2017高考真题专题解三角形(数学竞赛)
2017高考黄金100题解读与扩展之解三角形：专题5 正余弦定理在实际中的应用 含解析
I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上。
行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°,求此山的高CD 。
【解析】在△ABC 中，︒=∠15A ，︒=︒-︒=∠101525C ,根据正弦定理C AB A BC sin sin =得,C A AB BC sin sin ==︒︒10sin 15sin 5≈7。
524（km),∴DBC BC CD ∠=sin =︒8sin BC ≈1047（m)。
答：山的高约为1047米。
精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5第14页例5．【母题评析】本题考查正弦定理在测量的高问题中的应用，是一道典型的正余弦定理应用题．【思路方法】先根据图形和已知条件得到∠A,∠B,∠DBC 的度数和AB 的长度，再利用正弦定理求出BC 的长度，利用解直角三角形BCD 即可求出山高CD ． 【变式】 一架飞机在海拔8000m 的高度飞行，在高空测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是27°和39°，计算这个海岛的宽度。
（人教版A版必修5第19页习题A组第4题)II．考场精彩·真题回放【例2】【2015年高考湖北理科数学第13题】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m。
【解析】依题意， 30=∠ABC,在ABC∠BAC,105=∆中，由∠ACB+BACABC，∠180=+∠所以 45=∠ACB ,因为600=AB ,由正弦定理可得 30sin 45sin 600BC =，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为 30=∠CBD ,2300=BC , 所以230030tan CD BC CD == ,所以6100=CD m.【例3】【2014全国课标1,16】如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点。
2017高考真题专题解三角形
2017高考解三角形汇总1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0,a =2, c=√2, 则C=A.π12B. π6C. π4D. π32. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6,S △ABC =3,求A 和a 。
5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（）A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积.10. （2017北京理，15）在△ABC 中， =60°，c = 37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7,求△ABC 的面积.11. （2017天津理，15）在中，内角所对的边分别为.已知，，. （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值.12. （2017天津文，15）在中，内角所对的边分别为.已知，.（I ）求的值； （II ）求的值. A ∠。
《精品》2017-2019三年高考真题数学(理)分项汇编专题10解三角形(解析版)
- 1 = 2 ⨯⎪ - 1 = - , ⎝ 5 ⎭所以 AB 2 = BC 2 + AC 2 - 2BC ⋅ ACcosC = 1 + 25 - 2 ⨯1⨯ 5 ⨯ - ⎪ = 32，则AB = 4 2 ，故选 A.专题 10 解三角形1．【2018 年高考全国Ⅱ理数】在△ABC 中， cos C 5 =2 5， BC = 1， AC = 5 ，则AB =A ． 4 2C ． 29【答案】A【解析】因为 cosC = 2cos 2 C2⎛ 5 ⎫2 3 B ． 30D ． 2 55⎛ 3 ⎫ ⎝ 5 ⎭【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【2018 年高考全国Ⅲ理数】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 △ABC 的面积为a 2 +b 2 -c 24，则 C =A ．C ．π 2 π 4B ．D ．π 3 π6【答案】C△S ABC【解析】由题可知1 a2 + b 2 - c 2= absinC = 2 4，所以 a 2 + b 2 - c 2 = 2absinC ，由余弦定理 a 2 + b 2 - c 2 = 2abcosC ，得 sinC = cosC ，因为 C ∈ (0, π )，所以 C =π 4，故选 C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3．【2017 年高考山东卷理数】在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 △ABC 为锐角三角形，且满足 s in B(1+ 2cos C ) = 2sin A cos C + cos A s in C ，则下列等式成立的是A ． a = 2bC ． A = 2BB ． b = 2aD ． B = 2 A1.=1【答案】122【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理有：ABAC=AB+BC=5，sin∠BAC=BC=,cos∠BAC==，所以BD=. AC5AC55c【答案】A【解析】由题意知s in(A+C)+2sin B cos C=2sin A cos C+cos A s in C，所以2sin B cos C=sin A c os C⇒2sin B=sin A⇒2b=a，故选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到a=2b.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3△ABC的面积为_________．【答案】63，则【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，所以(2c)2+c2-2⨯2c⨯c⨯解得c=23,c=-23（舍去），13所以a=2c=43，Sac sin B=⨯43⨯23⨯=63.22212=62，即c2=12，【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【2019年高考浙江卷】在△ABC中，∠ABC=90︒，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45︒，则BD=___________，cos∠ABD=___________．72，510BD3π=，而AB=4,∠ADB=，sin∠ADB sin∠BAC43AB412222ππ72 cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cos cos∠BAC+sin sin∠BAC=4410.2【答案】15.△ABE中，cos∠ABC=BE=1【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在△ABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 6．【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a= sin B=___________，c=___________．7，b=2，A=60°，则【答案】21 7，3【解析】由正弦定理得a sin A2π21 =，所以sin B=⨯sin=, b sin B737由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,∴7=4+c2-2c,∴c=3（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的解答本题时，根据正弦定理得sinB，根据余弦定理解出c.7．【2017年高考浙江卷】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．10,24【解析】取BC中点E，由题意：AE⊥BC，11115=，∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=1-=AB44164，∴S15⨯BD⨯BC⨯sin∠DBC=22．∵∠ABC=2∠BDC，∴cos∠ABC=cos2∠BDC=2cos2∠BDC-1=14，3解得cos∠BDC=10即6cos C+sin C=2sin C，可得cos(C+60︒)=-10或cos∠BDC=-（舍去）．44综上可得，△BCD面积为1510，cos∠BDC=．24【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C．（1）求A；（2）若2a+b=2c，求sinC．【答案】（1）A=60︒；（2）sin C=6+2 4.【解析】（1）由已知得s in2B+sin2C-sin2A=sin B s in C，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc．b2+c2-a21由余弦定理得cos A==．2bc2因为0︒<A<180︒，所以A=60︒．（2）由（1）知B=120︒-C，由题设及正弦定理得2sin A+sin (120︒-C)=2sin C，312 +2222．由于0︒<C<120︒，所以sin (C+60︒)=22，故4因为 cos B4sin (120︒ - C)sin C = sin (C + 60︒ - 60︒ )= sin (C + 60︒ )cos60 ︒ - cos (C + 60︒ )sin 60︒= 6 + 2 4．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a sin（1）求 B ；（2△）若 ABC 为锐角三角形，且 c =1△，求 ABC 面积的取值范围．3 3 【答案】（1）B =60°；（2） ( ,) .82【解析】（1）由题设及正弦定理得 s in A s in A + C= sin B sin A ．2因为sinA ≠ 0，所以 sin A + C= sin B ．2A + CB B B B由 A + B + C = 180︒ ，可得 sin= cos ，故 cos = 2sin cos ．22 2 2 2B 1≠ 0 ，故 sin = ， 2 2 2因此B =60°．A + C 2= b sin A ．（2）由题设及（1△）知 ABC 的面积 S △ABC =3a ．c sin A3 1由正弦定理得 a = == + ． sin Csin C2 tan C 2△由于 ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故 1< a < 2 ，25从而 3△ABC <因此，△ABC 面积的取值范围是 8 , 2 ⎪⎭.b 2 = 32 +c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪ . 所以 (c + 2)2 = 32 + c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪ .3< S 8 2．⎛ 3 3 ⎫ ．⎝【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查 V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题1 10．【2019 年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cosB = - ． 2（1）求 b ，c 的值；（2）求 sin （B –C ）的值．【答案】（1） b = 7 ， c = 5 ；（2）4 73 .【解析】（1）由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，得⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭因为 b = c + 2 ，⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭解得 c = 5 .所以 b = 7 .（2）由 cos B = - 1 3 得 sin B = 2 2.由正弦定理得 s in C = c 5 3 sin B = b 14.在 △ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以 cos C = 1 - sin 2 C = 11 14.所以 sin( B - C ) = sin B cos C - cos B sin C = 4 3 7.【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查66⎭⎛【答案】（1）-1【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理ba2+c2-b2a2+a2-a29922⋅a⋅asin 2B+⎪=sin2B cos+cos2B sin=-⨯-⨯=-（2）若sin A学生的转化能力和计算求解能力.11．【2019年高考天津卷理数】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知b+c=2a，3c s in B=4a sin C．（1）求cos B的值；（2）求sin 2B+⎝π⎫⎪的值．35+7；（2）-416.c=，得b s in C=c sin B，sin B sin C又由3c s in B=4a sin C，得3b s in C=4a sin C，即3b=4a．42又因为b+c=2a，得到b=a，c=a．33由余弦定理可得cos B=4161==-．2ac43（2）由（1）可得sin B=1-cos2B=15 4，从而sin2B=2sin B cos B=-1587，cos2B=cos2B-sin2B=-，故8⎛π⎫ππ1537135+7⎝6⎭66828216．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cosB=23，求c的值；cos Bπ=，求sin(B+)的值．a2b2【答案】（1）c=325；（2）35.7( ) 从而 cos 2 B = (2sin B)2 ，即 cos 2 B = 4 1 - cos 2 B ，故 cos 2 B = .= = π⎫ 2 5= cos B = 2 ⎭ 5⎛要求：线段 PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A 、B 到直线 l 的距离分【解析】（1）因为 a = 3c, b =2,cos B = 23，a 2 + c 2 -b 22 (3c)2 + c 2 - ( 2) 21 由余弦定理 cos B =，得 = ，即 c 2 = .2ac3 2 ⨯ 3c ⨯ c3所以 c =3 3.（2）因为 sin A cos B= ，a 2ba b cos B sin B由正弦定理 ，得 ，所以 cos B = 2sin B .sin A sin B 2b b45因为 sin B > 0 ，所以 cos B = 2sin B > 0 ，从而 cos B = 255.因此 sin B + ⎝⎪ .【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【2019 年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥 AB （AB 是圆 O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P 、Q ，并修建两段直线型道路 PB 、QA ．规划．．．．别为 AC 和 BD （C 、D 为垂足），测得 AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米）.求当 d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+ 3 21 （百米）.8= = 15 . 1 1 1【解析】解法一：（1）过A 作 AE ⊥ BD ，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形， DE = BE = AC = 6, AE = CD = 8 .'因为PB ⊥AB ，所以 cos ∠PBD = sin ∠ABE = 8 4= .10 5所以 PB =BD 12 cos ∠PBD 45因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知 AD = AE 2 + ED 2 = 10 ，AD 2 + AB 2 - BD 2 7从而 cos ∠BAD = = > 0 ，所以∠BAD 为锐角.2 A D ⋅ AB 25所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，此时 PD = PB sin ∠PBD = PB cos ∠EBA = 15 ⨯ 1 1 1 1当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .113 5= 9 ；92 2 .1 ⎪ < 32 + 42 = 5 ，由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由 （ 2 ） 知 ， 要 使 得 QA ≥15 ， 点 Q 只 有 位 于 点 C 的 右 侧 ， 才 能 符 合 规 划 要 求 . 