最新七年级代数式(基础篇)(Word版 含解析)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）
1．如图
（1）2020年9月的日历如图1所示，用1×3的长方形框出3个数.如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的数为x，用含x的式子表示这三个数的和为________；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y，用含y的式子表示这三个数的和为________
（2）如图2，用一个2×2的正方形框出4个数，是否存在被框住的4个数的和为96？如果存在，请求出这四个数中的最小的数字；如果不存在，请说明理由
（3）如图2，用一个3×3的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行共6个数的和为a1，最后一行3个数的和为a2.若|a1﹣a2|＝6，请求出正方形框中位于最中心的数字m的值.
【答案】（1）3x+3；3y+21
（2）解：设所框出的四个数最小的一个为a，则另外三个分别是：（a+1）、（a+7）、（a+8），则
a+（a+1）+（a+7）+（a+8）＝96，
解得，a＝20，
由图2知，所框出的四个数存在，
故存在被框住的4个数的和为96，其中最小的数为20
（3）解：根据题意得，a1＝m+（m﹣1）+（m+1）+（m﹣7）+（m﹣6）+（m﹣8）＝6m ﹣21，
a2＝（m+7）+（m+6）+（m+8）＝3m+21，
∵|a1﹣a2|＝6，
∴|（6m﹣21）﹣（3m+21）|＝6，即|3m﹣42|＝6，
解得，m＝12（因12位于最后一竖列，不可能为9数的中间一数，舍去）或m＝16，
∴m＝16.
【解析】【解答】（1）解：如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的数为x，则三数的和为：
x+（x+1）+（x+2）＝x+x+1+x+2＝3x+3；
如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y，则三数和为：
y+（y+7）+（y+14）＝y+y+7+y+14＝3y+21.
故答案为：3x+3；3y+21
【分析】（1）由三个数的大小关系，表示另两个数，再求和并化简即可；
（2）设最小数为a，并用a的代数式表示所框出的四个数的和，再根据四个数和为96可列方程，解方程，若方程有符合条件的解，则存在，反之不存在；
（3）且m表示出a1和a2，再由|a1−a2|＝6列方程求解.
2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收贵的价目表如下（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
5m3和8m3，则应收水费分别是________元和________元.
（2）若该户居民3月份用水量am3（其中6＜a≤10），则应收水费多少元？（用含a的式子表示，并化简）
（3）若该户层民4、5两个月共用水14m3（5月份用水量超过4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的式子表示，并化简）
【答案】（1）10；20
（2）解：由依题意得：6×2+（a﹣6）×4＝4a﹣12（元）
答：应收水费（4a﹣12）元。

（3）解：当0＜x≤4时，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4×4+6（14﹣x﹣10）＝52﹣4x；
当4＜x≤6，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4（14﹣x﹣6）＝﹣2x+44；
当6＜x＜7时，该户居民4、5两个月共缴水费＝12+4（x﹣6）+12+4（14﹣x﹣6）＝32.【解析】【解答】（1）解：该户居民1月份用水5m3，应缴水费＝5×2＝10（元）；
2月份用水8m3，应缴水费＝6×2+2×4＝20（元）；
故答案是：10；20
【分析】（1）①按照价目表可知，不超过6m3的用水量的水费=5×不超过6m3的用水量的价格计算即可求解；
②按照价目表可知，超过6m3的不超过10m3的用水量的水费=6×不超过5m3的用水量的价格+超过6m3的用水量×超过6m3的价格计算即可求解；
（2）由题意知，用水量属于第二档，按照（1）中②的方法可求解；
（3）结合（1）的方法，分类可求解.
3．用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米，h厘米的长方体有盖木箱（a>b），其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面，乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙刚好能做成箱盖和一个短侧面。

（1）填空：用含a、b、h的代数式表示以下面积：
甲的面积________;乙的面积________;丙的面积________.
（2）当h=20cm时，若甲的面积比丙的面积大200cm2，乙的面积为1400cm2，求a和b 的值；
（3）现将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。

左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型（如图②），且这样的圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等。

问：一个上述长方体木箱中最多可以放________个这样的圆柱体模型。

【答案】（1）ab+ah；ah+bh；ab+bh
（2）解：，
化简得，
解得： .
（3）8
【解析】【解答】（1）甲的面积= ab+ah，乙的面积= ah +bh；丙的面积 =ab+bh；
（3）设圆的直径为d，
∵将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。

