x x x f n n n n 故按展开定理有：为偶函数解：展开成傅里叶级数将
TASK4:(x f 在[0 ,π]上的正弦级数：1奇延拓，2周期延拓，公式：
,...)3,2,1,0(sin )(2
,...)2,1(00
==
==⎰n nxdx x f b n a n n π
π
例4：
)0...(3cos 9
1
2cos 41cos 6),0()(,...)3,2,1(3
)24(2
0(1][sin 1]cos )22[(2]sin )24[(2],0[2
4)(2
2
20020302022ππππππ
ππππππππ
ππππ≤≤++++-
=∴=-=-=
≠=--+--=⎰
⎰x x x x x f x f n dx x x a n n nx n nx x n nx x x x x x f ）（在处连续上连续，且延拓的函数在）解：上展开成正弦级数
在区间将
TASK5:(x f 在[0 ,π]上的余弦级数：1偶延拓，2周期延拓，公式：
,...)
3,2,1(0,...)
3,2,1,0(sin )(2
====
⎰n b n nxdx x f a n n π
π
例5:
4
2),,2()2,0[...
4sin 2
1
3sin 31sin )(]2cos )1[(1|cos 1)cos 1|sin )2
(2
sin 2
sin )(2
sin )(2
sin )(2
)(1
200220
2
20
)2
0(,)2
(,2时，收敛于，当时，收敛于当解：展开成正弦级数
将ππ
ππππππ
ππ
π
π
π
ππ
ππ
π
ππ
π
π
π
π
π
πππ==⋃∈+-+=∴--=++-+
=
+
=
=
⎩⎨⎧=+≤≤≤<-⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
x x x x x x x f n n nx n nxdx n nx x nxdx x nxdx x f nxdx x f nxdx x f b x f n n x x x x