【完美排版】甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题【含答案】
解析甘肃省兰州市第一中学高一上学期期中考试数学试题含解析
兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2A =，则满足{}1,2,3A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 4个D. 8个【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．{}{}A 12A B 123=⋃=，，，，，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个． 考点：并集及其运算．2.对于映射{}(|)f A B A B x y x y →∈R ：，＝＝，，，且()()f x y x y x y →-+：，，，则与B 中的元素()31-，对应的A 中的元素为（ ） A. ()1,2﹣ B. ()1,3C. ()4,2﹣﹣ D. ()3,1﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知中映射()():,f x y x y x y →-+，，得到3,1x y x y -=-+=，即可求解． 【详解】由题意，:f A B →，且映射()():,f x y x y x y →-+，，令31x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得1,2x y =-=，所以与B 中的元素()3,1-对应的A 中的元素为()1,2-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了映射的定义及应用，其中解答中熟记映射的概念与对应关系，列出方程组是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题． 3. 下列函数中表示同一函数的是（ ） A. ()44y x y x ==与B. 233x y x y x==与 C. 21y x x y x x =+=⋅+与D. 21y y x x==与 【答案】D 【解析】 试题分析：的定义域为R ，的定义域是，故A 不正确；的定义是R ，的定义域是，故B 不正确；的定义域是，解得，的定义域是，解得，所以两个函数的定义域不同，故C 不正确；和的定义域都是，并且化简后就是，故D 正确．考点：函数的定义【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素，属于基础题型，函数的三个要素包含定义域，对应关系和值域，只有两个函数的定义域相同，对应法则也相同，才是同一函数，当两个函数的定义域相同时，再看两个函数能否变形为同一个函数解析式． 4.函数()()0231log 32y x x =-+- （ ）A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,13⎛⎤⎥⎝⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：要使函数()1y x =-有意义，需满足223310{log 1log (32)0x x -≠=-≥，即1{321320x x x ≠-≤->，解得213x <<，所以函数()01y x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，应选D ．考点：求函数的定义域．【方法点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、对数式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性，特别是解对数不等式时，注意真数一定大于0，这时易错点，解决此类问题应从以下几个方面入手1、真数大于0；2、分母不为0；3、被开方数有意义；4、()01x -有意义．5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +＝，若()32f -=，则()7f 等于（ ） A. 2019 B. 2-C. 2020D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据()()4f x f x +=，求得函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性，即可求解． 【详解】由题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，则(7)(421)(1)f f f =⨯-=-，又由函数()f x 上在R 上的奇函数，且()32f -=，所以(1)(1)(413)(3)2f f f f -=-=-⨯-=--=-，即(7)2f =-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性，合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.已知函数22xxy b a +=+（,a b 是常数，且01a <<）在区间3[,0]2-上有最大值3，最小值52，则ab 的值是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】通过换元令2232(1)1,[,0]2u x x x x =+=+-∈-，然后由u y b a =+单调递减，结合u 的范围可列方程解得,a b .【详解】令2232(1)1,[,0]2u x x x x =+=+-∈-，最大值为0，最小值为1-. 则[],1,0uy b a u =+∈-当01a <<时，uy b a =+单调递减.所以10352b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有1ab =， 故选A.【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.7.若32232(),,log 3xa b x c x ===，当x ＞1时，,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D.a cb <<【答案】B 【解析】解：因为3223 2(),,log3xa b x c x===，那么当x>1时，则利用指数函数和对数函数的值域可知，0<a<1,b>1,c<0,因此选B8.已知函数()()1222,1log1,1x xf xx x-⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩＝,且()3f a＝-，则()6f a-＝（）A.74- B.54- C.34- D.14-【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，求得7a=，进而可求解(6)f a-的值，得到答案．【详解】由题意，函数()()1222,1log1,1x xf xx x-⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩＝，当1a≤时，令1223a--=-，即121a-=-，此时不成立；当1a>时，令()2log13a+=--，解得7a=，所以117(6)(1)224f a f---=-=-=-．故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答涉及到对数的运算性质和指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．9.若函数()()logaf x x b=+的大致图象如图，其中,a b为常数，则函数()xg x a b=+的大致图像是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()xg x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.若函数()()0,1xf x a a a ≠＝＞且在[]1,2-上的最大值为4，最小值m ，且函数()(14g x m x -＝[)0+∞，上是增函数，则a ＝（ ）A.12 B. 12-C.14D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用()f x 在[]1,2﹣上的最大值为4，先确定a 的值，再利用函数()(14g x m x -＝[)0+∞，上是增函数，即可求得实数a 的值，得到答案． 【详解】由题意，当1a >时，函数()xf x a =在[1,2]-为单调递增函数，所以()24f =，即24a =，解得2a =，此时最小值11(1)22m f -=-==； 当01a <<时，函数()xf x a =在[1,2]-为单调递减函数，所以()14f -=，即14a -=，解得14a =，此时最小值211(2)()416m f ===，又由函数()(14g x m -＝[)0+∞，上是增函数，则140m ->，解答14m <， 综上可得14a =，116m =．故选：C.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和幂函数的性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及计算能力，属于基础题．11.函数()f x =()()221(01xx ax x a a x ⎧+-≤⎪>⎨->⎪⎩且1a ≠),在()0,∞+上是增函数,则实数a 的取值范围是A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】因为()f x 在()0,∞+上是增函数,即当01x <≤时,()f x =22x ax +-单增,即02a-<,解得0a >;当1x >时,()xf x a =-单增,即01,a <<且212a a +-≤-,解得12a ≤;所以102a <≤,即实数a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.选C. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12.若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ++＝对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（ ）①()0f x ＝是常数函数中唯一的“λ～特征函数”； ②()21f x x +＝不是“λ～特征函数”； ③“13λ～特征函数”至少有一个零点；④()xf x e ＝是一个“λ～特征函数”．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用新定义“λ～特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．【详解】对于①中，设()f x C =，当1λ=-时，函数()f x C =是一个“λ～特征函数”， 所以()0f x =不是唯一的一个常值的“λ～特征函数”，所以①不正确； 对于②中，函数()21f x x +＝，则()()2()1(21)0f x f x x x λλλλ++=++++=，即2(221)x λλ=-+-， 当1λ=-时，()()20f x f x λλ++=-≠，当1λ≠-时，方程2(221)x λλ=-+-由唯一的解，所以不存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立， 所以函数()21f x x +＝不是“λ～特征函数”，所以②正确．对于③中，令0x =，可得11()(0)033f f +=，所以11()(0)33f f =-， 若(0)0f =，显然()0f x =有实数根，若(0)0f ≠，211()(0)[(0)]033f f f ⋅=-<，又因为()f x 的函数图象是连续的，所以()f x 在1(0,)3上必由实数根，因此任意的“λ～特征函数”必有实根，即任意“13λ～特征函数”至少有一个零点，所以③是正确；对于④中，假设()xf x e ＝是一个“λ～特征函数”，则0x x e e λλ++=对任意的实数x 成立，则有0e λλ+=，而此式有解，所以()xf x e ＝是“λ～特征函数”，所以④正确的，所以正确命题共有②③④． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及其应用，其中解答中熟记函数的零点，以及正确理解“λ～特征函数”，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二．填空题（共3小题）13.如果11x f x x⎛⎫⎪-⎝⎭＝，则当0x ≠且1x ≠时，()f x ＝_____．【答案】1()1f x x =- 【解析】 【分析】 根据函数()1xf x x=-，利用换元法，即可求得函数的解析式，得到答案． 【详解】由题意，令1t x =，则1x t=且0t ≠， 因为()1x f x x =-，所以11()111t f t t t==--，其中0t ≠且1t ≠，所以1()1f x x =-． 故答案为：1()1f x x =-．【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中熟练应用换元法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.若函数()23xf x x --+=的零点为0x ，满足()01x k k ∈+，且k ∈Z ，则k ＝_____．【答案】3【解析】 【分析】根据题意，得到函数()f x 为减函数，进而求得()()3,4f f 的值，利用零点的存在定理，即可求解．【详解】由题意，函数()23xf x x --+=，分析可得函数()f x 为减函数，又由()31323308f -=+=>-，()4154243016f --=+=-<， 则()()340f f ⋅<，根据零点的存在定理，可得函数()f x 的零点在区间()3,4上， 所以3k =． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15.设函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,2()(1)g x x f x =-，则函数()g x 的递减区间是________．【答案】[)0,1 【解析】()22,10,1,1x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩,如图所示，其递减区间是[)0,1．16.下列几个命题： ①函数2211y x x =--偶函数，但不是奇函数；②方程()230x a x a +-+＝的有一个正实根，一个负实根，0a ＜；③()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＜时，()221f x x x =+-，则0x ≥ 时，()221f x x x ++=-④函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的序号是_____（把所有正确命题的序号都写上）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】①中，函数()f x 既是奇函数又是偶函数，即可判定；②中，方程有一个正实根，一个负实根，得到0a ∆>⎧⎨<⎩，即可判定；③中，()f x 是定义在R 上的奇函数，则必有()00f =，即可判定；④中，令2(0)xt t =>，原函数可化为35122t y t t -==-+++，即可判定，得到答案．【详解】由题意，对于①中，函数()f x =的定义域为{}1,1-，即()0f x =，所以函数()f x 既是奇函数又是偶函数，所以不正确；对于②中，方程()230x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则满足2(3)40a a ∆=-->且120x x a =<，解得0a <，所以是正确的；对于③中，()f x 是定义在R 上的奇函数，则必有()00f =，而当0x =时，()20200110f =⨯++=≠-，所以不正确；对于④中，令2(0)xt t =>，原函数可化为35122t y t t -==-+++， 因为22t +>，所以531122t -<-+<+，即原函数的值域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以是正确的． 综上，正确命题的序号为②④． 故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，以及一元二次方程的性质，指数函数的性质和函数的值域的求解等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三．解答题（共6小题）17.计算下列各式的值：（1）()()2234116 4.3238⎛⎫++-- ⎪⎝⎭；（2）32221ln lg0.01log 20log 16log 5e ++-+ 【答案】（1）354-； （2）1-. 【解析】 【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质， 可得：()()221123402433441113516() 4.32316()1122()1128224⨯⨯++--=++-=++-=-．（2）根据对数的运算性质，可得32222211ln lg0.01log 20log 16log 32log 204log 55e ++-+=-+-+ 22213(log 20log )3log 43215=-++=-+=-+=-．【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18.