小学奥数精华15讲第一讲数形结合

3a b 5 0
a 3
而它们的和是 0，故只能 b c 9 0 ，解此方程组，得 b 4 ，故 a b c 12 .
a c 8 0
c 5
\3/
（3） x 1 x 5 的几何意义是数轴上 x 这个点到 1 这个点的距离，加上 x 这个点到 5 这个点的距 离的和. 显然当1 x 5 时，这个距离和最小，为 5 1 4 .
【解析】（1）如下图
55 5 5
6
6
（2）第 n 个图形对应的等式为： n n n n n 1 n 1
2. 用数形结合的方法求： (a b)(c d e) ______ . 【答案】见解析 【解析】如图，根据长方形面积可得： (a b)(c d e) ac ad ae bc bd be
（2）所谓“金字塔数列” 42 1 2 3 4 3 2 1 ； 52 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ；
n2 1 2 3 n 1 n n 1 3 2 1
（3）左图所有数之和为 1 2 3 4 1 2 3 4 = 1 2 3 42 ；
右图所有数之和为13 23 33 43 ；13 23 33 n3 1 2 3 n2 .
7. 计算：12 22 32 42 20052 20062 20072 . 【答案】2015028 【解析】原式 20072 20062 52 42 32 22 12 (2007 2006) (2007 2006) (2005 2004) (2005 2004)
（3）根据左表，第一行的数和为1 2 3 4 ； 根据右表，左上角的1 13
第二行的数和为： 1 2 3 4
； 2 4 2 (1 2 1) 2
3
第三行的和为： 1 2 3 4
； 3 6 9 6 3 (1 2 3 2 1) 3
3
第四行的数和为： 1 2 3 4
c
d
e
a
b
3. 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），如图（1），把余下部分拼成 一个矩形如图（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( ).
（1）
（2） \1/
A. (a b)2 a2 2ab b2 B. (a b)2 a2 2ab b2 C. a2 b2 (a b)(a b) D. (a 2b)(a b) a2 ab 2b2 【答案】C 【解析】第一个图形的阴影部分面积为 a2 b2 ，第二个图形的应用部分面积为 (a b)(a b) ，可得 a2 b2 (a b)(a b) .
4. 乌龟和兔子从同一起点出发，快跑的兔子在途中休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔子再 以原来的速度去追赶.根据下图信息可知： （1）兔子的速度是每分多少米？ （2）若兔子要在到达终点之前超过乌龟，则比赛路程至少应超过多少米？
【答案】（1）30 米 （2）210 米 【解析】⑴ 兔子的速度为 150 5 30 （米/分） ⑵乌龟速度为 v乌龟 150 30 5 （米/分） 40 5 200 （米） (200 150) (30 5) 2 （分） (40 2) 5 210 （米）
；
（2）若研究如下正方形的虚线斜行，可得： 42 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ； 同理可得： 52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 进而推知 n2 _______________________;
\2/
； 4 8 12 16 12 8 4
3百度文库
综上可知，所有数的和为
2 ； 综上可知，所有数的和为：13 3 3 3
1234
1234
2468 3 6 9 12
2468 3 6 9 12
4 8 12 16
4 8 12 16
综上两题，可以推断13 23 33 n3
.
【答案】见解析 【解析】（1）“天下无双，项数平方” 42 1 3 5 7 ； 52 1 3 5 7 9 ； n2 1 3 5 (2n 1)
5. 平方数也称“正方形数”，若 n 为平方数，则可将 n 个点排成一个正方形. 例如16 42 就是一个正 方形数，如下图所示. （1）若研究如下正方形的转折线，可得： 42 ( ) ( ) ( ) ( ) ；
同理可得： 52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
进而推知 n2
第 1 讲 数形结合
同步练习： 1. 观察右面的图形（每个正方形的边长均为 1）和相应等式，探究其中的规律：
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34 ④4×45＝4－45
……
（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：
（2）猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式. 【答案】见解析
．
（2）若 3a b 5 b c 9 a c 8 0 ，则 a b c
．
（3）请问：式子 x 1 x 5 的最小值是多少？x 取什么样的数时，这个式子能达到最小值？
【答案】（1）3 （2）12 （3）4，1 x 5 【解析】（1）由题意可知 a 1， b 2 ，故 a b 3 . （2）题目叙述“绝对值”的直观几何意义是数轴上线段两端的“距离”，可见绝对值大于等于 0，等号 成立的条件是绝对值内的数（或式子）等于 0. 由于 3a b 5 、 b c 9 、 a c 8 都大于等于 0，
6. 定义符号“ a ”，称作 a 的绝对值．绝对值的几何意义是：如下图所示， a 表示数 a 的点到原点 （下图中的 0）的距离；距离不能小于 0．
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
如：3 到原点距离是 3，所以 3 的绝对值是 3；同样 3 的绝对值也是 3；
（1）若 a 1 、 b 2 ，且 b a 0 ，则 a b