选修2-1-空间向量知识点归纳总结

合集下载

高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点

高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点高二数学向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点，希望对你有帮助。

高二数学空间向量的数量积运算知识点定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

选修2-1第三章空间向量与立体几何归纳整合

→ →
→ →
网络构建
专题归纳
高考真题
【例3】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得
D1E⊥平面AB1F.
解如图建立空间直角坐标系：则 A(1，0，0)， B1(1， 1， 1)， 1 D1(0， 0， 1)， E( ， 1， 0)． 2 设 F(0，y，0)，则AB1＝(0， 1， 1)， 1 AF＝ (－1，y，0)，D1E＝ ( ，1，－1)， 2
→
→
→
网络构建
专题归纳
高考真题
要使 D1E⊥平面 AB1F，
→ → 1－ 1＝ 0， D1E·AB1＝0， 1 只需即即 y＝ . 1 2 → → －＋y＝0， D1E·AF＝ 0， 2
∴当 F 为 CD 中点时，有 D1E⊥平面 AB1F.
网络构建
专题归纳
→
→
→
解
如图所示，用 a， b， c 分别代表棱OA、
→
OB、OC上的三个单位向量，则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
→
→
则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a· b＋6a· c＋12b· c ＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60° ＝14＋2＋3＋6＝25， ∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与
共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基
础．
网络构建
专题归纳
高考真题
【例1】沿着正四面体 O－ABC 的三条棱OA、OB、OC的方向有大

(完整版)高二数学(理科)选修2-1知识点总结,推荐文档

? SlENVFPlKATKiftlM OfljGAMZMigw•高二数学（选修2- 1）知识点归纳资料第一部分简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句真命题：判断为真的语句•假命题：判断为假的语句.2、 "若p ，则q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论•3、原命题：“若p ，则q ”逆命题：“若q ，则p ”否命题：“若p ，则q ”逆否命题：“若q ，则p ” 4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.5、若p q ，贝U p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.若p q ，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）. 利用集合间的包含关系：例如：若A B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且（and ）:命题形式p q ；⑵或（or ）:命题形式p q ; ⑶非（not ）:命题形式 p .7、⑴全称量词--—“所有的”、“任意一个” 等，用“ 表示；全称命题 p：x M , p （x ）；全称命题 p 的否定p ： x M , p(x) o⑵存在量词“存在一个”、“至少有一个”等，用“表示；特称命题 p：x M , p （x ）；特称命题 p 的否定 p :x M , p(x)；第二部分圆锥曲线1、平面内与两个定点 F ! , F 2的距离之和等于常数（大于F ,F 2）的点的轨迹称为椭圆. 即: | MF ,| |MF 2| 2a,（2a | F ,F 2|）。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距 2、椭圆的几何性质：3、平面内与两个定点i , 2的距离之差的绝对值等于常数(小于1)的点的轨迹称为双曲线•即:|| MF i | | MF2 II 2a,(2a IF1F2I)。

高中数学第三章第1节空间向量及其运算知识精讲理新人教版A版选修2-1

高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2. 理解共线向量的定理及其推论．3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．一、空间向量的概念：模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．方向相同且模相等的向量称为相等向量．二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．2. 向量共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量．四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．2. 对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．3. 已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++． 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---． 3. ()111,,a x y z λλλλ=． 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++．5. 若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．6. 若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．7. 222111a a a x y z =⋅=++．8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++．9. ()111,,x y z A ，()222,,x y z B ，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）思路分析：1）题意分析：本题主要考查共线向量的概念的运用．2）解题思路：利用共线向量的概念，如果b a b a b λ=⇔≠//,0，那么说向量→→b a ,共线．也可观察坐标的系数是不是成比例．解答过程：解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0，因为(1,3,2)a =-＝－2（－21，23，－1），故答案为C ．解题后的思考：对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例，要么利用向量的线性关系来判定．例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A ＝a ，11D A ＝b ，A A 1＝c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是（）A ．++-2121B ．++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121思路分析：1）题意分析：本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力． 2）解题思路：把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．解答过程：解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+=＝＋21（－+）＝－21＋21＋．故选A ．解题后的思考：对于空间向量的线性表示，我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到．例3、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OM --=2B ．213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 0 思路分析：1）题意分析：本题主要考查共面向量的概念的运用．2）解题思路：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，或者AC y AB x AP +=．解答过程：由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，首先判定A ，B ，D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C ．利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ，)(31++=，显然满足题意．解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可．,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ，A ，B ，C 共面．例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 思路分析：1）题意分析：本题考查空间向量的基底．2）解题思路：结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定．解答过程：命题①中，由于,a b 与任何向量都共面，说明,a b 是共线向量．因此①是错误的．命题②中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此②是正确的．命题③中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，共面与是共面的，，→→→→→→-+b a b a b a ，因此③是正确的．选C ．解题后的思考：理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的．知识点二空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中，已知)0,4,2(=AB ，)0,3,1(-=BC ，则∠ABC ＝＿＿＿．思路分析：1）题意分析：本题考查用向量数量积求夹角．2）解题思路：首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错．解答过程：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC ＝145°解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用．例6、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）． ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标思路分析：1）题意分析：本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角．2）解题思路：首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解．解答过程：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB ． ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ． ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）．解题后的思考：向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活，只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可．例7、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA ＞的值；（3）求证：M C B A 11⊥思路分析：1）题意分析：本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识．考查空间两向量垂直的充要条件．2）解题思路：先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解．解答过程：如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．（1）解：依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |＝3)01()10()01(222=-+-+-．（2）解：依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ＝{1，－1，2}，1CB ＝{0，1，2}，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5∴cos<1BA ，1CB >＝30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA ．（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1＝{－1，1，－2}，MC 1＝{21,21，0}．∴B A 1·M C 1＝－2121+＋0＝0，∴B A 1⊥M C 1．解题后的思考：对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行．例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'A C '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思路分析：1）题意分析：本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题．2）解题思路：对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解．解答过程：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 的中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点间的距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．解题后的思考：本题是求解空间几何体中距离的问题，我们一般利用坐标的运算进行求解．解题关键是能把坐标准确地表示出来．小结：通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底，以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题．注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法．空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用．数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础．一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算，那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题【反思】（1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角（2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题【反思】（1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题1．下列命题正确的是（）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=2．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6），O 为坐标原点，则向量OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 3．已知空间四边形ABCO 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝（）A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+4．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ，AD AC ，AC AB ，则△BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos BC ，OA ＝（） A ．21B ．22C ．-21D ．06．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则△ABC 的面积为（） A ．3B ．32C ．6D ．267．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511二、填空题8．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为． 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG ＝x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．10．已知点A （1，-2，11）、B （4，2，3），C （6，-1，4），则△ABC 的形状是． 11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成120°的角，则k ＝．三、解答题12．如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP ＝（－1，2，－1）．（1）求证：PA ⊥底面ABCD ；（2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）对于向量a ＝（x 1，y 1，z 1），b ＝（x 2，y 2，z 2），c ＝（x 3，y 3，z 3），定义一种运算：（a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义．14．若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．1．C ；解析：由于选项A 中当b ＝→0时，就不符合题意，因此A 错误．选项B ，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行．选项D ，应说明b ≠→0． 2．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．3．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 4．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 5．D ；解析：先建立一组基向量OC OB OA ,,，再处理⋅的值． 6．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 7．C ；解析：利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到． 8．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<b a ，从而可得结果．9．313161、、；解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10．直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：222||||||AC BC AB +=．11．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 12．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝23． OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos60°＝1－2121=． ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量的坐标为（0，－23,21）．（2）依题意：）（）（）（0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==，所以）（）（0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD ．设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=． 13．（1）证明：∵AB AP ⋅＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ．又∵AD AP ⋅＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴PA ⊥底面ABCD ．（2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -＝31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）． 14．证明：如图，设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EF ＝GH ＝MN 得： 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠， ∴1r ⊥（23r r -），即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．。