己知集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|116B x x x =-或 （1）若A 为非空集合，求实数a 的取值范围； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]6,+∞；（2）()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）若A ≠∅，那么2135a a +≤-，求解； （2）若A B ⊆，分，或是两种情况讨论．当时，即，当时，即351{2135a a a -<-+≤-或2116{2135a a a +>+≤-，求解． 试题解析：解：（1）作出数轴可知若A ≠∅则有2135a a +≤-，解得：6a ≥可得实数a 的取值范围为[]6,+∞ （2）A B ⊆则有如下三种情况：1）A =∅，即3521a a -<+，解得：6a <；2）A ≠∅，(],1A ⊆-∞-，则有351{2135a a a -<-+≤-解得：a 无解；3）A ≠∅，(]16,A ⊆+∞，则有2116{2135a a a +>+≤-解得：152a >．综上可得A B ⊆时实数a 的取值范围为()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭考点：集合的关系运算【易错点睛】本题主要考察了两个集合的关系，属于基础题型，第一问容易出错在有等号函数没等号上面，这就要求我们做题时要细心，第二问当时，易忽略的情况，以及时，(],1A ⊆-∞-或(]16,A ⊆+∞是一种或的关系，而不是且的关系，做题时切记或是求并集，且求交集． 19.已知幂函数()()22122m f x m m x+=+-在（0，＋∞）上是增函数（1）求()f x 的解析式 （2）若(21fa fa -<-，求4a 的取值范围【答案】（1）()3f x x =；（2）(]8,16 【解析】 【分析】(1)由幂函数的性质可得，2221m m +-=，再由()f x 在()0,+∞上为增函数，则2m+1＞0，然后，根据以上条件，求解即可.(2)由()f x 为R 上的增函数，可得201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-<-⎩，求出a 的范围，然后根据4a 单调递增的特性，即可求出4a 的取值范围.【详解】（1）因为()()22122m f x m m x+=+-是幂函数，所以2221m m +-=即32m =-或1m = 因为()f x 在()0,+∞上是增函数，所以2m+1＞0，即m ＞-12，则m=1 故()f x =3x .（2）因为()f x 为R 上的增函数.所以201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-<-⎩， 解得322a <≤. 故4a 的取值范围为(]8,16.【点睛】本题考查幂函数的性质和单调性，注意幂函数的系数为1，难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解，属于中等题. 20.函数f （x ）=2ax b4x 1++是定义在R 上的奇函数，且f （1）=1． （1）求a ，b 的值；（2）判断并用定义证明f （x ）在（1,2+∞）的单调性． 【答案】（1）a=5，b=0； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，可利用f （1）=1和f （-1）=-1，解方程组可得a 、b 值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明． 【详解】（1）根据题意，f （x ）=2ax b4x 1++是定义在R 上的奇函数，且f （1）=1，则f （-1）=-f （1）=-1，则有a b15a b 55+⎧=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪⎩，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.（2）由（1）的结论，f （x ）=25x4x 1+，设12＜x 1＜x 2， f （x 1）-f （x 2）=1215x 4x 1+-2225x 4x 1+=()()()()12122212514x x x x 4x 14x 1--++， 又由12＜x 1＜x 2，则（1-4x 1x 2）＜0，（x 1-x 2）＜0， 则f （x 1）-f （x 2）＞0， 则函数f （x ）在（12，+∞）上单调递减． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题． 21.已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案．【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1，可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题． 22.已知指数函数()y g x =满足()327g =，定义域为R 的函数()()()3n g x f x m g x -=+是奇函数.（1）求函数()(),y g x y f x ==的解析式；（2）若函数()()h x kx g x =-在()0,1上有零点，求k 的取值范围；（3）若对任意的()1,4t ∈，不等式()()230f t f t k -+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()3xg x =，113()33xx f x +-=+；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．【解析】试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求()g x ，利用奇函数用特值法求m,n ，可得到()f x 解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k 的取值范围；（3）分析函数()f x 的单调性，转化为关于t 恒成立问题，利用分离参数法求k 的取值范围． 试题解析： （Ⅰ）设()xg x a=()01a a >≠且,则327a =，∴a=3, ∴()3x g x =，∴()133x x n f x m +-=+， 因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012n n m-=⇒=+ , ∴()1133xx f x m+-=+，又()(1)1f f -=-，11133=319m m m --∴-⇒=++；∴()11333x x f x +-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()3xg x =，又因()()h x kx g x =-在（0，1）上有零点，从而(0)(1)0h h ⋅<，即(01)(3)0k -⋅-<，∴30k ->， ∴3k >，∴k 的取值范围为(3,)+∞．（Ⅲ）由（Ⅰ）知()113131121··333313331x x x x x f x +--==-=-++++， ∴()f x 在R 上减函数（不证明不扣分）．又因()f x 是奇函数，()()230f t f t k -+->所以()()23f t f t k ->--=()f k t -，因为()f x 减函数，由上式得：23t k t -<-, 即对一切(1,4)t ∈，有33t k -<恒成立，令m(x)=33t -,[1,4]t ∈,易知m(x)在[1,4]上递增，所以max 3439y =⨯-=， ∴9k ≥，即实数k 的取值范围为[)9,+∞．点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题．。
甘肃省兰州市兰州新区第一高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
甘肃省兰州市兰州新区第一高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A ．1x ∃≤，20x x ->B ．1x ∀>，20x x -≤C ．1x ∃>，20x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->2．已知集合{}1,0,1,2,{11}A B x x =-=-<≤∣，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．设12,x x 是方程22430x x +-=的两根，那么12(1)(1)x x ++的值是（）A ．32B ．12C ．52-D ．-64．“220x y +=”是“0xy =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．设,a b 都是正实数，则411b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是（）A ．4B ．8C ．7D ．96．若函数()2212f x x x +=-，则()5f 等于（）A ．-1B ．0C ．1D ．37．若a ，b ，R c ∈，且0a b <<，则下列结论正确的是（）A ．22ac bc <B ．11a b <C ．b aa b >D ．22a ab b >>8．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，则函数2y ax bx c =--的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知2{1,0,2}x x ∈，则关于实数x 的取值正确的是（）A ．0B ．1C ．1-D ．210．下列命题是真命题的是（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞+∞ C ．若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(],0-∞上单调递增，则()f x 在R 上单调递增D ．偶函数的图象必有对称轴11．下列函数中，表示同一个函数的是（）A ．(5)(5)5x x y x +-=-与5y x =+B ．||y x =与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．2y x =与4y =D ．2()f xx =与()g x =三、填空题12．不等式201x x -<-的解集为.13．比较大小：()()13a a --()223a a -+.（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）14．若函数()21f x x ax =--在区间[)1,+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知集合{}35A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+.(1)当3m =-时，求A B ；(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.16．求下列不等式的解集.(1)23520x x +-->；(2)221x x <-；(3)2440x x -+>.17．已知函数1()2f x x x=-.（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）判断函数()f x 在(0,+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明.18．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，满足()()(),(1) 4.f x y f x f y f +=+=(1)求(0)f 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性并证明；(3)若(23)()8f x f x +-<，求x 的取值范围.19．求解下列各题：(1)求()23402x x y x x++=<的最大值.(2)求()2811x y x x +=>-的最小值.(3)已知0x >，0y >且4x y xy +=，若28x y m m +>+恒成立，求实数m 的取值范围.。
甘肃省兰州市第一中学2020学年高一上学期期中考试数学试题版含答案-精品
甘肃省兰州市第一中学2020学年高一上学期期中考试数学试题版含答案-精品2020-12-12【关键字】条件、矛盾、关系、满足数 学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1. 设集合{}012345U =，，，，，，集合{}035M =，，，{}145N =，，，则()U M C N ⋂等于（ ） A ．{}5 B ．{}0,3 C ．{}0,2,3,5 D ． {}0,1,3,4,52. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A. (),()f x x g x ==B. 2()lg ,()2lg f x x g x x ==C. ()()f x g x ==D. (),()f x x g x ==3．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ） A ．(-∞,- 1) B. (1,+∞) C. (-1,1)∪(1,+∞) D. (-∞,+∞)4. 设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-， 则在映射f 下B 中的元素（1，1）对应的A 中元素为（ ）A.（1，3）B.（1，1） C . 11(,)22 D. 31(,)555．下列函数在),0(+∞上是增函数的是（ ）A ．xy 1=B ．x y =C ．2x y -= D ．12+-=x y 6．设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ． a b c <<7. 若函数()11x mf x e =++是奇函数,则m 的值是（ ） A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．28．函数22()log (2)f x x x =--的单调递减区间是（ ）A ．(,1)-∞-B ．1(,]2-∞C ．1[,2)2D ．(2,)+∞9. 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log )(2x x x x f x ，则满足21)(<a f 的a 的取值范围是（ ）A ．)1,(--∞B ．)1,(--∞∪)2,0(C ．)2,0( D ．)1,(--∞∪)2,0(10. 已知()xf x a =，()log (01)a g x x a a =≠>且，若(3)(3)0f g <，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）11f (x C ．()()75f f > D ． ()()54f f >12．设A 、B 是非空数集，定义A x x B A ∈=|{*∪A x B ∉且∩}B ，已知集合=A |{x =y }22x x -，}0,2|{>==x y y B x ，则=B A *（ ）A ．]1,0[∪),2(∞+B ．)1,0[∪),2(∞+C ．(],1-∞D ．]2,0[第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13. 已知x e f x=)(，则)5(f 等于________.14. 如果函数2()2(3)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是单调减函数，那么实数a 的取值范围是________.15. 函数)2(log log )(22x x x f ⋅=的最小值为________.16．定义在R 上的偶函数()f x 在区间[1,2]上是增函数，且(1)(1)f x f x +=-，关于函数()f x 有如下结论：①31()()22f f =-；②图象关于直线1x =对称；③在区间[0,1]上是减函数；④在区间[2,3]上是增函数，其中正确结论的序号是________. 三、解答题（本大题共6 小题，共70分） 17. （本小题满分10分）集合{|17}A x x =-≤≤，{|231}B x m x m =-<<+，若A ∩B =B ，求实数m 的取值范围. 18．（本小题满分12分）计算： （1）5log 3231lg25lg2log 9log 252++-⨯- ；（2） 2210.5332341(3)-(5)(0.008)()89505---+÷⨯.19．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≥时，2()log (1)f x x =+. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若(2)(5)0f a f a ---<，求a 的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数xx x f 212)(-=.（1）若f (x )=23，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+⋅t mf t f t对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知函数y =xax +有如下性质：如果常数a >0,那么该函数在],0(a 上是减函数，在),[+∞a 上是增函数.（1）若]1,0[,123124)(2∈+--=x x x x x f ，利用上述性质，求函数f (x )的值域；（2）对于（1）中的函数f (x )和函数g (x )=-x -2a ，若对任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得g (x 2)=f (x 1),求实数a 的值.22.（本小题满分12分）已知函数1()()2x f x =,函数g (x )的图象与f (x )的图象关于直线y =x 对称.