必修一数学函数的单调性.ppt
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
核心概念掌握
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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随堂水平达标
课后课时精练
注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
《2.3函数的单调性》优秀课件
证明函数f(x)=1/x在（0，+∞）上是减 函数。
课堂练习 1如图,已知函数y = f ( x)的图像(包含)端点, 根据函数说
,以及在每一单调区间上 ,函数是增函 出函数的单调区间 数还是减函数 .
−π
−
Y
π
2
O
π
2
π
X
3 2证明函数f ( x) = 在(−∞,0)上是减函数 x
课堂小结 （1）函数的单调区间是其定义域内的子集， 讨论函数的单调性必须在定义域内进行；
2教学
难
教学重点：函数单调性的概念。 教学点：函数增减性的判定。
3教学
知识目标:
标
能力目标：（1）使学生理解增函数、减函数 （1）增函数、减函数的概念； 的概念，掌握判断某些函数增减性的方法； 德育渗逶目标：通过本节课的学习，启示学 （2）函数增减性的判定； （2）培养学生利用数学概念进行判断推理的 生养成细心观察、认真分析、严谨论证的良 能力和数学结合的能力； 好思维能力
教师补充：这时我们说函数y = x2在（0，+∞）上是增函数
(5)反过来，如果y=x (5)反过来，如果y=x2在 （0，+∞） 反过来 上是增函数, 上是增函数,我们能不能得到自变量与 函数值的变化规律呢？ 函数值的变化规律呢？类似地分析图象 轴的左侧部分。 在y轴的左侧部分。
y f(x2) f(x1) o x1 x2 x Y=x2
f(x2) f(x1) o
Y=x2
x1 x2
x
与
数值
x1，y1）， (3) 果 y轴 侧 两个 （x1，y1）， x2，y2）， x1<x2时 y1， ），当 （x2，y2），当x1<x2时，y1，y2 关系 ？ 义 内 两个 这个 规 ？ (4)如何用数学符号语言来描述这个规律？ (4)如何用数学符号语言来描述这个规律？ 如何用数学符号语言来描述这个规律
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
3.会利用单调性求参数取值范围．(重点)
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
函数的单调性【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
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第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
人教版高中数学必修一《函数的单调性》教学课件
是图象开口向上的二次函数，其对称 轴为 x＝1，所以函数 f(x)的单调减区
间是(－∞，1]．]
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合
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高中数学苏教版必修一《2.2.1函数的单调性》教学课件
2024/11/14
17
单击此处编辑母版标题样式 证明：在区间 ,上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2
• 单击此处编辑则 母f (版x1)文 本f (x样2) 式2x1 1 (2x2 1)
• 二级
2x1 1 2x2 1
• 三级
• 四级
2(x2 x1)
x1, x• 2五级, ，且 x1 x2 x2 x1 0
单击此处编辑母版文本样式
1 x1
1 x2
• 二级
• 三级
• 四级
x2 x1 x1 x2
x1,•x五2 级 , 0 ，且 x1 x2 x1x2 0, x2 x1 0
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y 1 在区间上 , 0是减函数.
x
• 单击此证处明：编设辑V1母,V2是版定文义本域 样0,式 上任取两个实数,且 V1 V2
•
二级
• 三则级
• 四级
p(V1)
p(V2
)
k V1
k V2
作差
• 五级
k V2 V1 V1V2
变形
V1,V2 0, ，且V1 V2 V2 V1 0,V1V2 0
又 k 0 ,于是 p(V1) p(V2 ) 0, p(V1) p(V2 )
取值 定号
所以函数 p k ,V 0, 在区间 0, 上是减函数.
V
结论
2024/11/14
12
单击此处编证辑明函母数版单标调题性的样一式般步骤:
取值
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
• 三级
• 四级
作差变形
• 五级
定号
结论
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》课件
间 D 上是递减的.