数学选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.1.1

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量知识点二空间向量及其线性运算 1．空间向量的线性运算已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，AB →＝c ，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋c ； BA →＝OA →－OB →＝a －b ＝－c .若P 在直线OA 上，则OP →＝λa (λ∈R )．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a ＋b ＝b ＋a ；(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )．知识点三共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√) 3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一空间向量的概念及应用例1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1—→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1—→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1—→，DC →及D 1C 1—→，共3个． (2)向量AA 1—→的相反向量有A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→，共4个． (3)|AC 1—→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1—→|2＝22＋22＋12＝9＝3. 引申探究如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→，CC ′—→，C ′C ——→，DD ′—→，D ′D ——→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A ——→，A ′D ——→，DA ′—→，BC ′—→，C ′B ——→，B ′C ——→，CB ′—→.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的命题的序号为________．答案 ①②解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→成立，故③正确；④显然正确．类型二空间向量的线性运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→. 解结合加法运算，得AA ′—→＋A ′B ′——→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)．又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型三向量共线定理的理解与应用例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC —→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c . 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a ＋25b －25c －23b ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．反思与感悟 1.判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a ＝λb .2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )． 3．判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线 (1)是否存在实数λ，使P A →＝λPB →.(2)对空间任意一点O ，是否有OP →＝OA →＋tAB →.(3)对空间任意一点O ，是否有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练3 如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用AB →，CD →表示向量EF →.解 EF →＝AF →－AE → ＝12(AB →＋AC →)－12AD → ＝12AB →－12(AD →－AC →)＝12AB →－12CD →.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定是AB →＋AD →＝AC →. 答案 ②解析若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故④不正确．2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，与向量A ′B ′→相等的向量有________个．答案 33．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→；③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.其中运算的结果为AC 1—→的有________个．答案 4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1—→.4．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0. 5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________. 考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案 ±1解析由k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，故k ＝±1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号) ①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律； ③只有零向量的模等于0； ④共线的单位向量都相等．答案 ④解析容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 c －a －b 解析如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋CD →－c ＝0， ∴CD →＝c －a －b .3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →－CD →＋BC →－DA →＝________. 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →) ＝AC →－CA →＝2AC →.4．对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；④|A B →|－|A C →|＝|B C →|.其中一定不成立的是____________．(填序号) 答案 ②解析根据空间向量的加减法运算，对于①：A B →＋B C →＝A C →恒成立；对于③：当A B →，B C →，A C →方向相同时，有|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；对于④：当B C →，A B →，A C →在一条直线上且B C →与A B →，A C →方向相反时，有|A B →|－|A C →|＝|B C →|. 只有②一定不成立．5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．答案 0解析延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝DF →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.6.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→＝________，DD 1→－AB →＋BC →＝________.答案 AC 1—→ BD 1—→解析 AB →＋AD →＋AA 1—→＝AB →＋BC →＋CC 1—→＝AC 1—→， DD 1—→－AB →＋BC →＝DD 1—→－(AB →－AD →) ＝DD 1—→－DB →＝BD 1—→.7．在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，C C →1＝c ，则A 1B —→＝________.答案－a ＋b －c 解析如图，A 1B —→＝A 1A —→＋AB →＝C 1C —→＋(CB →－CA →) ＝－CC 1—→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E —→＝14A 1C 1—→，AE →＝x AA 1—→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________. 答案 1 14解析 ∵AE →＝AA 1—→＋A 1E —→＝AA 1—→＋14A 1C 1—→＝AA 1—→＋14AC →＝AA 1—→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－n AA 1—→，则m ，n 的值分别是________．答案 12，－12解析由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1—→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1—→，所以m ＝12，n ＝－12.10．在空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号) ①EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0； ②EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0； ③EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0； ④EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0. 答案 ②解析易知四边形EFGH 为平行四边形，所以EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝EB →＋BF →＋GE →＋EH → ＝EF →＋GH →＝0.11.如图，已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)答案 3a ＋3b －5c解析设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD → ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′—→；(3)AB →＋CB →＋AA ′—→；(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →.解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→＝AC ′—→.(3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DA →＋AB →＋BB ′—→＝DB ′—→.(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C —→)－DC →＝DC →.13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC → ＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →) ＝－OA →＋12(OD →＋AB →) ＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →) ＝－32OA →＋12OD →＋12OB →， ∴x ＝12，y ＝－32. 三、探究与拓展14．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案－8解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2，又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.15.如图，设点A 是△BCD 所在平面外的一点，点G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．证明连结BG ，延长后交CD 于点E ，由点G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →. ∵E 为CD 的中点，∴BE →＝12BC →＋12BD →. ∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE → ＝AB →＋13(BC →＋BD →) ＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)] ＝13(AB →＋AC →＋AD →)．。