（1） 若)12(2++x mx g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2） 当[]1,1x ∈-时，求函数[]2()2()3y f x af x =-+的最小值)(a h ；（3） 是否存在实数2m n >>，使得(2)中函数)(x h y =的定义域为[],n m ，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，若存在，求出m 、n 的值；若不存在，则说明理由．兰州一中2017-2018-1学期高一数学期中考试答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分） 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,）13. ln5 14. a ≤-1 15. -4116．①②③三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17. （10分） 解：由A∩B=B ，得B A ⊆ ………………2分当B =∅时，有：231m m -≥+，解得14m ≤ ………………4分. 当B ≠∅时，如右图数轴所示，则23121317m m m m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得124m <≤ ………………8分 综上可知，实数m 的取值范围为2m ≤. ………………10分 18．（12分）解：（1）原式=72-. .………6分 （2）原式=221328491()()2795-+（）471712529399=-+=-+= .………12分 19．（12分）解：（1）设0x <，则0x -> ∴2()log (1)()f x x f x -=-+=∴0x <时，2()log (1)f x x =-+ ∴22log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +≥⎧=⎨-+<⎩ ………………6分（2）∵2()log (1)f x x =+在[0,)+∞上为增函数，∴()f x 在(,0)-∞上为减函数.由于(2)(5)f a f a -<-，∴25a a -<- ， ∴72a <. ∴a 的取值范围是)27,(-∞．……………12分20.（12分）解：（1）由条件可知122x x -=23，解得2x =2或2x =-12（舍去）， ∴x =1 ………………5分（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022t t tt tm -+-≥, 即24(21)(21)t t m -≥--， 2210t ->∵，2(21)t m ≥-+∴ ………………9分 [1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴，故m 的取值范围是[5,)-+∞ ………………12分21.（12分）解：（1） 241234()=2x+1+82121x x f x x x --=-++. ………………2分令t =2x +1, x ∈[0,1], 则t ∈[1,3], 则y =t +4t-8又函数y =t +4t-8在t ∈[1,2]上是减函数，在t ∈[2,3]上是增函数，∴函数f (x )在x ∈[1, 12]上是减函数，在x ∈[12,1]上是增函数， ∴f (x )min =f(12)= -4, 又f (0)= -3, f (1)= -113, ∴f (x )max =f (0)= -3 ∴函数f (x )的值域为[-4,-3]. ………………6分 (2)∵ g (x )=-x -2a 为减函数，∴g (x )∈[-1-2a , -2a ],由题意，函数f (x )的值域为函数g (x )值域的子集，………………9分 ∴12423a a --≤-⎧⎨-≥-⎩ 解得a =32. ………………12分22.（12分）解 ：（1）12()log g x x =，2212(21)log (21)g mx x mx x ++=++定义域为R ，∴2210mx x ++>恒成立，所以0,440,m m >⎧⎨∆=-<⎩(1,)m ∈+∞.……………4分（2）令11(),[,2]22x t t =∈，22223()3y t at t a a =-+=-+-， 当a>2时，可得，t=2时，min 74.y a =-当122a ≤≤时，得t=a 时，y min =3-a 2;当12a <时，得t=12时y min = 134a-∴274,21()3,22131,42a a h a a a a a ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩. ………………8分（3）()74,(2,)h x x x =-∈+∞，且()h x 在(2,)x ∈+∞上单调递减速.所以22()74,()74,h n n m h m m n ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 两式相减得，4m n +=，与2m n >>矛盾， 所以不存在,m n 满足条件. ………………12分。
2019-2020学年甘肃省兰州一中高一(上)期中数学试卷(PDF版,含解析)
由复合函数同增异减原则，
当 t 1 时，取得最大值为 3，即 a1 b 3 ；
当 t 0 时，取得最小值为 5 ，即1 b 5 ；
2
2
即
b b
a1 3 a0 5
2
，解得
a b
2 3 3 2
，
则有 ab 1，
（Ⅲ）若对任意的 t (1, 4) ，不等式 f (2t 3) f (t k) 0 恒成立，求实数 k 的取值范围．
-4-
2019-2020 学年甘肃省兰州一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
3 ④ f (x) ex 是一个“ ~ 特征函数”．
-2-
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共 4 小题）
13．（5
分）（2019
秋•兰州期中）如果
f
(1) x
x 1
x
，则当
x
0
且
x
1 时，
f
(x)
．
14．（5 分）（2018 秋•灌云县期中）若函数 f (x) 2x x 3 的零点为 x0 ，满足 x0 (k, k 1)
在常数 ( R) 使得 f (x ) f (x) 0 对任意实数 x 都成立，则称 f (x) 是一个“ ~ 特
征函数”．下列结论中正确的个数为 ( ) ① f (x) 0 是常数函数中唯一的“ ~ 特征函数”； ② f (x) 2x 1 不是“ ~ 特征函数”； ③“ 1 ~ 特征函数”至少有一个零点；
2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合305x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}46B x x =<<，则A B =（ ） A ．()3,6 B ．[)3,6C ．(]4,5D ．()4,5【答案】D【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出A B ⋂的结果. 【详解】因为305x x -≤-，所以()()35050x x x ⎧--≤⎨-≠⎩， 所以35x ≤<，所以[)3,5A =又因为()4,6B =，所以()4,5A B ⋂=， 故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.2．若函数()y f x =的定义域为{}|38,5x x x -≤≤≠，值域为{}|12,0y y y -≤≤≠，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.【详解】选项A 中，当8x =时，0y =，不符合题意，排除A ；选项C 中，存在一个x 对应多个y 值，不是函数的图象，排除C ；选项D 中，x 取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.3．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 02+ax 0+a ＜0是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）∪（0，4） B ．（0，4） C ．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D ．[0，4]【答案】D【分析】由命题p ：∃x 0∈R ，x 02+ax 0+a ＜0是假命题，可知：∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，利用判别式法即可求解．【详解】由命题p ：∃x 0∈R ，x 02+ax 0+a ＜0是假命题可知：∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0， ∴∆＝a 2﹣4×1×a ≤0，解得：a ∈[0，4]． 故选：D ．4．若函数()y f x =的定义域是[]0,2022，则函数()()11f xg x x +=-的定义域是（ ） A ．[)(]1,11,2021-⋃ B ．[)(]1,11,2022-⋃ C ．[]0,2022 D ．[]1,2021-【答案】A【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域的性质求解即可. 【详解】因为函数()y f x =的定义域是[]0,2022， 所以对于()()11f x g x x +=-可得0120221110x x x ≤+≤⎧⇒-≤<⎨-≠⎩或12021x <≤， 从而函数()()11f xg x x +=-的定义域是. [)(]1,11,2021-⋃. 故选：A.5．已知0.51.5a =， 1.50.5b =，0.50.5c =，则它们的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.【详解】根据函数0.5x y =在R 上单调递减，得 1.50.50.50.5b c ==<且01b c <<<， 又0.501.5 1.51a =>=，a cb ∴>>故选：B6．幂函数()()22255mm f x m m x +-=+-在区间()0,∞+上单调递减，则()3f =（ ）A ．27B ．9C ．19D ．127【答案】C【分析】根据函数为幂函数得到251m m +-=，解方程并验证单调性得到()2f x x -=，带入数据计算得到答案.【详解】()()22255mm f x m m x+-=+-是幂函数，故251m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，()3f x x =，函数在()0,∞+上单调递增，不满足；当3m =-时，()2f x x -=，函数在()0,∞+上单调递减，满足，故()2f x x -=，()139f =. 故选：C7．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()12120,,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则()2f -、()2.7f 、()3f -的大小关系为（ ）A ．()()()2.732f f f <-<-B ．()()()2 2.73f f f -<<-C ．()()()32 2.7f f f -<-<D ．()()()3 2.72f f f -<<-【答案】D【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论． 【详解】因为对任意的[)()12120,,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以当12x x <时，12()()f x f x >， 所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又()f x 是偶函数，所以(3)(3)f f -=，(2)(2)f f -=， 因为2 2.73<<，所以()()()2 2.73f f f >>， 即()()()2 2.73f f f ->>-． 故选：D ．8．已知函数()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()()2f a f a -=，则2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．6B ．4C ．2D ．1【答案】C【分析】由已知对a 进行分类讨论，然后由()()2f a f a -=可建立关于a 的方程，可求a ，进而可求．【详解】()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩当2a >时，由()()2f a f a -=可得22(2)(2)a a a a -+-=+ 解得12a =（舍）， 当a ≤0时，由()()2f a f a -=可得5（a −2）＋6＝5a ＋6，此时a 不存在， 当0＜a ≤2时，由()()2f a f a -=可得25(2)6a a a -+=+， 解得a ＝2，则()(1)22af f ==．故选：C ．9．函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】结合指数函数图像性质，分1a >和01a <<两种情况求解即可.【详解】解：当1a >时，()10,1a∈，因此0x =时，1011y a <=-<，当=1x -时，0y =，且函数1xy a a =-在R 上单调递增，故ABC 均不符合； 当01a << 时，11a>，因此0x =时，0y <，且函数1x y a a =-在R 上单调递减，故D 符合．故选：D ．二、多选题10．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b <<，则22a ab b >> B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>，则33a b > D ．若0a b >>，c d >，则ac bd > 【答案】ABC【分析】根据不等式的性质依次分析ABC 选项，利用特殊值分析D 选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，由0a b <<，得2a ab >，2ab b >．所以22a ab b >>，故正确； 对于B 选项，由22ac bc >，得a b >，故正确；对于C 选项，由22330a b a b a b >>⇒>⇒>，故正确；对于D 选项，当4a =，1b =，1c =-，2d =-时，满足0a b >>，c d >，但42ac bd =-<=-，故错误. 故选：ABC11．下列说法不正确的是（ ） A ．函数()1f x x=在定义域内是减函数 B ．若()g x 是奇函数，则一定有()00g =C ．若定义在R 上的函数()f x 的值域为[]1,2-，则()21f x -的值域为[]1,2-D ．若函数()()()2511x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是(],2-∞-【答案】ABD【分析】由反比例函数的性质可判断A ，由奇函数的性质可判断B ，整体换元可判断C ，由分段函数的单调性可判断D.【详解】对于A ，由反比例函数的性质可知，函数()1f x x=在（−∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减，但是在定义域内不是减函数，故A 错误；对于B ，若()g x 是奇函数，不一定有()00g =，例如()1g x x=为奇函数，但在x ＝0处无意义，故B 错误；对于C ，若定义在R 上的函数()f x 的值域为[]1,2-，对于()21f x -，令21,R x t t -=∈，即()()21,R f x f t t -=∈，解析式和定义域均与定义在R 上的函数()f x 相同，故值域也为[]1,2-，故C 正确，对于D ，若函数()()()2511x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数，则12150a a a a ⎧-≥⎪⎪---≤⎨⎪<⎪⎩，解得−3≤a ≤−2，故D 错误， 故选：ABD ．12．已知不等式()2231220x a x a a -+++>，下列说法正确的是（ ）A ．若1a =，则不等式的解集为RB ．若0a =，则不等式的解集为}1{|0x x x ><或C ．若1a >，则不等式的解集为1x a <+或2x a >D ．若1a <，则不等式的解集为{|}21x x a x a <>+或 【答案】BD【分析】结合a 的取值范围分类讨论，可求出不等式的解集，即可得到答案．【详解】不等式()2231220x a x a a -+++>，整理得()()231210x a x a a -+++>，即()[]2(1)0x a x a --+>，若1a =，则()220x ->，所以不等式的解集为{|2}x x ≠，故选项A 错误； 若0a =，则()10x x ->，所以不等式的解集为}1{|0x x x ><或，故选项B 正确；若1a >，则21a a >+，所以不等式的解集为}1{|2x x a x a <+>或，故选项C 错误； 若1a <，则21a a <+，所以不等式的解集为{|}21x x a x a <>+或，故选项D 正确． 故选：BD ．三、填空题13．已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-，则当0x <时，()f x =______．【答案】2x x --【分析】当0x <时，0x ->，函数为奇函数得到()()f x f x =--，代入计算化简即可.【详解】当0x <时，0x ->，函数为奇函数，故()()()21f x f x x x x x =--=----=--⎡⎤⎣⎦.故答案为：2x x --14．计算：31142648168()8()497---⨯-⨯= ________.【答案】6-【分析】结合指数幂的运算性质，计算即可. 