当 QA =15 时 ，CQ = QA - AC = 1 5 2 -6 2 = 3 2 此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综 上 ， 当 PB ⊥ AB ， 点 Q 位 于 点 C 右 侧 ， 且 CQ = 3 21 时 ， d 最 小 ， 此 时 P ， Q 两 点 间 的 距 离PQ =PD +CD +CQ =17+ 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+ 3 21 （百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为4因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为 - ，33 4.直线PB 的方程为 y = - 4 25 x - 3 3.所以P （−13，9）， PB =(-13 + 4)2 + (9 + 3)2 = 15 .因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ： y = - 3x + 6(-4剟x 4) .415 ⎛ 15 ⎫2在线段AD 上取点M （3， ），因为 OM =32 + 4⎝ 4 ⎭10111152 2所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，此时 P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .1 1由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由 AQ = (a - 4)2 + (9 - 3)2 = 15(a > 4) ，得a = 4 + 3 21 ，所以Q （ 4 + 3 21 ，9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （ 4 + 3 21 ，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 21 - (-13) = 17 + 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 21 （百米）.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.14．【2018 年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形 ABCD 中， ∠ADC = 90 ， ∠A = 45 ， AB = 2 ， BD = 5 .（1）求 cos ∠ADB ；（2）若 DC = 2 2 ，求 BC .【答案】（1）23 5；（2）5.【解析】（1）在 △ABD 中，由正弦定理得BD AB= .sin ∠A sin ∠ADB由题设知， = ，所以 sin ∠ADB = sin 45︒ sin ∠ADB 5.11所以 cos ∠ADB = 1 -2由题设得 bc sinA = ，即 bc = 8 . 【BC b c由题设知， ∠ADB < 90︒ ，23 =.255（2）由题设及（1）知， cos ∠BDC = sin ∠ADB =2 5.在 △BCD 中，由余弦定理得BC 2 = BD 2 + DC 2 - 2 ⋅ BD ⋅ DC ⋅ cos ∠BDC= 25 + 8 - 2 ⨯ 5 ⨯ 2 2 ⨯25= 25 .所以 BC = 5 .【名师点睛】求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.15． 2017 年高考全国Ⅰ理数】△ABC 的内角 A ， ，的对边分别为 a ， ， ，已知 △ABC 的面积为（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cos Bcos C =1，a =3，求 △ABC 的周长. 【答案】（1）2；（2） 3 + 33 .31 a2 1 a 【解析】（1）由题设得ac sin B =，即 c sin B =.23sin A23sin A1 sin A由正弦定理得 sin C sin B =.23sin A2 故 sin B sin C =.31 1（2）由题设及（1）得 cos B cos C - s in Bsin C = -，即 cos( B + C ) = - .222π π 所以 B + C =，故 A = .331 a 2212a23sin A.16．2018年高考天津卷理数】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin A=a cos(B-).【.【答案】（1）π；（2）b=7，sin(2A-B)=（）在△1ABC中，由正弦定理a即sin B=cos(B-)，可得tan B=3．因为a<c，故cos A=2，cos2A=2cos2A-1=．所以，sin(2A-B)=sin2A c os B-cos2Asin B=43⨯-⨯=．由余弦定理得b2+c2-bc=9，即(b+c)2-3bc=9，得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如y=A s in(ωx+ϕ)+b，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可π6（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和sin(2A-B)的值.33314.【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．b=，可得b sin A=a sin B，sin A sin Bππ又由b s in A=a cos(B-)，得a sin B=a cos(B-)，66π6又因为B∈(0，π)，可得B=π．3（△2）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π，有b2=a2+c2-2ac cos B=7，故b=7．3π3由b s in A=a cos(B-)，可得sin A=．677．因此sin2A=2sin A c os A=437171133372721413△SABC = ac sin B = 【解析】（1）在△ABC 中，∵cosB =– 1【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．【2017 年高考全国Ⅱ理数】△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c ，已知 sin ( A + C ) = 8sin2B2（1）求 cos B ；（2）若 a + c = 6 ， △ABC 的面积为 2 ，求 b ．．【答案】（1） cos B =15 17；（2） b = 2 ．【解析】（1）由题设及 A + B + C = π ，可得 sin B = 8sin 2上式两边平方，整理得17cos 2 B - 32cos B + 15 = 0 ，B2，故 sin B = 4 (1 - cos B ) ． 解得 cos B = 1(舍去)， cos B =15 17．15 8 1 4 （2）由 cos B = 得 sin B = ，故 17 172 17ac ．又 S △ABC =2 ，则 ac = 17 2．由余弦定理及 a + c = 6 得：b 2= a 2+ c 2- 2ac cos B = (a + c )2 - 2ac (1 + cos B ) = 36 - 2 ⨯17 15 ⨯ (1+ ) = 4,2 17所以 b = 2 ．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意 a + c, ac, a 2 + c 2 三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．18．【2018 年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =7，b =8，cosB =–（1）求∠A ；（2）求 AC 边上的高．π 3 3【答案】（1）；（2）．32π，∴B ∈（ ，π）， 7 2141 7 ．由正弦定理得a（）在△2ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=31143如图所示，在△ABC中，∵sinC=h，∴h=BC⋅s in C=7⨯【a∴sinB=1-cos2B=437．8b7=⇒=43，sin A sin B sin A7∴sinA=32．∵B∈（ππ，π），∴A∈（0，），22π∴∠A=．333⨯(-)+⨯=．2727143333=BC142，∴AC边上的高为332．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，基本步聚是：第一步，定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步，定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边、角之间的互化；第三步，求结果.19．2017年高考天津卷理数】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a>b，=5,c=6，sin B=35．（1）求b和sin A的值；（2）求sin(2A+π)的值．415【答案】（1） b 的值为 13 ， sin A 的值为 3 13 【解析】（1）在 △ABC 中，因为 a > b ，故由 sin B =3由正弦定理 a故 sin(2 A + π在 △ABC 中，由余弦定理得 28 = 4 + c 2 - 4c cos ，即 c 2 + 2c - 24 = 0 .7 2；（2）13 26.4，可得 cos B = ． 5 5由已知及余弦定理，有 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B = 13 ，所以 b = 13 ．b a sin B 3 13= ，得 sin A = =sin A sin B b 13．所以， b 的值为 13 ， sin A 的值为 3 13 13．（2）由（1）及 a < c ，得 cos A = 2 1313，所以 sin 2 A = 2sin A c os A = 12 5， cos 2 A = 1 - 2sin 2 A = - ．13 13π π 7 2 ) = sin 2 A c os + cos 2 A s in = 4 4 4 26．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．20．【2017 年高考全国Ⅲ理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.已知 sin A + 3 cos A = 0 ，a =2 7 ，b =2.（1）求 c ；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ △AC ，求 ABD 的面积.【答案】（1） c = 4 ；（2） 3 .【解析】（1）由已知可得 tan A = - 3 ，所以 A =2π 3.2π3解得 c = -6 (舍去)， c = 4 .1626 = 1 .又△ ABC 的面积为 ⨯ 4 ⨯ 2sin ∠BAC = 2 3 ，【（2）由题设可得 ∠CAD =π，2所以 ∠BAD = ∠BAC - ∠CAD =π 6.故 △ABD 面积与 △ACD 面积的比值为1 πAB ⋅ AD ⋅ s in1AC ⋅ AD 212所以 △ABD 的面积为 3 .【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. （1）由题意首先求得 A =2π，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得c = 4 ；3（2）利用题意首先求得 △ABD 的面积与 △ACD 的面积的比值，然后结合 △ABC 的面积可求得△ABD 的面积为 3 .21． 2017 年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm ，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线 EG ， E 1G 1 的长分别为 14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒 l ，其长度为 40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC 1 上，求 l 没入水中部分的长度；（2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG 1 上，求 l 没入水中部分的长度．1711设 ∠EGG = α ,∠ENG = β , 则 sin α = sin( + ∠KGG ) = cos ∠KGG = ． 2 5【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)．【解析】（1）由正棱柱的定义，CC 1⊥ 平面 ABCD ，所以平面 A 1 ACC 1⊥平面 ABCD ，CC 1⊥AC ．记玻璃棒的另一端落在 CC 1 上点 M 处．因为 AC = 10 7, AM = 40 ，所以 MC =402 - (10 7) 2 = 30 ，从而 sin ∠MAC =记 AM 与水面的交点为 P ，过 P 作 P 1Q 1⊥AC ，Q 1 为垂足，3 4，则 P 1Q 1⊥平面 ABCD ，故 P 1Q 1=12，从而 AP 1= PQ1 1 sin ∠MAC= 16 ．答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)（2）如图，O ，O 1 是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ，所以平面 E 1EGG 1⊥平面 EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面 E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在 GG 1 上点 N 处．过 G 作 GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则 GK =OO 1=32． 因为 EG = 14，E 1G 1= 62，所以 KG 1= 62 - 14 2= 24 ，从而 GG = KG 2 + GK 2 = 242 + 322 = 40 ．1 1π 41 1 118< α < π ，所以 cos α = - 于是 sin ∠NEG = sin(π -α - β ) = sin(α + β )= sin α coβ +cos α sin β = 故 P 2Q 2=12，从而 EP 2=P Q所以由正弦定理得 s in C = csin A因为π3． 2 5在 △ENG 中，由正弦定理可得40 14 7= ，解得 sin β = ． sin α sin β 25因为 0 < β < π 24，所以 cos β = ．2 254 24 3 7 3s ⨯ + ( - ) ⨯ = ． 5 25 5 25 5记 EN 与水面的交点为 P 2，过 P 2 作 P 2Q 2⊥EG ，Q 2 为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，2 2 sin ∠NEG= 20 ．答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形 ACM 中，利用相似性质求解 AP 1；（2）转化到三角形 EGN 中，先利用直角梯形性质求角∠EGG 1，再利用正弦定理求角∠ENG ，最后根据直角三角形求高，即为 l 没入水中部分的长度．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果．22．【2017 年高考北京卷理数】在△ABC 中， ∠A =60°，c =（1）求 sin C 的值；（2）若 a =7△，求 ABC 的面积.3 7a.【答案】（1）3 3 14；（2） 6 3 .【解析】（1△）在 ABC 中，因为 ∠A = 60︒ ， c = 37 3 3 3 3= ⨯ = a 7 2 143（2）因为 a = 7 ，所以 c = ⨯ 7 = 3 .7a ，.19（1）根据正弦定理a由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A 得 72 = b 2 + 32 - 2b ⨯ 3 ⨯解得 b = 8 或 b = -5 （舍）.1 1 3△所以 ABC 的面积 S =bc sin A = ⨯ 8 ⨯ 3 ⨯ = 6 3 .2 2 21 2，【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理实现边角互化；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.c求 sin C 的值；=sinAsinC（2）根据条件可知a = 7, c = 3, 根据余弦定理求出 b 的值，最后利用三角形的面积公式S =进行求解即可.1 2bc sin A20。
2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.4文档
