2020湛江一中高一下数学期末考

湛江一中2020学年第二学期期末考试高一级数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把每题答案的代号填入答题卡内） 1.若0<<b a ，则有（ ） A ．1a <1b B . 01ab<< C. 2b >2a D. a >b - 2.由三角形数构成的数列1，3，6，10,15其中第8项是（ ）A . 28 B. 36 C. 45 D. 463.在ABC ∆中，若a =2，b=30,则B 等于（ ）A. 30B. 30或150C. 60D. 60或120 4.在等比数列{}n a 中，346781a a a a ⋅⋅⋅=，则19a a ⋅的值（ ）A. 3B. 9C. 3±D. 9±5.在一幢20m 高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为60，塔基的仰角为45，那么这塔吊的高是（ ）A. 20(1+)m 3B. 20(1+mC. mD. m 6.在等比数列{}n a 中，若公比q=4,且前3项的和等于21，则该数列的通项公式n a =（ ） A. 12+n B. 12-n C. 14n - D.14-n7.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若cos cos a A b B ⋅=,则ABC ∆的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形8.不等式3y x b ≤+所表示的区域恰好使点（3,4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b 的范围是（ ）A . 8b -≤<-5 B. 8b ≤-或b>-5 C. 85b -≤≤- D. 8b ≤-或5b ≥-9.设{}n a 是各项互不相等的正数等差数列，{}n b 是各项互不相等的正数等比数列，11a b =，2121n n a b ++=，则（ ）A. 1n a +>1n b +B. 11n n a b ++≥C. 1n a +<1n b +D. 1n a +=1n b +10.在R 上定义运算⊗:)1(y x y x -=⊗,若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意的实数x 成立，则a 的取值范围是（ ）A. )1,1(-B. )2,0(C. )23,21(-D. )21,23(- 二、填空题：（本题4小题，每小题５分，共20分．把答案填在答题卡相应的位置上） 11.不等式0232≤--x x 的解集是___________12.在ABC ∆中，若222a b c bc =++，则A=____________13. 已知数列{}n a 的前n 项和为12+=n s n ，则数列{}n a 的通项公式为n a =____________14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若104≥s ，155≤s ，则4a 的最大值是______三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15．（本小题满分12分） 设等差数列{}n a 第10项为24，第25项为21-， （1）求这个数列的通项公式；（2）设n s 为其前n 项和，求使n s 取最大值时的n 值。

16. （本小题满分12分）设二次函数2()1f x ax bx =++，若()f x >0的解集为{}21x x -<<，函数()23g x x =+， （1）求a 与b 的值 ； （2）解不等式()()f x g x >17.（本小题满分14分）x在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23 ， (Ⅰ)确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值。

18.（本小题满分14分）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

19. （本小题满分14分） 已知平面区域D 由 以P （1，2）、R （3，5）、Q （-3，4）为顶点的 三角形内部和边界组成。

（1）写出表示区域D 的不等式组；（2）设点（x ，y ）在区域D 内变动，求目标函数 Z=2x+y 的最小值；（3）若在区域D 内有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数)0(<+=m y mx z 取得最小值，求m 的值。

20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥． （1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设3(3)n nn n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *∈恒成立，求m 的取值范围湛江一中2009――2010学年第二学期期末考试高一级数学科答案二、填空题：11. {}31|-≤≥x x x 或 12. (120或23π) 13．⎩⎨⎧-122n )1()1(>=n n 14． 4 三、解答题： 15．（本小题满分12分）解：（1）由题意得 1024a = 2521a =-所以1545d =-，所以3d =-. ……………………………………………… 3分 所以10(10)n a a n d =+- = 24(10)(3)n +-⨯-=354n -+ ……………………………………………… 6分 (2) 法一：[]151(354)()3(35)222n n n a a n n n s n +-++⋅--==⋅= …………………………… 9分∴当n=17或18时，n s 有最大值 ……………………………………………… 12分法二：3540n a n =-+≥∴18n ≤ ……………………………………………… 9分 ∴n=17或18时n s 有最大值。

