分形理论及其在材料科学中的应用
分形学理论
分形学理论分形理论是20世纪后期创立并且蓬勃发展的新学科之一。
分形理论把传统的确定论思想与随机论思想结合在一起，使人们对于诸如布朗运动、湍流等大自然中的众多复杂现象有了更加深刻的认识，并且在材料科学、计算机图形学、动力学等多个学科领域中被广泛应用, 称为非线性科学研究的一个十分重要的分支。
一．分形学的产生在19 世纪初期到20 世纪中期期间, 一些数学家、生物学家、物理学家等曾经研究了大自然中物体和现象的几何形状, 大自然中的物体和现象举不胜举,但是这些物体和现象普遍具有复杂的不规则形状, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力。
究其原因, 发现过去的几何对象都有其几何长度, 例如线段有长度、圆有半径和面积等, 而一棵树、一朵花、一片云却很难用长度、面积、体积等来描述其形状。
在传统的物理学研究之中, 牛顿的确定论是运动学的基础, 牛顿在表达物体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用, 确定论是人们相信在研究星内一颗小球运动的时候没有必要考虑屋外一棵树上落下一片树叶的影响, 但是约在1960年时, 美国气象学家洛伦兹在通过一组微分方程组预报天气时发现: 如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时, 这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异, 洛伦兹为了强调某些系数对初始值强烈的敏感性, 在1979 年12月29 日的华盛顿科学促进会中, 提出了一个形象的提问: “一只蝴蝶在巴西扇动翅膀, 会在得克萨斯引起风暴吗? ”由此留下了“蝴蝶效应”的说法。
另外, 在1827 年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性岩石在受击破碎时裂纹的复杂性等, 也很难用牛顿的确定论来描述, 传统的物理学也面临困境。
在化学领域里, 随着二十世纪初科学技术的发展, 有机物越来越受到人们的重视, 其中高分子已成为其中的重要的分支学科。
高分子分为两类: 一类是生物高分子, 如生物体中的核糖核酸、蛋白质等; 另一类是聚合高分子, 如塑料、橡胶、纤维等。
分形几何及其在材料科学中的应用
分形几何及其在材料科学中的应用作者：杜艳红来源：《科技视界》2018年第33期【摘要】自然界中的物质材料研究，都是需要根据其标度的性质进行。
而标度不变就是参考我们在用不同放大倍数照相机拍摄形象的研究过程中，无论放大的倍数是如何改变的，但是人们所观察到的照片都是较为相似。
根据这种物质的自相似性研究，能够开展深层次数学构造分析分型几何的概念研究，由此分形几何的产生背景条件也得以探求。
对此本文将针对其在材料科学中的应用展开细致化的讨论，以期能够给有关研究人员带来借鉴参考。
【关键词】分形几何；材料科学；应用探究中图分类号： TB303 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）33-0122-003DOI：10.19694/ki.issn2095-2457.2018.33.056【Abstract】The study of material materials in nature is based on the nature of its scale.The same scale is based on the fact that we have studied the image with different magnification cameras，no matter how the magnification is changed，but the photos observed are similar.According to the self-similarity study of this kind of material，it is possible to carry out the conceptual study of deep mathematical structure analysis and classification geometry，and the background conditions of fractal geometry can also be explored.In this paper，the paper will focus on the application of its application in materials science，in order to bring reference to relevant researchers.【Key words】Fractal geometry；Material science；Application exploration0 引言分形理论基于几何学的研究角度，将一些物质构成系统中的结合图形自相似性进行分析，该理论在耗散结构理论、混沌结构理论补充，能够将定量研究自然界的复杂现象提供较为有利的条件。
分形几何在材料科学研究中的应用
分形几何在材料科学研究中的应用随着科学技术的不断发展，分形几何作为数学领域的一种新兴分支，已经逐渐渗透到了许多领域，包括物理学、化学、生物学和经济学等等。
在材料科学领域，分形几何也逐渐成为一种重要的分析工具，并取得了一些重要的研究成果。
分形几何是指研究自相似性和分形维数的一种数学方法。
自相似性是指一个物体的某个部分与整个物体结构相似。
而分形维数则是一种用于描述分形物体复杂度的指标。
分形几何的应用范围非常广泛，它可以应用于分析图像、声音、信号等等，还可以用于描述地形、树木、海岸线等自然现象。
在材料科学领域，分形几何可以用来研究材料的形态、结构和性质等方面。
例如，在研究复杂材料的结构时，传统的材料分析方法已经无法满足要求，而分形几何提供了一种新的思路。
利用分形几何的方法，研究人员可以分析材料的形态及其微观结构，以此来预测材料的性质和行为。
下面将详细讨论一些具体的应用。
材料疲劳破坏分析疲劳破坏是一种常见的材料失效形式，特别是在高温和高压等极端环境下更为常见。
研究人员使用分形几何方法来研究材料的疲劳破坏性质，尤其是在多尺度结构下的性质变化。
分形几何提供了一种可靠的方法来描述复杂材料的形态和结构，包括疲劳裂纹的分布和演化。
这个方法已经成功应用于金属、陶瓷和高分子等多种材料的疲劳破坏分析中。
材料表面粗糙度分析材料表面粗糙度是描述表面形态和结构的一个重要指标，因为它可以影响材料的物理、化学和机械性质等多方面。
