高二数学演绎推理综合测试题
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于A．B．C．D．【答案】C【解析】四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此，解得.【考点】类比推理的应用.2.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A．由an =2n﹣1，求出S1=12，S2=22，S3=32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn=n2B．由f（x）=xcosx满足f（﹣x）=﹣f（x）对都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数C．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，推断：椭圆=1的面积S=πabD．由，…，推断：对一切，（n+1）2＞2n【答案】A.【解析】选项A:为归纳推理，且，是等差数列，首项，公差，则，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C:为类比推理；选项D：为归纳推理，当时，，故结论错误；故选A.【考点】推理.3.定义表示所有满足的集合组成的有序集合对的个数．试探究，并归纳推得=_________.【答案】.【解析】若时，，则，即；若时，，则，即；若时，，则，，即；由此归纳推得.【考点】集合的子集、归纳推理.4.已知根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．【答案】【解析】由以上等式，可猜想出的一般结论是.【考点】归纳推理5.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数，第个三角形数为.记第个边形数为（），以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数可以推测的表达式，由此计算 .【答案】【解析】事实上我们可以换种方式来表达这些多边形数，如：，，，，从中不难发现其中的规律：就是表示以为首相，为公差的等差数列前项的和，即有，所以.【考点】推理知识和等差数列知识的综合.6.已知……根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．【答案】．【解析】根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到，分母为，右式为；将规律表示出来可得答案．【考点】归纳推理．7.给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．，B．，C．25，D．，【答案】D【解析】本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D．【考点】创新学习题．8.下面使用的类比推理中恰当的是（）A．“若，则”类比得出“若，则”B．“”类比得出“”C．“”类比得出“”D．“”类比得出“”【答案】C【解析】A：等式的基本性质要求同时除以的是不为0的数或式，∴A错误；B：，由乘法分配律不能类比到乘法结合律，∴B错误；C：这是等式的基本性质的类比，∴C正确；D：不能由幂的乘方类比到和的乘方也有类似性质，∴D错误.【考点】类比推理.9.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】通过图形可以看出，中间的每一个数都等于其肩上的两个数之和，所以a=3+3=6,故答案为C.【考点】归纳推理.10.用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理( )A．大前题错误B．小前题错误C．推理形式错误D．是正确的【答案】A【解析】∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，故选A．【考点】演绎推理的基本方法．11.设数列的前项和为，且满足．（1）求，，，的值并写出其通项公式；（2）用三段论证明数列是等比数列．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由递推关系式得到数列前几项，然后猜想即可（2）利用三段论的方法严格的按步骤进行.（1）由，得；；；，猜想．6分（2）因为通项公式为的数列，若，是非零常数，则是等比数列；因为通项公式，又；所以通项公式的数列是等比数列． 12分【考点】由递推关系式猜想通项公式；演绎推理；三段论.12.设定义在R上的函数满足，，则＝．【答案】3【解析】把代入得，进一步知所以.【考点】推理与证明.13.已知△ABC中，，求证：.证明：∴，其中，画线部分是演绎推理的（）A．小前提B．大前提C．结论D．三段论【答案】A【解析】本题中应用了三角形中的大角对大边的原理，即“在三角形中，大角对大边”是“三段论”中的大前提，而“”是三段论中的小前提，“”是三段论中的结论，故选A.【考点】演绎推理中的三段论问题.14.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为；类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．【答案】【解析】本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类比推理出空间正方体的性质特征，本题难度不是很大．同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．【考点】合情推理中的类比推理．15.演绎推理“因为对数函数是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误【答案】A【解析】大前提错误，对数函数当时，为增函数，当时，为减函数．【考点】演绎推理，对数函数的性质．16.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：，，，；，，；，；按此规律，的分解式中的第4个数为 ____ ．【答案】127【解析】由题意，从到，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，即从到，用去从7开始的连续奇数共=9个，故的分解式中第一个奇数为25，且共有5个连续奇数相加，故，故的分解式中的第4个数为127．【考点】归纳推理；合情推理的含义与作用．17.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：，，，；，，；，；按此规律，的分解式中的第4个数为 ____ ．【答案】127【解析】由题意，从到，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，即从到，用去从7开始的连续奇数共=9个，故的分解式中第一个奇数为25，且共有5个连续奇数相加，故，故的分解式中的第4个数为127．【考点】归纳推理；合情推理的含义与作用．18.下列表述中：①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理；正确的是 .【答案】①③⑤【解析】根据归纳推理、演绎推理、类比推理的定义，可知①③⑤正确.【考点】归纳推理、演绎推理、类比推理的定义.19.学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r＝”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r＝”．这两位同学类比得出的结论( )A．两人都对B．甲错、乙对C．甲对、乙错D．两人都错【答案】C【解析】利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝，因此，乙同学类比的结论是错误的．20.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”该结论显然是错误的，其原因是A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【答案】C【解析】在演绎推理三段论中：大前提，有些有理数是真分数，正确；小前提，整数是有理数，正确，因此推理形式错误，结论应该为有些整数是真分数【考点】演绎推理点评：演绎推理三段论中，可能错误的是：大前提，小前提，推理形式21.把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30【答案】B【解析】解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和． l是第一个三角形数， 3是第二个三角形数， 6是第三个三角形数， 10是第四个三角形数， 15是第五个三角形数，…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．故选B【考点】数列点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，注意总结规律22.已知，，，。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意，得72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，发现：74k-2的末两位数字是49，74k-1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、…），∵2011=503×4-1，∴72011的末两位数字为43【考点】本题考查了推理的运用点评：本题以求7n（n≥2）的末两位数字的规律为载体，考查了数列的通项和归纳推理的一般方法的知识，属于基础题．2.从中得出的一般性结论是_______________.【答案】（注意左边共有项【解析】解：因为从中得出的一般性结论是3.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出 .【答案】【解析】因为,所以. 4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由图形可知：第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6=8；第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6=14；第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6=20；…；第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6=2+6n．故答案为2+6n．5.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。
A．①③B．②③C．①②D．①②③【答案】D【解析】解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．都是恰当的故答案为：①②③6.下面几种推理是演绎推理的是（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，新药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.C．由三角形的三条中线交于一点，联想到四面体四条中线（四面体每个顶点与对面重心的连线）交于一点D．一切偶数都能被2整除，是偶数，所以能被2整除.【答案】D【解析】根据演绎推理中的三段论推理，大前提---小前提----结论，D符合。
高二数学人教选修1-2同步练习：2.1.2 演绎推理 Word版含解析