【详解】由题意，31142648168()8()497---⨯-⨯=()1232448728878-⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1387287887877678-⎛⎫-⨯-=-⨯-=--=- ⎪⎝⎭.故答案为：6-.15．已知奇函数()f x 在定义域[]3,3-上单调递减，则不等式()()2110f x f x -+-<的解集为______． 【答案】2,23⎛⎤⎥⎝⎦【分析】将不等式转化为()()211f x f x -<-，根据函数的单调性结合函数定义域解不等式得到答案. 【详解】函数为奇函数，()()2110f x f x -+-<，即()()()2111f x f x f x -<--=-，函数在定义域[]3,3-上单调递减，故3213313?211?x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪->-⎩，解得223x <≤.故答案为：2,23⎛⎤⎥⎝⎦.16．已知函数()(),0,0,16,0,x a x f x a a a x x ⎧≤=>≠⎨->⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】结合6,0y a x x =->的值域，可分析得到x y a =必为减函数，再根据分段函数整体的图象，数形结合，即得解【详解】由题意，6,0y a x x =->的值域为：(,6)a -∞要使得：()(),0,0,16,0,x a x f x a a a x x ⎧≤=>≠⎨->⎩的值域为R x y a =必为减函数，因此01a <<可作出函数图象如图，由图象可知01,601,a a <<⎧⎨-≥⎩解之得116a ≤<.故答案为：1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．集合{}17A x x =-≤≤，{}231B x m x m =-<<+． (1)若4m =，求()R A B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)R (2){}R |2m m ∈≤【分析】（1）根据补集、并集的知识求得()R A B .（2）根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件列不等式，从而求得m 的取值范围. 【详解】（1）当4m =时，{}|213B x x =-<<，{R|1A x x =<-或}7x >，所以()A B =R R .（2）由于“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A ， 当1231,4m m m -≥+≤时，B =∅，满足B A ， 则当14m >时，B ≠∅，则2131714m m m ⎧⎪-≥-⎪+≤⎨⎪⎪>⎩，解得124m <≤.综上所述，m 的取值范围是{}R |2m m ∈≤. 18．已知a ，b ，c 均为正实数． (1)求证：a b c ++≥ (2)若1a b +=，求14a b+的最小值．【答案】(1)证明见解析. (2)9【分析】（1）直接利用基本不等式即可证明.（2）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）因为a ，b ，c 均为正实数， 所以()()()(1122a b c a b b c a c ++=+++++≥=⎡⎤⎣⎦a b c ==时，等号成立.所以a b c ++≥（2）因为1a b +=，则()1414414b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭5549≥+=+= 当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩时，即1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立.所以14a b+的最小值为919．为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（km/h ）值的2倍．（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）（1）写出运输总费用y 元与汽车速度km/h x 的函数关系，并求汽车的速度为每小时50千米，运输的总费用．（2）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围． （3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？【答案】（1）1244元；（2）汽车行驶速度不低于40km/h 时，不高于90km/h ；（3）汽车应以每小时60千米的速度行驶．【分析】（1）依题意可得()7200210000y x x x=++>，再将50x =代入计算即可； （2）依题意得到分式不等式，再根据0x >去掉分母，转化为一元二次不等式，解得即可； （3）利用基本不等式即可求出y 的最小值，求出符合条件的x 即可． 【详解】（1）依题意可得()12072006010002210000y x x x x x=⨯++=++> 当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：120601000250124450⨯++⨯=（元）． （2）设汽车行驶的速度为km/h x ()0x >， 由题意可得：7200100021260x x++≤， 化简得213036000-+≤x x . 解得4090x ≤≤，故为使运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度不低于40km/h 时，不高于90km/h ． （3）因为0x >，所以7200720010002210001240y x x x=++⋅=，当且仅当72002x x =即60x =时取“=”，即当速度为60千米/小时时，运输总费用最小． 20．函数()f x x x a =-，其中0a >．(1)当2a =时，求()f x 在区间[]1,4上的最大值和最小值；(2)若函数()f x 在(),1-∞和()5,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)()f x 在区间[]1,4上的最大值为8，最小值为0. (2)[2,5]【分析】(1)结合已知条件求出()f x 的分段函数，然后利用单调性求解即可.(2)结合()f x 的单调性即可求解.【详解】（1）由题意，()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-+≤=-=⎨->⎩，且0a >，结合上式和二次函数性质可知，()f x 在(,)2a -∞和(,)a +∞上单调递增，在[,]2a a 上单调递减， 故当2a =时，()f x 在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，从而()f x 在区间[]1,4上的最小值为(2)2|22|0f =⨯-=，因为(1)1f =，(4)8f =，所以()f x 在区间[]1,4上的最大值为(4)8f =.故()f x 在区间[]1,4上的最大值为8，最小值为0.（2）由(1)知，()f x 在(,)2a -∞和(,)a +∞上单调递增，在[,]2a a 上单调递减， 因为函数()f x 在(),1-∞和()5,+∞上单调递增， 所以125a a ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得25a ≤≤，故实数a 的取值范围为[2,5].21．已知)(f x 为二次函数，满足)(03f =，)()(121f x f x x +-=-（1）求函数)(f x 的解析式（2）函数)(12x g x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，求函数)()(g f x 的值域【答案】（1）)(223f x x x =-+；（2）10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）设)(2f x ax bx c =++()0a ≠，利用)(03f =可得c 的值，由)()(1f x f x +-21x =-，利用对应系数相等列方程可得a ，b 的值，进而可得)(f x 的解析式；（2）)()(22312x x g f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭由12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭和223t x x =-+复合而成，求出223t x x =-+的范围，再由指数函数的单调性即可求解.【详解】（1）设)(2f x ax bx c =++()0a ≠，因为)(03f c ==，)(23f x ax bx =++由)()(121f x f x x +-=-可得：()()22113321a x b x ax bx x ++++---=-， 整理可得：221ax a b x ++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，可得12a b =⎧⎨=-⎩，所以)(223f x x x =-+； （2）由)(12x g x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，可得)()(22312x x g f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为)()(22312x x g f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭是由12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和223t x x =-+复合而成， 因为()2223122t x x x =-+=-+≥，即[)2,t ∈+∞，12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以2111224t y ⎛⎫⎛⎫=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为102t y ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以110,24t y ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 所以函数)()(g f x 的值域为10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 22．已知函数()f x 在()1,1-上有意义，且对任意x ，()1,1y ∈-满足()()()1x y f x f y f xy++=+． (1)求()0f 的值，判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；(2)若()f x 在(1,1)-上单调递减，且1()12f -=，请问是否存在实数a ，使得()()10f x f a ++≥恒成立，若存在，给出实数a 的一个取值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(0)0f =，()f x 为奇函数，证明见解析.(2)不存在，理由见解析.【分析】(1)结合已知条件，利用赋值法即可求(0)f ，利用奇偶性定义即可证明；(2)结合已知条件，利用奇偶性和函数单调性即可求解.【详解】（1）因为对任意x ，()1,1y ∈-满足()()()1x y f x f y f xy++=+， 所以令0x y ==，则(0)(0)(0)(0)0f f f f +=⇒=，()f x 为奇函数，证明如下：不妨令y x =-，则2()()()(0)01x x f x f x f f x -+-===-， 从而()()f x f x -=-，因为函数()f x 的定义域为()1,1-，所以()f x 为奇函数.（2）假设存在这样的a ，使得()()10f x f a ++≥恒成立，且11a -<<， 因为1()12f -=， 所以1()()1()()()02f x f a f x f a f ++=++-≥， 从而112()()()()()1212x f x f f f a f a x -+-=≥-=--， 因为()f x 在(1,1)-上单调递减， 所以121322()12212x x a g x xx x ---≥==--=---在(1,1)-上恒成立， 由反比例函数性质可知，()g x 在(1,1)-上单调递增，从而(1)1a g -≥=，即1a ≤-，这与11a -<<矛盾，故假设不成立，即不存在这样的实数a ，使得()()10f x f a ++≥恒成立.。
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(PDF版,含解析)
兰州一中高一年级期中考试数学试卷 第 1 页 共 4 页兰州一中2023-2024-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A ．B ．C ．y =|x |D ．3．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知，，且，则的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．86．函数的图像大致是（ ）A ．B ．C．D．7．，对于，，都有成立，求的取值范围（）A ．B ．C ．D ．8．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（）A．B ．C．D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．下列各组函数表示相同函数的是（）A．，B．，C．，D．，10．下列说法正确的是（）A．的最小值为2 B．的最小值为1C．的最大值为3 D．最小值为11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，兰州一中高一年级期中考试数学试卷 第 2 页共 4 页兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 3 页共 4 页12．已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则（）A．B．C．，D．，不等式的解集为第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数，则 .14．已知，则的解析式为．15．函数在上的值域是 .16．已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和值域．兰州一中高一年级期中考试数学试卷 第 4 页 共 4 页18．（12分）已知二次函数的图象过点，.(1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域.19．（12分）已知二次函数，(1)若为偶函数，求的值． (2)若在上最大值为4，求．20．（12分）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.21．（12分）已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，.(1)判断的单调性并加以证明； (2)若，解不等式.22．（12分）已知函数，．(1)判断函数 的奇偶性，并说明理由；(2)当 时，求函数的单调区间； (3)求函数 的最小值．兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 1 页 共 8 页兰州一中2023-2024-1高一期中考试答案1． C【详解】解：因为集合，所以．故选： C. 2．D 【详解】，都是奇函数，排除A ，B.，都是偶函数，在上递增，在递减，故选：D ． 3．C 【详解】由，则，解得且，即函数的定义域为，故选：C. 4．A【详解】对于不等式，可解得或， 所以可以推出，而不可以推出，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A. 5．C 【详解】因为，所以.因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为4.故选：C 6．B兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 2 页 共 8 页【详解】由函数，可得，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 又由时，，所以函数图象为B 选项.故选：B. 7．C【详解】因为定义在上的函数满足对，，都有，所以函数是上的减函数，则函数和均为减函数，且有，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C. 8．A【详解】解： 为定义在上的偶函数，在上为增函数，在上为单调递减， ， ，，即 ，解得：，所以实数 的取值范围为： ．故选：A. 9．CD【详解】选项A ，两个函数的对应法则不同，不是同一函数； 选项B ，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数； 选项C ，，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数；选项D ，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数. 故选：CD 10．BC兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 3 页 共 8 页【详解】对于A ，当时，，故选项A 错误； 对于B ，因为，即的最小值为1，故选项B 正确；对于C ，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为3，故选项C 正确；对于D ，因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即不成立，故等号不成立，所以最小值不为，故选项D 错误.