使用分形几何方法来研究材料表面粗糙度，可以将表面形态和结构表达为一个复杂的分形模型。
分形几何方法可以提供更多的信息，如表面的局部和全局自相似性、表面特征的分布和关联等。
这些信息可以被用来描述材料的表面形貌和表面质量。
材料断裂分析材料的断裂行为是研究材料性质的重要方面。
分形几何方法可以被用来研究材料的断裂性质，包括断裂面的形态和分布特征。
这个方法可以通过分析微观结构的自相似性来描述材料的断裂行为，在这个方法中，材料被看作是一个分形结构，其内部包含了不同尺度和层次的结构。
路面材料中分形理论应用论文
路面材料中分形理论的应用近年来，分形几何理论对于研究者探索自然界中不稳定、不规则的未知现象逐渐成为重要的突破途径，其应用的范围也由复杂的理论研究渗透到各个不同学科领域，如物理、化学、生物与医学、地质与地理学、计算机科学、材料科学甚至经济学、人文社科学。
而作为路面材料工程科学研究者们已经开始关注分形几何理论在揭示材料常见的粗糙、凹凸、破碎等无序系统的本质的优越性。
传统的欧式几何无法准确的阐述固体材料复杂无序事物的本质，而目前分形几何理论已经对沥青混合料中的微观结构分析、集料颗粒表面均匀性分析、集料级配曲线分析以及体积特性分析等方面发挥了很大作用。
1分形理论1.1定义分形作为非线性科学的一个分支，没有严格的定义，但它具有非线性领域的主要特征，即随机性和复杂性。
客观的某种规律支撑起复杂的现象，分形理论作为一种科学而前沿的技术手段，使我们从另一个角度探究出隐藏在复杂现象背后的某种规律，概念新颖，深入透彻的揭示局部与整体之间内在的关系。
1.2分形理论的两大重要原则（1）自相似原则通常指不同时间或空间中某些结构或者过程都是相似的，也可以表征某些系统或者过程的局部与整体性质的相似，甚至完全相同。
[1]自相似分形通常分为有规分形和无规分形，其中有规分形要求局部与整体之间相似性非常严格，类似无穷迭代而成的结构形式，是一种标准的自相似；而无规分形是满足近似相似或统计意义上的自相似，自然界中无规分形是普遍存在的。
因此，相对于有规分形，无规分形只是一种近似相似或者在统计范畴内相似。
（2）无标度原则无标度原则又称伸缩对称性，指对象的形状不随着观察尺度的变化而变化，也就是说无论图形分形到何种程度，表现出来的都是相同的复杂程度，使得从任何尺度都可以观察出图形的细节。
同时，无标度区是分形尺度关系成立的范围，所以超出这个无标度区就不再是分形结构。
1.3分形维数整数维是用来描述欧式几何中的对象，分形维数则是描述分形的重要指标。
分形维数与欧使几何的整数维之间有一定关系，并不是独立的，对于传统整数维尺度测量无果的对象，需要采用非整数维的尺度才能准确描述其复杂程度的分形维数。
分形理论在材料科学中的应用
分形理论在材料科学中的应用分形理论是一种追求深刻而统一的自然解释的数学分支，其研究的对象是那些几何结构像自我相似的物体。
分形理论从诞生起就与材料科学密不可分，它在材料科学中的应用是广泛而深刻的。
材料科学是一门研究物质结构性质和性能的学科，材料学的发展离不开新理论、新技术的探索和开发。
分形理论作为一种先进的数学理论，发展迅速，在材料科学中的应用也日益广泛，本文将探讨分形理论在材料科学中的应用。
一、分形几何理论简介分形几何学课程的主要目标是回答什么是分形，以及在什么情况下什么样的对象可以被称为分形。
常见的分形物体包括科赫曲线、曼德勃罗集、谢尔宾斯基地毯等。
在讨论分形时，一个基本的概念是“自相似”，描述同一对象中的小结构类似于大结构。
自相似的对象是由被称为“自相似维数”的特殊尺寸描述的。
自相似维度介于整数维度和集合的哈斯多夫维度之间。
哈斯多夫维度是被认为是分形集合最重要的指标之一，它给出了一个度量对象粗糙度的方法，可以用于分类不同形状、硬度与裂缝的固体材料。
二、分形理论在材料科学中的应用（一）材料表面形貌的分形特征材料的表面形貌是材料科学中一个常见而重要的研究对象。
通过建立表面拓扑模型，测量表面拓扑参数，描述表面形貌，可以对材料的摩擦、润湿性、光学特性、尺寸效应等性质进行定量分析。
分形理论研究表明，材料表面的粗糙度和自相似特征与材料的结构性质相关。
对于金属、陶瓷、高分子材料和纳米材料等材料，分形理论可以用于描述其表面自相似维数，预测其表面性质和材料工艺的可行性。
（二）材料内部结构分析材料科学中，材料内部的结构也是一个重要的研究方向。
分形理论可以分析材料内部的结构及其形成原因，常用于研究材料中的晶体缺陷、孔隙、裂缝、界面等，并通过研究分形维数预测材料的物理性质与力学性能。
从分形物理学角度来看，分形维度可以量化多相材料中的结构，例如多孔介质、颗粒团簇或复合材料的孔隙和颗粒的分布。
对于孔隙研究，孔隙的分形维度能够揭示材料的孔隙形状及其沟通性，预测材料的力学性能，同时也可用于描述氧化物、半导体和金属膜中界面多孔性质。
分形理论及其在混凝土材料研究中的应用
分形理论及其在混凝土材料研究中的应用摘要：改革后，我国的科学技术水平不断进步。
其中，混凝土在其形成和服役过程中表现出了一系列分形的特征。
因而，研究人员将分形理论科学地引入混凝土研究之中。
介绍了分形理论，综合评述了分形理论评价混凝土材料的胶凝材料颗粒特征、集料的表面特征、混凝土孔隙的分形特征、混凝土断裂韧性和断裂能的分形效应、分形理论在混凝土材料声发射中的应用，并提出分形理论在混凝土研究中的应用前景。
关键词：混凝土结构；裂缝；分形理论引言随着对混凝土结构方面技术和认识的进步与提高，人们对裂缝所造成的损伤也更加重视。
由于混凝土塑性收缩及沉降、荷载、钢筋腐蚀等原因，混凝土构件很容易产生裂缝，裂缝的出现不仅使混凝土刚度、强度降低，还会影响其美观性和耐久性。
混凝土是多相复合材料，具有不规则性、非线性等特征，导致混凝土裂缝扩展具有随机性，利用传统损伤力学知识并不能恰当地解决这个问题。
而研究表明混凝土材料各相分布以及裂纹演化均具有自相似性，这是分形理论应用于混凝土结构的基础。
运用分形理论，计算混凝土表面裂纹演化的分形维数，分析分形维数与分级荷载、挠度、最大裂缝宽度、损伤变量、断裂能等之间的关系，可以将其作为一种工程应用的参考依据。
1分形理论简介什么是分形呢?事实上,目前对分形还没有严格的数学定义,只能给出描述性的定义。
粗略地说,分形是对没有特征长度(所谓特征长度,是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者,例如一个球,可用它的半径作为它的特征长度。
)但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