(word完整版)选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点,文档.docx

3.1 空间向量及其运算知识点1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)单位向量：模为 1 的向量称为单位向量 (3)相等向量：方向相同且模相等的向量．(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (5)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量uuur uuur uuuur uuuur uuuuur OA n ＝OA 1＋A 1 A 2＋ A 2 A 3＋＋A n －1 A .n运算律：①加法交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ②加法结合律： (a ＋ b)＋ c ＝ a ＋ (b ＋c) ③数乘分配律： λ(a ＋ b)＝ λa＋ λb.3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量 a ， b(b ≠ 0)， a ∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝ λb .推论：点 P 在直线 AB 上的充要条件是：uuuruuur存在实数 λ，使得 APAB ①uuuruuur uur或对空间任意一点O,有 OP OAAB ②uuur uur uuur或对空间任意一点O ，有 OPxOA yOB 其中 x ＋ y ＝ 1 ③uuur uur uuur uur uuur uuur uuruuur 【推论③推导过程：OP OA AB OA (AO OB) (1)OAOB 】(2)共面向量定理如果两个向量 a ，b 不共线，那么 p 与 a ，b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对（x,y ）使 p ＝ xa ＋ yb推论：空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是uuur uuur uuur存在唯一有序实数对（x,y ）使 AP xAB yAC ，uuur uur uuur uuur或对空间任意一点 O ，有 OP OA xAB yACuuur uur uuur uuur或对空间任意一点 O ，有 OP xOA yOB zOC ，其中 x ＋ y ＋ z ＝ 1【推论③推导过程：(3)空间向量基本定理uuur uur uuur uuur uur uuuruuur OP OA xAByAC (1 x y)OA xOByOC 】如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ， y ，z} ，使得 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc 基底：把 { a ， b ， c} 叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．4．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念→ →①两向量的夹角：已知两个非零向量 a ，b ，在空间任取一点O ，作 OA ＝ a ，OB ＝ b ，则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹π角，记作〈 a ，b 〉，其范围是 0≤〈 a ， b 〉≤ π，若〈 a ， b 〉＝ 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a ⊥b. ②两向量的数量积：已知空间两个非零向量 a ，b ，向量 a ， b 的数量积记作 a ·b ，且 a ·b ＝ |a||b|cos 〈 a ， b 〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律： (λa) ·b ＝ λ(a ·b)； ②交换律： a ·b ＝ b ·a ； ③分配律： a ·(b ＋ c)＝ a ·b ＋ a ·c.5．空间向量的坐标表示及应用设 a ＝ (a 1，a 2，a 3) ，b ＝ (b 1， b 2， b 3)(1)数量积的坐标运算： a ·b ＝a 1 b 1＋ a 2b 2＋ a 3 b 3. (2)共线与垂直的坐标表示：(3)模、夹角和距离公式：|a|＝ a ·a ＝ 222a 1＋ a 2＋ a 3，a ·b ＝ a 1b 1＋ a 2b 2 ＋a 3b 3 cos 〈 a ，b 〉＝ |a||b| 2 2 22 2 2 .1 2 3 1 2 3→设 A(a 1， b 1， c 1)， B(a 2， b 2， c 2)，则 d AB ＝ |AB|＝6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1) 适当的选取基底 { a ， b ， c} ；(2) 用 a ， b ， c 表示相关向量；(3) 通过运算完成证明或计算问题．)．a 2－ a 1 2＋b 2 －b 1 2＋c 2－ c 1 2 .题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．例 1：三棱锥 O — ABC 中， M ， N 分别是 OA ， BC 的中点， G 是△ ABC 的重心，用基向量 → → →→OA ， OB ， OC 表示 MG ，→ .OG1 →2 → 1 → 2 → →1 →2 1 → →→1 → 1 → 1 → →→ →解析： MG ＝MA ＋ AG ＝OA ＋AN ＝ OA ＋ (ON － OA)＝ OA ＋3 [ (OB ＋ OC)－ OA] ＝－6OA ＋OB ＋ OC.23 2 322 33→→→→→ →→→→ →OG ＝OM ＋ MG ＝1OA －1OA ＋1OB ＋ 1OC ＝1OA ＋1OB ＋1OC.2633 333 uuur uuur uuur uuur→ 1 → →→, 例 2：如图所示， ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是平行四边形．若 AE ＝ EC ，A 1F ＝ 2FD ，且 EF =x AB+y AD+z AA2 1 试求 x 、 y 、 z 的值．.解→ → →→ 1 → 1→ →连接 AF ，EF ＝EA ＋AF .∵ EA ＝－3 AC ＝－（ AB ＋ AD ）3→→ → → → → 1 →→ 1 →→2 uuur 1uuur→ → → 1 uuur 1 uuur 1 uuurAF ＝ AD ＋ DF ＝ AD －FD ＝ AD －1 ＝ AD －（ A 1＋ AD ）＝3 AD3A 1A∴ EF ＝ EA ＋ AF ＝3 AD3AA13 AB3A D3A题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与 b ，化简得出 a ＝b ，从而得出 a ∥ b ，即a 与b 共线．→ →点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A 、B 、C 三点共线，即证明AB 与 AC 共线．a ⊥b? a ·b ＝0? a 1b 1＋ a 2b 2＋ a 3b 3＝ 0(a ， b 均为非零向量a ∥b? a ＝ λb? a 1＝ λb 1，a 2 ＝λb 2， a 3＝ λb 3(λ∈ R)，→→例 3：如图所示，四边形 ABCD ， ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是 AC ， BF 的中点，判断 CE 与 MN是否共线？uur uur uur CE CB BE∵uuur uuur uuruuur1 uuur uur 1 uur uur1 uuur uur uur 1 uur1 uur1 uurMNMCCBBNAC CB2( BA BE)2( AC BA) CBBECBBE2222→ → → → → →∴ CE ＝ 2MN ，∴ CE ∥MN ，即 CE 与MN 共线．→→→例 4：如图所示，在正方体ABCD － A 1 B 1C 1D 1 中， E 在 A 1D 1 上，且 A 1E ＝ 2ED 1， F 在对角线 A 1C 上，且 A 1F ＝ 2F C .3求证： E ， F ， B 三点共线．→→→证明：设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c.→→ → ＝ 2 →→→→ → → → →∴ A 1 ＝ 2ED 1=2 1 ＝2 FC ＝ 212 (AC －AA 1 2 (AB ＋ AD － AA 1 2 2 2 c35 3 3 5 55 5 5 → → → 2 4 2 2 2 → → → → 2 2 ＝ A 1 － A 1 ＝＝EA 1＋ A 1 ＋ AB ＝－∴ E F 5a － 15b －5c ＝ 5a － b － c3b －c ＋ a ＝ a －3b － c ， F E 3 ， EBA →→2∴ EF ＝ 5EB.所以 E ， F ， B 三点共线．题型三共面定理应用→→点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明→ → → → → → →P 、A 、B 、 C 四点共面，只要能证明 → → PA ＝ xPB＋ yPC ，或对空间任一点 O ，有 OP ＝OA ＋ xPB ＋ yPC 或 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC(x ＋y ＋ z ＝ 1)即可→2→→→例 5：已知 A 、 B 、C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点 O ，若 OP ＝125OA ＋ OB ＋ OC ，则点 P 是否与 A 、 B 、C55一定共面？试说明理由．1 uur2 uuuruuur uur 1uuur 2 uur1 uur2 uuuruuur 2 uur2 uuur uur 2 uuur uuur 解析： ∵ OPOAOBOC5 (OP+PA)(OP+PB)3(OP+ PC)=OP+ PA+PB+PC5 5 3 55 5 3→→→12∴ AP ＝ 5AB ＋ 5AC ，故 A 、 B 、C 、 P 四点共面 .例 6：如图所示，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点 E 、F 、 G 、H 分别为△ PAB 、△ PBC 、△ PCD 、△ PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长 PE 、 PF 、 PG 、 PH 交对边于 M 、 N 、 Q 、 R.∵ E 、 F 、 G 、H 分别是所在三角形的重心，∴ M 、 N 、 Q 、 R 为所在边的中点→ → →→ →→ →→顺次连结 M 、 N 、 Q 、 R ，所得四边形为平行四边形，且有222 2PE ＝ PM， PF ＝ PN，PG ＝ PQ ， PH ＝ PR.333 3→ → → 2 →2 → 2 →2 → → 2 → → 2 → → 23 → 3 → 2 3 → 3 → ∴ EG ＝PG － PE ＝ PQ －PM ＝ MQ ＝ ( MN ＋ MR)＝ (PN － PM)＋ (PR － PM)＝( PF － PE)＋ ( PH － 2 PE)3333333 223 2→ →＝ EF ＋ EH . ∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面 .→ → →例 7：正方体 ABCD － A 1 B 1C 1 D 1 中， E ， F 分别是 BB 1 和 A 1D 1 的中点，求证向量 A 1B ， B 1C ， EF 是共面向量．→→→→ → → → →→→ → →＝1 － A ＋ 1 ＝ 1 ＋BC ＝ 1－ A 证明：如图所示， EF ＝ EB ＋ BA ＋ A(B 1B )－A 1B 1B.2 222→ → →由向量共面的充要条件知A 1B ，B 1C ， EF 是共面向量．题型四空间向量数量积的应用例 8：①如图所示，平行六面体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 60°.(1) 求 AC 1 的长；(2) 求 BD 1 与 AC 夹角的余弦值．解析： → → →(1)记 AB ＝ a ，AD ＝ b ，AA 1＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ 1，〈 a ，b 〉＝〈 b ，c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 60°， ∴ a ·b ＝ b ·c ＝ c ·a ＝ 1.2→2(a ·b ＋ b ·c ＋ c ·a)＝ 1＋ 1＋ 1＋ 2×1 1 1→|＝ 6，|AC 1|2＝ ( a ＋ b ＋ c)2＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋2 ＋＋2＝ 6， ∴ |AC 12即 AC 1 的长为 6. → → → (2)BD 1＝ b ＋ c － a ， AC ＝ a ＋ b ，∴ |BD 1|＝→ → → → 6 BD ·AC∴ cos 〈BD 1，AC 〉＝ 1＝ 6 .∴ AC → → |BD 1||AC|→ → →2， |AC|＝ 3， BD 1·AC ＝ (b ＋ c － a) ·(a ＋ b)＝ b 2－ a 2＋ a ·＋cb ·＝c 1. 6 与 BD 1 夹角的余弦值为6 .→ →②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F分别是BC 、AD的中点，则AE ·AF 的值为()2A ．a B.1a 22C.1a 24D.3a 24→→ →解析：设 AB ＝ a ， AC ＝ b ，AD ＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ a ，且 a ， b ， c 三向量两两夹角为 60°.→→ → →1 1 1 1 1 1 1AE ＝(a ＋ b)， AF ＝ c ，∴ AE ·AF ＝(a ＋ b) ·c ＝ (a ·c ＋ b ·c)＝ (a 2cos60°＋ a 2cos60 °)＝ a 2.22 2 2 4 4 4题型五空间向量坐标运算例 9：如图所示， PD 垂直于正方形→ →3 ABCD 所在平面， AB ＝ 2， E 为 PB 的中点， cos 〈 DP ， AE 〉＝，若以 DA ，3DC ， DP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为 ()A ． (1,1,1) B. 1， 1， 1 C. 1， 1， 3D ． (1,1,2)2 2设 PD ＝ a (a>0) ，则 A(2,0,0) ， B(2,2,0) ，P(0,0， a)， E 1， 1，a2 ，→ → a → →3， ∴ a 2 2＋ a 2 3， ∴ a ＝ 2.∴ E 的坐标为 (1,1,1) ．∴ DP ＝ (0,0， a)， AE ＝－ 1， 1，2 ， cos 〈DP ， AE 〉＝3＝ a 4 ·23例 10：已知 a ＝ (2，－ 1,3)， b ＝(－ 1,4，－ 2)，c ＝ (7,5， λ)．若 a ， b ， c 三向量共面，则实数 λ=________________33 t ＝ 7，7＝ 2t － μ，17，解析：由题意得 c ＝ ta ＋ μb ＝(2t － μ，－ t ＋ 4μ， 3t － 2μ)，∴ 5＝－ t ＋4μ，∴ μ＝7λ＝3t －2μ. 65λ＝ 7.例 11：已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1) ， B(2,2,2) ， C(3,2,4) ，试求△ ABC 的面积→→→→→ →AB ＝(1,1,1) ， AC ＝ (2,1,3) ， |AB|＝ 3， |AC|＝ 14， AB ·AC ＝ 2＋1＋ 3＝ 6，→ → 6 6 36＝ 1∴ cosA ＝ cos 〈 AB ， AC 〉＝＝ .∴ sinA ＝ 1－ .3· 14 42 427→ → 1 1 61 ＝ × 3× 14× ＝∴ S △ABC ＝ |AB| |AC ·| sinA · 27.2 2例 12：已知 a ＝ (λ＋ 1,0,2)， b ＝(6,2μ－ 1,2λ)，若 a ∥ b ，则 λ与 μ的值可以是 ()A ． 2，1B ．－ 1，1C ．－ 3,2D ． 2,223 2λ＋ 1＝ 2 ，λ＝ 2，λ＝－ 3，解析由题意知：62λ解得1或 12μ－ 1＝ 0，μ＝2μ＝2.