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念如下表所示：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × ) (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )(4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × )(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8答案 A2．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 y ＝sin2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x＋1)的图象．3．(2015·湖南)将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于( )A.5π12B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 因为g (x )＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)， 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪(k 1－k 2)π＋π2－φ. 因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6，故选D.4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20， 又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π， 解得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．5．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13B ．3C ．6D ．9 答案 (1)A (2)C解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程． (2)由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为__________．答案 (1)B (2)f (x )＝2sin(2x ＋π3)解析 (1)∵P ⎝⎛⎭⎫0，32在f (x )的图象上， ∴f (0)＝sin θ＝32.∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∴g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3. ∵g (0)＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 验证φ＝56π时，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－53π＝sin ⎝⎛⎭⎫－43π＝32成立． (2)由题图可知A ＝2， T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝⎛⎭⎫712π，－2为最小值点， ∴2×712π＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π， ∴φ＝π3.故f (x )＝2sin(2x ＋π3)．思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2) 的部分图象如图所示，则φ＝________.答案 －π3解析 ∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π， ∴ω＝2.由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx ＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.题型三 三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型的应用例3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 答案 C解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30. 命题点2 方程根(函数零点问题)例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象性质综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值． 解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6. 因为f (x )是偶函数， 则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx .由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2. 故f (x )＝2cos2x . 因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)y ＝2cos2x ＋2cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2cos2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos2x －2sin2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 令2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，y 有最大值22，所以当x ＝k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (2π3)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，2π3)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sinπ＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin(x ＋π3)，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· (sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研 究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题 规范．温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注． (2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． [失误与防范]1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( ) A ．[－7π12，5π12]B ．[－7π12，－π12]C ．[－π12，7π12]D ．[－π12，5π12]答案 D解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.4．已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0,0)中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0等于( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12答案 C解析 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0,0)中心对称； ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x 0＝π3. 5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12 D.32 答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32.6.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安． 答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT ＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎫1300，10， ∴10sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 答案32解析 由题意可得，函数的周期为2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．答案 π3或43π解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12.10．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[32，＋∞)答案 D解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．12．(2014·天津)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是______． 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32， 且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18， 即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18.14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________________________. 答案 143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )， ∵f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 15．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)， 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}．。
知识点37 解直角三角形及其应用2017(解答题)
三、解答题1. (2017四川广安，23，8分)如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，垂足分别为A 、D ．从D 点测得B 点的仰角α为60°，从C 点测得B 点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB ＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD ．(4分)(2)求乙建筑物的高CD ．(4分)思路分析：(1)在Rt △ABD 中，根据tan α＝AB AD 求出AD 的值；(2)①通过作“CE ⊥AB ”构造Rt △BCE ；②在Rt △BCE 中，根据“tan ∠BCE ＝CEBE ”求出BE ；③由此求出AE (即CD )的高度． 解：(1)根据题意得，在Rt △ABD 中，∠BDA ＝∠α＝60°，AB ＝30米，∴AD ＝ 60tan AB ＝330＝103(米)， 答：甲、乙两建筑物之间的距离AD 为103米．(2)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ．根据题意，得∠BCE ＝∠β＝30°，CE ＝AD ＝103，CD ＝AE ．在Rt △BEC 中，tan ∠BCE ＝CEBE ∴tan30°＝310BE，∴BE ＝10(米)，∴CD ＝AE ＝AB －BE ＝30－10＝20(米)．答：乙建筑物的高CD 为20米．2. （2017浙江丽水·19·6分）如图是某小区的一个健身器材，已知BC ＝0.15m ，AB ＝2.70m ，∠BOD ＝70°，求端点A 到底面CD 的距离（精确到0.1m ）（参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75）思路分析：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，构造Rt △ABF ，运用解直角三角形的知识求出AF ，进而求出AE 得出结果.解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝700，∴AE ∥OD ，∴∠A ＝∠BOD ＝700，在Rt △ABF 中，AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos 700＝2.7×0.34＝0.918，∴AE ＝AF ＋BC ＝0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m ).答：端点A 到底面CD 的距离约是1.1m .3. (2017四川泸州，22，8分)如图，海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70nmile ，若该渔船由西向东航行30nmile到达B 处，此时测得小岛C 位于B 的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C 之间的距离．思路分析：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中表示BD 、CD ，在Rt △ACD 中根据勾股定理列方程求解．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得：∠BCD ＝30°，设BC ＝x ，则：在Rt △BCD 中，BD ＝BC sin30°＝12 x ，CD ＝BC cos30°＝32 x ；∴AD ＝30+12 x ，∴在Rt △ACD 中，AD 2+CD 2＝AC 2，即：(20+2x )2+(32 x )2＝702， 解之得：x 1＝50，x 2＝－80(舍去)．答：渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．4. 18．（2017四川成都，8分）科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离.思路分析：由小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，确定AC ∥BD ，通过已知∠CAB ＝60°，∠CBD ＝45°可得∠C ＝45°．通过作BE ⊥AC ，因为已知AB ＝4，所以先在Rt △AEB 中求得BE 的长，然后再在Rt △CEB 中求得BC 的长.解：由题意知：AB ＝4，∠CAB ＝60°，∠CBD ＝45°，AC ∥BD ，作BE ⊥AC ，∴∠CEB ＝90°，∠EBA ＝90°－∠CAB ＝30°，∠CBE ＝90°－∠CBD ＝45°，∴△CEB 是等腰直角三角形.∴BE ＝3cos304232AB ⋅︒== ∴BC 222326BE ==(千米)，即，B ，C 两地的距离为26千米.5. （2017山东德州）（本小题满分10分）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m 的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用时间为0.9秒．已知∠B ＝30°，∠C ＝45°．（1）求B 、C 之间的距离；（保留根号）（2）如果此地限速为80km/h ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由． （参考数据：3≈1.7，2≈1.4）思路分析：（1）作AD ⊥BC 于点D ，通过解Rt △ACD 与Rt △ABD 分别得到线段BD 与DC 的长度，其和即为B 、C 之间的距离；（2）利用（1）中所求B 、C 之间的距离除以汽车的行驶时间，得汽车的速度，与限速相比，即可判断是否超速．解：（1）如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝10cm ．AB C D A B C∵在Rt △ACD 中，∠C ＝90°，∴Rt △ACD 是等腰直角三角形．∴CD ＝AD ＝10cm ．在Rt △ABD 中，tan B ＝BDAD ， ∵∠B ＝30°，∴33＝BD10．∴BD ＝103m ． ∴BC ＝BD ＋DC ＝(103＋10)m ．答：B 、C 之间的距离是(103＋10)m ．（2）这辆汽车超速．理由如下：由（1）知BC ＝(103＋10)m ，又3≈1.7，∴BC ＝27m ．∴汽车速度v ＝9.027＝30(m/s)． 又30m/s ＝108km/h ，此地限速为80km/h ，∵108＞80，∴这辆汽车超速．答：这辆汽车超速．6. （2017山东威海，22，9分）图1是太阳能热水器装置的示意图.利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能.玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好.假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算.如图2，AB ⊥BC ，垂足为点B ，EA ⊥AB ，垂足为点A ，CD ∥AB ，CD =10cm ，DE =120cm ，FG ⊥DE ，垂足为点G .（1）若∠θ=37°50′，则AB 的长约为 cm ；（参考数据：sin 37°50′≈0.61，cos 37°50′≈0.79，tan 37°50′≈0.78）（2）若FG =30cm ，∠θ=60°，求CF 的长.思路分析：(1)如图，由题意知∠DEK =θ，作AE ⊥CB 于H ，DK ⊥EH 于K ，则KH =CD =10，EH =AB ，在直角△DEK 中计算EK ，则AB =EK +KH ；(2)作MN ∥AB ，作EP ∥AB ,交CB 于P ，延长ED ，BC 交于点K (如图第22题图2)，则∠Ｋ= ,在直角△KGF 中计算KF ，在直角△KDC 中计算KC ，CF =KF －KC .解：（1）83.2.（2）如图，过M 点作MN ∥AB ,过点E 作EP ∥AB ,交CB 于点P ,分别延长ED ,BC ,两线交于点K ．∴MN ∥EP ,∴∠1=∠2.∵AB ⊥BK , EP ∥AB ,∴KP ⊥EP .∴∠2+∠K =90°.∵∠θ+∠1=90°, ∴∠K =∠θ=60°.