第九章 重积分 单元测试题答案2

2π 1 2π 2 0 0 0 1
15、 D.
D 的质心为 x = 1, y = 0 ，则 I = ∫∫ xdxdy = x ⋅ A = 1⋅ π
D
故 I= 16、 B. 因 则
∫∫ 2 xdxdy − ∫∫ ( x + y ) dxdy = 2 x ⋅ A − ∫ 2π dθ ∫
2 2 D D
π
2cosθ
⎛ 1 1⎞ π 5π 4
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้2 × + 3× ⎟ ⋅ = ∫∫ ( 2 x + 3 y ) dσ = ( 2 x + 3 y ) A = ⎜ 2 2⎠ 2 ⎝
D
7、 336π 旋转曲面的方程为： 2 z = x + y ，用先二后一法求解得
2 2
∫∫∫ ( x
Ω
2
+ y 2 )dv =
⎡ ⎤ 2 2 x y dxdy + ⎢ ⎥dz ( ) ∫2 ⎢ 2 ∫∫ ⎥ ⎣ x + y2 ≤2 z ⎦
= 2 ∫∫
D
a a −x −y
2 2 a cosθ 2
dxdy = 4 ∫∫
D1
a a −x −y
2 2 2
dxdy
(D : x
1
2
+ y 2 ≤ ax, y ≥ 0 )
= 4 ∫ 2 dθ ∫
0
π
a a − r2
2
0
rdr
10、 D. 积分区域的图形如图 9-3 所示，
图 9-3 则I =
∫
3π 4 0
1 y
1 1 1
t
t
t
x
t
已知 f ( x) 连续，故 F ′ ( 2 ) =
dF dt
= ( t − 1) f ( t )
t =2
t =2
= f ( 2)
二、填空题（每小题 3 分，共 60 分） 1、 1 − sin1 改变积分次序得：
∫ dx ∫
0
1
x
x
1 y sin y 1 sin y dy = ∫ dy ∫ 2 dx = ∫ (1 − y ) sin ydy = 1 − sin1 0 y 0 y y
2
而
⎡ π⎤ cos u 在 [ 0,1] ⊂ ⎢0, ⎥ 内单调减少 ⎣ 2⎦ cos x 2 + y 2 < cos ( x 2 + y 2 ) < cos ( x 2 + y 2 )
2
所以
从而选项 A. 成立 20、 B
F (t ) = ∫ dy ∫ f ( x)dx (交换积分次序) = ∫ dx ∫ f ( x)dy = ∫ ( x − 1) f ( x)dx
2 2 A = 2 ∫∫ 1 + z x + zy dxdy D
(z =
2
a2 − x2 − y 2
)
⎞ ⎟ dxdy ⎟ ⎠
2
= 2 ∫∫
D
⎛ −x 1+ ⎜ ⎜ a2 − x2 − y2 ⎝
⎞ ⎛ −y ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ a2 − x2 − y 2 ⎠ ⎝
2
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−
2
0
3 π r 3 dr = 2π − π = 2 2
∫
1
0
f ( x )dx = ∫ xf ( x )dx ，故 ∫ f ( x )dx − ∫ xf ( x )dx = 0
0 0 0
1
1
1
∫∫
D
f ( x)dxdy = ∫ dx ∫
0 1
1
1− x
0
f ( x ) dy = ∫ f ( x ) dx ∫
2π
0
dθ ∫ 2 sin ϕ dϕ ∫
0
π
0
r cos ϕ ⋅ r 2 ⋅ r 2 dr
cos ϕ 0
=
r 2 ⋅ r 2 dr
5 8
9、
28 π 45
用平行于 xOy 平面的平面 Z = z ( 0 < z < 1) 去截椭球面得一椭圆
x2 y2 + = 1 ，它围成的图形的面积为 z2 z2 ⎞ 2⎛ 1 − 3 2 ⎜1 − 3 ⎟ 3 ⎝ 3 ⎠ S ( z) = π 1−
2、
8 3
3 x dσ = ∫∫ y + 3x dσ + ∫∫ − y + 3x dσ
D1 D2 1
∫∫ y +
D
(
)
(
)
=∫
2π 3
−
π
3
3 dθ ∫ r sin θ + 3r cos θ rdr − ∫2π sin θ + 3 cos θ dθ ∫ r 2 dr 0 3 0
(
)
5π
(
)
1
8 = （注： D1 , D2 如图 9-5 所示） 3
D3 D1
7、 C . 设 D1 : x + y ≤ a , x ≥ 0, y ≥ 0 ，则 f ( x, y ) = xy 既是 x 的偶函数，又是 y 的偶函数，
2 2 2
D 既关于 x 轴对称又关于 y 轴对称，故
I = 4 ∫∫ xydxdy = 4∫ 2 dθ ∫ r 3 cos θ sin θ dr =
D1 D1
则
原式 = 8
∫∫ xdxdy = 8∫ xdx ∫
D1 0
1
1− x
0
dy =
4 3
y
D1
O x
图 9-6
4、
∫
π
2
π
4
dθ ∫
cscθ
0
f ( r 2 ) rdr
5、
3 2 π 4 x 2 + y 2 ， 其 被 两 圆 柱 面 所 截 在 xOy 平 面 上 的 投 影 区 域 为
曲面的方程为 z =
图 9-4 则由对称性知： x = 0
3
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y=
13、 B.
