23.2.3_一元二次方程的解法(三)配方法
23.2一元二次方程解法学案-2021-2022学年华师大版数学九年级上册
23.2 一元二次方程解法第五课时 四种解法的灵活运用一、双基整合 步步为营1、“____”是解一元二次方程的基本指导思想。
2、一元二次方程的基本解法有_______、_______、____________和____________。
3、方程x 2+2x-3=0的解是________________。
4、解下列方程（1）16x 2-25=0 （2）x 2+49=14x （3）x 2+4x-5=0 （4）3x 2-10x+6=0二、铸就能力 拓广探索5、解方程x 2＋3x －10=0。
6、已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12+-x x 的值为___。
7、方程031322=--x x 的根是________________。
8、关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a （1－a ）＝0有两个不相等的正根，则可取值为 （只要填写一个可能的数值即可）．9、在下列方程中，有实数根的是（ ）A 、2310x x ++=B 1=-C 、2230x x ++=D 、111x x x =-- 三、智能升级 链接中考10、一元二次方程2230x x --=的两个根分别为( )．A 、x l =1，x 2=3B 、x l =1，x 2=-3C 、x 1=-1，x 2=3D 、x I =-1， x 2=-311、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）A.8B.10C.8或10D.不能确定12、已知关于x 的方程2210x kx -+=的一个解与方程2141x x+=-的解相同。
①求k 的值；②求方程2210x kx -+=的另一个解。
13、已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2－(2k+3)x+k 2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC 的长为5. 试问：k 取何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形?第五课时 四种解法的灵活运用参考答案一、双基整合 步步为营1、降次；2、直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法；3、-3和1。
.教师《配方法1》
义务教育 九年级 数学（华师版） 课型 新授课 主备人 陈修华 审核 王斌 使用时间 年 月 日课题：23.2.2配方法(1)学习目标1、掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思 想方法.3、激情投入，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
学习重点：理解掌握配方的方法。
学习难点:理解掌握配方法解一元二次方程的方法。
预习案一.学法指导：1.独立阅读课本本节内容，探究用配方法解二次项系数为1的一元二次方程方法。
2特别理解配方的目的与方法。
3.结合概念和性质，独立完成例题的的理解和课后练习。
二．预习自测 1、请写出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2 = 2、用直接开平方法解下列方程：（1）5)3(2=+x （2）134)5(2=+-x3、将下列各进行配方：⑴2x ＋10x ＋_____＝（x ＋_____）2⑵2x －6x ＋_____＝（x －_____）2⑶2x －45x ＋_____＝（x －____）2⑷2x +b x ＋_____＝（x ＋___）2探究案一． 自探；（主要探究配方的目的与方法，特别注重学生的探究过程， 体会配方法的推导过程 。
）1、完全平方公式:_______________________________。
2、观察方程:025102=++x x ,左边可以变成________________,原方程变成________________,用开平方法可以解这个方程。
3、观察方程0102=+x x ,它与上述方程有哪些相同与不同?怎样变化就可以得到上题中方程的形式? ________________________________________________________________________________________________ 4、总结上述方程的解法中,关键的是哪一步?具体的做法是什么? _______________________________________________________二． 合探1、学生自学课本例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：如何解方程0462=++x x 呢？提示：能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过 求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做 。
23.2 一元二次方程的解法---公式法
当b 2 4ac 0 b b 2 4ac 2 时，方程有 x . b 4ac 0 . 实数根吗 2a 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
特别提示:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
1
1
1
解得
即即
x 2 2 0 4 14 x1 4 x17 2 4 17 x1 , x2 2 4 4 此方程无实数根
3、配方法解一元二次方程的基本 步骤： （1）化1:把二次项系数化为1； （2）移项； （3）配方：方程两边都加上一次 项系数的一半的平方； （4）变形：原方程变形为（x+m） 2=n的形式； （5）开方：如果右边是非负数， 就可以直接开平方求出方程的解， 如果右边是负数，则一元二次方 程无解． （6）求解； （7）定根
17 0 -8
+ 0 -
不等 相等 不存在
请观察上表，综合b2-4ac的符号，提出你的猜想。
2014年深圳市中考试题
7.下列方程中没有实数根的是（ ） A、x2+4x=10 B、3x2+8x-3=0 C、x2-2x+3=0 D、（x-2)(x-3)=12 分析：容易看出A、B两个一元二次方程中的二次 项系数和常数项异号，则4ac为负的，b2- 4ac>0； D选项的一元二次方程经变形为x2-5x-6=0，同样可 以看出b2- 4ac>0，所以选C.
m2 2
3 6 2 3 2 3 x D． 2
B．x
4．若使方程（m+1）x
23.2.3 一元二次方程的解法(3)
那么在方程 两边同时加 上的这个数 有什么规律?
结论:在方程两边同时 添加的常数项等于一 次项系数一半的平方
师生合作 1
例2 用配方法解方程: (1) x2-6x-7=0
x 6 x 7.
