工程电磁场教案国家精品课华北电力学院崔翔第2章(第二部分)

使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为r2，则空气层中电场
崔翔
第3页
2020-4-22
《电磁场》讲稿（2）-B
强度 E1 将为绝缘材料中电场强度 E2 的 r2 倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容 器的损坏。
2．5 边值问题
1．泛定方程 由 D = 、D =E 和 E = -，得
n πx sh
a
n πy a
最后，当 y=b 时， = 0 ，代入上式，有
0
Cn
n1
sh
n b sin
a
n x a
n1
En
sin
n x a
作傅里叶正弦级数展开，
积分，得 又上式，得
a
0
0
sin
kx a
dx
a 0
n1
En
sin
n x a
sin
kx a
dx
a n
0 [(1) n
1]
En
a 2
Y(y)=B10+B20y
当=mn2 > 0 时
X(x)=A1nchmnx + A2nshmnx； Y(y)=B1ncosmny + B2nsinmny
当= -mn2 <0 时 X(x)=A1ncosmnx + A2nsinmnx；Y(y)=B1nchmny + B2nshmny
当 mn 取不同值时，上述解的线性组合便构成了拉普拉斯方程的通解，即
在的自由电荷面密度。从而得
D2n-D1n= 或 en (D2 - D1 ) = 一般两种介质分界面上不存在自由电荷( = 0)，此时有
D1n = D2n 或 en(D2 - D1 ) = 0 上式表明，在介质分界面上电位移矢量的法向分量是连续的。
对于两种线性且各向同性介质，应用上述边界条件，得
两式相除，得
第三类边界条件（混合条件）：场域边界 S 上电位及其法向导数的线性组合已知，
即
r
f
3
r
r
n
S
f4 rb
它与泛定方程构成第三类边值问题。
无限远边界条件：对于电荷分布在有限域的无边界电场问题，在无限远处有
lim r r 有限值
r
崔翔
第4页
2020-4-22
Commented [cx1]: 第三次课结束 作业：2-11，12，13
边值问题可归结为常微分方程的定解问题。这时可以直接积分求解电位函数。 例 1：图示二块半无限大导电平板构成夹角为的电极系统。设板间电压为 U0，试
求导电平板间电场。 [解]：本例为平行平面场问题，选极坐标系进行分析。显然电位仅是变量的函数，
可以写出如下的第一类边值问题：
2
0
d 2 d 2
0
0
可解得 1 和 2 的通解为
代入边界条件，得
1
r 2 0
C1 r
C2
2
C3 r
C4
C1 = 0，
C4 = 0，
a C2 = 0 ，
C3
=
a2 2 0
最终得电位函数的解为
1
r 2 0
a 0
(r a)
2
a2 2 0r
(r a)
利用球坐标系中的梯度表达式，求得
E1
1
d1 dr
er
1 2 0
er
E2
E1t= E2t =0 ， D2n-D1n= D2n = 式中， 是导体表面的电荷面密度。上式说明在导体表面相邻处的电场强度 E 和电位移
D 都垂直于导体表面，且电位移的量值等于该点的电荷面密度(需注意 en 是导体表面的
崔翔
第2页
2020-4-22
外法线单位矢量）。一般写为
《电磁场》讲稿（2）-B
显然，上式两边在 x 和 y 取任意值时恒成立，即等式两边应该恒为同一常数。记该常数 (常称为分离常数)为，这样，上式即转化为两个常微分方程
d2 X dx 2
X
0
，
d 2Y dy 2
Y
0
式中，分离常数可取 0、 mn2 > 0 和-mn2 < 0，可分别得出如下三种形式的解，即
当= 0 时
X(x)=A10+A20x；
D = E = - = 对于均匀介质 为常数，得
=〉 = -
2 = -/
上式称为电位 的泊松方程，式中 2 ，称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中
2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
对于场中无自由电荷分布( = 0)的区域，泊松方程退化为拉普拉斯方程，即
2 = 0
2．边界条件
《电磁场》讲稿（2）-B
即电位 在无限远处趋于零， (r)| r→= 0 介质分界面条件：当场域中存在多种媒质时，还必须引入不同介质分界面上的边界