左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型，
∴b=2d，a-d=πd，
∴a=（π+1）d
∵圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，
∴只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，
∴
∴可以放两层，
∴b=2r+πr
∴
∴一个上述长方体木箱中最多可以放8个这样的圆柱体模型.
故答案为：8.
【分析】（1）根据矩形的面积公式，分别求出甲，乙，丙的面积即可；
（2）根据甲的面积-丙的面积=200cm2，乙的面积为1400cm2，列出方程组，将h=20cm代入并解出方程组，即可求出a，b的值；
（3）设圆的直径为d，观察图像由已知可得到b=2d，a=（π+1）d，再根据圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，就可得到只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，因此利用木箱的上表面的面积除以正方形ACDF的面积即可求解。

4．已知M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c.
（1）则a＝________，b＝________，c＝________.
（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到A、B、C 的距离和为40个单位？
（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点T和点Q分别从点A和点C出发，向左运动，点T的速度1个单位/秒，点Q的速度5个单位/秒，设点
P、Q、T所对应的数分别是x P、x Q、x T，点Q出发的时间为t，当＜t＜时，求2|x P ﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|的值.
【答案】（1）﹣24；﹣10；10
（2）解：①当点P在线段AB上时，14＋（34﹣4t）＝40，解得t＝2.
②当点P在线段BC上时，34＋（4t﹣14）＝40，解得t＝5，
③当点P在AC的延长线上时，4t+（4t-14）+（4t-34）=40，解得t= ,不符合题意，排除，
∴t＝2s或5s时，P到A、B、C的距离和为40个单位.
（3）解：当点P追上T的时间t1= .
当Q追上T的时间t2= .
当Q追上P的时间t3= =20，
∴当＜t＜时，位置如图，
∴2|x P﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|
＝2(3t－14)＋34－4t＋2(20－t)6t－28＋34－4t＋40－2t
＝74－28
＝46.
【解析】【解答】解：（1）∵M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，∴a＋24＝0，b＝﹣10，c＝10，∴a＝﹣24，
故答案为﹣24，﹣10，10.
【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；（2）分三种情形，分别构建方程即可解决问题；（3）当点P追上T的时间t1= .当Q追上T的时间t2=
.当Q追上P的时间t3= =20，推出当＜t＜时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题.
5．观察下表:
我们把表格中字母的和所得的多项式称为"'特征多项式",例如:第1格的“特征多项式”为4x+y，第 2 格的“特征多项式”为 8x+4y, 回答下列问题:
（1）第 3 格的“特征多项式”为________第 4 格的“待征多项式”为________, 第 n 格的“特征多项式”为________.
（2）若第 m 格的“特征多项式”与多项式-24x+2y-5 的和不含有 x 项,求此“特征多项式”. 【答案】（1）12x+9y；16x+16y；4nx+n2y
（2）解：由（1）可得，第m格的“特征多项式”是4mx+m2y，
∴(4mx+m2y)+(−24x+2y−5)=4mx+m2y−24x+2y−5=(4m−24)x+(m2+2)y−5，
∵第m格的“特征多项式”与多项式−24x+2y−5的和不含有x项，
∴4m−24=0，解得m=6，
∴此“特征多项式”是24x+36y.
【解析】【解答】解：(1)由表格可得：第3格的“特征多项式”为12x+9y，第4格的“特征多项式”为16x+16y，第n格的“特征多项式”为4nx+n2y，
故答案为：12x+9y， 16x+16y， 4nx+n2y；
【分析】（1）根据表格中的数据找出规律即可解答本题；（2）根据（1）中的结果可以写出第m格的“特征多项式”，然后根据“和不含有x项”可以求得m的值，从而可以写出此“特征多项式”．
6．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案.
（1）第1个图案中有6根小棒；第2个图案中有________根小棒；第3个图案中有________根小棒；
（2）第n个图案中有多少根小棒？
（3）第25个图案中有多少根小棒？
（4）是否存在某个符合上述规律的图案，由2032根小棒摆成？如果有，指出是滴几个图案；如果没有，请说明理由.
【答案】（1）11；16
（2）解：由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2-1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3-2=16根小棒，…，因此第n个图案中有5n+n-（n-1）=5n+1根（3）解：令n=25，得出，故第25个图案中有126根小棒