曼德尔布罗特最先引入分形(fractal)一词,意为破碎的,不规则的,并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合,或者具有某种意义下的自相似集合;他也曾给出一个尝试性的定量刻画,说分形是豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。
但是所有这些定义都不够精确、不够全面。
英国数学家Falconer在其著作《分形几何的数学基础及应用》一书中认为,分形的定义应该以生物学家给出的“生命”的定义的类似方法给出,即不寻求分形的确切简明的定义,而是寻求分形的特性,将分形看作是具有如下所列性质的集合F:1)F具有精细结构,即在任意小的比例尺度内包含整体;2)F是不规则的,以至于不能用传统的几何语言来描述;3)F常具有某种自相似性,或许是近似的或许是统计意义下的;4)F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数;5)F的定义常常是非常简单的或许是递归的。
分形理论在我国混凝土材料科学研究中的进展
１ 分 形理 论简介
接下来 同济大 学的吴科如教授 、 严安博 士用激光法测试 计算
谢 什么是分形 呢 ？事 实 上 ， 目前 对 分形 还 没有 严 格 的数 学 定 了混 凝土断裂 面的分形维数 。董毓 利、 和平研究 了混凝土受压 损伤 过程 中的微裂缝演化 的分形描述 ， 建立 了损伤 因子与分形 维 义， 只能 给出描述性 的定 义。粗略地 说 ， 分形是 对没有特 征长 度 （ 谓特 征长度 ， 所 是指所 考虑 的集合 对象 所含 有 的各 种长 度 的代 数 的关 系。 １９ 年周瑞 忠研 究 了混凝 土结 构裂缝 尖端 应力场奇 异性 的 ９６ 表者 ， 例如一个 球 ， 可用 它 的半 径作为 它的特征 长度 。但 具有 一 ） 定意义下 的 自相似 图形 和结构 的总称 。曼德 尔布 罗特最 先引 入 分形 力学 意义。 分形 （ｒ ｔ１ ｆ ｃａ） ａ 一词 ， 为破碎 的 ， 意 不规则 的 ， 并且 曾建 议将分 形 定
中图分类号 ： ２ ＴＵ５８ 文献 标识 码 ： Ａ
分形理论是研究非线性 问题 的一 门新兴学 科 ， 它的研究对 象 重要 工具 。结 合分形理 论 的混 凝 土材料 科学 研究 在我 国 已有 十
Байду номын сангаас
是 自然界和非线性 系统 中出现 的不 光 滑 和不 规则 的几 何 形体 。 多年 的历史。 自 ２ 世纪 ７ 从 ０ ０年代 ， 曼德 尔布罗特 首先提 出分形 以来 ， 门学 这 １９ ９ ５年我国学者李 国强、 邓学钧在《 混凝土》 刊物上 发表 了一
２ 分形 理论在 我 国混凝 土 材料科 学研 究 中的进 展
１９ 年河海 大学朱卫华等 著文 介绍水 泥浆 体 中微 孔表 面分 ９８
分形理论及其应用
结语
• 分形理论是近些年发展起来的一门新学科。已被广泛的应 用到自然科学和社会科学几乎所有的领域，成为当今国际 上许多学科的前沿课题一种，然而我们还需要进行深入研 究： 如何判断一个对象是分形还是多重分形，还给分形一个严 谨的定义还需努力。 分形维数的物理意义。是描述分形特征的定量参数，但如 何理解分维确切的物理意义？ 分形的重构问题。既是任给一个几何上认为是分形的图形， 能否以某个制定的方式生成它？ 分形曲线的导数问题；分形的小波分析及小波变换产生分 形问题；图像的分形压缩问题等等。 • 总之，上面提到的这些问题对分形理论的发展至关重要， 需要人们深入进行探讨和研究。而分型理论作为非线性科 学的一个组成部分，它必将在发展中不断完善和走向成熟。
• 几种典型的分形：
Koch 曲线 Julia 集
三分康托集
1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人 知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而， 它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出 发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出 来的(如右图)。其详细构造过程是： • 第一步，把闭区间[0,1]平均分为三段， [0,1] 去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个 闭区间[0,1/3]和[2/3,1]。 三分康托集的构造过程 • 第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同 样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0,1/9]， [2/9,1/3]，[2/3,7/9]和[8/9,1]。 • 第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断 的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分 康托集。 三分康托集的 Hausdorff维数是0.6309。
Julia 集
Julia 集是由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础 理论后获得的。Julia 集也是一个典型的分形， 只是在表达上相当复杂，难以用古典的数学 方法描述。 • Julia 集由一个复变函数 •
分形几何原理在材料科学中的应用
分形几何原理在材料科学中的应用材料科学是一门综合性的科学，其中涵盖了许多学科，包括物理学、化学、工程学、材料学等。
在材料科学中，采用一些先进技术和理论，可以制造出更加优秀的材料。
而分形几何原理是一种新兴的数学科学，很多研究表明，分形几何原理可以在材料科学中发挥巨大的作用。
本文将介绍分形几何原理在材料科学中的应用。
一、分形几何原理的概述分形几何是指一种几何学的研究方法，它可以研究很多看起来很复杂的形式，从而帮助我们更好地理解自然现象的规律。
尤其对那些需要用到自相似、不规则等多种特性的现象和形态进行研究。
其中最著名的分形是著名的马蒂亚·曼德博集合。
曼德博集合的表现形式是一幅经过多次变换的图片，看上去非常复杂，但是它却包含了许多简单的规律，适用于几乎所有的自然物体。
二、在材料科学中，分形几何原理主要应用于材料表面形貌的研究。
材料表面的形貌对材料的性能有很大的影响。
例如，表面粗糙度可以影响材料的摩擦、磨损和耐腐蚀性能等。
因此，研究材料表面形貌对材料的使用和生产过程具有重要意义。