……………………………………………… 12分16．（本小题满分12分） 解：（1）210ax bx ++>的解集为{}21x x -<<则2-，1是方程 210ax bx ++=两根 …………………………………………… 2分∴ 211(2)1b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩……………………………………………… 4分∴1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ……………………………………………… 6分 （2）()f x =211122x x --+ 则211122x x --+>23x +……………………………………………… 7分即2540x x ++< ……………………………………………… 8分 即 41x -<<- ……………………………………………… 11分∴不等式的解集{}41x x -<<-……………………………………………… 12分17．（本小题满分14分）解（12sin c A =及正弦定理得，sin sin a A c C == ……………………………………………… 3分sin 0,sin A C ≠∴=5分 ABC ∆是锐角三角形，3C π∴=……………………………………………… 7分（2）解法1：7,.3c C π==由面积公式得1sin 623ab ab π==即 ①…………………………… 9分 由余弦定理得22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②……………………… 11分由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故……………………………………………… 14分 解法2：前同解法1，联立①、②得2222766a b ab a b ab ab ⎧⎧+-=+⇔⎨⎨==⎩⎩＝13　……………………………………………… 12分 消去b 并整理得4213360a a -+=解得2249a a ==或……………………………… 13分所以2332a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或故5a b +=……………………………………………… 14分 18.（本小题满分14分）解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m ………………………………………… 1分 则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360……………………………………… 4分 由已知xa=360,得a=x360,……………………………………………… 5分 所以y=225x+)0(3603602>-x x ……………………………………………… 7分 (II)108003602252360225,022=⨯≥+∴>xx x ………………………… 9分 104403603602252≥-+=∴x x y .……………………………………………… 11分当且仅当225x=x2360，即x=24时等号成立. ………………………………………… 13分即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.……………… 14分19（本小题满分14分） 解：（1）首先求三直线PQ 、QR 、RP 的方程.易得直线PQ 的方程为x +2y -5=0;直线QR 的方程为x -6y +27=0;直线R P 的方程为3x -2y +1=0. ……………………………………………… 3分 注意到△P QR 内任一点(x ,y )应在直线RP 、PQ 的上方,而在QR 的下方,故应有⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≥-+.0276,0123,052y x y x y x ……………………………………………… 5分 （2）由已知得直线：z x y +-=2，z 取最小值时，此直线的 纵截距最小。

作直线02:=+y x l ，将直线l 沿区域D 平行移动，过点Q 时Z 有最小值，………………………………… 8分 所以2min -=z ；…………………………………………… 9分（3）直线)0(<+=m y mx z 的斜率为-m ，……………………………………… 10分结合可行域可知，直线)0(<+=m y mx z 与直线PR 重合时，线段PR 上任意一点都可使)0(<+=m y mx z 取得最小值，………………………… 12分 又23=PR k ,因此，23=-m ，即23-=m ……………………………………………… 14分20（本小题满分14分）解：（1）由a n ＋1＝a n ＋6a n －1，a n ＋1＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1) (n ≥2)…………… 3分∵a 1＝5，a 2＝5 ∴a 2＋2a 1＝15……………………… 4分 故数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分（2）由（1）得a n ＋1＋2a n ＝5·3n……………………………………………… 6分由待定系数法可得(a n ＋1－3n ＋1)＝－2(a n －3n) ……………………………8分即a n －3n ＝2(－2)n －1 故a n ＝3n ＋2(－2)n －1＝3n －(－2)n………9分 （3）由3n b n ＝n(3n －a n )＝n ＝n(－2)n，∴b n ＝n(－23)n ………10分令S n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝23＋2(23)2＋3(23)3＋…＋n(23)n23S n ＝(23)2＋2(23)3＋…＋(n －1)(23)n ＋n(23)n ＋1…………11分得13S n ＝23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)n －n(23)n+1＝23[1－(23)n]1－23－n(23)n+1＝2－n(23)n+1∴ S n ＝6－3n(23)n+1＜6 ………………13分要使得|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＜m 对于n ∈N ＊恒成立，只须m ≥6 …14分。