（4）解：令，得出n=406.2，不是整数，故不存在符合上述规律的图案，由2032根小棒摆成
【解析】【解答】（1）第2个图案中有11根小棒；第3个图案中有16根小棒；
【分析】（1）（2）由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2-1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3-2=16根小棒，…由此得出第n个图案中有5n+n-（n-1）=5n+1根小棒；（3）把数据代入（2）中的规律求得答案即可；（4）利用（2）中的规律建立方程求得答案即可.
7．将7张相同的长方形纸片(如图1)按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好可以分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.
（1）当a=9,b=2,AD=30时，S1－S2=________.
（2）当AD=30时，用含a,b的式子表示S1－S2.
（3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而且S1－S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是________.
【答案】（1）48
（2）解：S1－S2
=a(30－3b)－4b(30－a)
=30a－120b+ab
（3）a=4b
【解析】【解答】(1)解：当a=9,b=2,AD=30时，S1=a(30－3b)=9×（30-3×2）=216
S2=4b(30－a)=4×2×（30-9）=168
S1－S2=216-168=48
3)解：设AD=m,
S1－S2
=(am－3ab)－(4bm－4ab)
=am－4bm+ab
若S1－S2的值总保持不变，则S1－S2的值与m的取值无关，所以有am－4bm=0
则a=4b.
【分析】（1）观察图形，分别求出S1和S2的面积，再求差即可；（2）用含a、b的代数式分别表示S1和S2的面积，再求差即可；（3）设AD=m, 用含a、b、m的代数式分别表示S1和S2的面积差，再去括号合并同类项，根据题意S1－S2的值总保持不变，即可解答.
8．已知多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b．
（1）设a与b分别对应数轴上的点A、点B，请直接写出a＝________，b＝________，并在数轴上确定点A、点B的位置；
（2）在（1）的条件下，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向B运动，运动时间为t 秒：
①若PA﹣PB＝6，求t的值，并写出此时点P所表示的数；
②若点P从点A出发，到达点B后再以相同的速度返回点A，在返回过程中，求当OP＝3时，t为何值？
【答案】（1）﹣4；6
（2）解：①∵PA＝2t，AB＝6﹣（﹣4）＝10，
∴PB＝AB﹣PA＝10﹣2t．
∵PA﹣PB＝6，
∴2t﹣（10﹣2t）＝6，解得t＝4，
此时点P所表示的数为﹣4+2t＝﹣4+2×4＝4；
②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：
（Ⅰ）如果P在原点右边，那么AB+BP＝10+（6﹣3）＝13，t＝；
（Ⅱ）如果P在原点左边，那么AB+BP＝10+（6+3）＝19，t＝．
【解析】【解答】（1）∵多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b，
∴a＝﹣4，b＝6．
如图所示：
故答案为﹣4，6；
【分析】（1）根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a，b的值，然后在数轴上表示即可；（2）①根据PA﹣PB＝6列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得到点P所表示的数；②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：（Ⅰ）P在原点右边；（Ⅱ）P 在原点左边．分别求出点P运动的路程，再除以速度即可．
9．为提倡全民健身活动，某社区准备购买羽毛球和羽毛球拍供社区居民使用，某体育用品
商店羽毛球每盒10元，羽毛球拍每副40元．该商店有两种优惠方案，方案一：不购买会员卡时，羽毛球享受8.5折优惠，羽毛球拍购买5副（含5副）以上才能享受8.5折优惠，5副以下必须按定价购买；方案二：每张会员卡20元，办理会员卡时，全部商品享受8折优惠．设该社区准备购买羽毛球拍6副，羽毛球盒，请回答下列问题：
（1）如果一位体育爱好者按方案一只购买了4副羽毛球拍，求他购买时所需要的费用；（2）用含的代数式分别表示该社区按方案一和方案二购买所需要的钱数；
（3）①直接写出一个的值，使方案一比方案二优惠；
②直接写出一个的值，使方案二比方案一优惠．
【答案】（1）解：如果一位体育爱好者按方案一只购买了4副羽毛球拍，
则他购买时所需要的费用为：元
（2）解：按方案一购买所需要的钱数为：（元，
按方案二购买所需要的钱数为：（元）；
（3）解：①根据题意得：，解得：．
答：购买（1 15 之间的整数即可）盒乒乓球时，方案一比方案二优惠；
②根据题意得：，解得：．
答：购买20（任意大于16的整数即可）盒乒乓球时，方案二比方案一优惠
【解析】【分析】(1)直接按方案计算，可得购买时所需要的费用;(2)由方案一的优惠方案及该社区准备购买羽毛球拍6副,羽毛球盒,可得方案一购买所需要的钱;由方案二的优惠方案，可得及该社区准备购买羽毛球拍6副,羽毛球盒,可得方案一购买所需要的钱；(3)①由（2）和题意得：，解之可得答案;②由（2）和题意得：
，解之可得答案.
10．对于三位正整数:121、253、374、495、583、671、880、…,它们都能11整除。