在Rt △FGK 中，∠KGF =90°,sink =GF KF , ∴KF =sin 60GF o =3 (cm ). 又∵CD ∥AB , AB ⊥BK ,∴CD ⊥DK .在Rt △CDK 中，∠KCD =90°,tank =CD CK, ∴CK =tan 60CD o = 1033 (cm ). ∴CF =KF -CK =33 (cm ).7. （2017山东菏泽，18,6分）（本题6分）如图，某小1号楼11号楼隔河相望李明家住在1号楼，他很想知道11号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B 点测得C 点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A 处，测得C 点的仰角为30°，请你帮李明计算11号楼的高度CD ．思路分析：过点A作AE⊥CD于E，分别在Rt△BCD和Rt△ACE中，利用锐角三角函数用BD可以分别表示CE，CD的长，然后根据CD－DE=AB，即可求得CD长．解：过点A作AE⊥CD于E，在Rt△BCD中，tanCDCBDBD∠=，所以CD=BD•tan60°=3BD，在Rt△BCD中，tanCECAEBD∠=，所以CE=BD•tan30°=33BD，∴AB=CD－CE，3BD－33BD=42，233BD=42，解得BD=213，∴CD=BD•tan60°=3BD=63m．答：乙建筑物的高度CD为63m．8.（2017浙江舟山，22，10分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18， 2 ≈1.41，结果精确到0.1）思路分析：（1）作FN⊥KD于点N，EM⊥FN于点M，由上半身及下半身的长，利用三角函数计算出MF与FN的长，其和MN即小强头部点E与地面DK的距离；（2）作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H，分别计算PH、EM、GN、OB、OH的长，根据图形作答.解：（1）过点F作FN⊥KD于点N，过点E作EM⊥FN于点M.（18题图）∵EF +FG ＝166，FG ＝100，∴EF ＝66，∵∠FGK ＝80°，∴FN ＝100sin 80°≈98，又∵∠EFG ＝125°，∴∠EFM ＝180°－125°－10°＝45°， ∴FM ＝66cos 45°＝332≈46.53，∴MN ＝FN +FM ≈144.5.∴他头部E 点与地面DK 相距144.5cm .(2)过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于点H ．∵AB ＝48，O 为AB 的中点，∴AO ＝BO ＝24，∵EM ＝66sin 45°≈46.53，即PH ≈46.53，GN ＝100cos 80°≈17，CG ＝15，∴OH ＝24+15+17＝56，OP ＝OH －PH ＝56－46.53＝9.47≈9.5.∴他应向前9.5cm .9. （2017四川内江，20，9分）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED 的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进60m 到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，求塔ED 的高度．（结果保留根号）思路分析：先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝CD ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°，∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°．又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°．∴∠DBE ＝∠BDE ．∴BE ＝DE ．设EC ＝x ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x ，DC ＝EC+DE ＝x +2x ＝3x ，BC ＝x EC BE 322=-．由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝20，∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ．∴x x 3603=+．解得x ＝30+103．答：塔高约为(30+103)m ．10. （2017山东临沂，22，7分）如图，两座建筑物的水平距离BC ＝30m ，从A 点测得D 点的俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度.βαDCB A思路分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．解：过A 作AE ⊥CD 的延长线交于点E ，则四边形ABCE 是矩形，AE ＝BC ＝30，AB ＝CE在Rt △ADE 中，∠E ＝90°，∠DAE ＝30°，∴DE ＝AE ·tan 30°＝30×33＝103. AD ＝2DE ＝203 ∵∠CAE ＝60°，∴∠CAD ＝60°－30°＝30°，∠ACE ＝90°－60°＝30°，∴∠CAD ＝∠ACE∴CD ＝AD ＝203，∴AB ＝CE ＝DE ＋CD ＝103＋203＝303答：这两座建筑物的高度分别是303m ，203m.11. （2017江苏连云港，25，10分）如图，湿地景区岸边有三个观景台A 、B 、C .已知1400AB =米，1000AC =米，B 点位于A 点的南偏西60.7°方向，C 点位于A 点的南偏东66.1°方向.(1)求ABC △的面积；(2)景区规划在线段BC 的中点D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD .试求A 、D 间的距离.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin53.20.80°≈，cos53.20.60°≈，sin60.70.87°≈，cos60.70.49°≈，sin66.10.91°≈，cos66.10.41°≈，2 1.414≈)思路分析：(1)过点C 作CE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，然后根据直角三角形的内交回求出∠CAE ,再根据正弦的性质求出的长，从而得到ABC △的面积；(2)连接AD ，过D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ,则DF ∥CE,然后根据中点的性质和余弦值求出BE 、AE 的长，再根据勾股定理求解即可.解：(1)过点C 作CE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，在Rt AEC △中，18060.766.153.2CAE =--=∠°°°°，所以CE =AC ·sin53.2°=1000×0.8=800米.所以S △ABC =56000080014002121=⨯⨯=⨯CE AB (平方米). （2）连接AD ，过D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ,则DF ∥CE ，∵D 是BC 的中点，∴DF=21CE=400米，且F 为BE 的中点， 在Rt AEC △中，AE =AC ·cos53.2°=1000×0.6=600米.∴BE=BA+AE=1400+600+2000米∴AF=21BE-AE=400米， 在Rt △ADF 中，22224004004002565.6AD AF DF =+=+=≈米.答：A 、D 间的距离为565.6米.．12. （2017四川达州1，7分）如图，信号塔PQ 座落在坡度1:2i =的山坡上，其正前方直立着一警示牌.当太阳光线与水平线成60︒角时，测得信号塔PQ 落在斜坡上的影子QN 长为25MN 长为3米，求信号塔PQ 的高.（结果不取近似值）思路分析：过点M 作MF ⊥PQ 于点F ，过点Q 作QE ⊥MN 于点E ，分别解Rt △QEN 和Rt △MFP ，求出EN ，PF 即档求出PQ 的高解：过点M 作MF ⊥PQ 于点F ，过点Q 作QE ⊥MN 于点E ，∵1:2i =，设EN =k ，QE =2k ，由勾股定理可得QN==∴k =2，∴EN =2，FM =QE =4，∴FQ =ME =MN -NE =3-2=1．在Rt△PFM 中，∵∠FPM =180°-90°-60°=30°，∴PF =FM tan 60⨯︒=∴PQ =FQ +PF =1+答：信号塔PQ 的高为（1+.13. （2017四川眉山，22，8分）如图，为了测得一棵树的高度AB ，小明在D 处用高为1m 的测角仪CD ，测得树顶A 的仰角为45°，再向树方向前进10m ，又测得树顶A 的仰角为60°，求这棵树的高度AB ．思路分析：如图，设AE ＝x m ，分别解Rt △ACE 和Rt △AFE ，用x 的代数式分别表示CE 、FE ，再根据CF ＝CE－FE 列方程求得x ，进而求出AB ．解：设AE ＝x m ，在Rt △ACE 中，CE ＝AE tan 45° ＝x ；在Rt △AFE 中，FE ＝AE tan 60° ＝33x ；又因为CF ＝CE －FE ，CF ＝DG ＝10，所以x －33x ＝10，解得x ＝15＋53，所以AB ＝AE ＋EB ＝15＋53＋1＝16＋53．答：这棵树的高度AB 为(16＋53)米．14. 24．（2017江苏淮安，24，8分）A 、B 两地被大山阻隔，若要从A 地到B 地，只能沿着如图所示的公路先从A 地到C 地，再由C 地到B 地．现计划开凿隧道A 、B 两地直线贯通，经测量得：∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AC ＝20 km ，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1 km ，参≈1.4141.732）思路分析：①过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点E ．在Rt △ACD 中分别求出CD 、AD 的长；②在Rt △BCD 中分别求出BC 、BD 的长；③计算AC ＋BC －(AD ＋BD )的值． 解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点E ． 在Rt △ACD 中，∵∠CAB ＝30°，AC ＝20 km ， ∴CD ＝AC ·sin ∠CAB ＝20×sin30°＝20×12＝10． AD ＝AC ·cos ∠CAB ＝20×cos30°＝20＝． 在Rt △BCD 中，∵CD ＝10，∠CBA ＝45°，CA B第24题图∴BC＝sin CDCBA∠＝10sin45︒＝1022＝102．BD＝CD＝10．∴AC＋BC－AB＝AC＋BC－(AD＋BD)＝20＋102－(103＋10)＝10＋102－103≈6.8（km）．答：隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短6.8 km．15.20．（2017山东潍坊）（本小题满分8分）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）．思路分析：设每层楼高为x米，则可表示出EC′与DC′的大小，然后通过解Rt△DC′A′与Rt△EC′B′，用含x的式子表示出C′B′与C′A′长，其差即为AB的长14米，由此构建方程求解．解：设每层高为x米，由题意，得MC′=MC－CC′=2.5－1.5=1，则DC′=5x+1，EC′=4x+1．在Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60°．∴C′A′=︒'60tanCD=33(5x+1)．在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30°．∴C′B′=︒'30tanCE=3(4x+1)．∵A′B′=C′B′－C′A′=AB，∴3(4x+1)－33(5x+1)=14．解之得x≈3.17（或x≈3.18）．所以居民楼高为：5×3.17+2.5≈18.4米（或5×3.18+2.5≈18.4米）．CA BD16.（2017四川宜宾）（本小题满分分）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边去两点B 、C 测得030,45,αβ∠=∠=量得BC 长为100米．求河的宽度（结果保留根号）思路分析：过A 作AD ⊥BC 于点D ，将斜三角形转化为直角三角形，设AD ＝x ，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，分别表示出CD 好BD 的长，利用方程思想，求出这条垂线段AD 的长．C解：设AD ＝x ，在Rt △ABD 中，tan α＝AD BD ，即tan30°xBD，∴BD，在Rt △ACD 中，tanβ＝AD BD ，即tan 45°＝1＝xCD，∴CD ＝x ，而BD ﹣CD ＝BC﹣x ＝10，解得：x ＝5+．17. （2017湖南岳阳，本题满分8分）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB 与支架CD 所在直线相交于点O ，且OB ＝OD .支架CD 与水平线AE 垂直，∠BAC ＝∠CDE ＝30°，DE ＝80cm ，AC ＝165cm . (1)求支架CD 的长；(2)求真空热水管AB 的长.(结果均保留根号)思路分析：首先Rt △CDE 可解，得到CD ；Rt △OAC 可解，得到OC 、OA ，然后利用图中关系OB ＝OD ＝OC -CD ，AB ＝OA -OB ，解得AB .解：(1)在Rt △CDE 中，∠CDE ＝30°，DE ＝80cm ，所以cos 30°＝80CD ＝3，解得CD ＝403cm ； (2)在Rt △OAC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝165cm ，所以tan 30°＝165OC ＝3，解得OC ＝55cm ，∴OA ＝2OC ＝110cm ，OB ＝OD ＝OC -CD ＝55-403 cm ，AB ＝OA -OB ＝55＋403 cm .18. （2017湖南常德，24，8分）图10，11分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC =0.60米，底座BC 与支架AC 所形成的的角∠ACB =75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮筐D 的距离FD =1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE =60°，求篮筐D 到地面的距离（精确到0.01米）.（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414）BC AFH ED图10图11思路分析：过A 点作FE 的垂线交FE 的延长线于M ，则篮板顶端F 点到地面的距离是FM 和AB 的和，再减去FD 即可得到篮筐D 到地面的距离.M BC AFH ED解：如图，过点A 作AM ⊥FE 交FE 的延长线于M ， ∵∠FHE =60°，∴∠F =30°.在Rt △AFM 中，FM =AF ·cos ∠F = AF ·cos 30°=2.50×32≈1.9485米. 在Rt △ABC 中，AB =BC ·tan ∠ACB = BC ·tan 75°≈0.60×3.732=2.2392米. ∴篮板顶端F 点到地面的距离为：FM + AB =1.9485+2.2392=4.1877米∴篮筐D 到地面的距离为：4.1877－FD =4.1877－1.35=2.8377≈2.84米.19. （2017甘肃酒泉，22，6分）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A 、B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量，如图，测得45DAC =∠°，65DBC =∠°.若132AB =米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin650.91°≈，cos650.42°≈，tan65 2.14°≈)思路分析：过D 作 DE ⊥AC ，构造Rt △DEA 、Rt △DEB. 在Rt △DEB 中，已知∠DBC =65°，∴tan65DE BE =o ；在Rt △DEA 中，已知∠DAC =45°，∴AE =DE ，即可列出方程，求出BE ，进而求得DE . 解：过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，设BE =x ，在Rt △DEB 中，tan DEDBE BE∠=， ∵∠DBC =65°，∴tan65DE x =o ． 又∵∠DAC =45°，∴AE =DE ．∴132tan65x x +=o ， ∴ 解得115.8x ≈， ∴248DE ≈(米)． ∴观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米．B DCA第22题图20. 25. (2017甘肃兰州，25， 8分) “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题04 三角函数与解三角形(原卷版) Word版无答案