1、分形几何原理在材料表面形貌分析中的应用材料表面形貌分析是材料科学中的一个重要研究领域。
分形几何原理可以对材料表面形貌进行分析和计算，获得表面微观结构的附加信息。
这种信息可以帮助材料科学家更好地了解材料的性质和特点。
许多现实中存在的材料表面都是非常复杂的，无法用均匀和简单的几何形状来描述。
因此，应用分形几何原理可以使这些不规则形状的表面变得规律和可预测，帮助科学家更好地理解和预测材料的表面性质和表观形态。
2、分形几何原理在材料表面处理中的应用在材料的加工和生产过程中，表面处理是一个非常重要的过程。
分形几何原理可以通过形貌的特征，设计不同表面处理方法以获得不同的性能和特点。
例如，分形几何原理可以被用来导向表面纳米结构的合成。
通过控制单粒子的自组装或通过分子间的作用力等实现材料表面的精细调控。
而这些方法可以获得优异的性能，如超疏水、自清洁等特殊性质，具有广泛的应用前景。
分形物理学中的基本概念与应用
分形物理学中的基本概念与应用分形物理学是以分形理论为基础的一门颇具前沿性的学科，它将物理学、数学、计算机科学等多个领域的知识整合在一起，研究自然界中的形态复杂、几何规律非常规的事物。
这些事物包括云朵、海浪、山脉、自然界中的花纹形态等等。
分形物理学应用广泛，不仅对制造业、农业、军事等部门有一定的指导意义，更是在纳米科技、3D打印等方面得到广泛应用。
本文将借助几个实例来探讨分形物理学的基本概念和应用。
一、分形结构分形物理学最重要的概念之一就是分形结构。
所谓分形结构，就是指一个系统以某一规律重复自己，且这种规律在各个尺度上都是可控的。
经过科学家的研究发现，自然界中存在着许多分形结构，例如海岸线、闪电、树枝、云朵等等。
这些分形结构不仅形态美观，而且还有许多优势，例如对于气候和地形的适应性、自然界中更好的流体和传导等等。
分形结构有很多应用。
例如在固体材料的研究中，科学家将金属玻璃的微观结构设计成了分形结构，从而提高了材料的强度和韧性。
在建筑设计中，分形结构也有很多应用，例如上海交通大学的耐震钢结构大楼就使用了分形结构的原理，从而提高了建筑物的耐久性和抗震能力。
另外，在农业生产中，分形结构也有一定的应用，例如科学家们通过研究分形结构的原理，设计出了大豆根系的分形结构，从而提高了根系的质量和抗旱性。
二、分形动力学系统分形动力学系统是指暴涨宇宙、洪水、火山喷发等传统动力学系统中不可忽视的分形特征。
这里探讨一下分形动力学系统的粘滞性及其应用。
研究发现，分形动力学系统具有强烈的粘滞性，其滑动、粘聚等现象对于空气、水、土地等流体性质的变化具有显著的影响。
利用分形动力学系统的粘滞性，科学家可以对大气的空气、水、温度变化进行深入研究，例如白雪覆盖率、雨雪分布规律等等。
三、分形纳米结构分形纳米结构是指在纳米尺度上拥有分形结构的物质。
这种物质不仅形态具有规律，而且在物理和化学性质上也有一定的特点。
分形纳米结构还可以在材料科学中有应用。
分形理论在摩擦学研究中的应用
分形理论在摩擦学研究中的应用随着科技和经济的发展，工程材料的摩擦性能成为影响产品品质和生产效率的关键因素之一。
由于摩擦学研究的复杂性和多样性，从传统的微观或宏观角度来理解摩擦现象已经无法满足需求。
因此，分形理论作为一种新的描述自相似性的数学理论，被广泛应用于摩擦学研究中，成为了一种新的研究方法。
分形理论是指在一定的尺度下，其形态具有与整体相似的特点，并且适用于自然和人工系统中的许多复杂的非线性问题。
分形理论在摩擦学研究中的应用有两个层面：其一是分形几何学和复杂网络理论的应用，其二是分形分析和量化的应用。
首先，分形几何学和复杂网络理论的应用可以帮助我们进一步理解摩擦学的复杂性和非线性性。
通过构建复杂网络模型，研究不同尺寸下的摩擦特性，可发现摩擦力随着尺寸的变化而呈现不同的分形特性，即满足分形几何学的自相似性。
而且，通过构建复杂网络模型，还可进一步研究多尺度摩擦现象的内部关联性和整体行为。
例如，研究合金表面形态的多尺度结构与其摩擦性能的关系，可有效探究合金材料的摩擦磨损机理和优化设计。
其次，分形分析和量化的应用可以帮助我们更精确地描述和预测摩擦性能。
通过对摩擦曲线和摩擦力信号的分形分析，可以得到摩擦系统的分形维数和分形特性，从而实现对摩擦性能进行精准的描述和预测。
例如，分形分析可用于研究钢铁表面的摩擦磨损机理，预测扭曲角的变化和材料表面的耐疲劳性能。
总之，分形理论在摩擦学研究中的应用是一种新的研究思路和方法，将为我们进一步理解摩擦现象和解决相关问题提供有力的支持。
由于分形理论具有非线性、全面和多尺度的特性，应用前景非常广泛，并将在未来的研究中发挥更加重要的作用。
除了分形理论外，还有许多其他的数学方法也可以应用于摩擦学研究中，如统计力学、计算流体力学、非线性动力学等。
但是，分形理论作为一种新兴的数学理论，具有独特的优势和突出的特点。
其主要优势在于适用于自然和人工系统中的许多复杂的非线性问题，并且能够提供更全面和精确的描述和预测。
分形理论在无机材料中的应用
分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。
然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。
同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。
于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。
整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。
但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。
此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。
1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。
自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。
形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用【摘要】分形理论是一种新兴的数学理论，通过研究自相似的结构和规律，揭示了自然界复杂而规律的现象。
在机械工程领域，分形理论为工程师提供了新的视角和方法，可以优化设计、改善材料性能和实现振动控制。
分形几何在机械设计中的应用可以帮助设计出更加紧凑和高效的结构，提高机械设备的性能。
在材料科学中，分形理论可以帮助工程师设计出更加稳定和高效的材料，提高材料的力学性能。