2.1.2演绎推理一、基础过关1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤2．下列说法不正确的是() A．在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论必定正确B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理() A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理是() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．下列几种推理过程是演绎推理的是( )A ．5和22可以比较大小B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．由1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，…，归纳出1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2D ．预测股票走势图二、能力提升7．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是__________(填序号)．8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________．9．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是______________． 10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求a 的值．三、探究与拓展13．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC .答案1．D 2．D 3．C 4．B5．A 6.A7．③8．y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)9．a >0，b >c ⇒ab >ac10．②③11．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )．结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴(a －1a )(e x －1e x )＝0对于一切x ∈R 恒成立， 由此得a －1a＝0，即a 2＝1. 又a >0，∴a ＝1.13．证明 如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，∴AE ⊥平面SBC ，∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC .。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）是他们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.（Ⅰ）求出的值；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；（Ⅲ）求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。
【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）因为由上式规律，所以得出因为（Ⅲ）当时，,则【考点】本题主要考查归纳推理，“裂项相消法”。
点评：中档题，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。
归纳推理问题，往往与数列知识相结合，需要综合应用数列的通项公式、求和公式等求解。
2.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③【答案】C【解析】平面中的边类比到立体中的边或面，平面中的两线夹角类比到立体中的棱的夹角或两面的夹角【考点】归纳类比点评：归纳类比题目要根据被类比的事物的特征找到他们相似相通的地方加以迁移变换3.“因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A．矩形都是对角线相等的四边形B．正方形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形【答案】A【解析】解：因为“因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，那么前提必须是矩形具有该性质，所以以上推理的大前提矩形都是对角线相等的四边形，选A4.在中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，类比此性质，如图，在四面体P—ABC 中，若PA，PB，PC两两垂直，且长度分别为，设棱锥底面上的高为，则得到的正确结论为 .【答案】【解析】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维到三维由题目中Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则中的结论是二维的边与边的关系，类比后的结论应该为三维的边与边的关系，故可猜想：，故答案为：．5.对于……大前提……小前提所以……结论以上推理过程中的错误为（）A．大前提B．小前提C．结论D．无错误【答案】B【解析】小前提错误，因为没说明x>0.6.下面使用类比推理正确的是（）.A．“若,则”类推出“若,则”B．“若”类推出“”C．“若”类推出“（c≠0）”D．“” 类推出“”【答案】C【解析】解：A.“若,则”类推出“若,则”，结论错误。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.由下列事实：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4，（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5﹣b5，可得到合理的猜想是．【答案】.【解析】由所给等式可以发现：等式左边由两个因式相乘；第一个因式相同，是；第二个因式是和的形式，每一项为的形式，且按降次排列，按升次排列，且；等式右边为差的形式，次数比左边第二个因式的第一项次数大1，；因此，我们可得到合理的猜想是.【考点】归纳推理.2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．3.把命题“若是正实数，则有”推广到一般情形，推广后的命题为____________.【答案】若都是正数，则有【解析】可通过类比，归纳得一般结论，证明如下：【考点】推理与证明.4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．推理形式错误C．小前提错误D．非以上错误【答案】A【解析】三段论推理形式为大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确，且推理的形式也正确，结论才正确，此处结论错误的原因是“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线”这句话不正确，它恰是推理的大前提，故选择A.【考点】三段论推理.5.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．6.观察下列各式：则______;【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．，B．，C．25，D．，【答案】D【解析】本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D．【考点】创新学习题．9.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.10.把正整数按右图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把上图中的数分为4个数列分别是：（1）1,5,9 (2)2,6,10 ;(3)3,7,11 ;(4)4,8,12 它们都是以4为公差的等差数列，4个数列的通项公式分别为，，，，只要确定2014在哪个位置就可以了，只有解得，其余的解得不是整数，所以2014在第二个数列的位置，观察数的结构得本题选A。
苏教版数学高二 选修1-2测评演绎推理
学业分层测评(五)第2章 2.1.2 演绎推理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.“所有金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电”这种推理方法属于________.【答案】演绎推理2.“若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°”若将其恢复成完整的三段论后，大前提是________________.【答案】两直线平行，同旁内角互补3.已知函数f(x)＝a-12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝______________.【解析】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝a-120＋1＝0，∴a＝12.【答案】1 24.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好.”乙说：“我们四人中有人考得好.”丙说：“乙和丁至少有一人没考好.”丁说：“我没考好.”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了.【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为乙，丙.【答案】乙，丙5.若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________.【解析】 ①a ＝0时，有2<0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a 2-8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2，所以0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2].【答案】 [0,2]6.(2016·聊城高二检测)已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，②f (m ＋1,1)＝2f (m,1).给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9.(2)f (5,1)＝16.(3)f (5,6)＝26其中正确结论为________.【解析】 由条件可知，因为f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9.又因为f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确.【答案】 (1)(2)(3)7.(2016·“江南十校”联考)已知两定点M (-1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”，给出下列直线，其中是“A型直线”的是________(填序号).①y＝x＋1；②y＝2；③y＝-x＋3；④y＝-2x＋3.【解析】由题意知点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是x24＋y23＝1.①直线与坐标轴的交点(0,1)，(-1,0)都在椭圆内，易知直线与椭圆相交，交点即为P，故为“A型直线”；同理④也为“A型直线”；②直线显然与椭圆没有交点(2>3)，所以不是“A型直线”；③把y＝-x＋3代入x24＋y23＝1并整理得7x2-24x＋24＝0.Δ＝(-24)2-4×7×24<0，所以y＝-x＋3不是“A型直线”.【答案】①④8.“如图2-1-15，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”.图2-1-15证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________(填序号).【解析】由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误.【答案】③二、解答题9.用三段论证明通项公式为a n＝cq n(c，q为常数，且cq≠0)的数列{a n}是等比数列.【证明】 设a n ＋1，a n 是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，因为a n ＋1a n＝cq n ＋1cq n ＝q (常数)(小前提)， 所以{a n }是等比数列.(结论)10.已知a >0且函数f (x )＝2x a ＋a 2x 是R 上的偶函数，求a 的值.【解】 由于f (x )是偶函数，所以f (-x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，即2-x a ＋a 2-x ＝2x a ＋a 2x ，所以1a ·2x ＋a ·2x ＝2x a ＋a 2x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a -1a (2x -2-x )＝0，必有a -1a ＝0.又因为a >0，所以a ＝1.[能力提升]1.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1-y )，若不等式(x -a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是________.【解析】 由定义，得(x -a )(1-x -a )<1，∴x 2-x ＋a -a 2＋1>0对x ∈R 恒成立，故Δ＝1-4(a -a 2＋1)<0，∴-12<a <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12，32 2.若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 016)f (2 015)＝________.