例 13：已知空间中三点→ →A(－ 2,0,2) ， B(－ 1,1,2) ， C(－3,0,4) ，设 a ＝ AB ， b ＝ AC.，若 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，求实数 k 的值．方法一 ∵ ka ＋b ＝ (k － 1，k,2) ．ka － 2b ＝ (k ＋2， k ，－ 4)，且 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，∴ (k － 1， k,2) ·(k ＋ 2， k ，－ 4)＝ (k － 1)(k ＋ 2)＋ k 2－ 8＝ 0， ∴ k ＝2 或－ 5， 2方法二由 (2) 知 |a|＝ 2，|b|＝ 5，a ·b ＝－ 1，∴( ka ＋b) ·(ka － 2b)＝ k 2a 2－ ka ·b － 2b 2＝ 2k25 ＋ k － 10＝ 0，得 k ＝2 或－ .2例 14：已知空间三点 A (0,2,3)， B (－ 2,1,6)，C(1，－ 1,5)．→ →(1)求以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积；(2)若 |a|＝ → →3，且 a 分别与 AB ， AC 垂直，求向量 a 的坐标．→ → － 2＋ 3＋67 1 → →3→ →AB ·AC解 (1)cos 〈 AB ， AC 〉＝ → →＝14× 14 ＝ 14＝2.∴ sin 〈AB ， AC 〉＝2，|AB||AC|→ →1 → → → → 3 3.∴ 以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积为S ＝ 2× |AB | |AC ·| ·sin 〈 AB ， AC 〉＝ 14×＝ 7 22x 2＋ y 2＋z 2＝ 3x ＝1 x ＝－ 1（ 2）设 a ＝ (x ， y ，z)，由题意得－ 2x － y ＋ 3z ＝0 ，解得y ＝ 1 或 y ＝－ 1 ，x － 3y ＋ 2z ＝ 0z ＝ 1z ＝－ 12 1例 15：如图所示，在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别在 A 1D 、AC 上，且 A 1E ＝ A 1D ，AF ＝ AC ，则 ()3 3A ． EF 至多与 A 1D 、 AC 之一垂直B ． EF 与 A 1D 、 AC 都垂直 C ．EF 与 BD 1 相交D ． EF 与 BD 1 异面解析：设 AB ＝1，以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DD 1 所在直线为z 轴建立空间直角坐标11 2 1 →系，则 A 1(1,0,1) ，D (0,0,0) ，A(1,0,0) ，C(0,1,0) ，E 3， 0，3 ，F3，3， 0 ， B(1,1,0) ，D 1 (0,0,1) ，A 1D ＝(－ 1,0，－ 1)，→ → 1 11 → →1 → → → → →AC ＝ (－ 1,1,0)，EF ＝ 3， 3，－3，BD 1＝(－1，－1，1)，EF＝－3BD 1，A 1D ·EF ＝AC ·EF ＝0，从而EF∥BD 1，EF⊥ A 1D，EF ⊥ AC.→ →例 16：已知 O(0,0,0)， A (1,2,3) ， B(2,1,2) ， P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA ·QB 取最小值时，点 Q 的坐标是 __________．→ → → →解析：设 OQ ＝λOP ＝ (λ， λ， 2λ)，则 QA ＝ (1－ λ，2－ λ， 3－ 2λ)， QB ＝ (2－ λ， 1－ λ，2－ 2λ)．→ →42∴ QA ·QB ＝ (1－ λ)(2－ λ)＋ (2－ λ)(1 － λ)＋ (3－2λ)(2－ 2λ)＝ 6λ2－ 16λ＋ 10＝6( λ－ 3)2－ 3.→ → →4 4 8 4 2∴当 λ＝3时， QA ·QB 取最小值为－ 3.此时， OQ ＝ ( 3， 3，3)，综合练习一、选择题1、下列命题：其中不正确的所有命题的序号为 __________．．．．①若 A 、 B 、 C 、D 是空间任意四点，则有 → → → → ＝ 0； ② |a|－ |b|＝ |a ＋ b|是 a 、 b 共线的充要条件；AB ＋ BC ＋ CD ＋ DA ③若 a 、 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；④对空间任意一点 → → → →O 与不共线的三点 A 、 B 、 C ，若 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC (x 、 y 、z ∈ R )，则 P 、 A 、 B 、C 四点共面． ⑤设命题 p ： a ， b ， c 是三个非零向量；命题q ： { a ， b ， c} 为空间的一个基底，则命题 p 是命题 q 的充要条件解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a 、b 同向时，应有 | a | ＋ | | ＝| ＋ | ；③中 a 、ba bb 所在直线可能重合；④中需满足x ＋ y ＋ z ＝ 1，才有 P 、 A 、B 、 C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底，应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是 ( ) ①若 p ＝ xa ＋ yb ，则 p 与 a ， b 共面； ②若 p 与 a ，b 共面，则 p ＝ xa ＋yb ；→ → →→ → → ③若 MP ＝ xMA ＋ yMB ，则 P ， M ， A 、 B 共面； ④若 P ， M ， A ， B 共面，则 MP ＝ xMA ＋ yMB. A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 解析其中 ①③ 为真命题． ② 中，若 a ， b 共线，则 p ≠xa ＋ yb ；→ → → 3、已知 A(1,0,0)， B(0，－ 1,1)，OA ＋ λOB 与 OB 的夹角为 120°，则 λ的值为 ()6 6 6A ． ±6 B. 6 C ．－ 6 D ． ± 6→ → λ＋ λ 1 666 解析： OA ＋ λOB ＝ (1，－ λ，λ)，cos120°＝，得 λ＝ ±不合题意，舍去， ∴ λ＝－＝－ 2 6.经检验 λ＝66 .1＋ 22λ· 24、如图所示，已知 PA ⊥平面 ABC ，∠ ABC ＝ 120 °，PA ＝ AB ＝ BC ＝6，则 PC 等于( )A ．6 2B ． 6C ．12D ． 144→ 2→ → → 2→ 2 → 2 → 2→ →→解析 PC ＝ (PA ＋ AB ＋ BC) =PA ＋ AB ＋ BC ＋ 2AB ·BC ＝36＋ 36 ＋36＋ 2× 36cos 60 °＝ 144∴ |PC |＝ 12→→ →→ → → → 3 → 1 311c ，证明设 AB ＝ a ，AC ＝b ， AD ＝ c ，则 BG ＝ BA ＋ AG ＝ BA ＋ AM ＝－ a ＋ (a ＋ b ＋ c)＝－4 a ＋ b ＋ → → → → 1 → →11 4 → 444 4→ →，即 B 、G 、N 三点共线．BN ＝ BA ＋ AN ＝ BA ＋ (AC ＋ AD )＝－ a ＋b ＋c ＝ BG.∴ BN ∥BG33335、正方体 ABCD — A 1B 1C→ 1 →→1D 1 的棱长为 a ，点 M 在 AC 1 上且 AM ＝ MC 1， N 为 B 1B 的中点，则 |MN |为 ()2A.21 6 aB.6 6 aC.15 6 aD.15 3a解析以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则 A(a,0,0)，C 1a ， a ，a2.(0，a ，a)，N设 M(x ， y ， z)． ∵ 点 M 在 AC 1 → 1 →1上且 AM ＝MC 1， ∴ (x －a ， y ， z)＝ (－ x ， a － y ， a － z)222 a a 2a a a， ∴→2 a2＋a － a 2＝ 21∴ x ＝ a ，y ＝， z ＝ .∴M，， 3|MN |＝a － a 2＋ a －3 2 3 a.3333336π→→6、如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝ OC ，且∠ AOB ＝∠ AOC ＝ 3，则 cos 〈 OA ， BC 〉的值为 ()1 32A ． 0B. 2C. 2D. 2解析→ → →π设 OA ＝ a ，OB ＝ b ， OC ＝ c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈 a ，c 〉＝，且 |b|＝ |c|，1 13→ →→ →OA ·BC ＝ a ·(c － b)＝a ·c － a ·b ＝ |a||c|－ |a||b|＝ 0，∴ cos 〈 OA ， BC 〉＝ 0.227、如图所示，在平行六面体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1 与 B 1D 1→ → →的交点．若 AB ＝a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则下列→)向量中与 BM 相等的向量是 (．1 1 1 11 1 1 1A － 2a ＋ 2b ＋ c B. 2a ＋2b ＋ c C ．－ 2a － 2b ＋c D. 2a － 2b ＋ c解析 →→→→ 1 → →1 (b － a)＝－ 1 a ＋ 1 b ＋c. BM ＝ BB 1＋ B 1M ＝ AA 1＋ (AD － AB)＝ c ＋2 22 28、平行六面体 → → → 60°，且 →→ → ABCD － A 1B 1 C 1D 1 中，向量 AB ，AD ，AA 1两两的夹角均为 |AB|＝ 1，|AD|＝ 2，|AA 1|＝3，则 → )[|AC 1|等于 ( A ．5 B ． 6 C ．4 D ． 8 → → → → → →设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则 AC 1＝ a ＋ b ＋ c ， AC 12＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋ 2a ·＋b 2b ·＋c 2c ·＝a 25， |AC 1|＝ 5.9、在下列条件中，使 M 与 A 、 B 、 C 一定共面的是 ( )→→→ → →→ → →→ → →→→ →→A. OM ＝ 3OA － 2OB － OC B ．OM ＋OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0C ． MA ＋ MB ＋ MC ＝ 0D ．OM ＝1OB － OA ＋1OC42→ → →解析：C 中 MA ＝－ MB － MC .故 M 、 A 、 B 、C 四点共面．二、填空题10、同时垂直于 a ＝ (2,2,1) 和 b ＝ (4,5,3) 的单位向量是 ____________________ ．解析设与 a ＝(2,2,1) 和 b ＝(4,5,3) 同时垂直 b 单位向量是 c ＝ (p ， q ，r )，则11p 2＋ q 2＋ r 2＝ 1，p ＝3，p ＝－ 3，2，2，1，－ 2， 2或－ 1， 2，－ 22p ＋ 2q ＋ r ＝ 0，解得或所求向量为q ＝－ 3q ＝ 33 3 3 3 3 3 .4p ＋ 5q ＋ 3r ＝0，2，2，r ＝ 3r ＝－ 311．若向量 a ＝ (1，λ， 2)， b ＝ (2，－ 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 8，则 λ＝ ________.9解析由已知得 8 a ·b ＝ 2－ λ＋ 4 ， ∴ 8 2－λ)，解得 λ＝－ 2 或 λ＝ 2 .＝5＋ λ＝3(655212．在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)、 B(10，－ 1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数 x 的值为 ________．解析由题意知 → → → →AB ·AC ＝ 0， |AB|＝ |AC|，可解得 x ＝ 2.13．已知 a ＋3b 与 7a －5b 垂直，且 a － 4b 与 7a －2b 垂直，则〈 a ， b 〉＝ ________.解析由条件知 (a ＋ 3b) ·(7a － 5b)＝ 7|a|2＋ 16a ·b － 15|b|2＝ 0，及 (a －4b) ·(7a －2b)＝ 7|a|2＋ 8|b|2－ 30a ·b ＝0.1两式相减，得 46a ·b ＝ 23|b|2，∴ a ·b ＝ |b|2.21代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝ |b|.∴ cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b2|b|21＝ 2 ＝.∴ 〈a ， b 〉＝ 60°.|a||b| |b| 2π， 2， ⊥ ， ⊥ ，在平面内，在上， 14. 如图所示，已知二面角 α— l — β的平面角为 0AB BC BC CD AB BC l θ θ βCD 在平面 α内，若 AB ＝ BC ＝ CD ＝ 1，则 AD 的长为 ________．→→ → →2=→→→→ →→ →→ →π－ θ＝) 3－ 2cos θ.解析 :AD 2＝ (AB ＋ BC ＋CD ) AB 2＋ BC 2＋ CD 2＋ 2AB ·CD ＋ 2AB ·BC ＋ 2BC ·CD ＝ 1＋ 1＋ 1＋2cos(15．已知 a ＝(1－ t,1－ t ， t)， b ＝(2， t ，t)，则 |b － a|的最小值为 ________．19 1 3 5解析 b －a ＝ (1＋ t,2t － 1,0)，∴ |b －a|＝1＋ t 2＋ 2t － 1 2＝5 t －5 2＋ 5 ，∴当 t ＝ 5 时，|b －a|取得最小值 5.三、解答题16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， P 是 CA 1 的中点， M 是 CD 1 的中点， N 是→ → →C 1D 1 的中点，点 Q 在 CA 1 上，且 CQ ∶QA 1＝ 4∶ 1，设 AB ＝ a ， AD ＝ b ，AA 1＝ c ，用基底 { a ， b ， c} 表示以下向量：→ → → → (1)AP ； (2) AM ； (3)AN ； (4) AQ.→ 1 → →1 → →→1(a ＋ b ＋ c)．(1) AP ＝ (AC ＋ AA1)＝ (AB ＋AD ＋ AA1)＝ 222→＝1→→1→→→1(2) AM＋ AD＋ 2AD＋AA222→ 1 →→1→ →→→ → 1 →→→11a＋ b＋ c.(3) AN＝(AC1＋ AD1)＝[( AB＋ AD ＋AA1)＋(AD＋AA1)]＝(AB＋2AD＋2AA1)＝(a＋ 2b＋2c)＝22222→ → → → 4 →→1 → 4 → 1 → 1 → 4 → 114(4) AQ＝ AC＋CQ＝ AC＋(AA1－AC)＝ AC ＋ AA 1＝AB＋AD ＋ AA1＝a＋ b＋ c55555555517、如图，已知M、 N 分别为四面体ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且G 为 AM 上一点，且GM ∶GA＝ 1∶ 3.求证： B、 G、 N 三点共线．18． (13 分 )直三棱柱ABC—A′ B′ C′中，AC＝ BC＝ AA′，∠ ACB＝ 90°，D 、E 分别为 AB 、BB′的中点．(1)求证： CE⊥ A′D ；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．→→→(1)证明：设 CA＝ a，CB＝b，CC′＝c，根据题意， |a|＝ |b|＝ |c|且 a·b＝b·c→1→11→→11→ →，即∴ CE＝ b＋ c， A′ D＝－ c＋b－a.∴CE· A′ D＝－c2＋b2＝ 0，∴ CE⊥A′D22222＝c·a＝ 0. CE⊥A′D.→→→5→→112＝12，(2) AC′＝－ a＋ c，∴ |AC′|＝2|a|， |CE|＝|a |.AC′· CE＝ (－ a＋ c) ·c2 12222→→2|a|＝1010∴ cos〈 AC′，CE〉＝510.即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为10.2·2 |a|2。