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11
单击此处编辑母版标题样式
例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
单击此处编辑母版文本样式
– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
单击此处编辑母版标题样式
• 单北击师大此版处高编中数辑学母版文本样式
– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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单击此处编辑母版标题样式
例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
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– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
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• 单北击师大此版处高编中数辑学母版文本样式
– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时 函数的单调性》课件
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么
关系？
a≤m≤b， 提示：a≤n≤b，
m＞n
⇔f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？ 提示：a 的正负及－2ba的大小．
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2) 若 函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 在 区间 [1,2] 上不 单 调 ， 则 实 数 a 的取 值 范 围为 ________．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)．
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C
[方法技巧] 1．图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0 时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0 时，单调递减区 间为(－∞，＋∞)． (2)y＝ax，a>0 时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0 时，单调递 增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为 (m，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．
1.3.1函数单调性(必修一 数学 优秀课件)
函数y=x2 是增函数吗?是减函数吗?
Y=x2
温馨提示：函数的增减性是针对给定 区间来讲的,离开了区间,就不能谈函 数的单调性.
（3）反比例函数的单调性
k y x ( k 0)
结论：k 0时，函数在（ ， 0）和（0， ） 两个区间上都是减函数 k 0时，函数在（ ， 0）和（0， ） 两个区间上都是增函数
1 能否说函数y 在（ ， 0）（ 0， ）上是减函数？ x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
x 2 x1 1 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) x1 x 2 x1 x 2
作差变形 定号
∵ ∴ ∴ ∴
x1 x2 0 x2 x1 0, x1 x2 0
1 f ( x) 在区间（－∞，0）上是单调减函数． x
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x2 ).
返回
结论
证明步骤:
1、设变量：任取定义域内某区间上的
两变量x1，x2，设x1<x2；
2、 作差变形 3、定号：判断f(x1) – f(x2)的正、负情况 4、下结论
小结：这节课你学到了什么？
1：
图象
y2 y1
O
y
增函数
x1 x2
y减函数 y1
y2
x
O
x1
x2
x
图象 特征 数量 特征
3.1.2函数的单调性(第1课时)课件-高一数学(人教B版必修第一册)
的斜率都大于 0 ,函数递减的充要条件是其图像上任意两
点连线的斜率都小于 0.
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
一般地, 若 是函数
的定义域的子集, 对任意
且
,记
(1) 恒成立; (2) 成立.
，
, 则:
在 上是增函数的充要条件是
在上
在 上是减函数的充要条件是
在 上恒
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
【训练 1】(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A.y＝－1 B.y＝2x－1 C.y＝1－2x D.y＝(2x－1)2 x
【解析】对于 A，y＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调
递增；对于 B，y＝2x－1 在 R 上单调递增；对于 C，y＝1
－2x 在 R 上单调递减；
对于
＝（x2－x1x）21（x22x2＋x1）.当 x1<x2<0 时，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数.当 0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
【解析】∵f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)， ∴2m>－m＋9，即 m>3，故选 C.
课堂练习
【训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2∈R(x1
≠x2)，有f（x2）x2－－fx（1 x1）<0，则(
)
A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)
函数单调性说课稿PPT(共25张PPT)
19
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
-3
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-1
0
1
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4
…
…
16
9
4
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…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
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设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
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2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
高中数学必修第一册人教A版3.2.1《函数的单调性》名师课件
减函数
如果对于定义域内某个区间内的 任意 两个自变量的值1, 2,
当1 < 2时，都有 1 > 2 , 那么就说()在区间D上是减函数。
如果函数 = ()在区间上是增函数或是减
函数，那么就说函数 = ()在这一区间具有(严
格的)单调性，区间叫做 = ()的单调区间.
典例讲授
例2.根据定义，研究函数 = + ( ≠ )的单调性
思路 根据函数单调性的定义，需要考察当 < 时， < 还是 >
分析 .根据实数大小关系的基本事实，只要考察 − 与0的大小关系.
解析
函数 = + ( ≠ )的定义域是R.∀， ∈ ，且 < ，
1 −2
< 0；③
1 −2
1 − 2
< 0；⑤ 1 − 2 1 − 2
>0；
>0；
⑥ 1 − 2 1 − 2 < 0.