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数3cos sin y x x x的图像向左平移0m m个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值． 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3OC km AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若()f C =a =1c =，求b的值.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且(cos ,sin ),(cos ,sin ),cos2,sin sin 3sin sin A A B B C A B A B =-=⋅=+=m n m n ，（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆的面积．5. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，等边三角形OAB 的边O C DEAB长为4km.现在线段OB 上取一点D （不含线段OB 端点）建发电站向,A B 两点供电．如果线段DB 上每公里建设费用为a 万元（a 为正常数），线段AD 上每公里建设费用为3a 万元，设ADO θ∠=，建设总费用为S 万元.(Ⅰ) 写出S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （Ⅱ）AD 等于多少时，可使建设总费用S 最少？6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点 且2tan()5αβ+=. （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积是30，内角C B A ,,所对边长分别是c b a ,,，且144-=⋅AC AB ． （1）求A cos 的值；（2）若4=-b c ，求a 的值．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分） 已知函数2()sin(2)cos 6f x x x π=+-．(1)求()f x 的最小正周期及2[,]123x ππ∈时()f x 的值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，其中角C 满足423)4(-=+πC f ，若ABC S ∆，2=c ，，求)(,b a b a >的值．10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.11. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.12. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分14分）在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 13. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】(本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+． ⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．14. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）若A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos ,cos 1)22A A m =-，向量(1,cos 1)2An =+，且21m n ⋅=-．（1）求A 的值；（2）若a =S =b c +的值．15. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分14分)已知函数2()2sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=sin sin B C +=，求bc 的值． 16. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知A C B cos 1)cos(-=-，且c a b ,,成等比数列.（1）求C B sin sin ⋅之值； （2）求角A 的大小； （3）求C B tan tan +的值。
专题10 解三角形问题(解析版)
专题10 解三角形问题【高考真题】1．(2022·全国甲理) 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD ．当ACAB取得最小 值时，BD ＝________． 1．答案 3－1 解析 设CD ＝2BD ＝2m ＞0，则在△ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD AD cos∠ADB ＝m 2＋4＋2m ，在△ACD中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2CD AD cos ∠ADC ＝4m 2＋4－4m ，所以AC 2AB 2＝4m 2＋4－4m m 2＋4＋2m ＝4(m 2＋4＋2m )－12(1＋m )m 2＋4＋2m＝4－12(m ＋1)＋3m ＋1≥4－()44233211m m ≥=-+⋅+，当且仅当m ＋1＝3m ＋1，即m ＝3－1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m ＝3－1．故答案为3－1．【知识总结】 1．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2abcos C . 3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .【同类问题】题型一 三角形中基本量的计算1．(2021·全国乙)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ， 则b ＝ ．1．答案 22 解析 由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22(负值舍去)．2．(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．2．答案 (1)75° 解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6×323＝22，结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180° －B －C ＝75°．3．(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π33．答案 B 解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4．由正弦定理asin A ＝c sin C ，得2sin3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π6． 4．(2018·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π64．答案 C 解析 因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C4＝12ab sin C ， 所以tan C ＝1．又C ∈(0，π)，故C ＝π4．5．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B 等于( )A ．19B ．13C ．12D ．235．答案 A 解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19．6．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝________．6．答案 －14 解析 在△ABD 中，∵AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝3，∴BD ＝6，∴FB ＝BD ＝6．在△ACE中，∵AE ＝AD ＝3，AC ＝1，∠CAE ＝30°，∴EC ＝32＋12－2×3×1×cos 30°＝1，∴CF ＝CE ＝1．又∵BC ＝AC 2＋AB 2＝12＋32＝2，∴在△FCB中，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－FB 22×CF ×BC ＝12＋22－622×1×2＝－14．7．(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a＝1，则b ＝________． 7．答案2113 解析 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365．又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113．8．(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A ．2B ．3C ．2D ．3 8．答案 D 解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去． 9．在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B ＝3π4，AB ＝32，AD ＝210，若AC ＝35，则CD 为 ．9．答案 1或5 解析 因为在△ABC 中，∠B ＝3π4，AB ＝32，AC ＝35，由正弦定理可得ACsin B＝ AB sin ∠ACB ，所以sin ∠ACB ＝AB ·sin B AC ＝32×2235＝55，又BC ⊥CD ，所以∠ACB 与∠ACD互余，因此cos ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝55，在△ACD 中，AD ＝210，AC ＝35，由余弦定理可得cos ∠ACD ＝55＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝5＋CD 265CD ，所以CD 2－6CD ＋5＝0，解得CD＝1或CD ＝5．10．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b sin A ＝5a cos B ，AB ＝2，AC ＝26，D 为BC的中点，E 为AC 上的点，且BE 为∠ABC 的平分线，下列结论正确的是( ) A ．cos ∠BAC ＝－66B ．S △ABC ＝35 C ．BE ＝2D ．AD ＝5 10．答案 AD 解析 由正弦定理可知2sin B sin A ＝5sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴2sin B ＝5cos B ．又sin 2B＋cos 2B ＝1，∴sin B ＝53，cos B ＝23，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝6．A 项，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋24－362×2×26＝－66；B 项，S △ABC ＝12AB ·BC sinB ＝12×2×6×53＝25；C 项，由角平分线性质可知AE EC ＝AB BC ＝13，∴AE ＝62．BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos A ＝4＋32－2×2×62×⎝⎛⎭⎫－66＝152，∴BE ＝302；D 项，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝4＋9－2×2×3×23＝5，∴AD ＝5．题型二 三角形的面积11．(2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 11．答案 23 解析 在△ABC 中，由正弦定理得23sin60°＝4sin B，解得sin B ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC＝12×AB ×23＝12×42－232×23＝23．12．(2019·全国Ⅱ)△ABC 的内角内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△BDC的面积是________． 12．答案3解析 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =， 解得23, 3c c ==-（舍去），所以243a c ==，113sin 43236322ABC S ac B ==⨯=△13．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为__________． 13．答案233解析 已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ⇒2sin B sin C ＝4sin A ·sin B sin C ，所以sin A ＝12，由b 2＋c 2－a 2＝8>0知A 为锐角，所以cos A ＝32，所以32＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4bc ，所以bc ＝83＝833，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233． 14．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2．点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC的面积是________，cos ∠BDC ＝________． 14．答案152104解析 在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝152．因为BD ＝BC ＝2，所以∠BDC ＝12∠ABC ，则cos ∠BDC ＝cos ∠ABC ＋12＝104．15．(2013·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2B ．3＋1C ．23－2D ．3－115．答案 B 解析 因为B ＝π6，C ＝π4，所以A ＝7π12．由正弦定理得b sin π6＝csin π4，解得c ＝22．所以三角形的面积为12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12．因为sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝32×22＋22×12＝22⎝⎛⎭⎫32＋12，所以12bc sin A ＝22×22⎝⎛⎭⎫32＋12＝3＋1，故选B ．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________． 16．答案 52 解析 因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53．又由5cos C ＝sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C 知，cos C >0，并结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16．于是sin B ＝5cos C ＝56．由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝3．故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2b －a )cos C ＝c cos A ，c ＝3，sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，则△ABC 的面积为( )A ．338B ．2C ．32D ．33417．答案 D 解析 因为(2b －a )cos C ＝c cos A ，由正弦定理得，(2sin B －sin A )cos C ＝sin C cos A ，化简得2sin B cos C ＝sin B ，又sin B ≠0，因为C ∈(0，π)，所以cos C ＝12，所以C ＝π3．又由sin A＋sin B ＝26sin A sin B ，可得(sin A ＋sin B )·sin C ＝32sin A sin B ，由正弦定理可得(a ＋b )c ＝32ab ，所以a ＋b ＝2ab ．因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以2(ab )2－3ab －9＝0，所以ab ＝3(负值舍去)，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝334．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，2b －3c ＝2a cos C ，sin C ＝32，则 △ABC 的面积为( ) A ．32 B ．34 C ．32或34D ．3或3218．答案 C 解析 因为2b －3c ＝2a cos C ，所以由正弦定理可得2sin B －3sin C ＝2sin A cos C ，所以2sin(A ＋C )－3sin C ＝2sin A cos C ．所以2cos A sin C ＝3sin C ，又sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝30°，因为sin C ＝32，所以C ＝60°或120°．当C ＝60°时，A ＝30°，所以B ＝90°，又a ＝1，所以△ABC 的面积为12×1×2×32＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，所以B ＝30°，又a ＝1，所以△ABC 的面积为12×1×1×32＝34，故选C ．19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝2sin2A ，且c ＝6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．33C ．3或1D ．3或3319．