2
(2)x2+3x+1=0
解: (1)移项， 得
方程左边配方 ，得 x 2 2 x 3 32 7 32
(2)移项， 得 3x 1 方程左边配方， 得 x
2
2
即( x 3) 2 16
3 3 2 3 2 x 2 x ( ) 1 ( ) 2 2 2
所以x 3 4
原方程的解是 x1 7, x2 1
3 2 5 即( x ) 2 4
3 5 所以x 2 2
归纳
上面，我们把方程 x 2 4 x 3 0 变形为 ( x 2) 2 1 ， 它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一 个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可 以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。 那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
1 x 3x 0 4 1 2 x 3x 4
3 2 5 (x ) 2 2
3 10 x2 3 10 x1 2 2
3 1 3 x 2 3x ( ) 2 ( ) 2 2 4 2
直接开平方，得 所以
3 x 2
10 2
x
3 2
10 2
随堂练习2 用配方法解方程： （ 1） 2 x 2 2 (2 x ___) 2
一元二次方程配方法
一元二次方程配方法
一元二次方程配方法是解决一元二次方程的一种常见方法，通过配方法可以将一元二次方程变形为完全平方 trinomial，从而更容易求解。
下面我们来看一些例子，以便更好地理解一元二次方程配方法的应用。
例1：
将方程 x^2 + 6x + 9 = 0 进行配方法变形。
解：
首先，我们发现 x^2 + 6x + 9 是一个完全平方 trinomial，可以
写成 (x+3)^2。
所以，方程可以写成 (x+3)^2 = 0。
进一步化简可得 x+3 = 0，解得 x = -3。
例2：
将方程 x^2 - 4x + 4 = 0 进行配方法变形。
解：
同样地，我们可以发现 x^2 - 4x + 4 是一个完全平方 trinomial，可以写成 (x-2)^2。
所以，方程可以写成 (x-2)^2 = 0。
进一步化简可得 x-2 = 0，解得 x = 2。
通过以上两个例子，我们可以看到一元二次方程配方法的应用。
希望通过这些例子能够帮助大家更好地理解和掌握一元二次方程配方法。
一元二次方程的配方法解法
一元二次方程的配方法解法嘿，咱今儿个就来唠唠一元二次方程的配方法解法！这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能解开好多数学难题的锁呢！咱先说说一元二次方程长啥样，就比如 ax²+bx+c=0 这样的。
那配方法呢，就是给它变个小魔术，让它变得好解一些。
你想想看啊，就好比咱要搭一个房子，得先把材料准备好，配方法就是准备材料的过程。
咱把方程左边通过一些巧妙的手段变成一个完全平方式，就像给房子搭好了框架。
比如说 x²+6x+8=0 这个方程，咱就可以给 x²+6x 这儿动点手脚。
先把 x²+6x 里的 6 拆成 2 和 4，然后就变成 x²+2×3x，这时候咱再加上 3²，也就是 9，可别忘了再减去 9 啊，不然就变样啦！这样一来，方程左边就变成了(x+3)²-1。
嘿，这不就成了一个完全平方式减去一个数嘛！然后再去解这个新的式子，是不是就简单多啦？这配方法就像是走迷宫，得找到正确的路。
有时候可能会遇到一些小麻烦，但别着急，慢慢来，总能找到出口的。
咱再举个例子，x²-4x-5=0，这时候咱就给 x²-4x 加上 4，变成(x-2)²-9=0，这下又变成一个好解的式子啦！你说这配方法神奇不神奇？就像变魔术一样，把一个复杂的方程变得简单易懂。
学了配方法，就像是有了一把万能钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！当然啦，刚开始学的时候可能会觉得有点难，就像刚学走路的时候会摔跤一样，但只要多练习，多琢磨，肯定能掌握得牢牢的！别害怕犯错，错了就改，改了再练，总会成功的！所以啊，大家可别小瞧了这配方法，它可是数学里的一个宝贝呢！好好学，好好用，让咱的数学成绩蹭蹭往上涨！你还等什么呢，赶紧去试试吧！这配方法，绝对能让你在数学的海洋里畅游无阻！。
第22章一元二次方程学案
23.1 一元二次方程学案学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
课堂研讨：探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是 .自主学习【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。
展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）81x（2）)242=xx=-x(5)1(3+【挑战自我】1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2； （2）0822=-+x x ±2， ±43、要使02)1()1(1=+-+++x k xk k 是一元二次方程，则k=_______.4、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
一元二次方程的解法配方法—知识讲解
一元二次方程的解法配方法—知识讲解配方法是求解一元二次方程的一种常用方法。
它的思路是通过配方将二次项的求解转换为一次项来求解，然后再将一次项的根带回去求解二次项的根。
下面我们来详细讲解一元二次方程的配方法。
设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，我们先通过移项把方程化为标准形式。
1. 移项将方程整理为：ax^2+bx=-c。
2.通过加减乘除等操作，将方程两边的二次项系数a化为1，即将方程整理为：x^2+b'x+c'=0，其中b'=b/a，c'=-c/a。
接下来的步骤就是配方的过程了。
3.在方程的两边同时加上一个常数k，使方程右边成为一个完全平方形式，即(x+b'/2)^2=x^2+b'x+(b'/2)^24.将方程右边的完全平方形式写成两项的形式，并引入一个新的常数k'，使方程变为：(x+b'/2)^2=k'-c'+(b'/2)^2，其中k'为常数。
5.方程的左边是一个完全平方形式(x+b'/2)^2，所以方程右边也必须是一个完全平方形式。
接下来的步骤就是解方程中的一次项的相关过程了。
6.方程右边的完全平方形式可以展开为x^2+(b'/2)x+(b'/2)^2，所以将方程右边展开，得到：x^2+(b'/2)x+(b'/2)^2=k'-c'+(b'/2)^27.方程左边是二次项的完全平方形式，所以方程右边展开之后的结果中，x^2与x相互抵消，剩下的部分为b'x。
8.将方程右边展开之后的结果与方程左边进行比较，得到：x^2+(b'/2)x=k'-c'。
9.由于x^2和x两项不能相互抵消，所以方程左边与右边展开之后的结果中，b'x的系数必须相等，即b'/2=0。
最后的步骤就是求解方程的根了。
配方法解一元二次方程教案
配方法解一元二次方程授课人：薛晓波一、教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。
配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。
配方法又是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。