【解析】 ∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )，a ，b ∈N *令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2.∴f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2 016)f(2 015)＝2，∴原式＝2＋2＋…＋21 008个2＝2 016.【答案】 2 0163.在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图2-1-16中△ABC 是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.图2-1-16(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是___________________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答).【解析】(1)由图可知四边形DEFG是直角梯形，高为2，下底为22，上底为2，所以梯形面积S＝(2＋22)×22＝3.由图知N＝1，L＝6.(2)取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S＝4，N＝1，L＝8，结合△ABC，四边形DEFG可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4b＋c＝1，a＋6b＋c＝3a＋8b＋c＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝12，c＝-1，S＝1×71＋12×18-1＝79.【答案】(1)3,1,6(2)794.在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝4a n-3n＋1，n∈N*.(1)证明：数列{a n -n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立.【解】 (1)证明：因为a n ＋1＝4a n -3n ＋1， 所以a n ＋1-(n ＋1)＝4(a n -n )，n ∈N *. 又a 1-1＝1，所以数列{a n -n }是首项为1，且公比为4的等比数列.(2)由(1)可知a n -n ＝4n -1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n -1＋n .所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n -13＋n (n ＋1)2.(3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1-4S n ＝4n ＋1-13＋(n ＋1)(n ＋2)2- 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n -13＋n (n ＋1)2＝-12(3n 2＋n -4)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立.。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．2.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．3.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数，第个三角形数为.记第个边形数为（），以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数可以推测的表达式，由此计算 .【答案】【解析】事实上我们可以换种方式来表达这些多边形数，如：，，，，从中不难发现其中的规律：就是表示以为首相，为公差的等差数列前项的和，即有，所以.【考点】推理知识和等差数列知识的综合.4.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.5.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第4个图案中有白色地面砖________________块．【答案】18【解析】由图形间的关系可以看出，第1个图案中有白色地面砖6块，第4个图案中有白色地面砖6+4块，第4个图案中有白色地面砖6+24块，第4个图案中有白色地面砖6+34块，故答案为18块.【考点】归纳推理.6.观察下列各式：，，，，，，则（）A．28B．C．D．【答案】B【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第八项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为47，即．【考点】归纳推理．7.若函数，则对于，【答案】【解析】当时，，则当时，故【考点】归纳推理8.当成等差数列时，有当成等差数列时，有当成等差数列时，有由此归纳，当成等差数列时，有．如果成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为______________．【答案】【解析】根据等差数列与等比数列类比是升级运算，因此在等差数列种有，如果成等比数列，则．【考点】本题考查类比推理、等差和等比数列的类比．9.观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．【答案】1＋＋＋…＋>【解析】3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>10.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．【答案】猜想成立【解析】在△DEF中(如图)，由正弦定理得. 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想成立．11.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：，，，；，，；，；按此规律，的分解式中的第三个数为 ____ ．【答案】【解析】解：根据题意：所以＝故答案应填：【考点】合情推理.12.下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面；所以直线直线，在这个推理中（）A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误【答案】D【解析】如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线平面，直线平面时，直线与直线可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.【考点】演绎推理.13.观察按下列顺序排列的等式：，……，猜想第（）个等式应为_ _.【答案】【解析】这是一个归纳推理的问题，要想从一部分个体具有的性质来猜想一般情形具有的性质，需要对给出的等式进行认真观察，发现其中变化的规律，从而作出正确的猜想，等式左边第一部分与9相乘的数从0开始逐渐增加1，等式左边的第二部分从1开始逐渐增加1，等式右边从1开始，逐渐增加10，所以可猜想第个等式为.【考点】归纳推理.14.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是()A．21B．28C．32D．36【答案】B【解析】原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和． l是第一个三角形数， 3是第二个三角形数， 6是第三个三角形数， 10是第四个三角形数， 15是第五个三角形数，…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．故选B．【考点】合情推理点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，注意总结规律15.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点. 以上推理中A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】根据极值点的概念可知：若，则不一定是函数的极值点，∴本题的推理中大前提错误，故选A【考点】本题考查了演绎推理的概念点评：演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中。
高中数学 212演绎推理测试 新人教B版选修2-2
演绎推理一、选择题1．对归纳推理的表述不正确的一项为哪一项〔〕Ａ．归纳推理是由局部到整体的推理Ｂ．归纳推理是由个别到一般的推理Ｃ．归纳推理是从争辩对象的全体中抽取局部进展观看试验，以取得信息，从而对整体作出推断的一种推理Ｄ．归纳推理是由一般到特殊的推理答案：Ｄ2．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是〔〕Ａ．归纳推理Ｂ．演绎推理Ｃ．类比推理Ｄ．特殊推理答案：Ｃ3．用演绎法证明函数是增函数时的大前提是〔〕Ａ．增函数的定义Ｂ．函数满足增函数的定义Ｃ．假设，那么Ｄ．假设，那么答案：Ａ4．数列，那么数列的第项是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ5．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是〔〕Ａ．连续两项的和相等的数列叫等和数列Ｂ．从其次项起，以后第一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列Ｃ．从其次项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列Ｄ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等数数列答案：Ｃ6．观看数列，那么数将毁灭在此数列的第〔〕Ａ．21项Ｂ．22项Ｃ．23项Ｄ．24项答案：Ｃ二、填空题7．将函数为增函数的推断写成三段论的形式为．答案：〔大前提〕指数函数是增函数；〔小前提〕是底数大于1的指数函数；〔结论〕为增函数．8．在平面，到一条直线的距离等于定长〔为正数〕的点的集合，是与该直线平行的两条直线．这一结论推广到空间那么为：在空间，到一个平面的距离等于定长的点的集合，是．答案：与该平面平行的两个平面9．从入手，你推想与的大小关系是．答案：时，；时，10．假设数列满足，且，那么此数列的通项公式为 ．答案：11．由图〔1〕有面积关系：，那么由图〔2〕有体积关系 ．答案：12．把这些数叫做三角形数，这是由于这些数目的点子可以排成一个正三角形〔如下面〕，那么第七个三角形数是 ．答案：28三、解答题13．用三段论证明：通项为〔为常数〕的数列是等差数列．证明：由于数列是等差数列，那么，其中为常数，由，得为常数，所以，以〔为常数〕的数列是等差数列．14．设有数列〔1〕问10是该数列的第几项到第几项？〔2〕求第100项；〔3〕求前100项的和．解：将数列分组，第一组一个“1”；其次组两个“2”，第三组三个“3”；第四组四个“4”，如此下去；〔1〕易知“10”皆毁灭在第十组，由于前九组中共有：项，因此10在该数列中从第46项到第55项；〔2〕由，即成立的最大自然数为13，又，因此第100项为14；〔3〕由〔2〕知前100项的和为：．15．设是集合中全部的数从小到大排列成的数列，即，将数列各项依据上小下大，左小右大的原那么写成如右的三角形数表：〔1〕写出这个三角形数表的第四行、第五行；〔2〕求．解：用记号表示的取值，那么数列中的项对应的也构成一个三角表：第一行右边的数是“1”；其次行右边的数是“2”；第三行右边的数是“3”；于是第四行右边的数便是“4”，第五行右行的数自然就是“5”了．而左边的那个数总是从“0”开头逐个递增．因此〔1〕第四行的数是：；；；；第五行的数是：；；；；．〔2〕由，知在第十四行中的第9个数，于是．演绎推理一、选择题1．以下说法正确的选项是〔 〕Ａ．由归纳推理得到的结论确定正确Ｂ．由类比推理得到的结论确定正确3 5 6 9 10 12Ｃ．由合情推理得到的结论确定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论确定正确答案：Ｄ2．写出数列的一个通项公式是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ3．关于平面对量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得以下结论：①；②；③；④；⑤由，可得．以上通过类比得到的结论正确的有〔〕Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个答案：Ａ4．假设平面上个圆最多把平面分成个区域，那么个圆最多把平面分成区域的个数为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ5．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的选项是〔〕Ａ．大前提Ｂ．小前提Ｃ．推理形式Ｄ．大小前提及推理形式答案：Ｃ6．三条直线三个平面．