故选：BC ． 11．ABD 【详解】由得，故正确； 当时，，且存在使得，则时，，，且当有,∴在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，，则时，，，故正确．故选：．12．AC【详解】A. 因为，，所以，正确； B.，，所以，错误；C. 由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以； 时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确；兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 4 页 共 8 页D. 由C 得 ，，如图：所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D 错误.故选：AC. 13．9【详解】解：根据题意，故答案为：9 14． 【详解】令，则，∴，故答案为：．15．【详解】解：当时，函数在上是增函数，故当时，函数取得最小值为1， 又，故函数的值域为，故答案为：．16． 【详解】因为，故，所以，当且仅当，即时等号成立，即有，所以，即a 的最小值为，故答案为： 17．（1）递增区间是，，图像见解析（2）兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 5 页 共 8 页【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y 轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数的递增区间是,. 设,则,所以,因为是定义在R 上的偶函数,所以,所以时,,故的解析式为, 由图像可得值域为.18．(1)；(2)【详解】（1）由题意可设，代入点坐标得，解得，故函数解析式为.（2）由第一问得上单调递增，在上单调递减而，故函数在上的值域为.19．(1) (2)或.【详解】（1）因为是偶函数，所以，即，则恒成立，由于的任意性，则； 当时，定义域为，且，所以.兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 6 页 共 8 页（2）因为，当，即时，在上单调递减，所以，解得，满足要求；当，即时， 则，解得或（舍去）；当，即时，在上单调递增，所以，解得，不满足要求；综上，或.20．(1)4米，28800元 (2)【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 则.当且仅当，即时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. （2）由题意可得，对任意的恒成立.即，从而恒成立，令，又在为单调增函数，故.所以.21．(1)增函数，证明见解析； (2)【详解】（1）在上为增函数， 证明如下：任取且，则，则.又因为当时，，而，所以，所以，所以在上为增函数.（2）由定义域可得，解得，由已知可得，所以，所求不等式可转化为.由在上为增函数可得，解得，则不等式解集为.22．(1)见解析(2)单调递增区间是，单调递减区间是(3)【详解】（1）显然函数的定义域为R，当时，，此时函数为偶函数；当时，因为，，所以，，此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）因为，所以①当时，时，函数的最小值为，时，函数在上单调递减，，而，所以函数的最小值为．②当时，时，函数的最小值为，时，函数的最小值为，而，所以函数的最小值为．③当时，函数的最小值为．综上所述，．。
甘肃省兰州高一数学上册期中考试题
兰州一中高一年级期中考试试题数学说明:本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）。
1.设集合{}1>∈=x N x A ，则（ ）A. A ∉φB. A ∉1C. A ∈1D. {}A ⊆1 2.已知函数23)12(+=+x x f 且2)(=a f ，则a 的值等于（ ） A. -1 B. 5 C. 1 D. 8 3.三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A ．60.70.70.7log 66<< B ．60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<<4.若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，且)(x f y =图像经过点)a ，则=)(x f ( )A ．2log xB ．12log x C ．12xD ．2x 5.函数y =log 21(x 2-3x +2)的递增区间是 （ ）A ．（-∞,1）B ．（2,+∞）C ．（-∞,23） D ．( 23, +∞)6.已知y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，当x<0时，f (x )等于（ ） A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )7.已知函数8)(35+++=cx bx ax x f ，且10)2(=-f ，则函数)2(f 的值是（ ） A.2- B.6- C.6 D.8 8.1(0,1)xy a a a a=-≠≠函数且的图像可能是（ ） A ． B ． C ． D ．2.05.0A. a c b >>B. c a b >>C. c b a >>D. a b c >> 10.设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是( )A.)52(，B.)02(，-C.[)52()25，，-- D .(](2,0)2,5-第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 11.函数2()2(1)2f x x a x =+--在区间[)4+∞，上单调递增,则实数a 的取值范围是 (用区间表示);12.函数12()log f x x =在区间[]2,8上的最大值为 ;13.若方程0x a x a --= (a >0，且a ≠1)有两个实根，则实数a 的取值范围是 ; 14.若14log 3=x ，则xx-+44= .兰州一中2016-2017-1学期高一年级期中考试试题数学答题卡一、选择题（本大题共1个题，共40分）11. ； 12. ; 13. ; 14. .三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．(本 大题共5小题，共44分)15.（本题满分8分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,2)(2x x x x x x x f ,(Ⅰ)求f (f (－2))；(Ⅱ)画出函数f (x )的图象,根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f (x )在区间(－4,0)上的值域．16.（本题满分8分）已知函数()()110212xf x x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭， (Ⅰ)判断函数()f x 的奇偶性； (Ⅱ)证明()0f x >.17.(本题满分8分)已知函数f (x )＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1在区间上恒为正，求实数a 的取值范围．18.(本题满分10分)已知－3≤log 12 x ≤－12，求函数f (x )＝(log 2x 2)(log 2x4)的最大值和最小值，并求出对应的x 的值．19.（本题满分10分）设函数()y f x =且lg(lg )lg3lg(3)y x x =+-. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及定义域； (Ⅱ)求函数()f x 的值域； (Ⅲ)讨论函数()f x 的单调性.数学答题卡一、选择题（本大题共1个题，共40分）11. (],5-∞； 12. -1 ; 13. ),1(+∞; 14. 310. 三、 解答题：在相应位置．．．．．解答．．(本大题共5小题，共44分) 15.（本题满分8分）解:（Ⅰ）(2)220f -=-+=((2))(0)02f f f ∴-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 (Ⅱ)图略 ………………………4分单调增区间为),0(),1,(+∞--∞（开区间，闭区间都给分 …………………………6分 由图可知： (4)2f -=- (1)1f -= ()f x ∴的值域为(2,1]-. …………8分 16.（本题满分8分）解：（Ⅰ）1121()()212221x x x x f x x +=+=⋅-- 2121()()221221x x x x x x f x f x --++-=-⋅=⋅=--，为偶函数...................4分（Ⅱ）21()221x x x f x +=⋅-，当0x >，则210x->，即()0f x >；当0x <，则210x-<，即()0f x >， ∴()0f x > .................8分17.(本题满分8分)解：当a >1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1是减函数，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2·2＋1>1，则a <12，矛盾． ……………………………………4分当0<a <1时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1<1，设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1，分类讨论1a －2的取值，得12<a <23. …………………………………8分18.(本题满分10分)解：∵log 12 (12)－3≤log 12 x ≤log 12(12)－12， ∴log 12 8≤log 12 x ≤log 122，∴2≤x ≤8. ………………………………………………………3分 又f (x )＝(log 2x 2)(log 2x4)＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝(log 2x －32)2＋2－94＝(log 2x －32)2－14.∵log 2x ∈， ∴log 2x ∈[12，3]．令log 2x ＝t ，则f (x )＝(t －32)2－14，t ∈[12，3]． ……………………………6分∴f (x )min ＝－14，此时t ＝32，即log 2x ＝32，∴x ＝2 32＝22； ………………………………………………8分f (x )max ＝(3－32)2－14＝2，此时t ＝3，即log 2x ＝3，∴x ＝8. …………………………………10分19.（本题满分10分）解:(Ⅰ)由已知得lg(lg )lg[3(3)]y x x =-，所以lg 3(3)y x x =-， 即3(3)10x x y -= ……………………………………………………2分要使函数有意义，则300330x x x >⎧⇒<<⎨->⎩.所以函数的定义域为(0,3) …………………………………………4分(Ⅱ)令23273(3)3()24u x x x =-=--+. ∵03x <<，∴2704u <≤， ∴27041010y <≤，即274110y <≤ …………………………………7分 33∵10uy =在274(1,10)上是增函数，∴3(3)10x x y -=在3(0,)2上是增函数，在3[,3)2上是减函数. ……10分。
2019-2020学年甘肃省兰州一中高一(上)期中数学试卷1(含答案解析)
2019-2020学年甘肃省兰州一中高一（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|−x2+x+2≥0}，则满足条件A∪B=A的集合B的个数为()A. 3B. 4C. 7D. 82.已知点(x,y)在映射f下对应的元素是(x,x+y)，若点(m,n)是点(2,1)在映射f下所对应的元素，则m−n=()A. 0B. −1C. 1D. 23.下列与f(x)=x是同一函数的是()．A. g(x)=√x2B. g(x)=x2xC. g(x)=log a a xD. g(x)=a log a x4.函数y=√log12(x+1)3x+1的定义域是()A. [−1,+∞)B. (−1,+∞)C. (−1,−13)∪(−13,+∞) D. (−1,−13)∪(−13,0]5.定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，则f(2)等于()A. 4B. 6C. −4D. −66.若函数f(x)=x2−ax−a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于()A. −1B. 1C. 2D. −27.如果log12x<log12y<0，那么()A. y<x<1B. x<y<1C. 1<x<yD. 1<y<x8.已知函数f(x)={lnx,x>0,e x,x≤0,则f[f(14)]的值为()A. 4B. 2C. 12D. 149.若函数f(x)=a x−1的图象经过点(2,4)，则函数g(x)=log a1x+1的图象是()A. B. C. D.10.已知f(x)=a−x(a>0且a≠1)，且f(−2)>f(−3)，则a的取值范围是()A. 0<a<1B. a>1C. 12<a<1 D. a>011.已知函数在(0,+∞)上是增函数，则实数m的取值范围是()A. (−∞,9]B. (0,9]C. [0,9]D. [0,9)12. 定义在R 上的函数f(x)的图象是连续不断的，若对任意的实数x ，存在常数t 使得f(t +x)=−tf(x)恒成立，则称f(x)是一个“关于t 函数”，下列“关于t 函数”的结论正确的是( )A. f(x)=2不是“关于t 函数”B. f(x)=x 是一个 “关于t 函数”C. “关于12函数”至少有一个零点D.不是一个“关于t 函数” 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知f(1−x 1+x )=x ，则f(x)= ______ ．14. 已知函数的零点x 0∈(k,k +1)(k ∈Z)，则k = ______ ．15. 函数f(x)=|x +2|的单调递增区间是______．16. 给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件；③“a =0”是“函数f(x)=x 3+ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 计算下列各式的值：(1)(23)−2+(1−√2)0−(338)23−160.25； (2)lg16+3lg5−lg 15．18. 已知集合A ={x|x 2−5x +4≤0}，集合B ={x|2x 2−9x +k ≤0}．(1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数k 的取值范围．19.已知幂函数y=(−m2−2m)x m2−2m−1当x∈(0,+∞)时为增函数，求m的值．20.已知函数f(x)=a−2是定义在R上的奇函数．1+2x(Ⅰ)求f(x)的解析式及值域；(Ⅱ)判断f(x)在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．(x2−2ax+3)．21.已知函数f(x)=log12(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．(2)若函数的值域为(−∞,−1]，求实数a的取值范围．,1)上为增函数，求实数a的取值范围．(3)若函数在区间(1222.已知指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)．(1)若f(x)的图象过点(1,2)，求其解析式；(2)若g(x)=f(x)−1，且不等式g(x2+x)>g(3−x)成立，求实数x的取值范围．f x+1-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查集合的并集运算和子集的个数求解．【解答】解：A ={x ∈N|x 2−x −2⩽0}={0,1,2}若A⋃B =A,则B 为A 的子集，故B 的个数为23=8.故选D ．2.答案：B解析：解：由题意得，m =2，n =2+1=3，则m −n =−1，故选B ．由点(x,y)在映射f 下对应的元素是(x,x +y)，m =2，n =2+1=3，从而得答案． 本题考查了映射的定义，属于基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查是否为同一函数，主要看定义域，对应关系，本题基础．【解答】解：A ．g(x)=√x 2=|x|，与f(x)=x 表达式不同．B .g(x)=x 2x =x (x ≠0)，与f(x)定义域不同．D .g(x)=a log a x =x (x >0)，定义域不同．故选C ．4.答案：D解析：解：要使原函数有意义，则{log 12(x +1)≥0①3x +1≠0②， 由①得，log 12(x +1)≥log 121，即0<x +1≤1，得−1<x ≤0；由②得，x ≠−13． 取交集得：−1<x <−13或−13<x ≤0．∴函数y =√log 12(x+1)3x+1的定义域是(−1,−13)∪(−13,0]． 故选：D ．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0求解不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础的计算题．