二、目标分析1．知识与技能：理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；2．过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法；3．情感态度价值观：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣。
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学难点：发现并理解配方的方法。
三、教学过程设计环节一：创设情境，引出新知在知识引入阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。
环节二：对比研究，探索新知本节课力求在学生已有知识和经验的基础之上，让学生通过观察、比较、转化、探究，自主发现解决问题的方法和规律，理解并掌握配方法。
因此，我以问题为引导，由浅入深，层层递进地设置了4个问题：问题1：我们会解什么样的一元二次方程？举例说明用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的方程的特点是：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即)0nm+nx，运用直接开平方法可以解。
这是(=)(2≥后面配方转化的目标，也是对比研究的基础。
问题2：你会用直接开平方法解下列方程吗？设置四道方程：032324124)1(2222=-+⇒=+⇒=++⇒=+x x x x x x x ，启发学生逆向思考问题的思维方式，将方程0322=-+x x 转化成4)1(2=+x 的形式，从而求得方程的解。
通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将02=++q px x 形式转化为)0()(2≥=+n n m x 的形式，而怎样转化就成为探索的方向，如何进行合理的转化则是下一步探究活动的核心。
配方法解一元二次方程口诀
配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、把原方程化为的形式；
2、将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
4、再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
5、若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解。
扩展资料
1、配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方。
2、配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方。
3、配方法的理论依据是完全平方公式。
配方法的应用
1、用于比较大小
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小。
2、用于求待定字母的值
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值。
3、用于求最值
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值。
4、用于证明
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．。
一元二次方程配方法
一元二次方程配方法一元二次方程是初中数学中的重要内容，解一元二次方程的方法有很多种，其中一种就是配方法。
配方法是一种通过变形将一元二次方程化为完全平方的形式，从而求得方程的解的方法。
下面我们来详细介绍一元二次方程配方法的步骤和应用。
首先，我们来看一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
我们要通过配方法将其化为完全平方的形式。
具体步骤如下：步骤一，将方程的常数项移到方程的右边，得到ax²+bx=-c。
步骤二，对方程的左边进行变形，将x²+（b/a）x的部分提出来，得到a(x²+（b/a）x)=-c。
步骤三，对方程的左边进行加减法运算，使其变形为一个完全平方的形式。
具体来说，我们需要加上一个常数项，使得左边变为一个完全平方的形式。
这个常数项的计算方法是，将b/a的一半平方，即(b/2a)²。
步骤四，将方程的左边变形为一个完全平方的形式，得到a(x+(b/2a))²=（b/2a）²-c。
步骤五，将方程两边同时开方，得到x+(b/2a)=±√((b/2a)²-c/a)。
步骤六，解出x，得到x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。
通过以上步骤，我们就可以得到一元二次方程的解。
需要注意的是，当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程没有实根。
除了求解一元二次方程的实根外，配方法还可以用于完成平方差、配方法等相关的数学题目。
在实际应用中，配方法也是一种非常有用的数学工具。
总之，一元二次方程配方法是解一元二次方程的一种重要方法，通过变形将方程化为完全平方的形式，从而求得方程的解。
希望通过本文的介绍，可以帮助大家更好地掌握一元二次方程配方法的应用。
一元二次方程配方法
一元二次方程配方法一元二次方程配方法是求解一元二次方程的一种常用的方法。
其基本思路是通过将方程进行配方，使得方程化为一个完全平方数的形式，从而可以轻松求解方程。
具体的步骤如下：1. 对一元二次方程的形式 ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，首先计算出该方程的判别式 D = b^2 - 4ac。
2. 判别式 D 的值判断方程的根的情况：- 当 D > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当 D = 0 时，方程有两个相等的实根；- 当 D < 0 时，方程没有实根，但有复数解。
3. 根据判别式 D 的值，进行不同的配方法：- 当 D > 0 时，可以使用公式 x = (-b ± √D) / (2a) 直接求解。
- 当 D = 0 时，可以使用公式 x = -b / (2a) 直接求解。
- 当 D < 0 时，可以将方程化为完全平方数的形式：- 首先，将方程两边同时除以 a，得到 x^2 + (b/a)x + c/a = 0，此时方程的首项系数为 1。
- 然后，将方程两边同时加上 (b/2a)^2，得到 x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 + c/a = (b/2a)^2。
- 接着，将方程进行配方，即将左侧三项进行化简，得到 (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2) = -D / (4a^2)。
- 最后，将方程两边同时开平方根，得到x + b/2a = ± √(-D)/ (2a)。
- 将方程两边同时减去 b/2a，得到 x = (-b ± √(-D)) / (2a)。
通过上述步骤，可以利用一元二次方程配方法求解出方程的根。
需要注意的是，在实际计算中，要合理选取计算精度，避免出现舍入误差。
一元二次方程配方法的公式
一元二次方程配方法的公式《一元二次方程配方法的公式，其实没那么难！》我呀，在数学的世界里摸爬滚打了好一阵儿了。
今天就想跟大家唠唠一元二次方程配方法的公式，可别一听这个就觉得头疼，其实可有意思啦。
一元二次方程是啥样的呢？就像ax² + bx + c = 0这样的式子（a、b、c是常数，而且a不等于0哦）。
那配方法呢，就像是给这个方程来个大变身。
咱就拿个例子来说吧。
比如说x² + 6x + 8 = 0。
配方法就像是给这个方程做个造型。
首先呢，我们只看前面的x² + 6x这部分。
我就想啊，这怎么能变成一个完全平方式呢？我就去问我的数学老师。
