坐标系及其变换-完成

(2-23)
(2-20)式两端矩阵非对角线上对称元素相等，得
oz
ay
2
x
s
in
a x n z 2 y sin
ny
ox
2 z
s
in
(2-24)
由此解出等效旋转角 的正弦为
si n 1 2( o z a y ) 2 ( a x n z ) 2 ( n y o x ) 2 (2-25)
n
y
oy
ay
p
y
nz 0
oz 0
az 0
pz 1
nx ny nz p • n
则T的逆阵为 T 1 ox oy oz p •o (2-14)
a0x
ay 0
az 0
p•a
1
式中 p、n、o、a表示T的各列矢量；” ”•表示二矢量的数量积。
5.一般旋转变换
所谓一般旋转变换，即其旋转轴线不与参考系任何轴 线重合，而是参考系中某一矢量，这一矢量的方向用其上
o y cos
1 cos
(2-28)
z sgn( n y o x )
ax
cos
1 cos
式中 sgn—符号函数，当括弧内差值为正时取正号，
否则取负号。
3.相对变换
• 如上所述，一个齐次坐标可分解为平移及旋转 变换，根据这些平移和旋转是相对什么坐标系 去实现的，就导出了不同相对变换的概念，前 面只提及相对于参考系的变换，实际上还可相 对于变换过程中当前坐标系来实现变换。
(1)坐标系的相对变换
1) 相对于参考系的相对变换——始终相对于一 2) 个相同的参考系的变换
R( o ,)tYCR (z,)o Xt (2-18)
式中的 CR(oz,t)X表示将 Ro(zt,)X变换到与左端 Ro(t ,)相Y同的参考系中去，否则(2-18)的等式不成立。
将(2-17)式代入(2-18)式，得
R( o,)tYCR (z,o )C 1 tY
因此 R(o ,t)CR (z,o )C t1
规定在 0180中选取，故上式取正值，因而等效
旋转角 唯一地按下式确定：
tg (ozay)2(axnz)2(nyox)2
nxoyaz1
(2-26)
等效旋转轴矢量 的分量可用(2-24)式确定：
x
oz 2 sin
ay
y
ax 2 sin
nz
z
ny 2 sin
ox
(2-27)
利用(2-27)式解矢量，当 很小可能导致单位矢量
的单位矢量。x i y i zk表示。
为了导出一般旋转变 Ro(t ,) 的计算公式，设
是一个坐标系C中轴 z的单位矢量，一般坐标系为
C=
nx ox ax 0
n
y
oy
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ay
0
nz 0
oz 0
az 0
0
1
(2-15)
z 其中轴 的单位矢量为 axiayjazk 这样，绕矢量 旋转就等于绕坐标系C的c z轴旋转，即
C S 0 0
Rot(z,) S C 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1
它与(2-13)式完全一致。
6. 等效旋转轴及等效旋转角
对于一个任意给定的旋转变换，可以利用(2-19)式求
出绕等效旋转轴 、等效旋转角为 的等效变换。
设给定的旋转变换R为
nx ox ax 0
R=
n
y
oy
ay
0
2)相对于当前系的相对变换——每个平移、旋转 变换始终相对于当前坐标系（每个当前坐标系 均不同）。
(2)坐标系前乘变换或后乘变换的相对变换
设C是以齐次坐标矩阵表示的坐标系，T是由若干平移、旋转 变换因子按一定顺序组成的变换。显然TC及CT将得到完全不同的 变换结果，原因是坐标系C所作的相对变换不同。 1) 坐标系C前乘（左乘）变换时，得到的TC是C始终相对于同一 参考系的变换，变换的动作顺序由T的最后（最右）因子开始， 以最前（最左）的因子结束其变换。 2) 坐标系C后乘（右乘）变换时，得到的CT是C相对于不同当前 坐标系的变换，变换的动作顺序由T的最前（最左）因子开始， 以最后（最右）的因子结束其变换。
(2-20)式两端矩阵的对角线元素分别相加，仍然相等，
故有 n x o y a z 1 x V C 2 y V C 2 z V C 1 (2-21)
利用 2x2y2z 1及 V1co，s得
nxoyaz12cos (2-22)
由此解出等效旋转角 的余弦为
cos1 2nxoxax1
V— ver1 sco 的s缩写，通常为正矢；
S— sin 的简写；
C— cos 的简写；
由(2-19)式可见，一般旋转变换在 角不变时， 它仅仅是矢量 xiyjzk的函数，绕坐标轴的
旋转变换仅是一般旋转变换的特例。例如绕坐标轴的
旋转变换 Ro(tz,) ，其xy0,z 1,，将这些值
代入(2-19)式，得
现将此式展开，并利用C矩阵的正交性对展开式 进行整理，得到一般旋转变换的计算公式为
xxVC yxVzS zxVyS 0
Ro (,t)xxzyV V0 yzS S
yyVC yzVxS
0
zyVxS zzVC
0
0 0(2-19) 1
式中 x,y,z — 一般轴的单位矢量的3个方向的分量，
即(2-15)式中的 ax,ay,az；
的模大于1，这时需要对 进行标准化：
x
x
y
y
z
z
当 接近于180时，(2-27)式的计算精度变得越来 越差。实践表明，当 150~18时0需另求计算公式：
仍然利用(2-20)式，可得
x sgn( o z a y )
n x cos 1 cos
y sgn( a x n x )
0 1 0 101 0 0 20 0 0 1 0 X1 0 0 00 0 1 101 0 0 20
0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1
其变换的动作顺序为先旋转后平移。相对于当前系的相对变换为： Y=CT
1 0 0 200 1 0 10 0 1 0 30 Y0 0 1 101 0 0 00 0 1 10
TC与CT导致不同变换的结果与矩阵乘法不服从交换律的性质 是一致的。
1 0 0 20
【例2.4】给定一坐标系 C 0
0
1
10
及一变换
0 1 0 0
0 0 0
1
T= Tr(a 1,n 0,0s )R(o z,9t0 0 )试确定C相对于参考系的变换
X=TC及C相对于当前系的变换Y=CT。
解：相对于参考系的相对变换为：X=TC
R(o ,t)R(ocz,t) (2-16)
如图2-12所示，被旋转的坐标系为
o' x' y' z',该系以坐标系 oxyz
为参考系记为Y, 以坐标系C为参考 系时记为X(注意：X、Y均为
坐标系 o'x' y'z' )。Y与X的关系为 YCX或 XC1Y (2-17)
图2-12 一般旋转变换
绕 旋转Y等效于绕坐标系的C的 c z轴旋转X，即
nz 0
oz 0
az 0
0
1
使R式与(2-19)式相等，得
nx ox ax 0 xxVC yxVzS zxVyS 0
ny n 0 z
oy oz 0
ay az 0
1 0 0 x x z yV V 0 y zS S
yyVC yzVxS
0
zyVxS zzVC
0
0 0 1
(2-20)
0 1 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1
其变换的动作顺序为先平移后旋转。
4. 逆变换
将被变换坐标系变回到原来的坐标系时，可以用变换T的逆
T来1实现。
例如X=TC使C变换为X，若用X求C则为 T1XT1TC IC
nx ox ax px
给定变换T为
T