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，属较易题． 根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵定义在R 的奇函数f(x)，当x <0时，f(x)=−x 2+x ，∴f(2)=−f(−2)=−[−(−2)2−2]=6，故选：B ．6.答案：B解析：解：∵函数f(x)=x 2−ax −a 的图象为开口向上的抛物线∴函数的最大值在区间的端点取得∵f(0)=−a ，f(2)=4−3a∴{−a >4−3a −a =1或解得a =1，∴实数a 等于1．故选B ．根据函数f(x)=x 2−ax −a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得，利用函数f(x)=x 2−ax −a 在区间[0,2]上的最大值为1，可求实数a 的值．本题以函数为载体，考查二次函数的最值，解题的关键是确定函数的最大值在区间的端点取得． 7.答案：D解析：本题考查了对数函数的单调性，属于基础题．利用对数函数的单调性即可求得．【解答】 解：由，得， 又单调递减，所以x >y >1， 故选D ． 8.答案：D解析：【分析】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出f(14)=−ln4，进而可得f[f(14)]=f(−ln4)，计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)={lnx,x >0,e x ,x ≤0,则f(14)=ln 14=−ln4，则f[f(14)]=f(−ln4)=e −ln4=14．故选D ． 9.答案：D解析：【分析】本题考查了指数函数，对数函数的定义和性质，考查了复合函数的单调性．主要考查了分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．根据函数f(x)=a x−1的图象经过点(2,4)，推得a 的值，再结合复合函数的单调性及函数g(x)过的定点即可推得g(x)的图象．【解答】解：依题意，f(x)=a x−1的图象经过点(2,4)，所以4=a 2−1，所以a =4，所以g(x)=log 41x+1，当x =0时，g(x)=0，所以g(x)过原点，排除A ，B ，又函数y =1x+1为(−1,+∞)上的减函数，y =log 4x 为(0,+∞)上的增函数，根据复合函数的单调性可知，g(x)为减函数，排除C ，故选D ．解析：【分析】本题主要考查指数函数及其性质，首先由f(−2)>f(−3)得到1a >1，从而可得到a 的取值范围，属于基础题．【解答】解：因为f(x)=a −x =(1a )x 在R 上为单调函数，又f(−2)>f(−3)，所以f(x)为增函数，故有1a >1，所以0<a <1．故选A ． 11.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的单调性的判断与应用，注意端点值的判断，是易错题．利用分段函数的单调性以及函数的端点的函数值的关系，转化求解即可．【解答】解：函数f(x)={lg(x +m),0<x <1√x,x ≥1在(0,+∞)上是增函数， 可知x ≥1时，函数是增函数，0<x <1时，y =lg(x +m)是增函数，所以x +m >0，即x >−m ，故−m ≤0，并且lg(1+m)≤1，解得0≤m ≤9．故选C ．12.答案：C解析：【分析】本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解“关于t 函数”的概念是关键，属于中档题．利用新定义“关于t 函数”，对A 、B 、C 、D 四个选项逐个判断即可得到答案【解答】解：对于A ，设f(x)=2是一个“关于t 函数”，则2=−2t ，即t =−1，因此f(x)=2是一个“关于t 函数”，故A 不正确；对于B ，用反证法，假设f(x)=x 是一个“关于t 函数”，则(x +t)+tx =0，t =1x+1−1，t 随x 改变而改变，不符合题意，所以f(x)=x 不是一个“关于t 函数”，故B 不正确； 对于C ，令x =0，得f(12)+12f(0)=0，所以f(12)=−12f(0)，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(0)≠0，f(12)⋅f(0)=−12[f(0)]2<0.又因为f(x)的函数图象是连续不断，所以f(x)在(0,12)上必有实数根．因此任意的“关于12函数”必有根，即任意“关于12函数”至少有一个零点，故C 正确．对于D ，因为f(x)=sinπx ，故当t =1时，f(x +1)+1⋅f(x)=sinπ(x +1)+sinπx =−sinπx +sinπx =0恒成立，即存在不为0的常数t =1使得f(x +1)=−f(x)恒成立，∴f(x)=sinπx 是一个“关于t 函数”，故D 不正确；故选C ． 13.答案：1−x 1+x ，(x ≠−1)解析：解：∵1−x 1+x =−1+21+x ，∴1−x 1+x ≠−1令t =1−x 1+x ，(t ≠−1)，则t +tx =1−x ，可得x =1−t 1+t∵f(1−x1+x )=x∴f(t)=1−t 1+t ．即函数解析式为：f(x)=1−x1+x ，(x ≠−1)故答案为：1−x 1+x ，(x ≠−1)换元法：令t =1−x 1+x ，解出x 关于t 的式子，得到f(t)关于t 的表达式，从而得出f(x)的解析式． 本题以一个分式函数为例，采用换元法求它的解析式，着重考查了函数解析式的求解的常用方法，属于基础题． 14.答案：2解析：【分析】本题主要考查函数的零点判定定理的应用，根据函数在定义域内单调递增且存在零点，可知f(2)f(3)<0即可求出k 的值．【解答】解：由函数的解析式可得函数在(0,+∞)上是增函数，且，，故有f(2)f(3)<0，根据函数零点的判定定理可得函数在区间(2,3)上存在零点．结合所给的条件可得，故k =2，故答案为2．15.答案：[−2,+∞)解析：解：f(x)=|x +2|={x +2x ≥−2−x −2x <−2； ∴x ≥−2时，f(x)=x +2单调递增；∴f(x)的单调递增区间为[−2,+∞)．故答案为：[−2,+∞)．去绝对值号得到f(x)={x +2x ≥−2−x −2x <−2，根据一次函数的单调性便可看出f(x)的单调递增区间为[−2,+∞)．考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及一次函数的单调性，分段函数的单调性． 16.答案：③解析：解：①“a >b ”⇔“3a >3b ”，因此“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故不正确；②取α=π3+2π，β=π3，则cosα=cosβ；反之取α=2π3，β=2π，满足cosα<cosβ，因此“α>β”是“cosα<cosβ”的既不必要也不充分条件，不正确；③函数f(x)=x 3+ax 2(x ∈R)为奇函数⇔f(−x)+f(x)=0⇔2ax 2=0，∀x ∈R ，⇔a =0.因此“a =0”是“函数f(x)=x 3+ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．因此其中正确命题的序号为③．故答案为：③．①“a >b ”⇔“3a >3b ”，即可判断正误；②取α=π3+2π，β=π3，则cosα=cosβ；反之取α=2π3，β=2π，满足cosα<cosβ，即可判断出正误；③函数f(x)=x 3+ax 2(x ∈R)为奇函数⇔f(−x)+f(x)=0⇔2ax 2=0，∀x ∈R ，⇔a =0.即可判断出正误．本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17.答案：解：(1)(23)−2+(1−√2)0−(338)23−160.25=94+1−[(32)3]23−(24)14=1−2=−1；(2)lg16+3lg5−lg 15=lg24+3lg5+lg5=4(lg2+lg5)=4．解析：(1)化带分数为假分数，化0指数幂为1，然后直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；(2)直接利用对数的运算性质化简求值．本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题． 18.答案：解：(1)∵x 2−5x +4≤0，∴1≤x ≤4，∴A =[1,4]；(2)当B =⌀时，△=81−8k <0，求得k >818．∴当B ≠⌀时，有2x 2−9x +k =0的两根均在[1,4]内，设f(x)=2x 2−9x +k ，则{81−8k ≥0f(1)≥0f(4)≥0 解得7≤k ≤818．综上，k 的范围为[7,+∞)．解析：(1)解不等式，可得集合A ；(2)若B ⊆A ，分类讨论，求实数k 的取值范围．本题主要考查集合关系中参数的取值范围，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑B =⌀的情况，这是解题的易错点．19.答案：m =−1解析：由幂函数的定义可知−m 2−2m =1，解得m =−1，当m =−1时函数y =x 2在(0,+∞)上为增函数，所以m =−120.答案：解：(Ⅰ)根据题意，函数f(x)=a −21+2x 是定义在R 上的奇函数，则f(0)=a −21+20=0，解可得a =1，当a =1时，f(x)=1−21+2x ，为奇函数，符合题意；因为2x ∈(0,+∞)，所以1+2x ∈(1,+∞)，21+2x ∈(0,2)，f(x)∈(−1,1)．(Ⅱ)f(x)在R 上是增函数．证明：设∀x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=21+2x 1−21+2x 2=2(2x 2−2x 1)(1+2x 1)(1+2x 2)>0，所以函数f(x)在R上是增函数．解析：(Ⅰ)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，解可得a的值，验证可得a的值，由指数函数的性质分析可的1+2x∈(1,+∞)，则21+2x∈(0,2)，进而可得函数f(x)的值域；(Ⅱ)设∀x1，x2∈R，x1<x2，由作差法分析可得结论．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数单调性的证明，关键求出a的值．21.答案：解：记g(x)=x2−2ax+3=(x−a)2+3−a2，(1)由题意知g(x)>0对x∈R恒成立，∴g(x)min=3−a2>0，解得−√3<a<√3，∴实数a的取值范围是(−√3,√3)．(2)由函数y=log12u是减函数及函数f(x)=log12(x2−2ax+3)的值域为(−∞,−1]可知x2−2ax+3≥2．由(1)知g(x)的值域为[3−a2,+∞)，∴g(x)min=3−a2=2．∴a=±1．(3)由题意得{a≥112−2a×1+3≥0，解得1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[1,2]．解析：(1)根据对数函数的性质，求出函数g(x)的最小值大0，解不等式即可；(2)根据复合函数的单调性得到g(x)的最小值是2，求出a的值即可；(3)结合函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了对数函数、二次函数的性质，考查复合函数的单调性问题，是一道中档题．22.答案：解：(1)∵f(x)=a x(a>0,a≠1)的图象过点(1,2)，∴a=2，∴f(x)=2x；(2)由以上可得g(x)=2x−12x+1=1−22x+1∵g(x)在定义域上单调递增，∴由不等式g(x2+x)>g(3−x)成立，可得x2+x>3−x，即x2+2x−3>0，解得x∈(−∞,−3)∪(1,+∞)．解析：本题考查指数函数及其性质，函数的解析式．(1)由f(x)=a x(a>0,a≠1)的图象过点(1,2)，求得a=2，可得f(x)的解析式；(2)由以上可得g(x)的解析式，由解析式可得函数g(x)在定义域上单调递增，故由不等式g(x2+x)> g(3−x)成立，可得x2+x>3−x，由此解得x的范围。
甘肃省兰州一中—学高一数学上学期期中试题
甘肃兰州一中2014—2015学年度上学期期中考试高一数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1．已知集合{1,16,4}A x =，2{1,}B x =，若B A ⊆，则x = （ C ） A.0 B.4- C.0或4- D.0或4±2．函数232--=x x y 的定义域是 （ B ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 B ．()+∞⎪⎭⎫⎢⎣⎡,22,23Y C ．()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,22,23Y D ．(,2)(2,)-∞+∞∪3．点),(y x 在映射B A f →：作用下的象是),(y x y x -+，则点(3,1)在f 的作用下的原象是 （ A ） A ．()2,1 B ．()4,2 C ．()1,2 D ．()4,2-4．下列四组函数中，表示相等函数的一组是 （ A ）.(),()A f x x g x ==2.()()B f x g x ==21.(),()11x C f x g x x x -==+-.()()D f x g x ==5．幂函数)(x f y =的图像经过点)81,2(--，则满足27)(=x f 的x 的值为 （ D ） A.3 B.271 C.27 D.316．已知函数1)1f x +=+，则函数f(x)的解析式为 （ C ）A ．f(x)=x2B ．f(x)=x2＋1(x≥1)C ．f(x)=x2－2x ＋2 (x≥1)D ．f(x)=x2－2x(x≥1)7．设322555223(),(),()555a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 （ C ） A. a b c >> B. c a b >> C. a b c << D. b c a >>8．若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，且在),0(+∞内是增函数，又0)2(=f ，则不等式0)(<x xf 的解集为 （ B ）A ．()()2,02,-+∞UB ．()()2,00,2-UC ．()(),22,-∞-+∞U D ．()(),20,2-∞-U9．函数xx x f 243)(-⋅=在[)∞+∈，0x 上的最小值是 （ C ） A. 112-B .0 C.2 D.1010．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的取值范围是 （ D ） A.]2,1[- B.]2,0[ C.),1[+∞ D.),0[+∞11．设,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的两个实根,则(x -1)2+(y -1)2的最小值是 （ B ）A ．． 1241B ．8C ．18D ．4312．设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x －2)＝f(x ＋2)，且当[]2,0x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f(x)－loga(x ＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ( D )A ．(1,2)B ．()2,+∞ C．( D．)2二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．函数)45(log )(22+-=x x x f 的单调递减区间是 . )1,(-∞ 14．函数y ＝12x ＋1的值域是___________【答案】 (0，1)15．已知函数122)(+-=x xb x f 为定义在区间[]13,2--a a 上的奇函数，则=+b a ________【答案】 216．定义在R 上的函数)1(,0)()2(:)(+=++x f x f x f x f 且函数满足为奇函数，对于下列命题：①函数)(x f 满足)()4(x f x f =+； ②函数)(x f 图象关于点（1，0）对称；③函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称； ④函数)(x f 的最大值为)2(f ；⑤0)2009(=f ．其中正确的序号为________．【答案】①②③⑤三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分6分） 设集合{}|11A x a x a =-≤≤+，集合{}|15B x x =-≤≤，（1）若5a =，求A B I ； （2）若A B B =U ，求实数a 的取值范围. 【答案】 （1）[]4,5A B =I(2) 04a ≤≤18.（本大题共2个小题，每小题4分，共10分）（1）若0,0a b >>，化简：211133221566(2)(6)(41)3a b a b a a b⋅----（2）若2log 3a=，5log 2b=，试用,a b 表示2log 45【答案】（1）212111113332232215156666(2)(6)2(6)(41)(41)33a b a b aba a a ba b++⋅-⨯-⋅--=⋅----756615664(41)4(41)1a b a a a a b=⋅--=--=（2）∵222222log 45log (59)log 5log 9log 52log 3=⨯=+=+而5log 2b=，则21log 5b =，∴2121log 452ab a b b +=+=.19. （本小题满分10分）已知x x x f +-=11log )(2.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．【答案】：解：（1）若()21log 1x f x x -=+有意义，则101xx ->+，解得定义域为（-1,1），关于原点对称.