∫∫ ydxdy
D
A
=
2 ∫ 2 sin θ dθ ∫
0 2
π
4sin θ
2 ⋅π −1 ⋅π
2sin θ 2
r 2 dr
=
7 3
∫∫ y dxdy = ∫
2 D
2π a
0
dx ∫ y 2 dy
0
y
=∫ =
0 ≤ θ ≤ 2π
2
1≤ r ≤ 2
∫
2π
0
dθ ∫
2
1
⎛1 ⎞ sin π rdr = −2π ⎜ cos π r ⎟ = −2 ( cos 2π − cos π ) = −4 ⎝π ⎠1
19、 A.
4
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因在 D : x + y ≤ 1 内
2 2
x2 + y 2 > ( x2 + y 2 ) > ( x2 + y 2 )
D1 : x 2 + y 2 ≤ 1 ， D2 :1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 I = ∫∫ (1 − x 2 − y 2 ) dxdy + ∫∫ ( x 2 + y 2 − 1) dxdy
D1 D2
= ∫ dθ ∫ (1 − r 2 ) rdr + ∫ dθ ∫ ( r 2 − 1) rdr
6
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因匀质的平面图形的质心的公式为： x = 故
∫∫ xdσ
D
A
，y=
∫∫ ydσ
D
A
∫∫ xdσ = Ax ， ∫∫ ydσ = A y
D D
且
1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ D : ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ ≤ ，故 A = π ⋅ ，则 2 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 ⎝
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第九章、重积分
一、选择题（每小题 2 分，共 40 分） 1、 A.
单元测试题答案
因为积分区域关于 xOy 平面对称而被积函数是关于 z 的奇函数，故 I = 0 2、 C .
7 1 7 7 ln ( x + y ) ⎤ < 0 ， 0 ≤ sin ( x + y ) ≤ ( x + y ) ，故 I1 < I3 < I 2 ≤ x + y ≤ 1 ，且 ⎡ ⎣ ⎦ 2 3、 C .
0 1
1
1− x
0
dy
= ∫ f ( x )(1 − x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ xf ( x ) dx = 0
0 0 0
1
17、 C. 因空间区域 Ω1 关于坐标平面 x = 0, y = 0 对称， 而被积函数 z 既是 x 的偶函数， 又是 y 的 偶函数，因此 C. 成立 18、 B. 用极坐标计算，则 x = r cos θ , y = r sin θ 原式 =
D2
∫∫ xydxdy = ∫∫ xydxdy + ∫∫ xydxdy = 0 （ D 见图 9-2）
D D3 D2
图 9-2 同理
∫∫ cos x sin ydxdy = 0
D2
因 D3 关于 y 轴对称， g ( x, y ) = cos x sin y 是关于 x 的偶函数，故
∫∫ cos x sin ydxdy = 2∫∫ cos x sin ydxdy
⎛ z2 ⎞ z2 z2 2 1 2 π ⋅ − = ⎜1 − 3 ⎟ 33 33 ⎝ 3 ⎠