选修2-1：空间向量

3
∴ m 3 ∴AP︰PC1＝3︰16
19
变式训练 4：已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中点，Q 为 OB 的中点，若 AB＝OC，求证 PM QN ．
证明：法一： OM 1 (OB OC)
2
ON 1 (OA OC) 2
AD BC (AB BD) (BD DC) 0 ．
所以 AD⊥BC．
(2) 设 E、F 各为 BC 和 CD 的中点．欲证 GH∥BD，只需证 GH∥EF， GH GA AH ＝ 2
3
( EA AF )＝ 2 EF ．
3
变式训练 3：已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 ，E、F、G、H 分别为棱 A1D1, D1C1, C1C和AB 的中点．求证：E、F、G、H 四点共面．
(3) a·b＝
．
(4) a∥b
；a b
(5) 设 A (x1, y1, z1), B (x2 , y2 , z2 )
则 AB ＝
， AB
AB 的中点 M 的坐标为
典型例题
．
．．
例 1. 若 a ＝(1,5,－1)， b ＝(－2,3,5)
（1）若(k a + b )∥( a －3 b )，求实数 k 的值；
2
min 2
例 3. 已知四面体 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H 分别是△ABC 和△ACD 的重
心．
求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．
证明：(1) AD⊥BC AD BC 0 ．因为 AB CD AB CD 0 ， AC BD AC BD 0 ，而

人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_《空间向量与立体几何》全章复习与巩固_提高

人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《空间向量与立体几何》全章复习与巩固【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB表示，A叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用 a （而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作a，b ，规定 0 a， b ．如图：| AB |或|a |．向量的夹角：过空间任意一点 O 作向量a,b 的相等向量OA 和 OB ，则 AOB 叫作向量a, b的夹角，记作零向量：长度为0 或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0 与任意向量平行．单位向量：长度为1 的空间向量，即| a | 1．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．a 平行于b 记作a // b ，此时．a，b =0 或a ，b = ．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．要点诠释：（ 1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关．只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量a、b共线（或a // b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．a（3）对于任意一个非零向量a，我们把a叫作向量a的单位向量，记作 a0． a0与a同向．a（4）当 a，b =0 或时，向量a平行于b ，记作a//b ；当 a，b = 时，向量 a，b垂直，记作a b．2要点二：空间向量的基本运算空间向量的基本运算：要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量 a 、b （b ≠0）， a // b 的充要条件是存在唯一的实数，使 ab ．共面向量定理：如果两个向量 a,b 不共线，则向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数 x, y ，使 p xa yb ．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．空间向量分解定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 x,y,z ，使 pxa yb z .c向量的减法三角形法则： OA OBabBA OB OA AB向量的乘法>0 时，a 与 a 同向；<0 时，a 与 a 异向； =0a =0( a) ( )a(a b) a b1．a b 是一个数： a b | a || b | cos(a ，b) ；数2．a 0， b=0或 a b量a b =0．(a b) c ac bca 2|a|2|ab| |a||b|a 是一个向量，满要点诠释：②a b a b 0 x 1x 2 y 1y 2 z 1z 2 0 ．要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量 0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点四：空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式若A(x 1,y 1,z 1)， B(x 2,y 2,z 2)，则AB OB OA (x 2, y 2,z 2) (x 1, y 1,z 1) (x 2 x 1, y 2 y 1,z 2 z 1)②| AB | AB(x 2 x 1)2 ( y 2 y 1)2 (z 2 z 1)2；③ AB 的中点坐标为 x 1+x2 ，y 1+y2 ，z 1+z2 ．222 空间向量运算的的坐标运算设a (x 1,y 1,z 1)，b (x 2,y 2,z 2) ，则①a b (x 1 x 2, y 1 y 2,z 1 z 2) ； ②a b ( x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 ) ； ③a ( x 1 , y 1 , z 1)( R) ；x 1x 2 y 1y 2 z 1z 2 ；空间向量平行和垂直的条件若a （x 1,y 1,z 1），b （x 2,y 2,z 2），则a a a x 12y 12z 12，b b b x 22y 22z 22；z 1z 22 z2①a/ /by 1 y 2， z 1 z 2 ( R)x1 y1 z1( x 2 y 2 z 2 0) ； x 2 y 2 z 2x 1x 2 y 1 y 22 y2a（1）空间任一点P 的坐标的确定：过P作面xOy的垂线，垂足为P'，在面 xOy中，过P'分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，则 x | P'C |，y | AP＇|， z | PP＇| ．如图：（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：a b | a ||b| cos a b cos a b a b，其中θ的范围是[0, ] ．|a | |b|（３）0 与任意空间向量平行或垂直．要点五：用向量方法讨论垂直与平行任意非零向量也是直线 l 的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面，直线 l ，取 l 的方向向量 a ，有 a ，则称为 a 为平面的法向量．一个平面的法向量不是唯一的．图示向量证明方法异面直线所成的角cos|AC BD || AC | | BD |（ A ， C 是直线 a 上不同的两点，B ，D 是直线 b 上不同的两点）面面平行// ）u //vu ，v 分别是平面，的法向量）面面垂直）u v ，即 u v = 0u ， v 分别是平面，的法向量）要点诠释：１）直线的方向向量：若 A 、B 是直线 l 上的任意两点，则 AB 为直线 l 的一个方向向量；与AB 平行的要点诠释：①当法向量 n 1与n 2 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于 n 1，n 2 的夹角n 1,n 2 的大小。

高二数学选修2-1 空间向量的运算及空间向量的基本定理(精品)知识精讲

高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理北师大版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。

2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。

3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。

4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。

三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。

X 围：[0，]π2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则）运算律：结合律：)()(c b a c b a ++=++，交换律：a b b a +=+3. 数乘运算法则：向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作：a λ，满足（i ）||||λλ=a ||a ，（ii ）当0>λ时，a λ与a 方向相同，反之，相反。

0a 0=λ=λ时，。

运算律：（i ）).(,R a a ∈=λλλ（ii ）)R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.（iii ）),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积：θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。

θ>=<b a ,。

运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅分配律：c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅，(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质：（1）a a |a |⋅，（2）0b a b a =⋅⇔⊥，（3）|b ||a ||b a |⋅≤⋅注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。

高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案

→
→
∣→∣ ∣ ∣ →
∣→∣ ∣ ∣
→
→
④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数是（）
→
→ →
→
→
中，必有 AC = A 1 C1 ；
−→ −
− − −→
A．4 B．3 C．2 D．1 解：C．当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ，但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2