下面四个命题中正确的选项是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ二、填空题7．观看，，请写出一个与以上两式规律违反的一个等式：．答案：8．数列中，，试推想出数列的通项公式为．答案：9．，观看以下几式：，，类比有，那么．答案：10．假设，，，，那么的大小关系为．答案：11．通过圆与球的类比，由“半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为．”猜想关于球的相应命题为．答案：关径为的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为12．类比平面上的命题〔m〕，给出在空间中的类似命题〔n〕的猜想．〔m〕假设的三条边上的高分别为和，内任意一点到三条边的距离分别为，那么．〔n〕．答案：从四周体的四个顶点分别向所对的面作垂线，垂线长分别为和．为四周体内任意一点，从点向四个顶点所对的面作垂线，垂线长分别为和，那么类比所得的关系式是．三、解答题13．设对有意义，，且成立的充要条件是．〔1〕求与的值；〔2〕当时，求的取值范围．解：〔1〕因，且对于，有，令，得；令，得．〔2〕由条件，得，又，由，得．由成立的充要条件是，所以有14．设是上的偶函数，求的值．解：是上的偶函数，，对于一切成立，由此得，即．又，．15．如下图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．〔1〕求证：；〔2〕在任意中有余弦定理．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．〔1〕证明：，，平面．〔2〕解：在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角．平面．上述的二面角为．在中，，由于，，，有。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.当x∈R＋时，可得到不等式x＋≥2，x＋≥3，由此可推广为x＋≥n＋1，其中P等于 ( )A、 B、Ｃ、 D、【答案】A【解析】∵x∈R+时可得到不等式x+≥2，x+≥3，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方，∴p=n n，故选A【考点】本题考查了归纳推理点评：解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向2.用演绎法证明函数是增函数时的小前提是 ( )A．增函数的定义B．函数满足增函数的定义C．若，则D．若，则【答案】B【解析】解：因为用演绎法证明函数是增函数，可以根据函数满足增函数的定义，得到结论。
3.根据给出的数塔猜测123456×9＋7=( )1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111……A．1111113B．1111112C．1111111D．1111110【答案】C【解析】解：根据已知的条件1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111，观察归纳猜想可知123456×9＋7=1111111 ，选C4.在平面几何中,有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面,点在底面上的射影为,则有.”【答案】【解析】根据类比的规则，三角形类比三棱锥，边类比成面.所以.5.类比圆的性质“与圆心距离相等的两弦相等，距圆心较近的弦较长”，可得球的性质_【答案】“与球心距离相等的两截面圆面积相等，距球心较近的截面圆面积较大。
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题(有答案)
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题（有答案）第二章推理与证明综合检测时间：120分钟，满分：150分。
一、(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.锐角三角形的面积等于底部的一半乘以高度；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底面的一半乘以高度；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．上述推理中使用的推理规则是（）a．三段论推理b、假设推理c．关系推理d、完全归纳法[答案] d[分析]所有三角形都是按角度划分的。
只有三种情况：锐角三角、RT三角和钝角三角。
上述推理穷尽了所有可能的情况，因此是完全的归纳推理2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )a、 a1＝1，an＋1＝an＋n（n∈n*）b.a1＝1，an＝an－1＋n(n∈n*，n≥2)c、 a1＝1，an＋1＝an＋（n－1）（n∈n*）d.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈n*，n≥2)[答：]B[解析] 记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知当n≥2时，an比an－1多n，可得递推关系a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈n*)．3.有一种演绎推理，“一些有理数是真分数，整数是有理数，那么整数就是真分数”。
结论显然是错误的，因为（）a．大前提错误b、小前提错误c．推理形式错误d、不是上述错误[答案] c【分析】大前提和小前提都是正确的，其推理形式是错误的。
因此，C4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈n*)时，验证n＝1，左边应取的项是( )a、一,b．1＋2c、 1＋2＋3d．1＋2＋3＋4[答：]d[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选d.5.在R:x上定义“操作”？Y=x（1-Y）。
如果不平等（x-a）？如果x<1，则实数（+1）成立a．－1＜a＜1b、 0＜a＜2c．－12＜a＜32d、－32＜a＜12[答案] c[分析]比较问题中给出的运算形式以获得不等式（x-a）？（x+a）<1，然后在a为常数时求出a的值范围(x－a)?(x＋a)<1?(x－a)(1－x－a)<1也就是说，x2-x-a2+A+1>0不等式恒成立的充要条件是δ＝1－4（－a2＋a＋1）<0即4a2－4a－3<0解决方案-126．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )a、 F（n）中有n个项。
(完整版)高二数学演绎推理综合测试题
选修2-2 2.1.2 演绎推理一、选择题1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析]由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是()A．大前提错B．小前提错C．结论错D．正确的[答案] D[解析]前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论[答案] C[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．4．“因对数函数y ＝log a x (x >0)是增函数(大前提)，而y ＝log 13x是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错[答案] A[解析] 对数函数y ＝log a x 不是增函数，只有当a >1时，才是增函数，所以大前提是错误的．5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①②[答案] B[解析]由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是()A．①B．②C．①②D．③[答案] B[解析]易知应为②.故应选B.7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理()A．大前提错B．小前提错C．推论过程错D．正确[答案] C[解析]大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()A．正确B．推理形式正确C．两个自然数概念不一致D．两个整数概念不一致[答案] A[解析]三段论的推理是正确的．故应选A.9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为()[答案] A[解析]如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是() A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．二、填空题11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0[解析] 由三段论方法知应为log 2x －2≥0.12．以下推理过程省略的大前提为：________.∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab .[答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .13．(2010·重庆理，15)已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.[答案] 12[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2)∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)∴f (x )＝f (x ＋6)即f (x )周期为6，∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝2f (1)，∴f (0)＝12即f (2010)＝12. 14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等[解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝13S △AOB ·h ，又S △AOB ＝12|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．三、解答题15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.[证明]如下图延长AB，DC交于点M.①平行线分线段成比例大前提②△AMD中AD∥BC小前提③MBBA＝MCCD结论①等量代换大前提②AB＝CD小前提③MB＝MC结论在三角形中等边对等角大前提MB＝MC小前提∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论等量代换大前提∠B＝π－∠1∠C＝π－∠2小前提∠B＝∠C结论16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．[证明]若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数大前提∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．[解析]推理的第一个关键环节：大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．推理的第二个关键环节：大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.以下可得出结论a＝－4.18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．[解析] (1)F ∈l ⇔|F A |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意，y 1，y 2不同时为0.∴上述条件等价于y 1＝y 2⇔x 21＝x 22⇔(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于x 1＋x 2＝0，即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y ＝2x ＋b ；过点A 、B 的直线方程为y ＝－12x ＋m ，所以x 1，x 2满足方程2x 2＋12x －m ＝0，得x 1＋x 2＝－14.A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .由N ∈l ，得116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932.即得l 在y 轴上截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞.。