分形模型在振动控制中的应用则可以帮助工程师设计出更加精确和有效的控制系统，减少振动对机械设备的损害。
未来，分形理论在机械工程领域的研究将继续深入，为工程师提供更加丰富和有效的工具，推动机械工程的发展。
分形理论在机械工程领域的重要性日益凸显，将对机械设备的设计、制造和维护产生深远影响。
【关键词】分形理论、机械工程、意义、应用、分形几何、材料科学、振动控制、未来发展方向、重要性1. 引言1.1 分形理论及其在机械工程中的应用分形理论是一种描述复杂自然现象的数学理论，其应用范围涵盖了各个领域，包括机械工程。
分形在机械工程中的应用主要体现在优化设计和振动控制两个方面。
分形理论可以帮助工程师更好地理解和优化机械系统的设计。
通过分析系统的分形特征，可以发现系统中的隐藏规律和优化空间，进而提高系统的效率和性能。
特别是在微机电系统（MEMS）和纳米技术领域，分形理论可以帮助设计出更加紧凑、高效的微型机械系统。
分形理论还可以应用于振动控制领域。
分形几何的不规则性和复杂性可以帮助设计出具有多频率阻尼效应的结构，对振动进行有效控制。
这种分形模型在汽车、航空航天等领域的振动控制中存在巨大的潜力，可以大幅提高系统的稳定性和安全性。
分形理论在机械工程中的应用为工程师提供了新的思路和方法，有助于解决复杂系统设计和振动控制中的难题。
未来随着理论的进一步发展和技术的不断创新，分形在机械工程领域的应用前景将更加广阔，对于推动机械工程领域的发展具有重要意义。
分形原理及其应用
分形原理及其应用分形是一种几何形状，其结构在不同的尺度上具有相似性。
分形原理是指自然界中许多复杂的现象都可以用分形来描述和解释。
分形原理的应用涉及到许多领域，包括科学、工程、艺术等。
本文将介绍分形原理的基本概念，并探讨其在不同领域的应用。
首先，分形原理的基本概念是指在不同的尺度上具有相似性的几何形状。
这种自相似性使得分形能够描述自然界中许多复杂的现象，如云彩、树叶、河流等。
分形的自相似性意味着无论是在整体上还是在局部上观察，其形状都是相似的，这使得分形成为描述自然界复杂结构的有效工具。
其次，分形原理在科学领域有着广泛的应用。
例如，在地理学中，分形可以用来描述地形的起伏和分布规律。
在气象学中，分形可以用来描述云彩的形状和分布。
在生物学中，分形可以用来描述植物的分支结构和叶片形状。
在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形噪声和分形结构的磁性材料等。
此外，分形原理在工程领域也有着重要的应用。
例如，在通信领域，分形天线可以实现多频段和宽带的性能。
在图像处理领域，分形压缩技术可以实现对图像的高效压缩。
在材料科学领域，分形可以用来描述复杂材料的结构和性能。
最后，分形原理在艺术领域也有着独特的应用。
许多艺术家将分形原理运用到他们的作品中，创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品不仅具有美学价值，还能够展现出分形原理的奇妙之处。
总之，分形原理是一种描述自然界复杂结构的有效工具，其应用涉及到科学、工程、艺术等多个领域。
通过对分形原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然界的复杂现象，同时也可以创造出更多具有分形特征的创新产品和艺术作品。
希望本文能够为读者对分形原理的理解和应用提供一些帮助。
基于分形理论的混凝土孔隙结构特征分析
基于分形理论的混凝土孔隙结构特征分析随着科技的发展，分形理论在材料科学领域得到了广泛应用，尤其是在混凝土孔隙结构特征的研究中。
本文将基于分形理论对混凝土孔隙结构进行分析，探讨混凝土孔隙结构的分形特性，以及分形理论在混凝土材料领域的应用。
一、混凝土孔隙结构特征分析混凝土是一种多孔材料，其孔隙结构对混凝土的物理性能和力学性能有着重要的影响。
混凝土孔隙结构的特征可以通过孔隙率、孔径分布、孔隙形态等参数来描述。
1. 孔隙率孔隙率是指混凝土中孔隙体积与总体积之比，通常用百分比表示。
混凝土的孔隙率越大，其密度越小，力学性能也越差。
因此，孔隙率是评价混凝土质量的一个重要指标。
2. 孔径分布混凝土中的孔隙大小不一，其大小分布对混凝土的力学性能有着较大的影响。
孔径分布可以用孔径分布函数来描述，常见的有累积孔径分布函数和概率密度函数等。
3. 孔隙形态混凝土中的孔隙形态也对混凝土的力学性能有着一定的影响。
孔隙形态可以通过孔隙形态系数来描述，系数越小，孔隙形态越规则，混凝土的力学性能也越好。
二、混凝土孔隙结构的分形特性分形是一种具有自相似性和重复性的几何形态，其在自然界和人工系统中都有着广泛的应用。
混凝土孔隙结构也具有分形特性，其孔隙分布的规律性可以通过分形维数来描述。
1. 分形维数分形维数是描述分形结构复杂度的一个指标。
对于一些简单的几何形态，其分形维数可以通过整数来表示，如线段的维数为1，平面的维数为2。
但对于复杂的分形结构，其维数通常是一个分数，如分形维数为1.5的分形结构，其复杂度介于平面和线段之间。
2. 分形特性的意义混凝土孔隙结构的分形特性表明其孔隙分布具有自相似性和重复性，这种规律性可以用来优化混凝土的孔隙结构，提高混凝土的力学性能和耐久性。
同时，分形特性也可以用来分析混凝土的微观结构，探究混凝土的力学性能与孔隙结构之间的关系。
三、分形理论在混凝土材料领域的应用基于分形理论的混凝土孔隙结构分析方法已经成为混凝土材料领域中的一种重要方法。
分形理论及其在无机材料研究中的应用
ｓ ａ ｃ ｎ ｉｏ ｇ ｎｃ ｔ ｉ ｌ ｇ ｏ ｈ，ｉ ｒ ａ ｉ ｔｒａ ａ ｎ ｒｃ ｕｅ ｕｆｃ ｅ ｒｈ ｏ ｎ ｒ ａ ｉ ｈｎ ｆ ｍ ｒ ｗｔ ｉ ｎｏｇ ｎｃ ｍａｅｉ ｗｅ ｒ ａ ｄ ｆａ ｔｒ ｄ ｓ ｒ ｅ，ｃ ｒｍｉ ｏ ｅ ， ｇａ ｓ ａ ｄ ｅ ａ １ Ｍ ｏｅ ｖ ｒ ｔｅ ｌ ａ ｅａ ｃ ｐ ｗｄ ｒ ｌｓ ｎ ｎ ｍｅ ． ｒｏ ｅ ， ｈ
序 可 以快 速计算 出无 规 分 形 维 数 。根据 累计 的 数据 ，
对各 种材 料 制 备 过 程 中存 在 的分 形 维数 进 行 比较 分
析 ， 以得到材 料 制备 过 程 中的 一些 重 要 信息 并 反 馈 可
到其 制备 中， 而从 一 个 全 新 的 角度 来 分 析 和证 实 材 从 料 的制备 、 烧结 等过 程 。（ 笔者 主要 阐述 了分 形学 的基 本理 论及其 在无 机材 料科 学 中的具 体应 ２
陶 瓷
２０ ．ｏ６ ０８Ｎ ．
分 形 理 论及 其 在 无 机 材 料研 究 中 的应 用
刘 立 营 王 秀峰 章 春 香 程 冰
（ 西科技 大学 材料 科学 与工程 学 院 西 安 陕
摘 要