选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点.docx

3.1 空间向量及其运算知识点1. 空间向量的有关概念⑴空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.⑵单位向量：模为1的向量称为单位向量⑶相等向量：方向相同且模相等的向量.⑷共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.⑸共面向量：平行于同一个平面的向量.2. 空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量UUU UuU UUIrJ UUllU UUUIrJOA I=OA+AIA2+ A2A3+…+ A n-1A n-运算律：①加法交换律：a+ b= b+ a ②加法结合律：(a+ b) + C= a+ (b + C)③数乘分配律：λ (+ b)= λ a λ b.3. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1) 共线向量定理对空间任意两个向量a, b(b≠ 0), a// b的充要条件是存在实数λ使得a= λb推论：I点P在直线AB上的充要条件I是：UJlI UUI存在实数λ使得AP = AAB ①UIU UUr UUJ或对空间任意一点0,有OP=OA AB ②UIU UUr UUr或对空间任意一点0,有OP=XOA yOB其中X + y= 1③UUJ UUr UlU IUr UIU UlU UUr UIU【推论③推导过程：OP =OA ∙AB =OA ■ (AO OB)=(I- ∙)OA ■ OB】(2) 共面向量定理如果两个向量a, b不共线，那么P与a, b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使P= xa+ yb推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是UUJ UUJ UUU存在唯一有序实数对(x,y)使AP=XAB yAC ,UiU UUr UUJ UUU或对空间任意一点0,有OP=OA ∙XAB yACUlU UUr UlU UlU或对空间任意一点0,有OP=XOA yOB ■ ZOC ,其中X + y+ Z= 1UUJ UUr UIU UUU UIr UUJ Uui【推论③推导过程：OP=OA XAB yAC = (1 - x - y)OA XOB yOC 】(3) 空间向量基本定理如果三个向量a, b, C不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛X, y, z｝,使得P= x a+ y b+ Z C基底：把｛a, b, c｝叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.4. 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a, b,在空间任取一点0,作OA= a, OB = b,则∠AQB叫做向量a与b的夹角，记作〈a, b>,其范围是0≤< a, b>≤∏若〈a , b>= ∏,则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a, b,向量a, b的数量积记作a b,且a b= ∣a∣∣b∣cos < a, b>.⑵空间向量数量积的运算律：①结合律：(λι)b = λa b);②交换律：a b= b a;③分配律：a (b+ C)= a b + a c.→ →5.空间向量的坐标表示及应用设 a = (a ι, a 2, a 3), b = (b i , b 2, b 3) (1)数量积的坐标运算：a b = a 1b 1 + a 2b 2+ a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示：a /b ? a = λ? a i = λ 1, a ? = λ b a 3= λ 3 (λ∈ R ), a ⊥b ? a b = 0? a i b i + a 2b 2+ a 3b 3= 0(a , b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式： ∣a ∣= '∙.F a a = ■：J a i + a 2+ a 3, a b a i b i + a ?b 2 + a 3b 3C0S 〈a ，b 〉 IaIlbl a 2+ a 2+ a 2 ∙ b 2+ b 2+ b 3 .设 A(a i , b i , C i ), B(a 2, b 2, C 2),贝U d AB =l →B ∣= . a 2— a i 2+ b 2 — g 2+ c ?— C i 2.6.用空间向量解决几何问题的一般步骤: (1) 适当的选取基底{ a , b , c }; (2) 用a , b , C 表示相关向量； (3) 通过运算完成证明或计算问题. 题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系. M , N 分别是OA , BC 的中点，G 是厶ABC 的重心，用基向量(DA , OB , OC 表示MG , → → → i → 2 → i → 2 → → i → 2 i → → → i → i → i → 解析：MG = MA + AG = ^OA + 3AN = ?OA + §(ON — OA) = ?0A + ^(OB + OC) — OA] = — §0A + §0B + §0C. → → → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → OG = OM + MG = ^OA — 6OA + §0B + 3OC = ^OA + -OB + §OC. → I → → → UiU UUD UUIU UUIU例 2：如图所示，ABCD — A 1B i C i D i 中，ABCD 是平行四边形.若AE = -EC , A →F = 2FD ,且 EF=XAB+y AD+zAA 1 , 试求X 、y 、Z 的值. J3∣ -→ -→ -→ -→ i -→ i -→ -→ •解连接 AF , EF = EA + AF. ∙.∙ EA =— 3AC = — ^ (AB + AD ) →→→→→→ i → → i → → 2 UUU AF = AD + DF = AD — FD = AD — ^A i D = AD 一(( A i A + AD ) = — AD 3 33 i UUr → → → i UUIU i UUU i UUir A i A EF = EA + AF = AD AA i AB 3 3 3 3 题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与b 共线. a 与b ,化简得出a = ■ b ,从而得出a // b ,即点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明 → → A 、B 、C 三点共线，即证明 AB 与AC 共线.M , N 分别是 AC , BF 的中点，判断 CE 与MNUUr UIr UUr CE=CB BE τ UUU UUU UIrUUIU ι UUIU UIr 1 UIrUUr 1 UIlU UurUIr 1 UUr 1 UIr 1 UUr MN=MC CB BN AC CB (BA BE) (AC BA) CB BECB BE2 2 2 2 2 2→ →→ →→ →∙∙∙ CE = 2MN ,∙∙∙ CE // MN ,即 CE 与MN 共线.→ → →2E 在 A i D i 上，且 A i E = 2ED ι,F 在对角线 A i C 上，且 A i F =^FC. 3→ →• EF = 2EB.所以E , F , B 三点共线.题型三共面定理应用→ → 点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P 、A 、B 、C 四点共面，只要能证明 PA = XPB →→→→→→ → →O ,有 OP = OA + XPB + yPC 或OP = XOA + yOB + ZOC(X + y + Z = 1)即可→ → → →2 i 2例5:已知 A 、B 、C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点0,若OP = - OA + -OB + ；0C ,则点P 是否与 A 、B 、C 5 5 5 一定共面？试说明理由.U 2 Ulr IUIU 2 UUU 2 UUl UIr 1 UU U Ulr 2 UU UUr UIU 2 UIr 1 Ulr 2 UU U解析：∙∙∙ OP =— OA+—OB +-OC =—(OP + PA)+-(OP+PB)+-(OP+PC)=OP + -PA+- PB+— PC 5 5 3 5 53 5 5 3例4:如图所示，在正方体 ABCD — A I B I C I D I 中,5_________________ β E7f{C l → 设 AB = a , → → 证明： → 2 2 • ∙ A I E = 2ED 1=3AD = 3 → → -→ 2 •EF = A 1 F — A 1E = ;a — 5→AD = b , → A 1F = T FC = T A I C=I(AC →AA 1 = c . → → →2 2 _ 2 _ 3~ 5''~ 54 2 2 二 15b — 5c =5 a — 3b —→ → → → 2 2 2 2 -AA I )= 5 (AB + AD - AA I ) = 5a + - b — 5c → → → → 2 2 2 3二 C , EB = EA 1 + A 1A + AB = — ~b — c + a = a —3b — c ,→+ yPC ,或对空间任一点求证：E , F , B 三点共线.→ →→ → →1 2∙∙∙ AP=EAB +7AC ,故 A 、B 、C P 四点共面∙5 5例6:如图所示，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结 PA 、PB 、PC 、PD ,点E 、F 、G 、H 分别为 △ PAB 、△ PBC 、△ PCD 、△ PDA 的重心，应用向量共面定理证明： E 、F 、G 、H 四点共面.→ → → → → → → →2 2 2 2 顺次连结M 、N 、Q 、R ,所得四边形为平行四边形，且有 PE = -PM , PF = §PN , PG = -PQ , PH = ~PR.→→→→→→ →→ →→ →→ →→ →→2222 2 2 23 3 23 3.∙. EG = PG - PE = 3PQ -3PM = 3MQ = 3(MN + MR) = 3(PN -PM) + §(PR — PM) = 3(?PF -^PE) + ^(-PH —2PE)→ →=EF + EH. ∙由共面向量定理得 E 、F 、G 、H 四点共面.→ → →例7:正方体 ABCD - A I B I C I D I 中，E , F 分别是BB i 和A i D i 的中点，求证向量 A i B , B i C , EF 是共面向量.→→→ → → →→→→→-→1 —→ 11 1证明：女口图所示，EF = EB + BA j + A J F = ^B 1B - "B + ^A J D J = -(B 1B + BC) - A 1B = ^B j C - A j B.→ → →由向量共面的充要条件知 A j B , B j C , EF 是共面向量.题型四空间向量数量积的应用 ABCD — A i B i C i D i 中，以顶点A 为端点的三条棱长都为 i ,且两两夹角为 60°⑴求AC i 的长；(2)求BD i 与AC 夹角的余弦值.解析：(J)记AB = a , AD = b , AA J = c ,则 I a l = I b l = I C l = J ,〈a , b 〉=〈 b , c > = < c , a > = 60° 」」 J ∙ ab = b C = ca =;2'∣AC J f = (a + b + c )? = a + b + C + 2(a b + b c + C a ) = J + J + J + 2 × ? + ? + ? = 6, ∙ |AC j I=V 6,即AC J 的长为:：：：；；6.(2)BD J = b + C -a , AC = a + b , ∙∙ IB D J I = 2, ∣Aθ∣=.3, B D J AC = (b + C - a ) (a + b ) = b 2-a 2+ a c + b C = J. ∙ cos <B D j , AC > = BDJ AC例8:①如图所示，平行六面体证明：分别延长 PE PR PG PH 交对边于 M N QR.∙∙∙ E 、F 、G H 分别是所在三角形的重心，∙∙∙ M 、N 、Q 、R 为所在边的中点=二6.∙AC 与BD J 夹角的余弦值为二6→ → 6 6IBD J IIACI→ →②已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a ,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF 的值为（）A . a 2B.；a 2 C ；a 2 D^a 2→ → →解析：设AB = a , AC = b , A D = c ,则I a l =I b l =I C l = a ,且a , b , C 三向量两两夹角为 60°→ → → →1 1 1 1 1 12 2 1 2 AE = 2(a + b ), AF =尹二 AE AF = 2(a + b ) ^c = 4(a C + b C ) = 4(a cos60 ° a cos60 ) = 4a .题型五空间向量坐标运算DC , DP 所在直线分别为X , y , Z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为（）A . （1,1,1）B∙Q , 1, 1）C.（1, 1 , 3） D . （1,1,2）例 10:已知 a = (2,— 1,3), b = (— 1,4 , - 2) , C = (7,5 , λ∙若 a , b , C 三向量共面，则实数例 11:已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1), B(2,2,2),→ → → → → →AB = (1,1,1) , AC = (2,1,3) , |AB|= 3 , |AC|= 14 , AB AC = 2+ 1 + 3= 6 , ∙ cos A = 8S 〈AB , AC >= 36l 4= ζ.∙ SinA =I -；；='| |AC| ∙nA = 1×.3× 帀×* =于.例9:如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB = 2, E 为PB 的中点,COS 〈 DP ,AE 〉=于，若以DA,设 PD = a (a>0),则 A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0, a), E 1, 1, 1, 2 , cos 〈 DP , AE >=于,∙∙∙ a = 2.