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题(有答案)
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题（有答案）第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。
一、(本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等同于底乘坐低的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等同于底乘坐低的一半．以上推理运用的推理规则是( )a．三段论推理小说b．假言推理c．关系推理小说d．完全归纳推理[答案] d[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的关系式公式可能将就是( )a.a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈n*)b.a1＝1，an＝an－1＋n(n∈n*，n≥2)c.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(n∈n*)d.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈n*，n≥2)[答案] b[解析] 记数列入{an}，由未知观测规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，所述当n≥2时，an比an－1多n，可以得关系式关系a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈n*)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )a．大前提错误b．小前提错误c．推理小说形式错误d．不是以上错误[答案] c[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选c.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈n*)时，检验n ＝1，左边马热里角的项是( )a．1b．1＋2c．1＋2＋3d．1＋2＋3＋4[答案] d[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故高文瑞d.5．在r上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )a．－1＜a＜1b．0＜a＜2c．－12＜a＜32d．－32＜a＜12[答案] c[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)?(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．(x－a)?(x＋a)<1?(x－a)(1－x－a)<1即x2－x－a2＋a＋1>0不等式恒设立的充要条件就是δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0即4a2－4a－3<0解得－126．未知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )a．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13b．f(n)中共存有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14c．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13d．f(n)中共存有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14[答案] d[解析] 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故高文瑞d.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )a．大于0b．小于0c．不大于0d．不大于0[答案] d[解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.数学分析2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac ＝ab＜0，确定a、b、c，挑选d.8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( )a．a＞bb．a＜bc．a＝bd．a、b大小不定[答案] b[解析] a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，因为c＋1>c>0，c>c－1>0，所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈n*)等于( )a．f(k)＋π2b．f(k)＋πc．f(k)＋32πd．f(k)＋2π[答案] b[解析] 由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.10．若sinaa＝cosbb＝coscc，则△abc就是( )a．等边三角形b．存有一个内角就是30°的直角三角形c．等腰直角三角形d．存有一个内角就是30°的等腰三角形[答案] c[解析] ∵sinaa＝cosbb＝coscc，由正弦定理得，sinaa＝sinbb＝sincc，∴sinbb＝cosbb＝coscc＝sincc，∴sinb＝cosb，sinc＝cosc，∴∠b＝∠c＝45°，∴△abc是等腰直角三角形．11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝ab?ba的大小关系就是( )a．p≥qb．p≤qc．p＞qd．p＜q[答案] a若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1；若a＝b，则pq＝1，∴p≥q.12．设立函数f(x)定义如下表中，数列{xn}满足用户x0＝5，且对任一的自然数均存有xn＋1＝f(xn)，则x2021＝( )x12345f(x)41352a.1b．2c．4d．5[答案] c[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2021＝x3＝4，故应选c.二、题(本大题共4个小题，每小题4分后，共16分后．将恰当答案填上在题中横线上)13．半径为r的圆的面积s(r)＝πr2，周长c(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式需用语言描述为：圆的面积函数的导数等同于圆的周长函数．对于半径为r的球，若将r看做(0，＋∞)上的变量，恳请你写下类似①式的式子：______________________________，你写给的式子需用语言描述为__________________________．[答案] 43πr3′＝4πr2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．未知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈n*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.[答案] 12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1[解析] f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1f(2k)＝1＋12＋13＋ (12)f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可以明确提出一个悖论的等式为________________．[答案] si n2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34[解析] 观测40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα?cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.16．设p就是一个数集，且至少所含两个数，若对任一a、b∈p，都存有a＋b、a－b、ab、ab∈p(除数b≠0)，则表示p就是一个数域．比如有理数集q就是数域；数集f＝{a＋b2a，b∈q}也就是数域．存有以下命题：①整数集是数域；②若有理数集q?m，则数集m必为数域；③数域必为无限集；④存有无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查理解、分析等学习能力．①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；②如将有理数集q，添上元素2，得到数集m，则取a＝3，b＝2，a＋b?m；③由数域p的定义言，若a∈p，b∈p(p中至少所含两个元素)，则存有a＋b∈p，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈p，∴p中必所含无穷多个元素，∴③对．④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈q，则由数域定义知，f＝{a＋bxa、b∈q}必是数域，这样的数域f有无穷多个．三、答疑题(本大题共6个小题，共74分后．求解应允写下文字说明、证明过程或编程语言步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈r，且a＋b＋c＝1.澄清：a2＋b2＋c2≥13.[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相乘得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥13.18．(本题满分12分后)证明以下等式，并从中概括出来一个一般性的结论．2cosπ4＝2，2cosπ8＝2＋2，2cosπ16＝2＋2＋2，……[证明] 2cosπ4＝2?22＝22cosπ8＝21＋cosπ42＝2?1＋222＝2＋22cosπ16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋2…19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an?an－1＝2?an－1－1.(1)谋a2、a3、a4；(2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式． [解析] (1)由an?an－1＝2?an－1－1得an＝2－1an－1，代入a1＝3，n依次值域2,3,4，得a2＝2－13＝53，a3＝2－35＝75，a4＝2－57＝97.(2)证明：由an?an－1＝2?an－1－1变形，得(an－1)?(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，即1an－1－1an－1－1＝1，所以{1an－1}是等差数列．由1a1－1＝12，所以1an－1＝12＋n－1，变形得an－1＝22n－1，所以an＝2n＋12n－1为数列{an}的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上以增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．[解析] (1)证法1：余因子x1，x2∈(－1，＋∞)，何不设x10，且ax1>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x2)－f(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f′(x)＝axlna＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝axlna＋3(x＋1)2∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋3(x＋1)2>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒设立，即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)数学分析1：设立存有x0<0(x0≠－1)满足用户f(x0)＝0则ax0＝－x0－2x0＋1，且0∴0故方程f(x)＝0没负数根．解法2：设x0<0(x0≠－1)①若－1②若x00，ax0>0，∴f(x0)>0.综上，x<0(x≠－1)时，f(x)0，即方程f(x)＝0无负根．21．(本题满分12分后)我们晓得，在△abc中，若c2＝a2＋b2，则△abc就是直角三角形．