能判断 在[, ]上为增函数的是函数的是①③⑤
；为减函数的是②④⑥
.
分析
由增函数、减函数的定义及不等式的性质，只要能判定对任意的
探究新知
视察() = 和() = 的图象的变化趋势
思考：() = ||
和 = −各
有怎样的单调性？
1、从左至右图象一直上升
−∞, +∞
2、在区间 ________上，随着的增
大()的值随着增大.
(-∞,0]
1、在 轴左侧是降落的，在区间 ______上，
()的值随着的增大而减小.
则 1 − 2 =
1
12 −1
1− 2ຫໍສະໝຸດ −1=22 −12
人教版数学必修一.1《函数的单调性》说课PPT课件
教学难点 （1）函数单调性的知识形成； （2）利用函数图象、单调性的定义判断 和证明函数的单调性．
人教版数学必修一.1《函数的单调性 》说课P PT课件
人教版数学必修一.1《函数的单调性 》说课P PT课件
二、教法分析与学法指导
本节课是一节较为抽象的数学概念课，因 此，教法上要注意：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离， 激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极 性．
在概念的掌握上缺少系统性、严谨性 教学方法 ，在教学中须加强根据以上分析本节
课教学方法以在多媒体辅助下的启发 学法指导 式教学为主 。
《函数的单调性》教学说明
对学生来说，函数的单调性早已有 地位作用 所知，然而没有给出过定义，只是从
直观上接触过这一性质．学生对此有 教学目标 一定的感性认识，对概念的理解有一
问题情景 学生活动 建构数学 数学应用
情景： 下面是某一天温度的变化图象：
T（ OC ）
5 4 3 2
问
题
说出气温在哪些时段内是升 高的，怎样用数学语言刻画“随
时间的增大气温逐步升高”这一
特征。
1
14
24
o 3 6 9 12 15 18 21 -1
t (小时)
-2
观察图形并回答右边的问题
《函数的单调性》教教学学说程明序
定好处，但另一方面学生也会觉得是 重点难点 已经学过的知识，感觉乏味．因此，
在设计教案时，加强了对概念的分析 教学方法 ，希望能够使学生认识到看似简单的
定义中有不少值得去推敲、去琢磨的 学法指导 东西，其中甚至包含着辩证法的原理．
《函数的单调性》教教学学说程明序
问题情景 学生活动 建构数学 数学应用
人教版数学必修一.1《函数的单调性 》说课P PT课件
人教版数学必修一.1《函数的单调性 》说课P PT课件
二、教法分析与学法指导
本节课是一节较为抽象的数学概念课，因 此，教法上要注意：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离， 激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极 性．
在概念的掌握上缺少系统性、严谨性 教学方法 ，在教学中须加强根据以上分析本节
课教学方法以在多媒体辅助下的启发 学法指导 式教学为主 。
《函数的单调性》教学说明
对学生来说，函数的单调性早已有 地位作用 所知，然而没有给出过定义，只是从
直观上接触过这一性质．学生对此有 教学目标 一定的感性认识，对概念的理解有一
问题情景 学生活动 建构数学 数学应用
情景： 下面是某一天温度的变化图象：
T（ OC ）
5 4 3 2
问
题
说出气温在哪些时段内是升 高的，怎样用数学语言刻画“随
时间的增大气温逐步升高”这一
特征。
1
14
24
o 3 6 9 12 15 18 21 -1
t (小时)
-2
观察图形并回答右边的问题
《函数的单调性》教教学学说程明序
定好处，但另一方面学生也会觉得是 重点难点 已经学过的知识，感觉乏味．因此，
在设计教案时，加强了对概念的分析 教学方法 ，希望能够使学生认识到看似简单的
定义中有不少值得去推敲、去琢磨的 学法指导 东西，其中甚至包含着辩证法的原理．
《函数的单调性》教教学学说程明序
问题情景 学生活动 建构数学 数学应用
高中数学人教A版必修第一册第三章3.2.1《函数的单调性》课件(21张PPT)
的单调性证明.