∙∙∙ E 的坐标为(1,1,1).t =337 = 2t — μ解析：由题意得 C = t a + (Jo= (2t — μ, — t + 4 μ, 3t — 2 μ , ∙ =— t + 4μ,λ= — μ7' 17 μ= 7 , 65l λ= 65.C(3,2,4),试求△ ABC 的面积DP = (0,0, a), A E =2.a_ '2品∙3,.∙ S ∆ABC =例12：已知a= ( λ÷ 1,0,2), b= (6,2 μ—1,2 λ,若a// b,贝U λ与μ的值可以是()A. 2 ,12B.—1 13，2C.—3,2D. 2,2λ+ 12 f λ= 2 ,'λ=—3 ,解析由题意知：6=2λ,解得1或1 2—1= 0 ,μ= 2尸例13:已知空间中三点A( —2,0,2), B( —1,1,2), C( —3,0,4),设a= →, b= AC.,若ka+ b 与ka—2b 互相垂直，求实数k的值.方法一一k a+ b= (k—1, k,2). k a —2b= (k+ 2, k, —4),且k a + b 与k a —2b 互相垂直，•••(k—1, k,2) (k+ 2, k,—4) = (k—1)(k+ 2)+ k2—8= 0, ∕∙ k= 2 或一5, 方法二由⑵知|a∣=^2, ∣b∣=承,a b=—1, • (k a + b) (k a —2b)= k2a2—k a b—2b2= 2k2+ k—10= 0,得k= 2 或一∣.例14:已知空间三点A(0,2,3), B( —2,1,6), C(1, —1,5).(1)求以AB, →C为边的平行四边形的面积；⑵若I a I= ,3,且a分别与AB, AC垂直，求向量a的坐标.解(1)cos〈AB, AC〉= == 3筲=-7-= 1∙.∙. Sin〈AB,心=写,∣→∣Ac∣14 2 2•以AB, AC为边的平行四边形的面积为S= 2× 1∣A→| |A CISin〈A B, AC>= 14×^3= 7,3.X2+ y2+ z2= 3 X= 1 x=—1(2)设a= (x, y, Z),由题意得2x—y+ 3z= 0 ,解得f y= 1 或f y=— 1 ,以—3y+ 2z= 0 L= 1 [z=—12 1例15:如图所示，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别在A Q、AC上，且A p E= 3A1D, AF = -AC ,贝U ( ) A. EF至多与A1D、AC之一垂直 B . EF与A1D、AC都垂直C . EF与BD p相交 D . EF与BD j异面解析：设AB = 1,以D为原点，DA所在直线为X轴，DC所在直线为y轴，DD 1所在直线为Z轴建立空间直角坐标(1 1 伦 1 ∖→系，贝y A1(1,0,1), D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0), E 3, 0，3，F 3, 3 0, B(1,1,0), D1(0,0,1) , A1D = (—1,0 , —1), AC= (—1,1,0) ,EF = 1, 3 —1,B→1= (—1 , —1, 1) ,EF = —3B→1, A→D EF = AC EF = 0,从而EF // BD1,EF 丄AQ, EF 丄AC.→ →例16:已知0(0,0,0), A(1,2,3), B(2,1,2), P(1,1,2),点Q在直线OP上运动，当QA QB取最小值时，点Q的坐标是.→ → → →解析：设OQ = QP = (λ, λ 2λ,贝U QA = (1 —人2—λ 3— 2 λ, QB= (2 —λ 1 —λ 2 — 2 λ .∙∙∙ QAQB = (I - ^2-λ÷(2-如-λ+(3-叩-2 λ= 6 λ- 16λ÷ 10 = 6( λ-$— 2→ → →二当λ=4时，QAQB 取最小值为-此时,OQ =(4，3，3)，综合练习、选择题1、下列命题：其中不正确.的所有命题的序号为 _____________ • ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB ÷ BC + CD ÷ DA = 0; ②I a H b = |a ÷ b ∣是a 、b 共线的充要条件；③ 若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④ 对空间任意一点 O 与不共线的三点 A 、B 、C ,若OP = XOA ÷ yOB ÷ ZOC （x 、y 、z ∈ R ）,贝U P 、A 、B 、C 四点共面.⑤ 设命题P : a , b , C 是三个非零向量；命题 q : {a , b , c }为空间的一个基底，则命题 P 是命题q 的充要条件解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当 a 、b 同向时，应有| a | ÷ | b | = | a ÷ b | ;③中a 、 b 所在直线可能重合；④中需满足 x ÷ y ÷ Z = 1,才有P A 、B C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底，应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是（）①若P = X a ÷ y b,贝U P 与a , b 共面；③若 MIP = XMjA ÷ yM →B ,贝y P , M , A 、B 共面； A . 1 B . 2C . 3②若P 与a , b 共面，则P = X a ÷ y b ； ④若 P , M , A , B 共面，则 MjP = XMlA ÷ yM →B. D . 4贝U ≠÷ ；3、已知 A(1,0,0), B(0,- 1,1),BjC .OA ÷ QB 与OB 的夹角为120°贝U λ的值为（ —普 D . ±6 → →解析：OA ÷ λOB = (1 ,- λ λ,cos120° =λ÷ λ.'1÷ 2λ • 22,得λ= ±66.经检验入=¥不合题意，舍去,λ=-4、如图所示，已知 FA 丄平面 ABC , ∠ ABC = 120 ° PA = AB = BC = 6,贝U PC 等于 ()C . 12D . 144=(PA ÷ AB ÷ BC) =PA 2÷ AB 2÷ BC 2÷ 2AB BC = 36÷ 36 ÷ 36÷ 2 × 36cos 60 O = 144 ∕∙ |PC|= 12 证明设AB = a , AC = b , AD = c ,则 BG = BA ÷ AG = BA ÷ 3AM = — a ÷ 1(a ÷ b ÷ c )= — 3a ÷ 1b ÷~.c ,4 4' ,4 4 4 BN = B A ÷ AN = BA ÷ 3(AC ÷ AD)=— a ÷ f b ÷ f c =IBG.∕∙ BN ^ BG ,即 B 、G 、N 三点共线.5、正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在A®上且AM = IM C 1, N 为B 1B 的中点，贝U IMNI 为（）2解析以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 DXyZ ，则A （a,0,0），C*0，a , a ），N a .T 点 M 在 AC 1 上且 AM = 2MC 1, ∙ (x — a , y , Z) = *( — x , a — y , a — Z) A 寻IZB∙far . 15 DpaA L设 M(x , 2∙∙X = 3a ，y = 3Z=3. ∙M 伶 3 3) ∙ IMN =∖/ (I —3a )÷l 2a -!2÷ a -32=甲已知空间四边形 OABC , OB = OC ,且∠ AOB = ∠ AOC = ∏,贝U CoS 〈C)A , C 乎腭BC 〉的值为（设OA = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c >= ∏3-→ -→ 1 1 -→ -→OA BC = a (c — b ) = a C — a b = 2I a||c — 2I a ∣∣b = 0, ∙ CoS且 I b l =I C =0.7、如图所示，在平行六面体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB = a , AD = b, AA i = c , 则下列1 1D.^a — ?b + Cc +如-a ) = — 2 a + 2 b + c .ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，向量 A B , AD , AA 1 两两的夹角均为 60°,且 IABI = 1, ∣AD ∣= 2, IA A I I = 3,则IAC i 等于()[A . 5B . 6C . 4D . 8|[ 设AB = a , AD = b , AA 1 = c ,则 AC 1= a ÷ b ÷ c , AC 12= a 2÷ b 2÷ c 2÷ 2a b ÷ 2b c ÷ 2C a = 25, IAC 1I = 5」9、在下列条件中，使 M 与A 、B 、C 一定共面的是()- - - - - - - - - - - - - - -1 1A.OM = 3OA — 2OB — OC B . OM ÷ OA ÷ OB ÷ OC = 0 C . MA ÷ MB ÷ MC = 0 D . OM = 4OB — OA ÷^OC— — —解析： C 中MA = — MB — MC.故M 、A 、B 、C 四点共面. 二、填空题10、同时垂直于 a = (2,2,1)和b = (4,5,3)的单位向量是 ______________________ .6、如图所示, A . 01 2向量中与BM 相等的向量是（-→ 1 -→ -→ =AA 1+ 2(AD — AB) =C . — I a — 2b + C88、平行六面体解析设与a = (2,2,1)和b = (4,5,3)同时垂直b 单位向量是C = (P , q , r),则11. 若向量a = (1, λ 2), b = (2, — 1,2)且 a 与b 的夹角的余弦值为鲁，则λ=12.在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)∖ B(10 , — 1,6)、C(x,4,3)为顶点的厶ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数X 的值为 _________解析由题意知AB AC = O , IAiBl =ACI ,可解得X = 2.13. 已知 a + 3b 与 7a — 5b 垂直，且 a — 4b 与 7a — 2b 垂直，则〈a , b>= ________ I解析由条件知(a + 3b ) (7a — 5b ) = 7|a |2+ 16a b — 15|b |2= 0 ,及(a —4b ) (7a — 2b ) = 7|a |2+ 8|b |2— 30a b = 0. 两式相减，得 46a b = 23|b |2,二 a b = 2|b |2.14. 如图所示，已知二面…l —e 的平面角为θθ∈ 0,Π, AB ⊥BC , BC ⊥CD , AB 在平面β内，BC 在I 上,CD 在平面 α内，若 AB = BC = CD = 1,贝U AD 的长为 __________ —→ 2 —→ —→ —→ 2= —→ 2 —→ 2—→ 2—→ —→ —→ —→ —→ —→ 解析:AD 2= (AB + BC + CD) AB 2 + BC 2+ CD 2+ 2AB CD + 2AB BC + 2BC CD = 1+ 1+ 1 + 2cos( — θ)= 3— 2cos θ 15. ____________________________________________________________ 已知 a = (1 —1,1 — t , t), b = (2, t , t),则 |b — a |的最小值为 ____________________________________________________ .解析 b — a = (1 + t,2t - 1,0), •• |b — a |=^ (1 + tf+( 2t — 1 Y = ^^ 5 [^t — 5 / + 5 ,•当 t = 5 时，|b — a 取得最小值 .三、解答题16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是 C 1 D 1的中点，点 Q 在CA 1上，且CQ : QA 1 = 4 : 1,设AB = a , AD = b , A A I = C 用基底｛a , b , c ｝表示以下向量: 1 →→ 1 → → 1 2(AC + AA 1)= 2(A B + AD + A A 〔)= 2(a + b + C ).p 2+ q 2+ r 2= 1, 2p + 2q + r = 0, 4p + 5q + 3r = 0,1 P = 3，— 2 解得q =— £，I 2 r = 3， 1 P = — 3, 或q = |, 所求向量为3,— 3, 3或—3，3,— 3 . 8 解析由已知得8=a b 2— λ+ 4 Iailb = √5+λ2∙9,「8√5+λ = 3(6- λ,解得—2 或 λ=盒. 代入上面两个式子中的任意一个，即可得到 |a |= |b |. ••• CoS 〈 a , b > 1 2 a b 1|b | 1— 2 = .. IaIIb I |b | 2 a , b >= 60°2 (1)AP =-→ 1 -→ -→ 1 -→ -→ -→ 1 (2)AM = 2(AC + AD 1)= 2(AB + 2AD + AA” = ?(a + 2b + C ). 17、如图，已知 M 、N 分别为四面体 ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且 G 为AM 上一点，且 GM : GA = 1 : 3. =Ca = 0. ⑴证明：设 CA = a , CB = b , CC ' = c ,根据题意，|a I =I b I =I C l 且 a b = b C ∙∙∙ CE = b + ∣C , A →D = — C +1 b - 2a .ΛCE ∙ A →D = — ∣c 2 +1b 2= 0,∙'∙ CE 丄At),即 CE 丄AD. b + 2 C = 2 C 2=∙2∣a ∣2,⑵A →' =— a + c,∙∙∙ |A C' I = 2|a |, 品=^^∣A →' ∙ CE = (— a + C ) 1∣ f ∙ CoS 〈 A C' , CE > = 一匕了一 = 穹•即异面直线CE 与AC 所成角的余弦值为密. 2 ∙ 25I a I 2-- 1 -- -- 1 -- -- -- -- -- 1 -- -- -- 1 1 (3) AN = 2(AC 1 + AD 1) = 2[(AB + AD + AA” + (AD + AAj = 2( AB + 2AD + 2AA” = q(a + 2b + 2 C ) = q a + b + C . ⑷ AQ = AC + CQ = AC + 4(AA 1- AC) = I AC + 5A --1 = 1A B + 如 + 彳品=* a + ⅛ + IC求证：B 、G 、N 三点共线. 18. (13分)直三棱柱 ABC — A B ' C '中，AC = BC = AA ' , ∠ ACB =90° (2)求异面直线CE 与AC '所成角的余弦值. D 、E 分别为AB 、BB '的中点.(1)求证：CE ⊥ A ' D ;。