现在恳请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△abc为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形∵cn＝an＋bn(n＞2)，∴c＞a,c＞b，由c就是△abc的最小边，所以必须证△abc就是锐角三角形，只需证角c为锐角，即为证cosc＞0.∵cosc＝a2＋b2－c22ab，∴必须证cosc＞0，只要证a2＋b2＞c2，①注意到条件：an＋bn＝cn，于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cosc＞0，c就是锐角，△abc为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2021?安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.证明{an}为等差数列的充份必要条件就是：对任何n∈n＋，都存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路就是利用裂项议和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设立数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式似乎设立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1＝na1an＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设立所述的等式对一切n∈n＋都设立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观测如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1②将①代入②，得k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1，在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈n，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．证法2：(轻易证法)依题意存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋1.②②－①得1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③同理只须a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)④③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)即an＋2－an＋1＝an＋1－an，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈n*均成立．所以{an}是等差数列．。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.设等差数列的前n项和为则成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前n项积为则，，成等比数列．【答案】【解析】当数列是等差数列时成立，所以由类比推理可得：当数列是等差数列时应为.【考点】类比推理.2.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
如三角形数1,3,6,10···，第n个三角形数为。
记第n个k边形数为N(n,k)(),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)=正方形数 N(n,4)=五边形数 N(n,5)=六边形数 N(n,6)=可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)= ____________【答案】【解析】原已知式子可化为：，，，，由此归纳推理可得，.故答案为：.【考点】归纳推理的应用.3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】∵大前提是：“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当x＞x0时和当x＜x时的导函数值异号时，那么x=x是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．【考点】演绎推理的基本方法．4.已知，则．【答案】.【解析】观察易知：，又，所以，故.【考点】观察，归纳，特殊到一般数学思想.5.以下说法，正确的个数为（）．①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A．0B．2C．3D．4【答案】C【解析】推理包括归纳推理、类比推理和演绎推理，归纳推理是由特殊到一般、个体到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊、个体到个体的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．①通过大量罪犯的脚印和身高的关系推得,运用的是归纳推理；②通过多年的“下雪则丰收”得出的结论,运用的是归纳推理；③由圆与球的相似特点，由圆的已知性质推得球的性质运用的是类比推理；④“个位是5的整数是5的倍数”是一般原理，“2375的个位是5”是特殊情况，所以是演绎推理．故选C．【考点】推理的判定．6.观察以下个等式：照以上式子规律：写出第个等式，并猜想第个等式；用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．【答案】（1）;（2）【解析】（1）根据题目给我们的几个式子易得出结论；（2）先猜想第n个式子为，当n=1,n=k时的式子成立，然后利用规纳总结也成立，即可证明．试题解析：（1）第6个等式为 2分（2）猜想：第个等式为 4分下面用数学归纳法给予证明：①当时，由已知得原式成立； 5分②假设当时，原式成立，即 6分那么，当时，故时，原式也成立 11分由①②知，成立 13分【考点】1，学生对规律的把握2，学生对规纳总结方法的应用．7.椭圆的标准方程为（），圆的标准方程，即，类比圆的面积推理得椭圆的面积。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）. A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【答案】B.【解析】该三段论的推理形式、小前提是正确的，但大前提“任何实数的平方大于0”是错误的，应是“任何实数的平方大于或等于0”.【考点】演绎推理.2.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于A．B．C．D．【答案】C【解析】四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此，解得.【考点】类比推理的应用.3.在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比.将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为＝________．【答案】.【解析】在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：.【考点】类比推理.4.依此类推，第个等式为.【答案】【解析】；；，由此推理得：.【考点】归纳推理.5.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．6.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（Ⅰ）求出；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，（Ⅲ）根据你得到的关系式求的表达式.【答案】（Ⅰ）41（Ⅱ）f(n+1)-f(n)=4n（Ⅲ）f(n)=2n2-2n+1【解析】（Ⅰ）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，从而得出f（5）；（Ⅱ）将（Ⅰ）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，（Ⅲ）再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得．试题解析：（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, 2分f(5)=25+4×4=41. 4分（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 6分由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n. 8分（Ⅲ）f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1) 10分f(n)-f(1)="4[1+2+" +（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,f(n)=2n2-2n+1 12分【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．7.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.【答案】A【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.【考点】推理证明8.已知根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．【答案】【解析】由以上等式，可猜想出的一般结论是.【考点】归纳推理9.椭圆的标准方程为（），圆的标准方程，即，类比圆的面积推理得椭圆的面积。
【高二】高二数学归纳推理综合测试题(含答案)
【高二】高二数学归纳推理综合测试题(含答案)选修2-22.1.1第1课时归纳推理我1．关于归纳推理，下列说法正确的是( )a、归纳推理是一般到一般的推理b．归纳推理是一般到个别的推理c、归纳推理的结论必须是正确的d．归纳推理的结论是或然性的[答：]d[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选d.2.以下推理是归纳的（）a．a，b为定点，动点p满足pa＋pb＝2a>ab，得p的轨迹为椭圆b、从A1=1，an=3n-1，找到S1，S2，S3，猜测序列的前n项和Sn的表达式c．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积s＝πabd、科学家利用鱼的下沉和漂浮原理制造潜艇[答案] b【分析】从归纳推理的定义中，我们知道B是归纳推理，所以我们应该选择B3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )a、 28b．32c、 33d．27[答：]B[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选b.4.在序列{an}中，A1=0，an+1=2An+2，然后猜测an是（）a．2n－2－12b、 2n－2c．2n－1＋1d、 2n＋1－4[答案] b[分析]∵ A1=0=21-2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想an＝2n－2.B5．某人为了观看2021年奥运会，从2021年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2021年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )a、 a（1＋p）7b．a(1＋p)8c、 ap[（1+p）7-（1+p）]d.ap[(1＋p)8－(1＋p)][答：]d[解析] 到2021年5月10日存款及利息为a(1＋p)．到2022年5月10日，存款和利息将是a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]到2022年5月10日，存款和利息将是a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)＝a[（1＋p）3＋（1＋p）2＋（1＋p）]……因此，到2022年5月10日，存款和利息将是a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a（1＋p）[1－1（1＋p）7]1－1（1＋p）＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．因此，D6．已知数列{an}的前n项和sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )a、 n（2＋1）b.2n(n＋1)c、 22n－1d.22n－1[答：]B[解析] 因为sn＝n2an，a1＝1，那么S2=4a2=a1+A2？a2＝13＝23×2s3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝a1＋a28＝16＝24×3，s4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4a4＝a1＋a2＋a315＝110＝25×4.因此，应选择（n+1）猜想7．n个连续自然数按规律排列下表：根据法律，箭头的方向从2022到2022是（）a．↓→b。