老师就跟我说：“你看啊，对于x² + bx这种形式，要配成完全平方式的话，得加上(b/2)²呢。
”我当时就有点迷糊，啥叫(b/2)²呢？老师就笑着说：“你看这个式子里b是6，那6除以2是3，3的平方就是9呀。
”我这才恍然大悟。
那我们就在方程两边加上9，可别忘了，等式两边得同时加一样的东西，就像两个人要保持平衡一样。
方程就变成了x² + 6x + 9+ 8 - 9 = 0。
前面的x² + 6x + 9就可以写成(x + 3)²啦，后面8 - 9是- 1，方程就变成了(x + 3)² = 1。
这时候就好解多啦，就像打开了一扇通往答案的门。
我又拿这个去跟我的小伙伴讨论。
我的小伙伴说：“哎呀，这怎么就想到要加那个数呢？”我就得意地跟他说：“你看啊，这就像是搭积木，我们要把这个式子搭成一个完美的正方形的样子，就得找到那个关键的小方块来补上。
”小伙伴似懂非懂地点点头。
那这个配方法有没有个通用的公式呢？当然有啦。
对于ax² + bx + c = 0，我们先把二次项系数a提出来，方程就变成了a(x² + (b/a)x)+ c = 0。
然后呢，我们给x² + (b/a)x这部分配方，得加上(b / 2a)²。
华师大版九年级上册电子课本(新版) 第23章 一元二次方程
第23章一元二次方程 (2)§23.1 一元二次方程 (3)§23.2 一元二次方程的解法 (4)阅读材料 (13)§23.3 实践与探索 (14)小结 (16)复习题 (17)第23章一元二次方程绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？设宽为x 米，可列出方程900)10(=+x x ，整理得0900102=-+x x ．方程0900102=-+x x 中未知数x 的最高次数是2，它是一个一元二次方程．§23.1 一元二次方程问题1绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程x （x ＋10）＝900，整理可得0900102=-+x x ． （1）问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．分析设这两年的年平均增长率为x ．已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即2)1(5)1)(1(5x x x +=++万册．可列得方程2.7)1(52=+x ， 整理可得02.21052=-+x x ． （2）思考这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？概括上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown ）．通常可化成如下的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 是已知数，a ≠0），其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）232=-x x ；（2）2237x x =-；（3）0)2(3)12(=---x x x x ；（4）4)5(3)1(2-+=-x x x ．习题23．11．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？2．已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值．3．根据题意，列出方程（不必求解）：（1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半．已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径．（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好．已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？§23.2 一元二次方程的解法试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．（1）42=x ；（2）012=-x ．概括对于方程（1），有这样的解法：方程 42=x ， 意味着x 是4的平方根，所以4±=x ，即 x ＝±2．这种方法叫做直接开平方法．对于方程（2），有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得（x －1）（x ＋1）＝0，必有 x －1＝0或x ＋1＝0，分别解这两个一元一次方程，得1,121-==x x ．这种方法叫做因式分解法．思考（1）方程42=x 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2）方程012=-x 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？做一做试用两种方法解方程09002=-x ．例1 解下列方程：（1）022=-x ；（2）025162=-x ．解 （1）移项，得22=x ．直接开平方，得2±=x ．即 2,221=-=x x ．（2）移项，得25162=x ．方程两边都除以16，得16252=x直接开平方，得45±=x ．即 45,4521=-=x x ．例2 解下列方程：（1）0232=+x x ；（2）x x 32=．解 （1）方程左边分解因式，得x （3x ＋2）＝0．所以 x ＝0或3x ＋2＝0．得 32,021-==x x ．（2）移项，得032=-x x ．方程左边分解因式，得x （x －3）＝0．所以 x ＝0或x －3＝0，得 3,021==x x ．练习1．解下列方程：（1）1692=x ；（2）0452=-x ；（3）025122=-y ；（4）022=-x x ；（5）0)1)(2(=+-t t ；（6）05)1(=-+x x x ．2．小明在解方程x x 32=时，将方程两边同除以x ，得到原方程的解x ＝3，这种做法对吗？为什么？例3 解下列方程：（1）04)1(2=-+x ；（2）09)2(122=--x ．分析两个方程都可以转化为 a =2的形式，用直接开平方法求解．解（1）原方程可以变形为4)1(2=+x ， 直接开平方，得x ＋1＝±2．所以 3,121-==x x ．（2）原方程可以变形为____________________，有 ____________________，得____________,21==x x ．读一读小张和小林一起解方程x （3x ＋2）－6（3x ＋2）＝0．小张将方程左边分解因式，得（3x ＋2）（x －6）＝0， 所以3x ＋2＝0或x －6＝0． 得 6,3221=-=x x ．小林的解法是这样的：移项，得 x （3x ＋2）＝6（3x ＋2），方程两边都除以（3x ＋2），得x ＝6．小林说：“我的方法多简便！”可另一个根32-=x 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？练习解下列方程：（1）016)2(2=-+x ；（2）018)1(2=--x ；（3）1)31(2=-x ；（4）025)32(2=-+x ．例4 解下列方程：（1）522=+x x ；（2）0342=+-x x ．思考能否经过适当变形，将它们转化为a =2的形式，用直接开平方法求解？解（1）原方程两边都加上1，得6122=++x x ， _______________________,_______________________,_______________________．（2）原方程化为43442+-=+-x x ，_______________________，_______________________，_______________________．