答案 A 解析 ∵在△ABC 中，C ＝π3，∴B ＝2π3－A ，B －A ＝2π3－2A ，∵sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝2sin2A ，∴sin C ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2A ＝2sin 2A ，即sin C ＋32cos 2A ＋12sin 2A ＝2sin 2A ，整理得3sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin C ＝32，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝12．又A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴2A －π6＝π6或5π6，解得A ＝π6或π2．当A ＝π6时，B ＝π2，tan C ＝c a ＝6a ＝3，解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3；当A ＝π2时，B ＝π6，tan C ＝c b ＝6b ＝3，解得b ＝2，∴S △ABC ＝12bc ＝3．综上，△ABC的面积是3．20．托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC ，BD 是其两条对角线，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，AC ＝6，则四边形ABCD 的面积为 ．20．答案 93 解析 在△ABD 中，设AB ＝a ，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝3a 2，所以BD ＝3a ，由托勒密定理可得a (BC ＋CD )＝AC ·3a ，即BC ＋CD ＝3AC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝30°，所以四边形ABCD 的面积S ＝12BC ·AC sin 30°＋12CD ·AC sin 30°＝14(BC ＋CD )·AC ＝34AC 2＝93． 题型三 三角形中的最值(范围)问题21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，πB ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 21．答案 C 解析 因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，所以A 为锐角．又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．22．在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎭⎫0，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π2D ．⎝⎛⎦⎤π6，π2 22．答案 A 解析 因为c ＝AB ＝1，a ＝BC ＝2，b ＝AC ．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1<b <3，根据余弦定理cos C ＝12ab (a 2＋b 2－c 2)＝14b (4＋b 2－1)＝14b (3＋b 2)＝34b ＋b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3b －b 2＋32≥32．所以0<C ≤π6．故选A ． 23．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎦⎤0，π4C ．⎣⎡⎦⎤π6，π4D ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 23．答案 B 解析 法一：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角，又sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． 法二：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12b 2＋c 22bc ≥2 12b 2·c22bc ＝22，当且仅当c ＝22b 时等号成立，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． 24．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．24．答案6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c ．由余弦定理得cos C＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b 242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2 ⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24． 25．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A ．2B ．98C ．1D ．7825．答案 B 解析 ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sinB ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98． 26．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A －B )取最大值时，角B 的值为________．26．答案 π6 解析 由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )，整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ，易得tan A >0，tan B >0．所以tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝21tan B ＋3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值，所以B ＝π6． 27．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B ＝c sin C －2a sin B ，则sin2A tan 2B的最大值是__________．27．答案 3－22 解析 依题意得a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，则2ab cos C ＝－2ab ，所以cos C ＝－22， 所以C ＝3π4，A ＝π4－B ，所以sin2A tan 2B ＝cos2B tan 2B ＝(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B ．令1＋tan 2B ＝t ，其中t ∈(1,2)，则有(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B＝(2－t )(t －1)t ＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋3≤3－22，当且仅当t ＝2时取等号．故sin 2A tan 2B 的最大值是3－22．28．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 28．答案2＋12解析 解法1 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以，sin(A ＋B )＝2cos A cos B ，化简得tan A ＋tan B＝2，cos 2A＋cos 2B＝cos 2A sin 2A ＋cos 2A ＋cos 2B sin 2B ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝tan 2A ＋tan 2B ＋2(tan A tan B )2＋tan 2A ＋tan 2B ＋1＝(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋2(tan A tan B )2＋(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋1＝6－2tan A tan B(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5．因为分母(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5>0，所以令6－2tan A tan B＝t (t >0)，则cos 2A ＋cos 2B ＝4t t 2－8t ＋32＝4t ＋32t －8≤4232－8＝2＋12(当且仅当t ＝42时取等号)．解法2 由解法1得tan A ＋tan B ＝2，令tan A ＝1＋t ，tan B ＝1－t ，则cos 2A ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝1t 2＋2＋2t ＋1t 2＋2－2t ＝2（t 2＋2）（t 2＋2）2－4t 2，令d ＝t 2＋2≥2，则cos 2A＋cos 2B ＝2dd 2－4d ＋8＝2d ＋8d －4≤228－4＝2＋12，当且仅当d ＝22时等号成立． 解法3 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin C ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，即cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B2＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－cos C (sin C ＋cos C )＝12－12(sin2C ＋cos2C )＝12－22sin(2C ＋π4)≤12＋22＝2＋12，当且仅当2C ＋π4＝3π2，即C ＝5π8时取等号．29．设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2＋2b 2＝c 2，则tan Ctan A ＝_____；tan B 的最大值为________． 29．答案 －3 33 解析 由正弦定理可得tan C tan A ＝sin C sin A ·cos A cos C ＝c a ·cos Acos C，再结合余弦定理可得tan C tan A ＝c a ·cos A cos C＝c a ·b 2＋c 2－a 22bc ·2ab a 2＋b 2－c 2＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2．由a 2＋2b 2＝c 2，得tan C tan A ＝b 2＋a 2＋2b 2－a 2a 2＋b 2－a 2－2b 2＝－3．由已知条件及大边对大角可知0＜A ＜π2＜C ＜π，从而由A ＋B ＋C ＝π可知tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝－1＋tan C tan A 1tan A －tan C ＝23－tan C＋(－tan C )，因为π2＜C ＜π，所以3－tan C ＋(－tan C)≥23－tan C×(－tan C)＝23(当且仅当tan C＝－3时取等号)，从而tan B≤223＝33，即tan B的最大值为33．30．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2b sin C，则tan A＋tan B＋tan C的最小值是()A．4B．33C．8D．63 30．答案C解析由a＝2b sin C得sin A＝2sin B sin C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C ＝2sin B sin C，即tan B＋tan C＝2tan B tan C．又三角形中的三角恒等式tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，∴tan B tan C＝tan Atan A－2，∴tan A tan B tan C＝tan A·tan Atan A－2，令tan A－2＝t，得tan A tan B tan C＝(t＋2)2t＝t＋4t＋4≥8，当且仅当t＝4t，即t＝2，tan A＝4 时，取等号．。
2017年全国高考考前解答题必考点(理数)命题揭秘之三角函数与解三角形热点题型一 含解析
考向一:三角函数的定义与同角三角函数关系三角函数的定义是本专题的核心概念，也是解题的基本思路。
因此历来是高考的考点，考查体现在三角函数的求值，例题如下;1.【2014高考新课标1】若tan α＞0，则（)A.sin α＞0B.cos α＞0 C。
sin 2α＞0 D。
cos 2α＞0【答案】C2。
【2013全国大纲卷】已知α是第二象限角，sin α＝错误!，则cos α＝( ）A.－1213B。
－错误!C。
错误!D.错误!【答案】A【解析】∵α是第二象限角，∴cos α＜0，又sin α＝错误!，∴cos α＝－错误!＝－错误!。
3。
【2016高考新课标1】已知θ是第四象限角,且sin错误!＝错误!，则tan错误!＝________。
【答案】－4 3【解析】由题意，得cos错误!＝错误!，∴tan错误!＝错误!.∴tan错误!＝tan错误!＝－错误!＝－错误!。
4.【2016银川模拟】已知sin α＋2cos α＝0,则2sin αcos α－cos2α的值是________。
【答案】－1【解析】sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos2α＝错误!＝错误!,∴原式＝错误!＝－1。
5.【2016衡水模拟】在平面直角坐标系xOy中，将点A(错误!，1）绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为________，若直线OB的倾斜角为α,则tan 2α的值为________。
【答案】（－1，3）错误!考向二：三角函数的性质及其应用以y ＝sin x ，y ＝cos x 的三角函数性质为基础，重点考察()sin()f x A x+ωϕ=型函数的单调性，最值、奇偶性、周期等问题1．【2014全国课标1】在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝｜cos x ｜,③y ＝cos2x ＋错误!，④y ＝tan 错误!中,最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 【答案】C2.【2014全国大纲卷】3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C ． 【解析】sin 35sin 33,cos55sin 35,tan 35sin 35,,cos35︒=︒=︒=︒=︒=>︒∴>>︒a b c c b a 故选C ．3。
决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题04 三角函数与解三角形(解析版) 含解析
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 【答案】π【解析】由直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y得2233sin ,2336x x T ππππωωπωπω-==∴=∴=∴= 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin【答案】2531-【解析】法一：由平方关系得1cos )52cos 2(22=+-θθ，且0co s <θ，解之得257cos -=θ从而2524sin -=θ，故2531cos sin -=+θθ 法二：设t =+θθcos sin ，则与52cos 2sin -=-θθ联立得15232sin -=t θ， 15231cos +=t θ，由平方关系式得1)15231()15232(22=++-t t ，因θ是第三象限角，故0<t ，解之得2531-=t ，即2531cos sin -=+θθ法三：由52cos 2sin -=-θθ得552)sin(-=-ϕθ，其中51cos =ϕ，52sin =ϕ 因θ是第三象限角，故5511)cos(-=-ϕθ，从而2524)sin(sin -=+-=ϕϕθθ，同理257cos -=θ，从而2531cos sin -=+θθ 4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____． 【答案】32【解析】2cos[2()]1cos(2)1sin 21242cos 42223ππααπαα-+-++⎛⎫-==== ⎪⎝⎭． 5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．【答案】13【解析】由于αβ、都是锐角，所以αβ+∈(0,)π，又1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，所以sin α=sin()αβ+=，cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++4715117=-⨯+13=． 7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f [x )＝sin[2x＋θ) ()22ππθ-<<的图象向右平移φ[0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g [x )的图象，若f [x )，g [x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ． 