若设百位数字是十位数字是个位数字是
（1）观察这些三位数,根据你的观察、总结, 应满足的关系式是________；
（2）为了说明满足上述关系式的三位正整数都能被11整除,请利用代数式的运算证明你得出的结论的正确性；
（3）除此之外,还有一类三位正整数，例:429、506、528、638、517、759、…，它们也能被11整除。

请观察这组数字的特点,发现有什么规律?再自选一个异于上面3个数字且满足“规律”的三位数,来验证你所发现的“规律”的正确性。

【答案】（1）a+c=b
（2）解：此三位数可表示为：100a+10b+c，
∵a+c=b，
∴100a+10b+c
=100a+10（a+c）+c
=110a+11c
=11(10a+c)，
∴满足上述关系式的三位正整数都能被11整除
（3）解：∵429：4+9-11=2、506：5+6-11=0、528：5+8-11=2、638：6+8-11=3、517：5+7-11=1、759：7+9-11=5、…，
∴a+c-11=b，
如a=3,c=9,则b=3+9-11=1,该三位数是319，
∵319÷11=29，
∴满足该特点的三位数能被11整除.
【解析】【解答】（1）解：∵121：1+1=2、253：2+3=5、374：3+4=7、495：4+5=9、583：5+3=8、671：6+1=7、880：8+0=8、…,
∴应满足的关系式是a+c=b
【分析】（1）根据所给数字可以发现，百位数字+个位数字=十位数字，据此解答即可；（2）根据多位数的表示法写出该三位数，把a+c=b代入即可证明其正确性；（3）根据所给数字可以发现，百位数字+个位数字-11=十位数字，据此解答即可.
11．某单位在十月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000 元/人，两家旅行社同时又对10 人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠．（1）如果设参加旅游的员工共有n（n＞10）人，则甲旅行社的费用为________元，乙旅行社的费用为________元；（用含 n 的代数式表示）
（2）假如这个单位现组织共30 名员工到旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请通过计算说明理由．
（3）如果计划在十月份外出旅游七天，这七天的日期之和（不包含月份）为105，则他们于十月________号出发.
【答案】（1）3000n；3200(n-1)
（2）解：当n=30时:
甲： (元)，
乙： (元)，
因为90000<92800，所以选择甲旅行社更优惠
（3）12
【解析】【解答】解：(1)甲旅行社的费用为
乙旅行社的费用为
故答案为3000n;3200(n-1)；
( 3 ) 设 x 号出发，则 x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6=105，
解得 x=12，所以他们于十月 12 号出发.
【分析】（1）按照两个旅行社的优惠方法，分别表示出各自的费用。

（2）将n=30分别代入（1）中的代数式求值，再比较大小即可得出结果。

（3）设 x 号出发，根据这七天的日期之和（不包含月份）为 105，建立关于x的方程，求解即可。

12．
（1）在如图所示的数轴上，把数﹣2，，4，﹣，2.5表示出来，并用“＜“将它们连接起来；
（2）假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看作一点），小球甲从表示数﹣2的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；同
时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/
秒的速度沿数轴向左运动，在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
请从A，B两题中任选一题作答．
A．当t=3时，求甲、乙两小球之间的距离．
B．用含t的代数式表示甲、乙两小球之间的距离．
【答案】（1）解：如图所示：
-2<- < <2.5<4
（2）解：∵甲球运动的路程为：1•t=t，OA=2，∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
（Ⅰ）当0＜t≤2时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
∵OB=4，乙球运动的路程为：2•t=2t，∴乙球到原点的距离为：4-2t；
（Ⅱ）当t＞2时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2（t-2）=2t-4；
A、当t=3时，甲、乙两小球之间的距离为：t+2+2t-4=3t-2=7；
B、分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤2，甲、乙两小球之间的距离为：t+2+4-2t=6-t；
（Ⅱ）t＞2，甲、乙两小球之间的距离为：t+2+2t-4=3t-2
【解析】【分析】（1）根据给出的数字，在数轴上进行标注即可，按照数轴上从左往右的顺序用＜连接得到答案。

（2）根据两个小球运动的时间以及运动的方式进行计算得到答案即可。