归 纳上面，我们把方程0342=+-x x 变形为1)2(2=-x ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．例5用配方法解下列方程：（1）0762=--x x ；（2）0132=++x x ． 解（1）移项，得762=-x x ． 方程左边配方，得32237332+=+⋅⋅-x x ， 即 16)3(2=-x ．所以 x －3＝±4．得 1,721-==x x ．（2） 移项，得132-=+x x ．方程左边配方，得222)23(1)23(232+-=+⋅⋅+x x ， 即45)23(2=+x ． 所以2523±=+x ． 得2523,252321--=+-=x x x ．练习1．填空：（1）2x +6x+( )=(x+ )2；（2）2x -8x+( )=(x- )2；（3）x x 232++( )=(x+ )2；（4）42x -6x+( )=4(x- )2=(2x- )2．2．用配方法解下列方程：（1）2x ＋8x －2＝0；（2）2x －5x －6＝0．试一试用配方法解方程2x ＋px ＋q ＝0（q p 42-≥0）．思考如何用配方法解下列方程？（1）42x －12x －1＝0；（2） 32x ＋2x －3＝0．讨论请你和同桌讨论一下： 当二次项系数不为1时，如何应用配方法？探索我们来解一般形式的一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．因为a ≠0，方程两边都除以a ，得02=++a cx a bx ． 移项，得a c x a bx -=+2． 配方，得a c a b a b a bx x -=+⋅⋅+222)2()2(22， 即22244)2(a acb a bx -=+．因为a ≠0，所以42a ＞0，当2b －4ac ≥0时，直接开平方，得aac b a bx 2422-±=+． 所以aacb a bx 2422-±-=， 即a ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=．由以上研究的结果，得到了一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a acb b x ． 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．例6 解下列方程：（1）22x ＋x －6＝0；（2）2x ＋4x ＝2；（3）52x －4x －12＝0；（4）42x ＋4x ＋10＝1－8x ． 解（1）这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，2b －4ac ＝21－4×2×（－6）＝1＋48＝49， 所以47122491242±-=⨯±-=-±-=aacb b x ， 即23,221=-=x x ．（2）将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0．因为2b －4ac ＝24， 所以622244±-=±-=x ． 即62,6221--=+-=x x ．（3） 因为2b －4ac ＝256， 所以5821016452256)4(±=±=⨯±--=x ． 得2,5621=-=x x ． （4） 整理，得42x ＋12x ＋9＝0．因为2b －4ac ＝0， 所以812±-=x ， 即2321-==x x ．练习用公式法解下列方程：（1）2x －6x ＋1＝0；（2）22x －x ＝6；（3）42x －3x －1＝x －2；（4）3x （x －3）＝2（x －1）（x ＋1）．思考根据你学习的体会小结一下： 解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下．应用现在我们来解决§23．1的问题1：x （x ＋10）＝900，2x ＋10x －900＝0，3755±-=x ，3755,375521+-=--=x x ． 它们都是所列方程的根，但负数根x1不符合题意，应舍去．取x ＝3755+-≈25．4，x ＋10≈35．4，符合题意，因此绿地的宽约为25．4米，长约为35．4米．例7学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图23.2.1，不难发现小道的占地面积与位置无关．设道路宽为xm ，则两条小道的面积分别为32x 2m 和20x 2m ，其中重叠部分小正方形的面积为2x 2m ，根据题意，得 32×20－32x －20x ＋2x ＝540．图23.2.1图23.2.2试一试如果设想把道路平移到两边，如图23．2．2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．练习1．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的32时较美观，求镶上彩纸条的宽．（精确到0．1厘米）2．竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=．爆竹点燃后以初速度0v ＝20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g ≈10米/秒2）例8某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31．5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．分析 若一次降价百分率为x ，则一次降价后零售价为原来的（1－x ）倍，即56（1－x ）元；第二次降价百分率仍为x ，则第二次降价后的零售价为56（1－x ）的（1－x ）倍．解设平均降价百分率为x ，根据题意，得56（1－x ）2＝31．5．解这个方程，得75.1,25.021==x x ．因为降价的百分率不可能大于1，所以75.12=x 不符合题意，符合本题要求的是x ＝0．25＝25%．答： 每次降价百分率为25%．练习1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0．1%）2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．习题23．21．解下列方程： （1）22x －6＝0； （2）27＝42x ；（3）32x ＝4x ； （4）x （x －1）＋3（x －1）＝0； （5）2)1(+x ＝2；（6）32)5(-x ＝2（5－x ）．2．解下列方程： （1）2)12(-x －1＝0； （2）212)3(+x ＝2；（3）2x ＋2x －8＝0；（4）32x ＝4x －1；（5）x （3x －2）－62x ＝0； （6）2)32(-x ＝2x ． 3．求满足下列要求的x 的所有值： （1）32x －6的值等于21；（2）32x －6的值与x －2的值相等． 4．用适当的方法解下列方程： （1）32x －4x ＝2x ；（2）312)3(+x ＝1；（3）2x ＋（3＋1）x ＝0； （4）x （x －6）＝2（x －8）；（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22；（6）x （x ＋8）＝16； （7）（x ＋2）（x －5）＝1；（8）2)12(+x ＝2（2x ＋1）．5．已知A ＝22x ＋7x －1，B ＝6x ＋2，当x 为何值时A ＝B ？6．已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数．7．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0．1米）（第7题）8．