高中数学 212演绎推理综合测试 新人教B版选修2-2
演绎推理一、选择题1．分析法是从要证明的结论动身，逐步寻求使结论成立的〔〕Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件答案：Ａ2．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为〔〕Ａ．Ｂ．且Ｃ．为正奇数Ｄ．为正偶数答案：Ｃ3．在中，，那么确定是〔〕Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定答案：Ｃ4．在等差数列中，假设，公差，那么有，类经上述性质，在等比数列中，假设，那么的一个不等关系是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ5．〔1〕，求证，用反证法证明时，可假设，〔2〕，，求证方程的两根的确定值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的确定值大于或等于1，即假设，以下结论正确的选项是〔〕Ａ．与的假设都错误Ｂ．与的假设都正确Ｃ．的假设正确；的假设错误Ｄ．的假设错误；的假设正确答案：Ｄ6．观看式子：，，，，那么可归纳出式子为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ7．如图，在梯形中，．假设，到与的距离之比为，那么可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，那么的面积与的关系是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ8．，且，那么〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ9．用反证法证明命题：假设整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，以下假设中正确的选项是〔〕Ａ．假设都是偶数Ｂ．假设都不是偶数Ｃ．假设至多有一个是偶数Ｄ．假设至多有两个是偶数答案：Ｂ10．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为〔 〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是〔 〕①；②；③；④；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列那么上起第2005行，左起第2006列的数应为〔 〕Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ二、填空题13．写出用三段论证明为奇函数的步骤是 ．答案：满足的函数是奇函数，大前提， 小前提所以是奇函数． 结论14．，用数学归纳法证明时，等于 ．答案：15．由三角形的性质通过类比推理，得到四周体的如下性质：四周体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四周体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是依据确定规律画出的一列“树型”图：设第个图有个树枝，那么与之间的关系是 ．答案：三、解答题17．如图〔1〕，在三角形中，，假设，那么；假设类比该命题，如图〔2〕，三棱锥中，面，假设点在三角形所在平面内的射影为，那么有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥中，面，假设点在三角形所在平面内的射影为，那么有是一个真命题．1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21证明如下：在图〔2〕中，连结，并延长交于，连结，那么有．由于面，，所以．又，所以．于是．18．如图，矩形所在平面，分别是的中点．求证：〔1〕平面；〔2〕．证明：〔1〕取的中点，连结．分别为的中点．为的中位线，，，而为矩形，，且．，且．为平行四边形，，而平面，平面，平面．〔2〕矩形所在平面，，而，与是平面内的两条直交直线，平面，而平面，．又，．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：〔分析法〕设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，正方形的面积为．因此此题只需证明．要证明上式，只需证明，两边同乘以正数，得．因此，只需证明．上式是成立的，所以．这就证明白假设一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．实数满足，，求证中至少有一个是负数．证明：假设都是非负实数，由于，所以，所以，，所以，这与相冲突，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．21．设，〔其中，且〕．〔1〕请你推想能否用来表示；〔2〕假设〔1〕中获得了一个结论，请你推想能否将其推广．解：〔1〕由，又，因此．〔2〕由，即，于是推想．证明：由于，〔大前提〕．所以，，，〔小前提及结论〕所以．22．假设不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．解：当时，，即，所以．而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．〔1〕当时，已证；〔2〕假设当时，不等式成立，即．那么当时，有．由于，所以，所以．所以当时不等式也成立．由〔1〕〔2〕知，对一切正整数，都有，所以的最大值等于25．演绎推理一、选择题1．下面使用的类比推理中恰当的是〔〕Ａ．“假设，那么”类比得出“假设，那么”Ｂ．“”类比得出“”Ｃ．“”类比得出“”Ｄ．“”类比得出“”答案：Ｃ2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，依据这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是〔〕Ａ．25 Ｂ．66Ｃ．91 Ｄ．120答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是〔〕Ａ．①Ｂ．②Ｃ．③Ｄ．①和②答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是〔〕Ａ．1 Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ5．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了〔〕Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法和综合法综合使用Ｄ．间接证法答案：Ｂ6．要使成立，那么应满足的条件是〔〕Ａ．且Ｂ．且Ｃ．且Ｄ．且或且答案：Ｄ7．以下给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为适宜的是〔〕Ａ．三角形Ｂ．梯形Ｃ．平行四边形Ｄ．矩形答案：Ｃ8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否认是〔〕Ａ．有两个内角是钝角Ｂ．有三个内角是钝角Ｃ．至少有两个内角是钝角Ｄ．没有一个内角是钝角答案：Ｃ9．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ10．扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．不行类比答案：Ｃ11．，，，那么以下结论正确的选项是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．，大小不定答案：Ｂ12．观看以下各式：，，，，，可以得出的一般结论是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ二、填空题13．，那么中共有项．答案：14．经过计算和验证有以下正确的不等式：，，，依据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式．答案：当时，有15．在数列中，，，可以猜想数列通项的表达式为．答案：16．假设三角形内切圆的半径为，三边长为，那么三角形的面积等于，依据类比推理的方法，假设一个四周体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，那么四周体的体积．答案：三、解答题17．是整数，是偶数，求证：也是偶数．证明：〔反证法〕假设不是偶数，即是奇数．设，那么．是偶数，是奇数，这与是偶数冲突．由上述冲突可知，确定是偶数．18．命题：“假设数列是等比数列，且，那么数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一共性质是：假设数列是等差数列，那么数列也是等差数列．证明如下：设等差数列的公差为，那么，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．19．，且，求证：．证明：由于，且，所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，即证，从而只需证明，即，由于，，所以成立，故原不等式成立．20．用三段论方法证明：．证明：由于，所以〔此处省略了大前提〕，所以〔两次省略了大前提，小前提〕，同理，，，三式相加得．〔省略了大前提，小前提〕21．由以下不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：依据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：．用数学归纳法证明如下：〔1〕当时，，猜想成立；〔2〕假设当时，猜想成立，即，那么当时，，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．22．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由．解：假设存在，使得所给等式成立．令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．〔1〕当时，由以上可知等式成立；〔2〕假设当时，等式成立，即，那么当时，．由〔1〕〔2〕知，等式结一切正整数都成立．。
人教A版高中数学选修高二新课程演绎推理评估训练新
2.1.2演绎推理双基达标(限时20分钟)1．下面几种推理过程是演绎推理的是()．A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式解析C是类比推理，B与D均为归纳推理．答案 A2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是()．A．①B．②C．①②D．③解析大前提为①，小前提为③，结论为②.答案 D3．“因对数函数y＝log a x是增函数(大前提)，而y＝x是对数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)．”上面推理错误的是()．A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错解析 y ＝log a x ，当a >1时，函数是增函数；当0<a <1时，函数是减函数． 答案 A4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是a 2________b 2＋c 2(填“>”“<”或“＝”)． 解析 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0知b 2＋c 2－a 2<0，故a 2>b 2＋c 2. 答案 >5．在推理“因为y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数，所以sin 37π>sin 2π5”中，大前提为_____________________________________________________； 小前提为_________________________________________________； 结论为________________________________________________________． 答案 y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数37π、2π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2且3π7>2π5 sin 3π7>sin 2π5 6．