条件，常称为辅助的边界条件。 静电场边值问题：就是在给定的边界条件下，求解满足泊松方程或拉普拉斯方程的
电位函数。 3．直接积分法 对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅是一个坐标变量的函数。静电场
由边界条件，当 x = 0 和 y = 0 时， = 0，得
A10= 0， A1n= 0， B10= 0， B1n= 0
即
x, y C0 xy Cn sin mn x sh mn y
n1
又因为当 x = a 时， = 0，得
C0= 0，
mn
n, a
(n=1,2,3,)
故得
x,
y
n1
Cn
sin
《电磁场》讲稿（2）-B
首先，结合场域边界形状，选用适当的坐标系；其次，设待求电位函数由两个或三个各
自仅含一个坐标变量的函数乘积组成，并代入拉普拉斯方程，借助于“分离”常数，将
拉普拉斯方程转换为两个或三个常微分方程；第三，解这些常微分方程并以给定的定解
条件决定其中的待定常数和函数后，即可解得待求的电位函数。
崔翔
第8页
2020-4-22
《电磁场》讲稿（2）-B
En
40 n
,
Cn
40 n
sh
1 nb
,
n 2k 1 (k 0,1,2,...)
E2d2 2E2
U
0
图 平板电容器
E1
2U0 1d2 2d1
d1
U1 r1
r2
d2
， E2
1U 0 1d2 2d1
r2 r1
U d1 d2
(2)极板 A 上的电荷面密度为
D1n
1E1
2U 0
d2
2 1
d1
极板 B 上的电荷面密度为
= -D2n = -2E2 = -
讨论：本例中，设r2r1，则 E1E2。在实际中，如果因制造工艺上的不完善性，
崔翔
第5页
2020-4-22
边界条件为
《电磁场》讲稿（2）-B
2 1
1 r2
d r 2 dr
d1 dr
0
1 0r
2 2
1 r2
ห้องสมุดไป่ตู้
d dr
r 2
d 2 dr
0
(0 < r a) (r a)
d1 0 dr r0
；
1 ra 2 ra
0
d1 dr
ra
0
d 2 dr
ra
；
2 r 0
第一类边界条件（狄利赫莱条件）：场域边界 S 上的电位分布已知，即
r S
f1rb
式中 rb 为相应边界点的位置矢量。它与泛定方程构成第一类边值问题。
第二类边界条件（纽曼条件）：场域边界 S 上电位的法向导数分布已知，即
r
n S
f2 rb
当 f2(rb)取零时，称为第二类齐次边界条件。它与泛定方程构成第二类边值问题。
得
D dS D 2L L
S
即
D
2
e
所以
E
D
2
e
(a < < b)
由因为
U0
l
E
dl
b a
E d
2
ln
b a
则
2U0
b
ln
a
得
E
U0 ln
b
e
(a < < b)
a
(2)最大场强位于内导体表面( = a)，其值为
Emax
U0 a ln b
e
a
图 同轴电缆的电场 图 E 切向分量的边界条件
= C ， n
式中，C 是由所论静电场导体系统决定的常数。
例 2：图示平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料
组成，介质的分界面与极板平行。设电容器外施电压为 U0，试 求：(1)两绝缘材料中的电场强度；(2)极板上的电荷面密度。
[解]：(1)在电压 U0 下，并应用分界面的边界条件，得
E1d1 1E1
l
l1
l1
即
E1t = E2t 或 en(E2-E1) = 0
上式表明，在介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。
跨越分界面的一个扁平圆柱体 S 如图所示，令两个底面S 足够小且平行于分界面，
圆柱面高度 l→ 0。求电位移矢量在圆柱面的通量，有
D dS D2n D1n S S
S
式中分界面上法线方向单位矢量 en 规定为由介质 1 指向介质 2， 是分界面上可能存
x, y A1nchmn x A2nshmn xB1n cos mn y B2n sin mn y n1 A1n cos mn x A2n sin mn xB1nchmn y B2nshmn y n1 A10 A20 xB10 B20 y
最后，可根据给定的定解条件，通过傅里叶级数展开方法，确定各个待定常数。
E1sin1 = E2sin2 ， 1E1cos1 = 2E2cos2
tg1 1 tg2 2