某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48．3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？ 9．学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较合适？阅读材料一元二次方程根的判别式 我们在一元二次方程的配方过程中得到 22244)2(aac b a b x -=+．（1）发现当且仅当2b －4ac ≥0时，右式2244aac b -有平方根.直接开平方，得aac b ab x 2422-±=+．也就是说，一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）当且仅当系数a 、b 、c 满足条件2b －4ac ≥0时有实数根．观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： ① 当2b －4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当2b －4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根ab x x 221-==；③ 当2b －4ac ＜0时，方程没有实数根．这里的2b－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一元二次方程实数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？），如对方程2x－x＋1＝0，可由2b－4ac＝1－4＜0直接判断它没有实数根；在用公式法解一元二次方程时，往往也是先求出判别式的值，直接代入求根公式．如第27页例6；还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例如：m取什么值时，关于x的方程++-mx-xm222=2)2(有两个相等的实数根？求出这时方程的根．§23.3 实践与探索试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论．问题1小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图23．3．1．图23.3.1（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．问题2阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的2倍．若设原值为1，那么两年后的值就是2．探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的1．5倍、1．2倍、……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？练习1．某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克．已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到1%）．2．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？3．某市人均居住面积14．6平方米，计划在两年后达到18平方米．在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等．请你把问题补充完整，再予解答．问题3解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？ （1） 2x －2x ＝0； （2） 2x ＋3x －4＝0； （3） 2x －5x ＋6＝0．一般地，对于关于x 的一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0（p 、q 为已知常数，2p －4q ≥0），试用求根公式求出它的两个根1x 、2x ，算一算21x x +、21x x ⋅的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？习题23．31．一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0．1米）2．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0．1折）3．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）4．某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？5．如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形．要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等．请你给出设计方案．（画图并标注尺寸）(第5题)6．解下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：（1）已知关于x的方程2x－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和q的值；（2）已知关于x的方程2x－6x＋2p－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值．小结一、知识结构二、概括1．要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性．2．掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法．着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流．3．在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解之后，必须检验是否符合题意．复习题A组1．解下列方程：（1）32x＝2x；（2）62x－40＝0；（3）x（3x－1）＝3－x；（4）y（y－2）＝4－y；（5）4x（1－x）＝1；（6）t（t－2）－32t＝0．2．已知A＝22x＋7x－1，B＝4x＋1，分别求出满足下列条件的x的值：（1）A与B的值互为相反数；（2）A的值比B的值大3．3．已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值．4．已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．5．要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分的面积为100平方米．求原正方形广场的边长．（精确到0．1米）6．村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为1．6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0．4米．求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度．7．求出本章习题23．1中第3题小题（2）所列方程解的近似值（精确到0．1米），并在学校举行大型活动时实地观察、比较一下效果．8．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在B处迎头拦截．问经过多少时间能赶上？（第8题）B组9．解下列方程：（1）4（x －2）2－（3x －1）2＝0； （2）（2x －1）2＋3（2x －1）＋2＝0； （3）2x ＋5＝x 52；（4）32x 32--x ＝0．