【答案】56π【解析】试题分析：由题意得： ()sin(22)g x x ϕθ=-+，因此sin 2)θθϕ=-=，因为22ππθ-<<，所以3πθ=，因为0ϕπ<<，所以452,.336πππϕϕ-=-= 9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f [x )＝|sin |x －kx [x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则0200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 【答案】12【解析】试题分析：由题意得y kx =与sin ,(,2)y x x ππ=-∈相切，切点为00(,sin )x x -，由导数几何意义得0c o s k x =-，因此0000000sin sin cos sin cos x kx x x x x x x =-⇒-⋅=-⇒=，即002200000sin cos 1.sin (1)sin 22(1)2sin cos cos x x x x x x x x x ==++10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αc o s 的值为 ． 【答案】6162-． 【解析】因20πα<<且31)6sin(=-πα，故366ππαπ<-<-， 所以322)31(1)6cos(2=-=-πα，而]6)6cos[(cos ππαα+-=， 故61622131233226sin )6sin(6cos)6cos(cos -=⨯-⨯=---=ππαππαα 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．【答案】3．【解析】设t DC =，则t AC =，在A B C ∆中，由余弦定理得22cos ACB ∠==则sin A CB ∠==．在DBC ∆中，由由余弦定理得2202cos(90)DB t ACB =+-∠+222sin 2t ACB t =++∠=++，即2222)3(82--++=t t DB ，不妨设)20(cos 2232πθθ<<=-t ，则2cos )5DB θθ=++54sin()4πθ=++，所以当4πθ=时，9max2=DB，即对角线BD 的最大值为3．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数()sin y x x x =+?¡的图像向左平移()0m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan 2α的值为_______.【答案】34-【解析】由sin 2cos αα+=平方得225sin +4sin cos +4cos ,2αααα=因此1cos21cos25+2sin 2+4,222ααα-+⨯=即3cos22sin 2+02αα=,即3tan 2.4α=- 15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．【答案】36±【解析】由条件得3112cos 22-=-θ，又]4,4[ππθ-∈，得]2,2[2ππθ-∈，于是312cos =θ， 原式==+-+)4(cos )4(sin 44πθπθ)4(cos )4(sin 22πθπθ+-+θπθ2sin )4(2cos =+-=36±=. 16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______. 【答案】3【解析】由sin (,)2ααπ=∈π得cos tan 2αα==-，因此127t a nt a n ()3.21()7βαβα+=+-==+-二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=，（Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值．所以sin()cos 3c A B A b -=-=-=- .......14分 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3O C k m A O B O C Dπθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．[Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.则无人侦察机在CD上飞行总时间为(4515=而3819r t ==⇒=，OC DEABθ（Ⅱ） 雷达不能测控到无人侦察机。
2017高考数学一轮复习第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式习题
2017高考数学一轮复习 第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式习题A 组 基础巩固一、选择题1．sin210°cos120°的值为导学号 25400726( ) A ．14 B ．－34C ．－32D ．34[答案] A[解析] sin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝12³12＝14.故选A ．2．已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α＝导学号 25400727( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25 [答案] C[解析] sin(5π2＋α)＝sin[2π＋(π2＋α)]＝sin(π2＋α)cos α＝15.3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)等于导学号 25400728( )A ．－79B ．－13C ．13D ．79 [答案] A[解析] ∵(π3＋α)＋(π6－α)＝π2，∴sin(π6－α)＝sin[π2－(π3＋α)]＝cos(π3＋α)＝13.则cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝－79.4．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α²cos α等于导学号 25400729( )A ．25B ．－25C ．25或－25D ．－15[答案] B[解析] 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α²cos α＝sin α²cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B ． 5．已知f (α)＝sin π－α ²cos 2π－α cos －π－α ²tan π－α ，则f (－25π3)的值为导学号 25400730( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32[答案] A [解析] ∵f (α)＝sin αcos α－cos α² －tan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos 25π3＝cos(8π＋π3)＝cos π3＝12.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两个根，则m 的值为导学号 25400731( )A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1± 5D ．－1－ 5[答案] B[解析] 由题意得sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ²cos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ²cos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，解得m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－5，故选B ．二、填空题7．已知α∈(π2，π)，sin α＝45，则tan α＝________.导学号 25400732[答案] －43[解析] ∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.8．化简：sin π2＋α ²cos π2－α cos π＋α ＋sin π－α ²cos π2＋αsin π＋α ＝________.导学号 25400733[答案] 0[解析] 原式＝cos α²sin α－cos α＋sin α －sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.9．(2015²绍兴二模)若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________.导学号 25400734 [答案] －32[解析] f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝cos(180°－30°)＝－cos30°＝－32. 10．(2015²浙江嘉兴联考)已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝________，cos(α－π4)＝________.导学号 25400735[答案] －74，34[解析] sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)，∵α为钝角，∴34π＜π4＋α＜54π.∴cos(π4＋α)＜0.∴cos(π4＋α)＝－1－ 34 2＝－74.cos(α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34.三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，求下列各式的值：导学号 25400736(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α. [答案] (1)－16 (2)85[解析] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 12．已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值.导学号 25400737[答案]55－95[解析] ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15. ∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0＜α＜π2，∴sin α＋cos α＝35 5.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2. ∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－55＋11－2＝55－95.B 组 能力提升1．(2015²福建福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝导学号 25400738( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43[答案] D[解析] 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43，故选D ．2．(2015²河南郑州一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于导学号 25400739( )A ．1－32B ．1＋32C ． 3D ．－ 3[答案] B[解析] ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根， ∴sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2.可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即2－32＝1＋m ，∴m ＝－32. ∵θ为第二象限角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0. ∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θ²cos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32， ∴sin θ－cos θ＝2＋32＝1＋32. [点拨] 利用根与系数的关系表示出sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m 的值，再利用完全平方公式求出sin θ－cos θ的值即可．3．(2015²河北石家庄一模)已知α为第二象限角，则cos α²1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.导学号 25400740 [答案] 0[解析] 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α²sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝cos α－cos α＋sin αsin α＝－1＋1＝0.4．已知：f (α)＝sin －α cos π＋α cos π2－αcos π－α sin 2π＋α tan π＋α .导学号 25400741(1)化简f (α)；(2)若角α的终边在第二象限，且sin α＝35，求f (α)．[答案] (1)f (x )＝－cos α (2)45[解析] (1)f (α)＝sin －α cos π＋α cos π2－αcos π－α sin 2π＋α tan π＋α＝－sin α －cos α sin α－cos αsin αtan α＝－cos α.(2)由题意，知cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以f (α)＝－cos α＝45.5．已知－π2＜α＜0，且函数f (α)＝cos(3π2＋α)－sin α²1＋cos α1－cos α－1.导学号 25400742(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α²c os α和sin α－cos α的值．[答案] (1)f (α)＝sin α＋cos α (2)－1225，－75[解析] (1)f (α)＝sin α－sin α² 1＋cos α 21－cos 2α－1＝sin α＋sin α²1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α²cos α＋cos 2α＝125，即2sin α²cos α＝－2425. ∴sin α²cos α＝－1225.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α²cos α＝4925，又－π2＜α＜0，∴sin α＜0，cos α＞0，∴sin α－cos α＜0，∴sin α－cos α＝－75.方法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2＜α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α²cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.。
高考数学专题：三角函数的图象与性质
y t 2 3t 1 4
当t
3 2
时，ymax
1
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
11
［明考情—备考如何学］ 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在 第 6～12 题或第 14、15 题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性 质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三 角恒等变换交汇命题．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象 如图所示，则 f(2 019)的值为___-_1____．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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B．在π4，51π2上单调递减
C．1π2，0是 g(x)图象的一个对称中心
D．直线 x＝－π6是 g(x)图象的一条对称轴
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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2. (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6(ω>0)在区间－π4，23π上单调
(3)基本关系：
sin2x＋cos2x＝1，
tan
x＝csions
x x.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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［研考点考向·破重点难点］
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
2017年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含答案及解析)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017届高三数学(理)黄金考点总动员 考点14 解三角形 含解析
2017届高三数学33个黄金考点总动员考点14 解三角形（理）【考点剖析】1.最新考试说明：（1）考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容。