数学抽象
数学建模
证明:定义域为(0,+∞)，V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2
p1
p2
k
V1
k V2
kV2 kV1 V1V2
k V2 V1
V1V2
数学运算
取值 作差
∵V1,V2∈(0,+∞)，∴V1V2>0, ∵V1<V2 ，∴V2-V1>0，
又k>0，∴p1-p2>0，即p1>p2.
在( ,0)上单调递减
证明:x ,x ∈R且x <x 请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?
1 2 1 [x1-x2 ][f(x1)-f(x2)]<0 D.
(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<xn时,
2
x1, x2∈[0,+∞),当x1< x2时,都有
f(x )-f(x )=(kx +b)-(kx +b)=k(x -x ) 函数f(x)在(1,2)上单调递减的是( )
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
2.数学思想：转化化归、数形结合、分类讨论 类比思想、函数与方程(不等式)思想
3.学科核心 数学抽象、逻辑推理、数学建模 素养： 直观想象、数学运算、数据分析
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作业布置：
1.课本第79页练习的第2、3题；
y
yn
任意性
y3 yy21
0 x1 x2 x3 xn x
二、深度学习——精确刻画“性质”
图形语言:
y
人教版高中数学必修第一册3.2 函数的单调性 课时5 函数的单调性【课件】
−( − ) +, < ≤ ,
作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,
在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和
(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).
【方法规律】
图象法求函数单调区间的步骤
x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2) 有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维
流程如下:
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(
A. f(x)＝3－x
C. f(x)＝2x
(3) 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为
________.
思路点拨
画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立
关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a
的值或取值范围.
【解】(1) f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区
−
)
( − ) −
)=(x1-x2)+
=
(x1x2-4).由
x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得
作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,
在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和
(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).
【方法规律】
图象法求函数单调区间的步骤
x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2) 有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维
流程如下:
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(
A. f(x)＝3－x
C. f(x)＝2x
(3) 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为
________.
思路点拨
画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立
关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a
的值或取值范围.
【解】(1) f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区
−
)
( − ) −
)=(x1-x2)+
=
(x1x2-4).由
x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得
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(4)若函数y=f(x)在D上是增函数,D1⊆D,则y=f(x)在D1上是什么 函数? 提示:增函数.
探究2:根据函数单调性的定义,思考下列问题: (1)在函数单调性的定义中能否将“任取x1,x2∈D”改为“任取 x1,x2∈I”? 提示:当函数在定义域上单调时,是可以的,当函数在定义域上有 增有减时不可以.
2.求单调区间的三个注意点 注意点一:求函数的单调区间时,要先求函数的定义域; 注意点二:对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作 为常识性的知识,可以直接使用; 注意点三:函数图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,” 连接,不能用“∪”连接.
(2)在函数增减性的定义中,x1-x2的符号与f(x1)-f(x2)的符号 之间有什么关系? 提示:当函数是增函数时,x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同;当函数 是减函数时,x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相反.
【探究总结】对函数单调性和单调区间的三点说明 (1)任意性:“任取x1,x2”中的“任取”二字不能去掉,更不能用两 个特殊值替换. (2)确定性:x1,x2有大小之分且属于同一个单调区间,通常规定 x1<x2. (3)区间表示:函数的单调区间是函数定义域的子区间,两个单调 区间要用“,”或“和”连接,而不能用“∪”连接.
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义. 2.能根据图象的升降特征,划分函数的单调区间;理解增(减)函 数的定义,会证明函数在指定区间上的单调性.
1.函数单调性的定义
条件
增 函 设函数f(x)的定义域为I,
数 如果对于定义域I内某个
4.已知函数f(x)= 1 ,则f(1)与f(2)的大小关系为f(1)
x
f(2).
【解析】因为函数f(x)= 1在(0,+∞)上为减函数,
x
所以f(1)>f(2).
答案:>
函数单调性的定义与单调区间 探究1:根据下面的图象探究下列问题.