10．解下列关于x 的方程（a 、b 是常数，且ab ≠0）： （1）2x ＋ax －22a ＝0；（2）ab 2x －（2a －2b ）x －ab ＝0．11．已知x ＝1是一元二次方程（a －2）2x ＋（2a －3）x －a ＋1＝0的一个根，求a 的值． 12．已知关于x 的方程22x －4x ＋3q ＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q 的值． 13．已知代数式2x －5x ＋7，先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？14．学校原有一块面积为1500平方米的长方形场地，现结合整治环境，将场地的一边增加了5米，另一边减少了5米，结果使场地的面积增加了10%，求现在场地的长和宽．C 组15．试求出下列方程的解：（1）（2x －x ）2－5（2x －x ）＋6＝0；（2）112122=+-+x xxx ．16．证明： 不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝2m 总有两个不相等的实数根．17．已知xy ≠0，且32x －2xy －82y ＝0，求yx 的值．18．已知关于x 的方程（m －1）2x －（m －2）x －2m ＝0.它总是二次方程吗？试求出它的解．19．某产品每件生产成本为50元，原定销售价65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%．若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答．。
一元二次方程配方法的步骤
一元二次方程配方法的步骤一元二次方程是高中数学中常见的一类方程，其形式为ax2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中一种重要的方法就是配方法。
本文将介绍一元二次方程配方法的具体步骤。
步骤一：观察方程的形式及系数在应用配方法求解一元二次方程之前，首先需要观察方程的形式及系数。
一元二次方程通常为ax2+bx+c=0的形式，其中a、b、c分别代表方程中的系数。
在应用配方法时，我们需要将方程转化为一个完全平方的形式。
因此，我们需要判断一元二次方程能否通过配方法进行求解。
判断的思路主要有以下两点：1.判断a的值是否为零。
若a=0，则方程不是二次方程，无法使用配方法求解。
2.判断b2−4ac的值是否为零。
若b2−4ac=0，则一元二次方程的根是重根，此时也无法使用配方法求解。
步骤二：进行配方法变形当满足使用配方法的条件后，我们开始对一元二次方程进行配方法的变形。
主要步骤如下：1.将一元二次方程的常数项c移到方程的右边，变为ax2+bx=−c。
2.为了保持方程的平衡，我们需要在等式的两边同时加上一个常数，使得左侧变成完全平方。
具体而言，对于二次项ax2的系数a，我们需要将它的一半平方，并加到等式的两边。
即，左侧变为 $(x+\\frac{b}{2a})^2$。
此时，方程变为 $(x+\\frac{b}{2a})^2=-c+\\frac{b^2}{4a}$。
3.对于右侧的常数项 $-c+\\frac{b^2}{4a}$，我们可以将其化简为一个平方差的形式，即等式变为 $(x+\\frac{b}{2a})^2=\\frac{b^2-4ac}{4a}$。
步骤三：开方取根在进行完配方法的变形后，我们需要对方程进行开方取根的操作，以求得方程的解。
具体步骤如下：1.对上述得到的等式两边同时开方。
注意，取根操作需要考虑正负号，即方程的解可能是正根和负根。
因此，等式变为$x+\\frac{b}{2a}=\\pm\\sqrt{\\frac{b^2-4ac}{4a}}$。
配方法解一元二次方程教案
23.2.3配方法教学设计说明东北师大附中赵蕾选自华东师大版数学教材九年级上册第23章第2节一元二次方程的解法第3课时一、教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。
配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。
配方法又是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。
二、目标分析1．知识与技能：理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；2．过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法；3．情感态度价值观：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣。
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学难点：发现并理解配方的方法。
三、教学问题诊断学生的知识基础：学生会解一元一次方程，了解平方根的概念、平方根的性质以及完全平方公式，并刚刚学习了一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程；学生的技能基础：学生在之前的学习中已经学习过“转化” “整体”等数学思想方法，具备了学习本课时内容的较好基础；学生活动经验基础：以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验和能力。
本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点，需要合理添加条件进行转化，即“配方”，而学生在以前的学习中没有类似经验，理解起来会有一定的困难，同时完全平方公式的理解对学生来说也是一个难点，所以在教学过程中要注意难点的突破。
四、教学过程设计根据本节课的教学目标，我将教学过程设计为以下五个环节：环节一：创设情境，引出新知；环节二：对比研究，探索新知；环节三：回归生活，应用新知；环节四：随堂练习，巩固新知；环节五：小结梳理，分层作业。
环节一：创设情境，引出新知在知识引入阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。
一元二次方程的解法(配方法)
x2 9x ___4___ (x __2___)2
x2
3
x
9
__1_6__
(x
3
___4__)2
2
x2 6 2x __18___ (x _3__2__)2
例2、用配方法解下列方程：
⑴ x2 6x 7 0 ⑵ x2 3x 1 0 ⑶ x2 4x 3 0
一半的平方，使左边成为完全平方. 3、如果方程的右边整理后是非负数，
用直接开平方法解之，
如果右边是个负数，
则指出原方程无实根.
实验手册： P16 练习2
A/1,2 思考B/3,4,5
课程结束
驶向胜利的彼岸
练习
①填空：
（1） x2 6x 2
（2） x2 －8x＋（ ）＝ x 2
∵ (x 1)2 0
2
∴ 2(x 1)2 1 0
22
2(x2 x 1 ) 1 2 1
∴代数式的值 恒大于0.
4
4
2(x 1 )2 1 22
课堂小结 配方法解一元二次方程的步骤：
1、把常数项移到方程右边， 用二次项系数除方程的两边
使新方程的二次项系数为1. 2、在方程的两边各加上一次项系数的
（3） x2 ＋x＋（ ）＝（x＋ ）2
（4）4 x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2
②用配方法解方程：
（1） x2＋8x－2＝0
（2） x2－5 x－6＝0
（3） x2 7 6x
（4） x2 10 2 6x
试一试
用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－ 4q≥0).
