【高考精品复习】第七篇 不等式 第1讲 不等关系与不等式

第1讲 不等关系与不等式
【高考会这样考】
结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用． 【复习指导】
不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．
基础梳理
1．不等式的定义
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a
b ＜1⇔a ＜b .
3．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；
(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n
b (n ∈N ，n ≥2)．
一个技巧
作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法
待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围． 两条常用性质 (1)倒数性质：
①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1
b ； ②a ＜0＜b ⇒1a ＜1
b ； ③a ＞b ＞0,0＜
c ＜
d ⇒a c ＞b
d ；
④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1
a . (2)若a ＞
b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：
b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m
a －m (
b －m ＞0)； ②假分数的性质：
a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m
b －m (b －m ＞0)．
双基自测
1．(人教A 版教材习题改编)给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．①④
解析 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴①不正确；a ＞|b |≥0，a 2＞|b |2＝b 2，∴②正确；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋12b 2＋34b 2＞0，∴③正确；取a ＝2，b ＝－3，则|a |＞b ，但a 2＝4＜b 2＝9，∴④不正确．
答案 B
2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()．
A．v＜40 km/h B．v＞40 km/h
C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h
答案 D
3．(2012·银川质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析a＞b /⇒ac2＞bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.
答案 B
4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．A．ad＞bc B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
解析由不等式性质知：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
答案 D
5.
1
2－1
与3＋1的大小关系为________．
解析
1
2－1
－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，
∴
1
2－1
＜3＋1.
答案
1
2－1
＜3＋1
考向一比较大小
【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．[审题视点] 采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．
解∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝1
2[(a－b)
2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .
比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特
殊值法来比较大小．
【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )． A.a
b ＞1 B ．a 2＞b 2
C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12b
解析 令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故a
b ＞1不成立，排除A ；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立，排除B ；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0，排除C ；f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x 在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )．
答案 D
考向二 不等式的性质
【例2】►(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b
c ＜0；(3)a －c ＞b －
d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[审题视点] 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假． 解析 ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ， ∴(1)错误．
∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，
∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd
cd ＜0，∴(2)正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，∴(3)正确．
∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C. 答案 C
在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性
质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．
【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞d
b .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解析 命题1：若ab ＞0，c a ＞d
b ，则b
c ＞a
d ； 命题2：若ab ＞0，bc ＞ad ，则c a ＞d
b ； 命题3：若
c a ＞d
b ，b
c ＞a
d ，则ab ＞0. 答案 D
考向三 不等式性质的应用
【例3】►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．
[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)，f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用不等式的性质求f (－2)的范围． 解 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b . ∴⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎨⎧
m ＝1，n ＝3.
∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.
由a ＜f (x ，y )＜b ，c ＜g (x ，y )＜d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定
系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．
【训练3】 若α，β满足⎩⎨⎧
－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．
解 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.
由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎨⎧
x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.
考向四 利用不等式的性质证明简单不等式
【例4】►设a ＞b ＞c ，求证：
1a －b ＋1b －c ＋1
c －a
＞0. [审题视点] 充分运用已知条件及不等式性质进行求证． 证明 ∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b . ∴a －c ＞a －b ＞0，∴
1a －b ＞1a －c
＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c ＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a
＞0.
(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．
(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式． 【训练4】 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0， 求证：e (a －c )2＞e
(b －d )2
.
证明 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0.∴0＜
1(a －c )2＜1
(b －d )2
. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e
(b －d )2
.
难点突破15——数式大小比较问题
数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用．
一、作差法
【示例】►(2011·陕西)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．
A．a＜b＜ab＜a＋b
2B．a＜ab＜
a＋b
2＜b
C．a＜ab＜b＜a＋b
2 D.ab＜a＜
a＋b
2＜b
二、作商法
【示例】►若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小关系是
()．A．|log a(1－x)|＞|log a(1＋x)|
B．|log a(1－x)|＜|log a(1＋x)|
C．不确定，由a的值决定
D．不确定，由x的值决定
三、中间量法
【示例】►若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin 2π
5，则()．
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a。