又因为()()2211log log 11x x f x f x x x +--==-=--+所以()f x 为奇函数.（2）函数()f x 在定义域（-1,1）上单调递减.证明：任取()1212,1,1x x x x ∈-<且，()()()()()()()()()()12122212122122121211log log 1111log 1111log 11x x f x f x x x x x x x x x x x ---=-++-+=+-+-=+-因为()1212,1,1x x x x ∈-<且，所以()()()()2121121211111,1,11111x x x x x x x x +-+->>>+-+-即()()120f x f x ->所以()f x 在区间（-1,1）上为减函数.20. （本小题满分10分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=． （1）写出函数R x x f ∈),(的解析式；（2）若函数[]2,1,22)()(∈+-=x ax x f x g ，求函数)(x g 的最小值()h a . 【答案】（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩ （2）①当11a +≤时，即0a ≤min ()(1)12g x g a==-②当112a <+<时，即01a <<2min ()(1)21g x g a a a =+=--+③当12a +≥时，即1a ≥min ()(2)22g x g a==-综上：212,0()21,0124,1a a h a a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩21. （本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且(1)1f =,若[],1,1x y ∈-,0x y +≠ 有[]()()()0x y f x f y +⋅+>.(1)判断()f x 的单调性,并加以证明;(2)解不等式1()(12)2f x f x +<-;(3)若2()21f x m am ≤-+对所有]1,1[-∈x ,[]1,1a ∈-恒成立,求实数m 的取值范围. (1)证:任取]1,1[,21-∈x x ,且21x x <,则012>-x x 由题意0)]()()[(1212>-+-x f x f x x因为()f x 为奇函数,所以0)]()()[(1212>--x f x f x x 所以0)()(12>-x f x f ,即)()(12x f x f >所以()f x 在]1,1[-上单增 …………4分(2)由题意,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-xx x x 212112111211所以,610<≤x …………8分(3)由()f x 在]1,1[-上单增,1)1()(max ==f x f由题意,1212+-≤am m ,即022≥-am m 对任意[]1,1a ∈-恒成立令22)(m ma a g +-=,[]1,1a ∈-⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥+=-02)1(02)1(22m m g m m g所以0=m 或2-≤m 或2≥m综上所述,∈m 0|{=m m 或2-≤m 或}2≥m …………12分。
甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量检测数学试卷
甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量检测数学试卷一、单选题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．83．不等式20ax x c -+>的解集为{21}x x -<<∣，则函数2y ax x c =++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为A ．B ．8C ．9D ．105．以下函数在R 上是减函数的是（）A ．2y x =-B ．12log y x=C ．1y x=D ．1()2xy =6．2()log 5f x x x =+-的零点所在区间为（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,57．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用1S ，2S 分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A ．B ．C ．D ．8．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（）A ．1665B ．5665C ．865D ．47659．已知当x ∈(1，+∞)时，函数y =x α的图象恒在直线y =x 的下方，则α的取值范围是（）A ．0<α<1B ．α<0C ．α<1D ．α>1二、多选题10．21x ≤的一个充分不必要条件是（）A ．10x -≤<B ．1x ≥C ．01x <≤D ．11x -≤≤11．已知正数a ，b ，则下列不等式中恒成立的是（）A ．a b++B ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭C 22≥D ．2aba b>+12．若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（）A ．0B ．1C ．32D ．313．下列函数中，既是偶函数又在(0,3)上是递减的函数是（）A ．21y x =-+B ．3y x =C ．||1y x =-+D ．y =三、填空题14．不等式2450x x --+≤的解集为．（用区间表示）15．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围是______________________.16．定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数op 若函数op 在()0,+¥上为增函数，且()10f =则不等式()0f x x<的解集为．17．若关于x 的不等式2log 0a x x -<在(0,2内恒成立，则a 的取值范围是．四、解答题18．设集合{|25}A x x =-≤≤,{|121}B x m x m =-≤≤+.（1）若A B =∅ ，求m 的范围；（2）若A B A = ，求m 的范围.19．（1）设12tan α=-，求2212sin sin cos cos αααα--的值；（2）已知cos （75°+α）13=，且﹣180°＜α＜﹣90°，求cos （15°﹣α）的值．20．设集合{}2320A xx x =-+=∣，集合(){}22150B x x a x a =+-+-=∣．(1)若{}2A B = ，求实数a 的值；(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围．21．已知函数()211x f x x -=+.(1)求函数的定义域；(2)试判断函数在()1,∞-+上的单调性；(3)试判断函数在[]3,5x ∈的最大值和最小值.22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数（1）求a 的值（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性（3）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．23．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求,a b 的值；(2)若(1)2f =，①0,0a b >>，求14a b+的最小值；②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．。
甘肃省兰州一中高一数学上学期期中试题.doc
甘肃兰州一中-1高一期中考试数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.） 1.如果=⋂===B A C B A U U )(},5,4,2{},4,3,1{},5,4,3,2,1{那么( )A ．φB ．{1，3}C ．{2，5}D ．{4}2.已知==)(,)(2x f x f 则π( )A ．2π B ．π C ．π D ．不确定3.如果函数f (x )的定义域为[－1,1]，那么函数f (x 2－1)的定义域是（ ）A ．[0，2]B ．[－1,1]C ．[－2，2]D ．[－2，2]4．已知集合}1,log |{3>==x x y y A ，}0,3|{>==x y y B x，则=⋂B A ( )A ．}310|{<<y yB ．}0|{>y yC ．}131|{<<y y D ．}1|{>y y 5.设{}06A x x =≤≤，{}02B y y =≤≤,从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）A ．1:3f x y x →=B .1:2f x y x →= C ．1:4f x y x →= D ．1:6f x y x →=6．函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数33)(3--=x x x f 有零点的区间是（ ）A ．（- 1 ，0）B .（0，1）C .（1，2）D .（2，3）8.若函数()log (01)a f x x a =<<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )A ．42 B ． 22 C ． 41 D ． 219.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,0,)21()(21x x x x f x，若)(a f >1，则a 的取值范围是（ ）A ．(－1,1)B ． ),1(+∞-C ． ),0()2,(+∞⋃--∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞10．函数f (x )=51log (x 2－3x +2)的单调增区间为（ ）A .（－∞，1） B.（2，+∞） C .（－∞，23） D.（23，+∞） 11．已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数，则a 的范围是（ ）A .25a ≤B. 0a ≤ C .25a ≥或0a = D . 25a ≥ 12．若11|log |log 44aa =，且|log |logb b a a =-，则,a b 满足的关系式是（ ） A ．1,1a b >>且 B ．1,01a b ><<且 C ．1,01b a ><<且 D ．01,01a b <<<<且二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题(后附答案)
一、选择题：（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.）（交卷只交答题卡） 1.设集合}3{<∈=x R x M ，3=a ,则下列选项正确的是 （ ）A. M a ∉B. M a ∈}{C. M a ⊆D. M a ⊆}{ 2.下列各函数图象中，表示函数31-=x y 的是 （ ）3.已知集合]4,0[=A ，]2,0[=B ，下列从A 到B 的对应关系f ，A x ∈，B y ∈,不是从A 到B 的映射的是 （ ）A.x y x f =→:B. x y x f 32:=→C. x y x f 21:=→D. 281:x y x f =→4.某种细菌在培养过程中，每15min 分裂一次（由1个分裂成2个），这种细菌由1个分裂成4096个需要经过 （ ） A.12h B.4h C.3h D. 2h5.定义在R 上的奇函数在)(x f ),0(+∞上的表达式为,)(x x x f += 上的在则)0,()(-∞x f 表达式为 （ ） A. x x -- B. x x +- C. x x -+- D. x x --- 6. 16log 5log 10log 225log 5444⋅+-的值是 （ ）A. 2B.－1C. －2D. 17.已知函数)1,0(log ≠>=a a x y a 与其反函数的图象有交点,设交点的横坐标为0x ，则 （ ）A. 110>>x a 且B. 10100<<<<x a 且C. 1010<<>x a 且D. 1100><<x a 且8.已知312128.1,2,1.0log ===c b a 则,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<9.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上为增函数，且0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集为 （ ）A. ),2()21,0(+∞⋃ B. ),2(+∞C. ),2()1,21(+∞⋃ D. )21,0(10.设函数),0(ln 31)(>-=x x x x f 则函数)(x f y = （ ）A.在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B.在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C.在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D.在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点11.已知)2(log )(ax x f a -=在]1,0[上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A.（0，1）B. （0，2）C. （1，2）D. ),2[+∞12.设奇函数)(x f 在]1,1[-上是增函数，且1)1(-=-f ，若对所有的]1,1[-∈x 及任意的]1,1[-∈a 都满足12)(2+-≤at t x f ，则t 的取值范围是（ ）A. 022=-≤≥t t t 或或B.02121=-≤≥t t t 或或C. 2121≤≤-t D. 22≤≤-t二、填空题 ：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.函数271312-=-x y 的定义域是 . 14.函数)2(log 231x x y -+=的单调递减区间是 .15.若函数⎩⎨⎧<+≥=)4(,)2()4(,2)(x x f x x f x ，则)3(log 21f 的值为 .16.函数)(x f 对0>x 有意义，且满足1)2(=f ，)()()(n f m f mn f +=,)(x f 为增函数．如果2)3()(≤-+x f x f ，则实数x 的取值范围是 .三、解答题：（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共48分.）17.(本小题8分)（1）(4分)求值13256)71(027.0143231+-+-----（2）(4分) 设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值.18. (本小题8分)求实数m 的取值范围，使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++= （1）有两个实根，且都大于1.（2）有两个实根α、β，且满足014αβ<<<<.19.(本小题10分)设=A {}{}222|40,|2(1)10,x x x B x x a x a +==+++-= （1）若A B B =，求 a 的值. （2）若A B B =，求 a 的值.20. (本小题10分)已知函数)12lg()(2++=x ax x f .(1)若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的范围.(2)若)(x f 的值域为R ，求实数a 的范围.21. (本小题12分)已知函数)(log )(x a a a x f -=.(1) 当1>a 时，求)(x f 的定义域、值域.(2) 当1>a 时，判断)(x f 的单调性,并用定义证明. （3）解不等式)()2(2x f x f >-.高一年级数学期中试卷答案二、填空题 ：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13. ),1[+∞- 14. ]21,1(- 15.36416. ]4,3( 三、解答题：（共48分）17. (本小题8分)（1）解:1918. (本小题8分)（1）0(1)02(1)12f m ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪-⎪->⎩514m ∴-<≤-（2）(0)0(1)0(4)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩7554m ∴-<<-（2）由A B B B A =⇔⊆，又{}0,4A =-，故①当B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<， 解得1a <-； ②当{}{}04B =-或时， 224(1)4(1)0a a ∆=+--=，解得1a =-， 此时{}0B =，满足B A ⊆；③当{}0,4B =-时，2224(1)4(1)02(1)410a a a a ⎧∆=+-->⎪-+=-⎨⎪-=⎩， 解得1a =. 综上所述，实数a 的取值范围是1a =或者1a ≤-.20. (本小题10分)解：(1)若f (x )的定义域为R ，则关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1＞0的解集为R ，即⎩⎨⎧<-=>0440a Δa ，解得a ＞1(2)若f (x )的值域为R ，则ax 2＋2x ＋1能取一切正数∴a ＝0或⎩⎨⎧≥-=>0440a Δa ，解得0≤a ≤11log a =0,即f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)为减函数.(3) 当1>a 时，x 2－2＜x,即 x 2－x －2＜0,解得－1＜x ＜2. 又函数f(x)定义域为(－∞,1),即⎩⎨⎧<-<1212x x 故所求不等式的解为－1＜x ＜1. 当10<<a 时， )(log 22--x a a a ＞)(log x a a a -,∴22-xa ＞a x ,∴x 2－2＜x ，解得－1＜x ＜2. 又函数f(x)的定义域为(1，+∞)，即⎩⎨⎧>->1212x x 故所求不等式的解为23<<x 综上，当1>a 时，所求不等式的解集为}11{<<-x x当10<<a 时，所求不等式的解集为}23{<<x x。