(1)图①中任取x1,x2∈D,当x1<x2时f(x1)与f(x2)的大小关系如 何?图②呢? 提示:由图①可知函数y=f(x)图象随x的增大而“上升”,即 x1<x2时,f(x1)<f(x2).图②中函数y=f(x)图象随x的增大而“下 降”,即x1<x2时,f(x1)>f(x2). (2)图①,图②分别反映了函数的什么性质? 提示:图①②反映了函数的单调性,其中图①对应的函数为增函 数;图②对应的函数为减函数.
(3)如果在函数y=f(x)中有f(1)<f(2),能否得到函数为增函数? 提示:不能,函数单调性的定义中任取x1,x2, 当x1<x2时,f(x1)<f(x2),则函数y=f(x)为增 函数,而1和2只是定义域上的两个特殊值, 不能说明对任意的x1<x2,都有f(x1)<f(x2),所以由f(1)<f(2)得 不到函数为增函数.
1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A.y=-x+1
B.y= x
C.y=x2-4x+5
D.y= 5
x
【解析】选B.因为函数y= x的增区间为［0,+∞)，所以函数
y= x在(0,2)上为增函数，而A，C，D中的函数在(0,2)上都为
减函数.
2.若函数y=2x+1,则其在R上是
(填“增函数”或“减
相反.
(4)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c的单调性相同. (5)函数f(x)和g(x)都为增(减)函数,则函数f(x)+g(x)亦为增(减) 函数.
类型 一 函数单调性的定义及单调区间的求法
1.已知f(x),x∈[-4,7]的图象如图所示,则f(x)的增区间
是
,减区间是
.
2.作出函数y=-x2+2|x|+1的图象,并写出其单调区间.
2.y
x 2
x
2
2x 2x
1，x 0， 1，x＜0，
即y
x x
12 12
2，x 0， 2，x＜0，
作出图象如图所示.由图象可知函数的单调增区间为(-∞,-1］和
［0,1］，单调减区间为(-1,0)和(1,+∞).
【规律总结】 1.利用图象确定函数的单调区间的步骤 (1)画出草图. (2)根据函数定义域与草图的位置情况确定函数的单调区间.
【拓展延伸】判断函数y=f(x)单调性的有关结论
(1)函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反.
(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当c>0时,函数y=f(x)与y=cf(x)的单调性相同;当c<0时,函
数y=f(x)与y=cf(x)的单调性相反. (3)当函数y=f(x)恒为正或恒为负时,y=f(x)与y= 1的单调性
f x
减 区间D上的_任__意__两个自变
函 数
量的值x1,x2,当x1<x2时
结论 都有_f_(_x_1_)_<_f_(_x_2)_,则函数 f(x)在区间D上是增函数
都有_f_(_x_1_)_>_f_(_x_2)_,则函数 f(x)在区间D上是减函数
2.函数的单调性与单调区间 (1)单调性:如果函数y=f(x)在区间D上是_增__函__数__或__减__函__数__, 那么说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性. (2)单调区间:指的是_区__间__D_.
函数”).
【解析】一次函数y=kx+b,当k>0时为增函数,所以函数
y=2x+1是R上的增函数.
答案:增函数
3.函数y=f(x)的图象如图,根据图象函数y=f(x)的增区间为
,
;减区间为
,
.
【解析】由图象可知函数y=f(x)的增区间为[-1,0),[1,2],减区 间为[-2,-1),[0,1). 答案:[-1,0) [1,2] [-2,-1) [0,1)
【解题指南】1.观察函数f(x)的图象,哪一段图象是上升的,则对 应的区间为增区间,反之是减区间. 2.先去掉绝对值符号,转化为分段函数,画出其图象,再根据单调 性的定义指出单调区间.
【自主解答】1.由图可知f(x)的图象在区间[-1.5,3),[5,6)上是 上升的;在区间[-4,-1.5),[3,5),[6,7]上是下降的,因此f(x)的增 区间是[-1.5,3),[5,6);减区间是[-4,-1.5),[3,5),[6,7]. 答案:[-1.5,3),[5,6) [-4,-1.5),[3,5),[6,7]