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明 因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A 、∠B ，则有∠A ＋∠B ＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A ＋∠B ＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A ＋∠B ＝90°(结论)．综合提高 (限时25分钟)7．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故某奇数(S )是3的倍数(P )．”上述推理是( )．A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析 由三段论推理概念知推理正确． 答案 C8．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.答案 B9．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提__________________________________________________；小前提_______________________________________________________；结论_______________________________________________________.答案一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线10．“如图，在△ABC中，AC >BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>BCD”．证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．答案③11．已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明∵x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝0得，f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)解设x1，x2∈R且x1<x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，即f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)为减函数．∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，∴函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.12．(创新拓展)设F1、F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解类似的性质为：若M、N是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：可设点M(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，有m2a2－n2b2＝1.又设点P(x，y)，则由k PM＝y－nx－m ，k PN＝y＋nx＋m，得k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2.把y 2＝b 2x 2a 2－b 2，n 2＝b 2m 2a 2－b 2代入上式，得k PM ·k PN ＝b 2a 2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修2-2 2.1.2 演绎推理一、选择题1. “T四边形ABC[是矩形，二四边形ABCD勺对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A. 正方形都是对角线相等的四边形B. 矩形都是对角线相等的四边形C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形D. 矩形都是对边平行且相等的四边形[ 答案] B[ 解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形.故应选 B.2. “①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确,②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )A. 大前提错B. 小前提错C. 结论错D. 正确的[ 答案] D[ 解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.3. 《论语•学路》篇中说：“名不正，贝卩言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. —次三段论［答案］C［解析］这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式.14. “因对数函数y= log a x（x>0）是增函数（大前提），而y = log 31x是对数函数（小前提），所以y= log 3X是增函数（结论）”.上面推理的错误是（）A. 大前提错导致结论错B. 小前提错导致结论错C. 推理形式错导致结论错D. 大前提和小前提都错导致结论错［答案］A［解析］对数函数y= log a x不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的.5. 推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是（）A. ①B. ②C. ③D. ①②［答案］B［解析］由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选 B.6. 三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )A. ①B. ②C. ①②D. ③[ 答案] B[ 解析] 易知应为② . 故应选B.7. “10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( )A. 大前提错B. 小前提错C. 推论过程错D. 正确[ 答案] C[ 解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错.故应选C.8. 凡自然数是整数，4 是自然数，所以4 是整数，以上三段论推理( )A. 正确B. 推理形式正确C. 两个自然数概念不一致D. 两个整数概念不一致［答案］A［解析］三段论的推理是正确的.故应选 A.9 .在三段论中，M P S的包含关系可表示为（）［答案］A［解析］如果概念P包含了概念M则P必包含了M中的任一概念S,这时三者的包含可表示为；如果概念P排斥了概念M则必排斥M中的任一概念S,这时三者的关系应为.故应选A.10. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论”，但大前提使用错误D. 使用了“三段论”，但小前提使用错误［答案］D［解析］应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误.二、填空题11. 求函数y=T og2X —2的定义域时，第一步推理中大前提是-a 有意义时，a>0,小前提是p log z x—2有意义，结论是___________ .［答案］log2X —2>0［解析］由三段论方法知应为log 2X —2>0.12. __________________________________ 以下推理过程省略的大前提为： ________________________________ .T a2+ b2>2ab,2 2 2 2--2(a + b)》a + b + 2ab.［答案］若a> b,则a + c>b+ c［解析］由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2+b2,故大前提为：若a>b,则a+ c>b+ c.113. (2010 •重庆理，15)已知函数f(x)满足：f(1) = 4,4f(x)f(y)=f (x + y) + f(x —y)( x, y€ R)，则f(2010) = ________ .［答案］1［解析］令y= 1 得4f(x) • f(1) = f(x + 1) + f(x —1)即f (x) = f (x + 1) + f (x —1)①令x取x+ 1 则f(x + 1) = f(x + 2) + f (x) ②由①②得f (x) = f (x + 2) + f (x) + f (x —1),即f(x—1) = —f(x + 2)••• f(x) = —f(x + 3)，二f (x + 3) = —f(x + 6)••• f(x) = f(x + 6)即f (x)周期为6,•f(2010) = f (6 X 335+ 0) = f (0)对4f (x)f (y) = f(x + y) + f(x—y)，令x= 1 , y= 0,得4f(1)f(0) = 2f(1),1 1•f(0) = 2即f(2010) =14. 四棱锥P—ABC中,O为CD上的动点，四边形ABC满足条件 ________ 时,V P- AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可).［答案］四边形ABCD^平行四边形或矩形或正方形等［解析］设h为P到面ABC啲距离，V P-AOE^ 1&AOB・h.1又5A。
尸2l AB d(d为0到直线AB的距离).因为h、|AB均为定值，所以V P-AO B恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABC助平行四边形或矩形或正方形等.三、解答题15.用三段论形式证明：在梯形ABCDh AD/ BC AB= DC则/ B=Z C［证明］如下图延长AB DC交于点M①平行线分线段成比例大前提②厶AM呼AD// BC小前提①等量代换大前提②AB= CD小前提③MB= MC吉论在三角形中等边对等角大前提MB= MCJ、前提/ 1 = Z MB G/ MC B Z2 结论等量代换大前提/ B=n—Z1 / C=n—Z2 小前提/ B=Z C结论16.用三段论形式证明：f(x) = x3+x(x € F)为奇函数.［证明］若f ( —x) =-f(x)，则f(x)为奇函数大前提3 3 3-f ( —x) = ( —x) + ( —x) = —x —x = —(x + x) = —f (x)小刖提二f (x) = X3+ x是奇函数结论17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．若不等式|ax+ 2| v 6的解集为(一1,2)，求实数a的值.［解析］推理的第一个关键环节：大前提：如果不等式f(x) v0的解集为(m n)，且f(n)、f(n) 有意义，则m、n 是方程f (x) =0 的实数根，小前提：不等式|ax+2| v6 的解集为(—1,2) ，且x=— 1 与x = 2 都使表达式|ax+ 2| — 6 有意义，结论：— 1 和2是方程| ax+2| —6=0 的根.•••I —a+ 2| —6= 0 与|2a + 2| —6= 0 同时成立. 推理的第二个关键环节：大前提：如果|x| = a, a>0,那么x=± a,小前提：| —a + 2| = 6 且|2a + 2| = 6,结论：—a+ 2=±6且2a+ 2=± 6.以下可得出结论a=— 4.18.设A(x i, y i)、B(X2, y2)两点在抛物线y = 2x2上，I是AB的垂直平分线.(1) 当且仅当x i + X2取何值时，直线I经过抛物线的焦点F?证明你的结论；(2) 当直线I 的斜率为2 时,求I 在y 轴上截距的取值范围.［解析］(1)F€ I? | FA| = |FB?A、B两点到抛物线的准线的距离相等.•••抛物线的准线是x 轴的平行线，y i >0, 存0,依题意，屮， y 2不同时为0.•••上述条件等价于2 2y i = y 2? x i = X 2? (x i + X 2)( X i — X 2) = 0.T X i M X 2, •上述条件等价于 X i + X 2= 0,即当且仅当X i + X 2= 0 时，I 经过抛物线的焦点F .(2)设I 在y 轴上的截距为b,依题意得I 的方程为y =2x + b ;1 2 1过点A B 的直线方程为y = — 2X + m 所以X i , X 2满足方程2X +歹 —m= 0, 1Xi + X2= —4. A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1 △=1+1 一8m>0,即卩n>— 32.设AB 的中点N 的坐标为(x 。
，y 。
)，则1 1 y °= — 2x 0 + m = 16 + m1 1 由 N€ I ，得 16+ m= — 4+ b,于是,5 5 1 9b + n> —— b 16+ 16 32 32.9即得l 在y 轴上截距的取值范围是，+乂 X 0 = 12（X 1 + 8'。