2021-2022学年甘肃省兰州一中高一上学期期中数学复习卷(含解析)
2021-2022学年甘肃省兰州一中高一上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知⌀表示空集，N 表示自然数集，则下列关系式中，正确的是( )A. 0∈⌀B. ⌀⊆NC. 0⊆ND. ⌀∈N 2. 设，，则从到的映射有( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个 3. 已知集合A ={x|3x 2−4x +1≤0}，B ={x|y =√4x −3}，则A ∩B =( )A. [34,+∞)B. [34,1]C. [13,1]D. [0,1] 4. 函数y =lg(1−x)+√−x 2+x +2的定义域是( )A. [−2,1]B. [−1,1)C. [−1,2]D. (1,2] 5. 设a ∈{−1,1，13，23}，则使函数y =x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为( )A. −1,13B. 1,23C. 1,13D. 1,23 6. 已知指数函数y =a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则实数a 的值为( )A. 14B. 12C. 2D. 4 7. 设a =(12)log 312，b =2log 1323，c =2log √343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. b <c <a 8. 已知函数f(x)=2x ，等差数列{a n }的公差为2.若f(a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4，则log 2[f(a 1)⋅f(a 2)⋅f(a 3)⋅…⋅f(a 10)]=( )A. 8B. 4C. −6D. 14 9. 若不等式log a (ax 2−2x +1)>0(a >0，且a ≠1)在x ∈[1,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (0,1)∪(2,+∞)D. (0,12) 10. 函数f(x)=x 2+|x|( )A. 是偶函数，在(−∞,+∞)上是增函数B. 是偶函数，在(−∞,+∞)上是减函数C. 不是偶函数，在(−∞,+∞)上是增函数D. 是偶函数，且在(0,+∞)是增函数11. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )A. y =lnxB. y =xC. y =−x 3D. y =e x +e −x12. 下列有关命题的说法正确的是( )A. 若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题．B. 命题“若x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题为假命题．C. 命题p ：∃x >0，sinx >2x −1，则￢p 为：∀x >0，sinx ≤2x −1．D. 命题“若x 2−x =0，则x =0或x =1”的否命题为“若x 2−x ≠0，则x ≠0或x ≠1”．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)满足2f(x−1x )+f(x+1x )=1+x ，其中x ∈R 且x ≠0，则函数f(x)的解析式为______ ．14. 若关于x 的方程x 2+2(a −1)x +2a +6=0有一正一负两实数根，则实数a 的取值范围______ ．15. 函数f(x)=log a (x 2−x)在[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是______ ．16. 对于定义在R 上的函数f(x)，有以下说法：①直线x =a 与y =f(x)的图象必有公共点；②若f(x)在(−∞,1)是增函数，在[1,+∞)也是增函数，则函数f(x)在R 一定是增函数；③若f(x)为奇函数，则一定有f(0)=0；④若f(−1)≠f(1)，则函数f(x)一定不是偶函数．上述说法正确的是______.(请写出所有正确的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)求值：lg2lg50+lg5lg20−log 34log 23lg2lg5；(2)已知log 56=a ，log 54=b.用a ，b 表示log 2512．18. 已知集合A ={x|2≤x ≤6}，集合B ={x|x ≥3}．(1)求C R (A ∩B)；(2)若C ={x|x ≤a}，且A ⊆C ，求实数a 的取值范围．19. 已知集合A 是满足下列条件的函数f(x)的全体：在定义域内存在实数x 0，使得f(x 0+1)+f(x 0)=f(1)成立．(1)判断幂函数f(x)=x −1是否属于集合A ？并说明理由；(2)设g(x)=lg 2x +a b ，x ∈(−∞,2)，①当b=1时，若g(x)∈A，求a的取值范围；②若对任意的a∈(0,2)，都有g(x)∈A，求b的取值范围．20.已知函数f(x)=x+2x(1)判断函数的奇偶性；(2)试用定义判断f(x)在(0,+∞)上的单调性．(3)当x∈[1,3]时，求f(x)的取值范围．21.已知函数f(x)=lg2xax+b ，f(1)=0，当x>0时，恒有f(x)−f(1x)=lg x．(1)若不等式f(x)≤lg t的解集为A，且A⊆(0,4]，求实数t的取值范围；(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为⌀，求实数m的取值范围．22.设函数f(x)=1−x1+x．(Ⅰ)若f(a)=−13，求实数a的值；(Ⅱ)求证：f(1x)=−f(x)(x≠0且x≠−1)；(Ⅲ)求f(12012)+f(12011)+⋯+f(12)+f(1)+f(2)+⋯+f(2011)+f(2012)的值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵空集是任何集合的子集，∴⌀⊆N ．故选：B ．利用空集是任何集合的子集，即可得出结论．本题考查集合的关系，比较基础．2.答案：C解析：试题分析：解：由映射的定义知A 中1在集合B 中有1或0与2对应，有三种选择，同理集合A 中00也有三种选择，由乘法原理得从到的不同映射共有3×3=9个故选C考点：映射的概念点评：本题考查映射的概念、乘法原理，正确把握映射的定义是解题的关键，注意从B 到A 的映射和从A 到B 的映射是不同的映射．3.答案：B解析：分别求出集合A ，B ，利用交集定义能出A ∩B.本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．解：∵集合A ={x|3x 2−4x +1≤0}={x|13≤x ≤1}，B ={x|y =√4x −3}={x|x ≥34}，∴A ∩B ={x|34≤x ≤1}=[34,1]. 故选B ． 4.答案：B解析：解：要使原函数有意义，则：{1−x >0−x 2+x +2≥0； 解得−1≤x <1；∴原函数的定义域是：[−1,1)．故选：B ．可看出，要使得原函数有意义，则需满足{1−x >0−x 2+x +2≥0，解出x 的范围即可． 本题考查函数定义域的求法，属于基础题．5.答案：C解析：解：当a=−1时函数y=x−1的定义域为{x|x≠0}，不满足条件．定义域是R，当a=1时函数y=x的定义域为R，是奇函数，满足条件．当a=13时函数y=x 13=3x的定义域为R，函数是奇函数，满足条件．，当a=23时函数y=x 23=3x2的定义域为R，函数为偶函数，不满足条件故满足条件的a=1或13，故选：C分别根据幂函数的想结合定义域和奇偶性进行排除判断即可．本题主要考查幂函数的性质，根据函数奇偶性和定义域的性质分别进行判断是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：由题意，指数函数y=a x在[0,1]上是单调函数，故函数的最值在区间的两个端点处取到，又指数函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，∴a+1=3，解得a=2．故选C．由于指数函数y=a x在[0,1]上是一个单调函数，故函数在这个区间上的最值一定在端点处取到，由此知，求出两个函数端点处的函数值，由它们的和是3建立关于参数a的方程解出答案，再选出正确选项．本题考查指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数单调性，由性质判断出最值在何处取到是解题的关键，由指数函数的单调性判断出函数最值在区间的两个端点处取到是解题的难点、重点．7.答案：D解析：解：a=(12)log312=2log32b=2log1323=2log332，c=2log√343=2log3169，∵对数函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增，且32<169<2，∴log332<log3169<log32，又∵指数函数y=2x在R上单调递增，∴2log332<2log3169<2log32。
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兰州一中高一年级数学期中试卷
一、选择题：（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的4个选项中只有一项
是符合题目要求的,请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.）（交卷只交答题卡） 1.设集合}3{<∈=x R x M ，3=a ,则下列选项正确的是 （ ）
A. M a ∉
B. M a ∈}{
C. M a ⊆
D. M a ⊆}{ 2.下列各函数图象中，表示函数3
1
-=x y 的是 （ ）
3.已知集合]4,0[=A ，]2,0[=B ，下列从A 到B 的对应关系f ，A x ∈，B y ∈,不是从A 到B 的映射的是 （ ）
A.x y x f =→:
B. x y x f 3
2
:=→
C. x y x f 21:=→
D. 28
1
:x y x f =→
4.某种细菌在培养过程中，每15min 分裂一次（由1个分裂成2个），这种细菌由1个分裂成4096个需要经过 （ ） A.12h B.4h C.3h D. 2h
5.定义在R 上的奇函数在)(x f ),0(+∞上的表达式为,)(x x x f += 上的在则)0,()(-∞x f 表达
式为 （ ） A. x x -- B. x x +- C. x x -+- D. x x --- 6. 16log 5log 10log 225log 5444⋅+-的值是 （ ）
A. 2
B.－1
C. －2
D. 1
7.已知函数)1,0(log ≠>=a a x y a 与其反函数的图象有交点,设交点的横坐标为0x ，则 （ ）
A. 110>>x a 且
B. 10100<<<<x a 且
C. 1010<<>x a 且
D. 1100><<x a 且
8.已知3
12128.1,2,1.0log ===c b a 则,,a b c 的大小关系是 （ ）
A. a b c <<
B. c a b <<
C. a c b <<
D. b c a <<
9.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上为增函数，且0)3
1
(=f ，则不等式
0)(log 8
1>x f 的解集为 （ ）
A. ),2()21
,0(+∞⋃ B. ),2(+∞
C. ),2()1,2
1(+∞⋃ D. )21
,0(
10.设函数),0(ln 31
)(>-=x x x x f 则函数)(x f y = （ ）
A.在区间),1(),1,1
(e e 内均有零点
B.在区间),1(),1,1
(e e 内均无零点
C.在区间)1,1
(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点
D.在区间)1,1
(e
内无零点，在区间),1(e 内有零点
11.已知)2(log )(ax x f a -=在]1,0[上为减函数，则a 的取值范围为（ ）
A.（0，1）
B. （0，2）
C. （1，2）
D. ),2[+∞
12.设奇函数)(x f 在]1,1[-上是增函数，且1)1(-=-f ，若对所有的]1,1[-∈x 及任意的]
1,1[-∈a 都满足12)(2+-≤at t x f ，则t 的取值范围是（ ）
A. 022=-≤≥t t t 或或
B.02
1
21=-≤≥t t t 或或
C. 2
121≤≤-t D. 22≤≤-t
二、填空题 ：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.函数27
1
312-
=-x y 的定义域是 . 14.函数)2(log 23
1x x y -+=的单调递减区间是 .
15.若函数⎩⎨⎧<+≥=)4(,)2()
4(,2)(x x f x x f x ，则)3(log 2
1f 的值为 .
16.函数)(x f 对0>x 有意义，且满足1)2(=f ，)()()(n f m f mn f +=,)(x f 为增函数．如果
2)3()(≤-+x f x f ，则实数x 的取值范围是 .
三、解答题：（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共48分.） 17.(本小题8分)（1）(4分)求值1
3256)71
(027.0143
23
1+-+-----
（2）(4分) 设20≤≤x ，求函数52412
1+-=+-x x y 的最大值和最小值.
18. (本小题8分)求实数m 的取值范围，使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++= （1）有两个实根，且都大于1.
（2）有两个实根α、β，且满足014αβ<<<<.
19.(本小题10分)设=A {}{}222|40,|2(1)10,x x x B x x a x a +==+++-= （1）若A B B =，求 a 的值. （2）若A B B =，求 a 的值.
20. (本小题10分)已知函数)12lg()(2++=x ax x f .
(1)若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的范围.
(2)若)(x f 的值域为R ，求实数a 的范围.
21. (本小题12分)已知函数)(log )(x a a a x f -=.
(1) 当1>a 时，求)(x f 的定义域、值域.
(2) 当1>a 时，判断)(x f 的单调性,并用定义证明. （3）解不等式)()2(2x f x f >-.
兰州一中高一年级数学期中试卷答案
一、选择题：（本大题共12小题,每小题3
分,共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
C
B
C
A
D
B
C
A
D
C
A
二、填空题 ：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13. ),1[+∞- 14. ]21
,1(- 15.
3
64
16. ]4,3( 三、解答题：（共48分）17. (本小题8分)（1）解:19
18. (本小题8分)（1）0(1)02(1)
1
2f m ⎧
⎪∆≥⎪>⎨⎪-⎪->⎩
5
14m ∴-<≤-
（2）(0)0
(1)0(4)0
f f f >⎧⎪
<⎨⎪>⎩
7554m ∴-<<-
（2）由A B B B A =⇔⊆，又{}0,4A =-，故
①当B =∅时，2
2
4(1)4(1)0a a ∆=+--<， 解得1a <-； ②当{}{}04B =-或时， 224(1)4(1)0a a ∆=+--=，解得1a =-， 此时{}0B =，满足B A ⊆；
③当{}0,4B =-时，2224(1)4(1)0
2(1)4
10a a a a ⎧∆=+-->⎪-+=-⎨⎪-=⎩
， 解得1a =.
综上所述，实数a 的取值范围是1a =或者1a ≤-.
20. (本小题10分)解：(1)若f (x )的定义域为R ，则关于x 的不等式ax 2
＋2x ＋1＞0的解集为R ，即
⎩⎨
⎧<-=>0
440
a Δa ，解得a ＞1
(2)若f (x )的值域为R ，则ax 2
＋2x ＋1能取一切正数
∴a ＝0或⎩
⎨⎧≥-=>0440
a Δa ，解得0≤a ≤1
1log a =0,即f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)为减函数.
(3) 当1>a 时，x 2
－2＜x,即 x 2
－x －2＜0,解得－1＜x ＜2.
又函数f(x)定义域为(－∞,1),即⎩
⎨⎧<-<121
2x x 故所求不等式的解为－1＜x ＜1.
当10<<a 时， )(log 2
2
--x a a a ＞)(log x a a a -,∴2
2
-x
a ＞a x ,∴x 2
－2＜x ，解得－1＜x ＜2. 又函数f(x)
的定义域为(1，+∞)，即⎩
⎨
⎧>->121
2
x x 故所求不等式的解为23<<x 综上，当1>a 时，所求不等式的解集为}11{<<-x x
当10<<a 时，所求不等式的解集为}23{<<x x。