人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习(共24张PPT)教育课件

为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长；解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
些
计
划
，
有
的
计
划
《
几
乎
不
去
做
或
者
做
了
坚
持
不
了
多
久
。
其
实我
成
功
的
关
键
是
做
很
坚
持
。
上
帝
没
有
在
我是
们
出
生
的
时
候
给
我
们
什
么
额
外
的
装
备
，算
也
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
•
•
•
•
•
《
极
，
那有就些在人于经坚常持做。一
(1)证明设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，

人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)

为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长；解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．

高中数学知识点总结(选修2-1)

高中数学知识点总结—数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2.“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。

若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。

6.四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8.用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10.全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。

选修2-1 第三章 3.1.2 空间向量的数乘运算

[解析] M、N 分别是 AC、BF 的中点，而 ABCD、ABEF 都是平行四边形， → → → → 1→ → 1→ ∴MN＝MA＋AF＋FN＝2CA＋AF＋2FB.
→ → → → → 又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1 → → → 1→ ＝－2CA＋CE－AF－2FB， 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB. → → → → → → → ∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)． → → → → → → ∴CE＝2MN，∴CE∥MN，即CE与MN共线．
新知导学
6．a∥α是指a所在的直线____________ 在平面α内或_____________. 平行于平面α 同一个平面的向量叫做共面向量，共面向量所在平行于____________ 异面．的直线可能相交、平行或________
7.空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长 → → → 方体，向量AB、AC、AD，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内．
指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．
如右图，已知四边形 ABCD 是空间四边形， E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点， → F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且CF＝ 2→ → 2 → 3CB，CG＝3CD. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
[证明] ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， → 1→ → 1 → ∴AE＝2AB，AH＝2AD. → 2→ → 2 → ∵CF＝3CB，CG＝3CD， → 3→ → 3 → ∴CB＝2CF，CD＝2CG，
共线向量温故知新回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理，运算律．思维导航 1 ．参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义，运算律，共线向量定理还成立吗？

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第三章空间向量与立体几何1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a//b 存在实数λ，使a＝λb 。

4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,x y z，使OP xOA yOB zOC=++。

6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。

7. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz-中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组x y z，使+x y z叫作向量A在空间直角坐标系(,,)+=，有序实数组(,,)A x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

O xyz-中的坐标，记作(,,)(2) 右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；（3）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。

（4）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或λ===332211b a b a b a 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（5）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则222123||a a a a a a =⋅=++，222123||b b b b b b =⋅=++ （6）夹角公式：112233222222123123cos ||||a ba b a b a a a b b b ⋅⋅==⋅++++（7）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-（8）空间线段),,(),,,(22221111z y x P z y x P 的中点),,(z y x M 的坐标：⎪⎭⎫⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x （9）球面方程：2222R z y x =++8. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。

（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。

（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。

（4）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>。

②0a b a b ⊥⇔⋅=。

③2||a a a =⋅=2)(a = （5）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。

②a b b a ⋅=⋅（交换律）。

③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。

9、空间向量在立体几何证明中的应用：),,(),,,(321321b b b CD a a a AB ==（1）证明//AB CD ，即证明//AB CD ，也就是证明332211,,b a b a b a λλλ===或λ===332211b a b a b a （2）证明AB CD ⊥，即证明0AB CD ⋅=，也就是证明0332211=++b a b a b a （3）证明//AB α（平面）（或在面内），即证明AB 垂直于平面的法向量或证明AB 与平面内的基底共面；（4）证明AB α⊥，即证明AB 平行于平面的法向量或证明AB 垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；（5）证明两平面//αβ（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；（6）证明两平面αβ⊥，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。

10. 运用向量的坐标运算解题的步骤：（1）建坐标系，求相关点的坐标（2）求相关向量的坐标（3）运用向量运算解题11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题：（1）两条直线的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，两直线l ,m 所成的角为θ(02πθ≤≤),cos a b a bθ⋅==b a ,cos（2）直线与平面的夹角：设直线l 的方向向量分别为a ，平面α的法向量分别为u，直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅==u a ,cos ；（3）二面角： πθ≤≤0 ① 方向向量法：② 法向量法：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题. （1）点与直线的距离：),cos (sin ><=a AP AP d 先求θ（2）点到平面的距离：d =||||PA n n ⋅.如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,分析:过P作P O⊥α于O,连结OA.则d=|PO|=||cos.PA APO⋅∠∵PO⊥α,,nα⊥∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PA n〈〉|.∴d=|PA||cos,PA n〈〉|=||||PA nn⋅.（3）异面直线间的距离：nABnCDd⋅==已知a,b是异面直线,CD为a,b的公垂线,的方向向量，是直线CDn A，B分别在直线a,b上nABnCDd⋅==（4）其它距离问题：①平行线的距离(转化为点到直线的距离）②直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）③平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）13.补充：（1）三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1θ，AB与AC所成的角为2θ，AO与AC所成的角为θ．则12cos cos cosθθθ=.（2）三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).（3）点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).（4）异面直线上两点距离公式d θ=.',d EA AF=d =（'E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). （5）三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a=+++⋅+⋅+⋅（6）长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. （7）面积射影定理'cos S S θ=. (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.（9）欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).① E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：nF E 21=② 若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：.mV E 21=(10) 球的组合体① 球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. ② 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. ③ 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为a 126,外接球的半径为a 46.。