（2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．（3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．2.命题方向预测：(1）利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．(2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3。
课本结论总结：（1）正弦定理：错误!＝错误!＝错误!（2）余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为:cos A＝错误!，cos B＝错误!，cos C＝错误!。
(3）S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B(4)已知两边和其中一边的对角,解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sinAa＝b sinAb sin A＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解（5）常见题型：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2)已知两边及一边的对角,求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题:(1）已知两边及夹角求第三边和其他两角；（2)已知三边,求各角．4。
名师二级结论：（1)在三角形中,大角对大边,大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.（2)正弦定理的变形：错误!＝错误!＝错误!＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C;②a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；③sin A＝a2R，sinB＝错误!,sin C＝错误!等形式,以解决不同的三角形问题．（4）三角形的面积公式：S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!（a＋b＋c）·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R，r。
新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题04 三角恒等变换(解析版)
新高考数学（理）三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标：1.两角和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值. （2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值. （3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. （4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述：知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ，()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ， ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ. 两角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ，【考点讲解】()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件：1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x +=++ϕ（其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定，φ的值由tan baϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ，()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ，()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三 二倍角公式： 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形：（1）22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=（2）()2cos sin 2sin 1ααα+=+，()2cos sin 2sin 1ααα-=-；（3）αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式：2cos 12sin αα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan+-±=，αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ） A ．15B ．55 C ．33D ．255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为 4【真题分析】【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15 B ．55 C ．255D ．1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为22212cos22cos 12131a ⎛⎫=-=⋅-= ⎪+⎝⎭αα，解得215a =，即55a =，所以525a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ．【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时33sin ,sin222x x =-=-， 所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是332-.【答案】332-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 16．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. （1）1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--.要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】（1）π；（2）π3.1. sin15°sin105°的值是（ ） A ．14 B ．14-C ．34D ．34-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式：sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14，故选A ． 【答案】A2.已知sin2α=13，则cos 2（π4α-）=（ ） A ．34 B ．23 C ．45 D ．56【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.∵sin2α=13，∴cos 2（π4α-）=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===．故选B ． 【答案】B3.已知sin α=45-，α∈（π，3π2），则tan 2α等于（ ） A ．－2 B ．12 C ．12-或2 D ．－2或12【解析】∵sin α=45-，α∈（π，3π2），∴cos α=35-，∴tan α=43.∵α∈（π，3π2），∴2α∈（π2，3π4），∴tan 2α＜0. tan α=22tan21tan 2αα- =43，即2tan 22α+ 3tan2α－2=0，解得tan2α=－2，或tan2α=12（舍去），故选A ．【答案】A【模拟考场】4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=1sin 2cos 2ββ+，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π4αβ-=B ．π24αβ+=C ．π4αβ-=D ．π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ-=．故选C ． 【答案】C5．已知角αβ，均为锐角，且cos α=35，tan （α−β）=−13，tan β=（ ） A ．13 B ．913 C ．139D ．3【解析】∵角α，β均为锐角，且cos α=35，∴sin α=21cos α- =45，tan α=43，又tan （α−β）=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13， ∴tan β=3，故选D ．【答案】D6.设α为锐角，若π3cos()65α+=，则πsin()12α-=（ ） A ．210 B ．210- C ．45 D ．45- 【解析】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π3cos()65α+=，所以π4sin()65α+=，故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2432cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 【答案】B8．已知34cos sin =-αα，则=α2sin （ ） A ．97- B ．92- C ．92 D ．97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα， 化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为（ ） A ．56B ．1C ．53D ．51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数 最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx ， 因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以函数的最大值为56.【答案】A10.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11．已知向量a r =（sin θ，2-），b r =（1，cos θ），且a r ⊥b r ，则sin 2θ+cos 2θ的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值，数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1，故选A ． 【答案】A12.已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2θ=（ ）A ．125B ．15±C ．15D ．15- 【解析】∵cos θ=－725，θ∈（－π，0）， ∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0）， ∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2θ＞0，∵（sin 2θ+cos 2θ）2=1+sin θ=1－491625-=125，∴sin 2θ+cos 2θ=15-．故选D ．【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解. 法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o o o o . 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==o o o o o o o o . 法三、62626sin15sin 75442-++=+=o o . 【答案】62. 14.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥，即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】（1）因为，，所以． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，． 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12. 17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ 22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角 知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知，有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭ 311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数， 113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34，最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.。
全国版2017版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.5.2两角和差及倍角公式的应用课件理
3 2 1 3 sincos sin sin 2 (1 cos 2) 3 2 6 1 3 3 sin 2 cos 2 2 6 6 3 3 sin(2 ) ，因为 (0, )， 3 6 6 3 5 1 所以2 ( , )，sin(2 ) ( ,1]. 6 6 6 6 2 3 2 当 时,Smax m . 6 6
cos240°+cosωtsin240°]
1 =0. 3 1 3 所以 I +I +I 22 (sin sin cost sint cost ) 0， 1 t 2 3 t 2 2 2 2
考向二
利用三角恒等变换解决实际问题
【典例2】如图,现要在一块半径为1 m,圆心角为 的
(2)等式左边= sin(2 ) 2sincos( ) sin sin[ ( )] 2sincos( ) sin sincos( ) cossin( ) 2sincos( ) sin cossin( ) sincos( ) =右边,所以等式成立. sin sin[( ) ] sin sin sin
等变换先化简,再求S的最大值及相应的θ角.
【规范解答】(1)分别过P,Q作PD⊥OB于点D,QE⊥OB于
点E,则四边形QEDP为矩形.
由扇形半径为1m,
得PD=sinθ,OD=cosθ.
在Rt△OEQ中,
3 3 OE QE PD, 3 3
MN=QP=DE=OD-OE=cosθ-
S=MN·PD=
扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P3 在弧
AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ ,平行四边
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2017高考解三角形汇总
1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0,
a =2, c= 2, 则C=
A.π12
B.π6
C.π4
D.π
3
2. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=
3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________
4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB
·AC =−6,S △ABC =3,求A 和a 。
5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（）A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A
6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．
7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长
8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin
2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += ,ABC ∆面积为2,求.b
9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A A =0，a b =2.
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.
10. （2017北京理，15）在△ABC 中，=60°，c =3
7a . （Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）若a =7,求△ABC 的面积.
11. （2017天津理，15）在
中，内角所对的边分别为.已知，，. （Ⅰ）求和
的值； （Ⅱ）求
的值.
12. （2017天津文，15）在
中，内角所对的边分别为.已知，. （I ）求的值； （II ）求的值. A。