上式综合表述了场量在介质分界面上遵循的物理规律，称为静电场的折射定律。
导体表面上的边界条件：
设导体为媒质 1、导体外介质为媒质 2，并考虑到导体内部电场强度和电位移矢量
均为零且其电荷只能分布在导体表面，得
Et = 0 或 enE = 0 ； Dn = 或 en D = 4．边界条件的电位表达
介质分界面：
由于介质分界面上 E1t = E2t，显然可以得出
1=2
即电位连续在介质分界面上是连续的。又由于 D2n-D1n= 和
Dn
n
最后可以得出，边界条件的电位表示为
1=2
，
2
2 n
1
1 n
导体表面上的边界条件：
一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标面相吻合时，分离变量法往往
是一种简便而有效的方法。 直角坐标系中的平行平面场问题：设电位函数为(x，y)，满足拉普拉斯方程：
2 x,
y
2 x2
2 y 2
0
设电位函数有分离变量形式，即 (x，y) =X(x)Y(y)
代入拉普拉斯方程，整理得
1 d2 X 1 d2Y X dx 2 Y dy 2
崔翔
第7页
2020-4-22
《电磁场》讲稿（2）-B
例 3：长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为
0。求槽内电位分布。 [解]：依题意，本问题为第一类边值问题，即
2 x,
y
2 x 2
2 y 2
0
,
0
0
0
0
0 x a, 0 y b
x 0, 0 y b 0 x a, y 0 x a, 0 y b 0 x a, y b
崔翔
第1页
2020-4-22
图 D 法向分量的边界条件
3．边界条件
《电磁场》讲稿（2）-B
介质分界面上的边界条件：
跨越分界面的一狭小的矩形回路 l 如图所示，且令 l2→0 而 l1 足够地短。求电场 强度在 l 上的环量，有
E dl E1 dl E2 dl E1t l1 E2t l1 0
y
=0 o
=0
0.80
0.60 0.40
=
0
b
= 0 0.20
x
a
图 接地金属槽的横截面
由于电位函数在 x 方向具有周期性、在 y 方向具有单调性，得 A1n= 0 和 A2n= 0。通解为
x,y A10 A20 xB10 B20 y A1n cos mn x A2n sin mn xB1nchmn y B2nshmn y n1
2
d2 dr
er
a2 20r 2
er
(r a) (r a)
可见，以上结果与应用高斯定理求得的结果完全一致。
4．分离变量法
基本思路：当待求电位函数是二个或三个坐标变量的函数时，分离变量法是直接求
解偏微分方程定解问题的一种经典方法。对于拉普拉斯方程对应的边值问题，其步骤是：
崔翔
第6页
2020-4-22
U0
, D
将泛定方程直接积分二次，得通解为
图 角形电极系统
= C1 + C2
由给定的两个边界条件，得
所以
C1
U0
，
C2 = 0
U0
E
e
U0
e
例 2：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为
1 r 0
0 r a r a
[解]：设球状电荷分布内、外的电位分别为 1 和 2，显然， 1 满足泊松方程， 2 满足拉普拉斯方程。由于电荷分布的球对称性，选球坐标系，有
《电磁场》讲稿（2）-B
2．4 电介质中的电场
1．电位移矢量
由高斯定理，得
E P 1 P
0
0
整理得 定义电位移矢量： 其中，
2．介电常数
▽(0E + P)= D =0E + P = 0(1+e)E = E = 0(1+e)= r0， r = /0 =(1+e)
上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。从而电介质中电场问题可简洁地
归结为场量 D、E 或位函数 的定解问题。
例 1：同轴电缆其长度 L 远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为 a 和 b。其
间充满介电常数为的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源 U0 相联接。试求：(1) 介质中的电场强度 E；(2)介质中 Emax 位于哪里？其值多大？
[解]：（1）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为+ 和-。由应用高斯定理，