７ ０２ ） １０ １
其 在 材 料 的烧 结 、 氧化 ， 膜 的 生 长 ， 料 的磨 损 、 裂 ， 薄 材 断 陶瓷 粉 体 和 玻 搪 材 料 中 的 应 用 ， 展 望 了分 形 学 的 发 展 前 景 。 并
关键 词 分 形 理 论 无 机 材 料 分 形 维 数
Ｔｈ ｏ ｙ ａ ｄ ｐｌ ａｉ ｎ ｆＦｒ ｃａ ｓｉ ｎ ｒ ａ ｃ Ｍ ａｅ ｉｌＲｅ ｅ ｒ ｈ ｅ ｒ ｎ Ａｐ ｉ ｔｏ ｓ ｏ ａ ｔ ｎ Ｉ ｏ ｇ ｎｉ ｃ ｌ ｔ ｒａ ｓ ａ ｃ
分形用途及意义
分形用途及意义分形是指一种通常由几何图形或动态系统生成的特殊图形，具有自相似性质。
这种自相似性使得分形能够在各种尺度上表现出相似的结构和形态。
分形理论不仅在数学和物理学领域中得到了广泛的应用，而且在生物学、地理学、经济学、艺术和文学等领域也得到了广泛的研究和应用。
分形的应用可谓是广泛而深远的，下面我们将对分形的用途及意义进行详细分析。
首先，分形在科学领域中具有重要的应用价值。
在数学和物理学领域，分形理论被广泛应用于描述自然界中的各种复杂现象，如云雾的形态、河流的分布、山脉的形态等。
分形结构能够更好地描述这些复杂现象的特征，并且为科学家提供了一种更为直观和有效的分析方法，有助于深入理解自然界的规律。
此外，分形理论还被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域，为相关技术的发展做出了重要贡献。
其次，分形对于生物学领域也有着重要的意义。
生物体内的血管、树木的分枝、植物的叶片等都呈现出明显的分形结构，分形理论被应用于分析这些生物体的形态特征和生长规律，为研究生物体的结构与功能提供了新的视角和方法。
分形理论的研究还为生物进化和生物多样性等问题提供了新的启示，为生物学领域的研究开辟了新的方向。
第三，分形在地理学领域也有着重要的应用价值。
地球表面的山脉、河流、湖泊等自然地貌都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析地理信息系统中的地形数据、地貌特征等，为地理学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解地球表面的形态特征和演化规律。
此外，分形还被应用于气候模拟、自然灾害预测等方面，为地理学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
第四，分形在经济学领域也具有重要的意义。
金融市场中的价格波动、股票价格的涨跌、经济指标的变动等都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析经济现象的复杂性和随机性，为经济学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解经济现象的特征和规律。
此外，分形还被应用于金融风险管理、商业预测等方面，为经济学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
分形几何理论与应用
分形几何理论与应用分形几何理论是一种独特的数学理论，它研究的不是传统意义上的整数、有理数或代数等，而是那些细致、复杂、无规则的自相似结构。
这个理论的发展和应用可以追溯到上世纪60年代，由波兰数学家曼德博特和法国数学家朱利亚·帕西亚斯开创并推动。
分形几何理论的应用范围广泛，涉及到自然科学、工程技术、艺术设计等领域。
本文将介绍分形几何理论的基本概念、应用案例以及未来的发展趋势。
一、基本概念分形几何理论的核心概念是“分形”。
分形是一种具有自相似性质的几何形状或图形，即整体的某一部分与整体本身具有相似的结构。
分形可以是自然界中的云朵、树叶、山脉等，也可以是数学模型中的图形、曲线等。
分形具有以下基本特征：1. 自相似性：分形的一部分与整体具有相似的结构，无论进行何种放大或缩小，都能保持这种相似性。
2. 细节复杂性：分形结构的细节非常复杂，无法用简单的几何形状或方程进行描述。
3. 尺度无关性：分形的特征在不同尺度上都存在，并且不会随着放大或缩小而改变。
二、应用案例1. 自然科学领域：分形几何理论在自然科学领域的应用广泛。
例如，地理学家可以利用分形理论来研究地貌形态的分布规律，了解山脉、河流等地貌形状的演化过程。
生物学家可以利用分形模型来研究植物、动物体内的血管网络结构。
天文学家可以用分形几何理论解释银河系的分布规律等。
2. 工程技术领域：分形几何理论在工程技术领域的应用也非常广泛。
例如，在传输网络设计中，可以采用分形模型来提高网络的稳定性和可靠性。
在材料科学中，可以利用分形几何理论来研究材料的表面粗糙度和纹理结构，从而优化材料的性能。
在城市规划中，分形理论可以帮助设计人员更好地解决交通流量、建筑物布局等问题。
3. 艺术设计领域：分形几何理论对艺术设计也有很大的启发。
艺术家可以运用分形的特性创作出具有美感和复杂性的艺术作品。
分形图形的迭代、放大和变换等操作可以产生各种独特的视觉效果，被广泛用于绘画、雕塑和数字艺术等领域。
分形几何学的应用领域与实例
分形几何学的应用领域与实例一、简介分形几何学是一门研究自相似结构的几何学分支，它的应用涵盖了许多领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
本文将介绍分形几何学在不同领域的应用，并举例说明其实际应用。
二、自然科学领域的应用1. 生态学分形几何学可以描述生态系统的空间结构和模式，揭示物种多样性和物种分布的规律。
例如，通过分析森林的分形维度，可以评估生物多样性和生态系统的稳定性。
2. 气象学分形几何学被用于分析天气系统中的云朵形态和气象图像的变化。
通过计算云朵的分形维度，可以对天气系统的复杂性和演化进行研究，并提供天气预报模型的改进。
3. 地质学分形几何学在地质学中的应用广泛，如地貌形态的分析和土地利用规划。
通过分形维度的计算，可以量化地表的粗糙度和复杂性，为地质灾害的预测和防治提供依据。
三、社会科学领域的应用1. 经济学分形几何学可以应用于金融市场的分析和预测。
股市价格的波动、股市指数和交易量等变量的时间序列数据都具有分形特征，分形几何学的方法可以揭示这些数据背后的模式和规律。
2. 城市规划分形几何学可以应用于城市结构的研究和规划。
通过计算城市空间的分形维度，可以评估城市发展的复杂性和组织性，为优化城市规划和交通规划提供指导。
3. 社交网络分形几何学可以用于分析和模拟社交网络的结构和演化。
通过研究社交网络的分形特征，可以揭示社交网络中的群体结构、信息传播模式等，为社交媒体的设计和社交行为的预测提供支持。