这里为什么要规定p2－4q≥0？
《23.23 一元二次方程的解法----- 配方法》
2
参照第一题，推想一下第二题及第三题的解法 2 (1)
( x 1) 6
2
(2) (3)
x 2x 1 6
x 2x 5
2
上面，我们把方程 变形为( )2 =a的形式
x 2x 5
2
x 2x 1 6 2
2
( x 1) 6
它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边 是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方 法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
课堂练习
3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0， 则x+y的值为（ D ）． （A ） 1 （B）－2 （C）2或－1 （D）－2或1 4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是 一个（ B ） （A）非负数 （B）正数 （C）整数 （D）不能确定的数
综合应用
例题3. 用配方法解决下列问题 1. 证明:代数式x2+4x+ 5的值不小于1. 1 2 2. 证明:代数式-2y +2y-1的值不大于 2
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程 注意：配方时, 等式两边同 x2+6x-7=0 2 解： x 6x 7 时加上的是一 次项系数一半 2 的平方。 x 6x 9 7 9 练习1. 用配方法解下列 2 x 3 16 方程 x 3 4 1. y2-5y-1=0 . x1 1 x2 7 2. y2-3y= 3
作业（做在作业本上）
练习册Ｐ３４ 三、解答题 １．用配方法解下列各方程 （１）（２）（３）（４）
课堂练习
1.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方 程为（ A ）． （A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14 （C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不对 2.用配方法解下列方程，配方有错的是（ C ） （A）x2-2x-99=0 化为 (x-1)2=100 （B） 2x2-3x-2=0 化为 (x- 3/4 )2=25/16 （C）x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25 （D） 3x2-4x=2 化为(x-2/3)2=10/9
一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法
一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法第1篇第2篇第3篇第4篇第5篇更多顶部第一篇：配方法解一元二次方程的教案第二篇：一元二次方程复习教案(正式)第三篇：4.2.3一元二次方程的解法(教案)第四篇：教案一元二次方程的应用第五篇：一元二次方程根的分布教案更多相关范文第一篇：配方法解一元二次方程的教案配方法解一元二次方程的教案教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。
一、教学目标（一）知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目标1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程（一）复习引入1、复习：解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：二次根式的意义：若x2=a(a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a。
实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新课探究通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。
通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。
这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，具体解题步骤：2解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6xdm2列出方程：60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值，所以x=5即：正方体的棱长为5dm。
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23.2.3一元二次方程的解法（三）
教学目标
1.掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．
2.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。
研讨过程 一、复习提问
1.解下列方程，并说明解法的依据：
（1）2321x -= （2）()2160x +-= （3） ()2210x --=
通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：
()()()22
00x b b x a b b =≥-=≥和
根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。
如()2
12x -=-
2.请说出完全平方公式。
()()
2
22
2
2
2
22x a x ax a x a x ax a
+=++-=-+。
二、引入新课
我们知道，形如02=-A x 的方程，可变形为)0(2≥=A A x ，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如2
0x bx c ++=的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题． 三、探索：
1、例1、解下列方程：
2x ＋2x ＝5； （2）2
x －4x ＋3＝0. 思考:
能否经过适当变形，将它们转化为
()2
= a 的形式，应用直接开方法求解？ 解:（1）原方程化为2x ＋2x ＋1＝6， （方程两边同时加上1）
_____________________, _____________________,
_____________________.
（2）原方程化为2x －4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）
_____________________, _____________________, _____________________. 三、归 纳
上面，我们把方程2x －4x ＋3＝0变形为()22x -＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？ 四、试一试：对下列各式进行配方：
(1)22_____)(_____8+=+x x x ； 2210_____(_____)x x x -=+ (2)22_____)(______5-=+-x x x ； 229______(_____)x x x -+=-
（3）2
2
_____)
(_____2
3-=+-
x x x ；（4）2
2
_____(_____)
x
x -+=-
(5) 22______(_____)x bx x ++=+
通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
五、例题讲解与练习巩固
1、例
2、 用配方法解下列方程：
（1）2x －6x －7＝0； （2）2x ＋3x ＋1＝0. 解:（1）移项，得 （2） 移项，得 2x －6x ＝7. 2
x ＋3x ＝－1. 方程左边配方，得 方程左边配方，得
2
x －2·
x ·3＋32＝7＋32， 2
x ＋2·x ·23
＋（23）2
＝－1＋(23)2， 即 （x －3）2
＝16. 即 （x ＋23）2＝45.
所以 x －3＝±4. 所以 x ＋23＝2
5
±.
原方程的解是x 1＝7，x 2＝－1. 原方程的解是：
x 1＝－23
＋
2
5，x 2＝－23
－
2
5。
2、练习： ①填空：
（1）()()226x x ++= （2）2x －8x ＋（ ）＝()x -
2
（3）2x ＋x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （4）42x －6x ＋（ ）＝4（x － ）2 ② 用配方法解方程：
（1）2x ＋8x －2＝0 （2）2x －5 x －6＝0.
（3）2
76x x +=- （4）2
10x +=-
六、试一试
用配方法解方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). 先由学生讨论探索，教师再板书讲解。
解：移项，得 x 2＋px ＝－q ，
配方，得 x 2＋2·x ·2
p ＋(2p )2＝(2
p
)2－q,
即 (x ＋2
p
) 2
＝
4
42
q p -.
因为 p 2－4q ≥0时，直接开平方，得 x ＋2p
＝±
2
42
q p -.
所以 x ＝-2
p
±
242
q p -,
即 x ＝
2
42
q p p -±
-.
思 考：这里为什么要规定p 2－4q ≥0？ 七、讨 论
1、如何用配方法解下列方程？
4x 2－12x －1＝0; 请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？ 2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。
先由学生讨论探索，再教师板书讲解。
解：（1）将方程两边同时除以4，得 x 2－3x －41
＝0
移项，得 x 2－3x ＝4
1
配方，得 x 2－3x+（
2
)
23＝41+（
2
)
2
3
即 (x —2
3) 2＝2
5.
直接开平方，得 x —23
＝±
2
10
所以 x ＝23±2
10,
所以x 1＝
210
3+
，x 2=
2
10
3-
3，练习：用配方法解方程：
（1）02722
=--x x （2
1,421-
==x x ）
（2）3x 2＋2x －3＝0. （x 1＝
3
101+
-，
x 2=
310
1-
-）
（3）05422=+-x x （原方程无实数解）
本课小结
让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：
1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3.如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
布置作业：习题2 .（3）、（4）、（5）、（6），3，4 .（1）、（2）。