四、工程技术领域的应用1. 通信工程分形几何学可以用于无线信号传输中的天线设计和信道建模。
通过利用分形结构的多频段和多尺度特性，可以提高无线信号的传输效率和抗干扰能力。
2. 图像处理分形几何学在图像压缩和图像分割领域有着广泛的应用。
通过使用分形编码算法，可以实现对图像的高效压缩和恢复，实现图像传输和存储的节约。
3. 材料科学分形几何学可以用于研究材料表面的粗糙度和纹理特征。
通过分析材料表面的分形维度，可以评估材料的机械性能和耐磨性，为材料设计和制造提供指导。
分形理论及其应用阅读笔记
《分形理论及其应用》阅读笔记目录一、内容概括 (2)1. 分形理论的起源与发展 (2)2. 分形理论的应用领域 (3)二、分形的基本概念与性质 (4)1. 分形的定义 (5)2. 分形维数 (6)3. 分形几何与拓扑 (7)三、分形函数与映射 (9)1. 贝尔曲线与分形函数 (10)2. 莱布尼茨公式与迭代函数系统 (11)四、分形图像与纹理 (13)1. 纹理的计算机模拟 (14)2. 分形艺术与设计 (15)五、分形在自然科学与工程中的应用 (16)1. 地质学与地球物理学 (18)2. 生物学与医学 (19)3. 计算机图形学与图像处理 (20)六、分形在社会科学与管理中的应用 (21)1. 社会网络分析 (23)2. 经济预测与市场分析 (24)七、分形理论的发展趋势与展望 (26)1. 分形与量子力学 (27)2. 多尺度分析与分形集成 (29)八、结论 (30)1. 分形理论的重要性与价值 (31)2. 对未来研究的展望 (33)一、内容概括《分形理论及其应用》一书深入探讨了分形这一自然界广泛存在的现象，以及其在数学、物理、工程、经济等多个领域的广泛应用。
本书首先介绍了分形的基本概念，包括其几何特征和动力学性质，然后详细阐述了分形生成、分形维数、分形映射等核心理论。
在此基础上，书中进一步探讨了分形在自然景观、生态系统、社会经济系统等方面的应用，展示了分形理论在实际问题中的重要价值。
通过本章节的学习，读者可以更好地理解分形这一复杂而迷人的自然现象，以及它在我们生活中的广泛应用。
1. 分形理论的起源与发展分形理论起源于20世纪60年代，当时数学家们开始对自然界的许多不规则现象产生兴趣。
这些现象包括海岸线的形状、山川的起伏、云朵的图案等。
这些看似随机的形状实际上具有某种内在的规律和结构。
随着数学和计算机科学的发展，分形理论逐渐形成并完善。
Mandelbrot在1975年首次提出了分形的概念，并为一台计算机研制成功第一台光栅显示器。
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分形理论及其在材料科学中的应用Ξ郭从容 王雪松 杨桂琴 崔建中 严乐美 张万东(天津大学化学系 300072)摘要:分形是一门正处于迅速发展中的新学科,其影响范围和应用领域也在日益扩大。
本文简要介绍了分形的基本概念,以及分形应用于材料科学中的研究进展情况。
关键词:分形;自相似性;分形维数中图分类号:TN304 文献标识码:A 文章编号:1005-3077(1999)-01-0038-05The Fractal Theory and its Application in Material scienceG uo C ongrong Wang Xues ong Y ang G uiqin Cui Jianzhong Y an Lemei Zhang Wandong(Deparment of Chemistry,Tianjin University,300072)Abstract:Fractal theory is a rapidly developing subject of science.Its influence range and application field are enlarging.In this paper,the concept of fractal was explained,and its application in material science was described.K ey w ords:fractals;self-similarity;fractal dimension1 分形理论简介 Fractal一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1.1 分形理论的提出 众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。
然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。
同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢?随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。
于是,在七十年代中期,分数维几何学(fractal geometry)应运而生[1]。
整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。
但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗(B.B.Mandelbrot),他在总结了Ξ收稿日期:1998-12-01自然界中的非规整几何图形之后[2],于1975年第一次提出分形这个概念。
此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来;直至1982年Mandelbrot出版了他的专著《The Fractal G eometry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3]。
曼德尔布罗有句“口头禅”:云不是球形的,山不是锥形的,海岸不是圆形的。
他认为:分形几何学可用来描述和计算复杂的、不规则的图形和运动轨道,是一个可用于研究许多物理现象的有力工具;并提出了连续空间的概念,即:空间维数的变化不是跳跃性的,而是逐渐地、连续地变化。
它们不仅仅具有整数的维数,也可能是分维的。
1.2 自相似性 分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。
自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。
形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义),而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。
自仿射性则是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以不同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
而具有自相似性或自仿射性结构的体系就是分形体[4,5]。
例如:芦沟桥的狮子,大狮子上有小狮子,局部和整体都是狮子。
又如:硬币的背面是国徽的图案,国徽中有天安门城楼的图象,天安门上又有国徽,…,这种层层嵌套的图案,正是自相似性的典型例证。
事实上,自然界中的许多复杂现象和复杂图形背后,时常隐藏着一种无标度性,即从不同的尺度范围来看,局部与整体是自相似的。
这种体系到处可见,大到天体星系、变换不定的云彩,小到材料的裂纹、构件的断裂面、空气中的灰尘微粒,以及凝聚态物质的微观凝聚体等等,都具有尺度不同的多层次的形状和结构。
当你放大或缩小观察和测量的尺度时,形状和结构几乎不变。
可见,分形理论应用性研究的领域十分广阔,具有巨大的潜力。
1.3 分形体的数学构造 分形体是个其维数介于点、线、面之间的客体,具有分形特征的物体的维数往往是分数。
分形体不具有晶体几何的旋转对称和平移对称性,但具有其特有的标度对称、伸缩对称与自相似性。
分形体之间的差别在于标度的不同,而形状在不同尺度上是相同的[6]。
分形体的数学构造通常可分为以下四类:(1)Cantor棒分形;(2)Sierpinski四面体分形;(3)随机分形(又称不规则分形),如:渗流集团[7,8];(4)多重分形。
其中,多重分形[9]是定义在分形上的由多个标度指数的奇异测度所组成的无限集合,是为处理复杂而非均匀系统与过程而由Halsey等人发展起来的。
这是因为简单分形不能完整而生动地刻画大自然的复杂性与多样性,它仅是一种近似的手段;用一个参数不足以描述它,需要引入一系列参数用以更详细地描述复杂分形及其生长过程的特点。
1.4 欧氏空间与非欧氏空间 从数学的观点来看,在分形中产生了从欧氏测度到豪斯道夫测度的转变,即产生了测度观的转变;在物理上则表现为量纲数的转变,而这正是分形理论的主要特征。
可以说,分形理论带来了一场由平直的欧氏时空观转变到弯曲的非欧氏时空观的革命浪潮。
经典几何学是以古希腊的欧几里得几何学为基础的逻辑体系,它是以规整几何图形作为研究对象的。
由其定义不难看出:对于欧氏空间,其维数只能是整数。
而所谓几何测量是指长度、面积与体积的测量。
欧氏几何中的测量问题可用如下的公式加以描述: 长度=l; 面积A=al2; 体积V=bl3; 其中,a与b均为常数,称为形状因子。
显然,长度、面积与体积的量纲数恰与其欧氏空间维数相等,并且均为整数;可以证明微积分的基本思想正是以欧氏几何作为基础的。
然而,对于象海岸线、断口表面、粒子表面等不规则图形,怎样计算其空间维数呢?是否仍可按上述方法进行测量呢?广义上讲,这类曲线都存在如下特征:曲线在全区间上连续,但是并不满足可微或逐段可微的条件。
显然,上述的测量方法已不适用,传统数学对此无能为力;而分形理论则给出分形维数,并给出下述的计算原则: (1)仍以正四方形或正六面体作为标准; (2)改用如下的量纲:长度L=l D1;面积A=l D2;体积V=l D3;式中,1<D1<2,2< D2<3,3<D3; (3)对每个小标准几何图形的几何量按上式进行构造后迭加,并取下确界。
不难看出:分形几何学的一个明显特征就是其维数不再是整数,即改变了长度、面积与体积的量纲数。
分形曲线共同的特点是:处处连续,但处处不光滑。
这与经典几何学把曲线均视为处处连续,或至少是分段分块光滑的情况形成了两个极端。
这是对客观物体的形状从两个相反的方向进行抽象的结果。
而现实世界中的物体形状则是介于这两个极端之间。
2 分形维数的求算 分形维数是描述物体形态及物理现象的重要参数,它包含着深刻的物理意义,可以用它来表示不同的分形结构[10]。
分形维数有多种不同的定义,例如:豪斯道夫维数、信息维数、关联维数、广义维数、相似维数等等。
而较为常用的是豪斯道夫维数的定义:即对于一个D 维的物体,若将它每一维的尺寸放大L倍,会得到N个原来的物体,则豪斯道夫(Hausdorff)维数D=ln N/ln L,可见D不一定是整数。
例如:把一个立方体的每一个面等分成九块,挖掉位于中间的一个小方块,再对剩下的小立方体作同样的操作(。
最后剩下的几何体,称谢尔宾斯基(Sierpinski)海棉。
其分形维数D=ln N/ln L=ln20/ln3=2.7768。
该全息体的特点是:体积趋近于零,而其表面却趋于无穷大,故其维数介于2与3之间。
它内部有无穷多个自相似体,任何一个分割后的图形都是原来图形的翻版。
目前,常用的测定分形维数的实验方法,主要有:(1)分形曲线长度公式法;(2)周长2面积关系法;(3)表面积-体积关系法;(4)Sandbox法。
此外,测定二维随机分形的分形维数,还有(5)面积2回转半径法;(6)密度2密度相关函数法。
事实上,在测定分形结构的分形维数时,其实验方法的取定是分形结构的特点来决定的。
也就是说,不同的实验方法适用于不同的对象。
作者在对群青微胶囊进行分形研究中,曾根据颜料粒子分形结构的具体特点而进一步发展了常规Sandbox法,暂称为“放大图象法”[11]。
3 分形理论应用举例 由于具有分形特性的物质可能具有某种特殊功能,这无疑会引起材料科学工作者的极大兴趣,从而促使他们去研究分形的物理和数学机制,探索无序系统内部隐含的某种规律,并用分形维数值去规范无序系统。
不少材料工作者已经在这方面做了许多有意义的尝试,并取得一些有价值的成果。
本文在此仅就近年来分形在材料科学中的应用作以简要的介绍。
3.1 固体材料断裂分形行为 在对固体材料断裂所产生的断口(或断纹)的研究中,人们发现其具有分维特性。
无论是纳米复合陶瓷仿生结构陶瓷[12],还是岩石材料,其断裂均可用分形维数来表征。
Mandelbrot[13]等报道了冲击断口的分形维数与冲击功的实验结果:随着分形维数的增加,冲击功单调下降。
以后的实验表明,冲击功与分形维数成反变化的关系。
根据分形维数,可以得到断裂韧性的理论上界。
Rosenfield认为,断裂力学实验应服从分形的要求。
3.2 无机材料中的分形 在无机材料微观结构上,分形概念可用于描述其结构特点及其他情况。
用小角中子散射(SANS)对铝硅酸盐气溶胶研究[14]发现其内部在较大尺度范围呈现自相似性。
对多晶材料晶界的不规则性进行研究则发现没有进行热处理的材料的晶粒的分形维数为1,而进行热处理的为1.225。
龙起易等通过研究测量含马氏体和剩余奥氏体的金相照片的谢宾斯基地毯分维,发现谢氏分维越大,剩余奥氏体面积随马氏体晶粒变小的速度越慢。