动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程)1
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质点系的牛顿运动定律
n
n
i1 Fi m1a1 m2 a2 m a 质点系的牛i顿1运动定i 律i
质点系的牛顿第二定律
例1：如图，质量为M、倾角为α的 斜面静止在粗糙的水平面上，质量 为m的滑块沿M粗糙的斜面以加速度 a下滑，求： （1）物体M受到地面的摩擦力大小 和方向。 （2）物体M受到地面的支持力大小
质点系的牛顿运动定律
F
1 2
质点系的牛顿运动定律
Fi
质点系各质点受系统以外力 F1、F2、…Fi…
mi
F1i Fi1
m1
F1
F31
F13
质点1
F3
m3
F1 F21 F31 Fi1 m1a1
各质点
… F21
F12
m2
F2 F12 F32 Fi2 m2a2
F2
Fi F1i F2i Fni miai
作用在质点系中的合外力，等于质点系的总质量和质心加 速度的乘积。
推论：
（1）如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用下，
则它的质心始终不动。
（2）如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用下，
则它的质心将以原来的速度做匀速直线运动。
（3）如果一个质点系在恒定合外力作用下，且质心的初速度为零
y
y
y
A
A
A
y A
x B
O
y A
B
B
O
O
A
B
B
B
O
O
C
D
质点系的牛顿运动定律
质心的应用
例2：在光滑水平面上，直立一 长度为l的均质杆AB，在如图所 示的坐标系中，(2)求杆从竖直 位置开始无初速倒下到触地的 过程中，端点A的轨迹方程。
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
大学物理第二章质点动力学PPT课件
•若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。
•常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
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12
五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：
如在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
Fn
man
mv2
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6
三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用
力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
F21F12
第三定律主要表明以下几点：
（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。
（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
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5
Fx mxamddxvtmdd22xt Fy myamddyvtmd d22yt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
Ft
mat
mdv dt
2021
27
1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中 的光速规定：
c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。
❖其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位
如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）
加速度a=△V/t，单位：米/秒2（m/s2）
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
2 2 2 α + a1 cos2 α
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
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例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
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桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
动力学基本定律（牛顿定律）
1.第⼀定律——惯性定律
任何质点如不受⼒的作⽤，则将保持静⽌或匀速直线运动状态。
这个定律表明了任何质点都有保持静⽌或匀速直线运动状态的属性。
这种属性称为该质点的惯性。
所以第⼀定律叫做惯性定律。
⽽质点作匀速直线运动称为惯性运动。
由惯性定律可知.如果质点的运动状态(静⽌或匀速直线状态)发⽣改变，即有了加速度，则质点上必受到⼒的作⽤。
因此，⼒是物体运动状态改变的原因。
2.第⼆定律——⼒与加速度的关系定律
质点受⼀⼒F作⽤时所获得的加速度a的⼤⼩与⼒F的⼤⼩成正⽐，⽽与质点的质量成反⽐;加速度的⽅向与作⽤⼒⽅向相同，即
ma=F (4-3-1)
如果质点同时受⼏个⼒的作⽤，则上式中的F应理解为这些⼒的合⼒,⽽a应理解为这些⼒共同作⽤下的质点的加速度，这样式(4—3—1)可写为
ma=ΣFi (4-3-2)
式(4—3—1)或式4—3—2)称为质点动⼒学基本⽅程。
3.第三定律——作⽤与反作⽤定律
两质点相互作⽤的⼒总是⼤⼩相等，⽅向相反，沿同⼀直线，并分别作⽤在两质点上。
这些定律是古典⼒学的基础，它们不仅只适⽤于惯性坐标系，且只适⽤于研究速度远少于光速的宏观物体。
由于⼀般⼯程问题中，⼤多问题都属于上述的适⽤范围，因此以基本定律为基础的古典⼒学在近代⼯程技术中仍占有很重要的地位。
质点动力学的基本方程最新课件.ppt
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
质点动力学1汇总
A对地面速度V 为u与V 的矢量和，即：
u
V V 2 sin 2 (u V cos )2
T cos ma T sin mg
a gctg
E204. 质量为m的物体，最初静止于x0，在力 f k / x2 (k为常数)作用下沿直线运动．求物体在x处的速度大小
解： f ma m dv dt
dv v dv dt dx
mvdv kdx 1 mv2 k c
x2
2
x
x x0 , v 0 c k / x0 v 2k (1 1 )
m x x0
了解知识
非惯性系与惯性力
问题：设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平
面上，小球水平方向合外力为零。突然使小车向右对地作加
速运动，小球将如何运动？ 地面观察者：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律
车上观察者：小球以－a0 相对于小车作加速运动
小车是非惯性系，车上观察者解释：
小球之所以对小车有 –a0 的加速度，是因为受到了一个指向
速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。
关于质 量
１）质量是物体惯性大小的量度： ２）引力质量与惯性质量的问题：
F m惯a
F引＝ＧＭm引 R2
m1惯 m1引
m2惯 m2引
GM R2a
调节引力常数Ｇ， 使m引，m惯的比值为1。
惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。
3、牛顿第三定律
科里奥利力：其与牵连运动有关，还与对象对非惯性
系的相对f运动有2关m，v
落体偏东； 江岸的冲刷 信风
本课要点
Fx max Fy may
F
m dv dt
mR
Fn
v2 m
u
V V 2 sin 2 (u V cos )2
T cos ma T sin mg
a gctg
E204. 质量为m的物体，最初静止于x0，在力 f k / x2 (k为常数)作用下沿直线运动．求物体在x处的速度大小
解： f ma m dv dt
dv v dv dt dx
mvdv kdx 1 mv2 k c
x2
2
x
x x0 , v 0 c k / x0 v 2k (1 1 )
m x x0
了解知识
非惯性系与惯性力
问题：设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平
面上，小球水平方向合外力为零。突然使小车向右对地作加
速运动，小球将如何运动？ 地面观察者：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律
车上观察者：小球以－a0 相对于小车作加速运动
小车是非惯性系，车上观察者解释：
小球之所以对小车有 –a0 的加速度，是因为受到了一个指向
速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。
关于质 量
１）质量是物体惯性大小的量度： ２）引力质量与惯性质量的问题：
F m惯a
F引＝ＧＭm引 R2
m1惯 m1引
m2惯 m2引
GM R2a
调节引力常数Ｇ， 使m引，m惯的比值为1。
惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。
3、牛顿第三定律
科里奥利力：其与牵连运动有关，还与对象对非惯性
系的相对f运动有2关m，v
落体偏东； 江岸的冲刷 信风
本课要点
Fx max Fy may
F
m dv dt
mR
Fn
v2 m
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
第九章动力学微分方程(陆)案例
o
x
★理论力学电子教案
第一个方程的解：
dv x dt
k m
v
x
dvx k dt
vx
m
ln vx
k m
t
c
kt
vx ce m
初始条件：
第9章 约束 质点动力学微分方程
kt
vx v0e m
kt
dx v0e m dt
x
x0
mv 0 k
kt
em
10
y
v O
F
h
mg
o
x
初始条件： x |t0 0 x0 v0m / k
vx |t0 v0 c v0
x
v0m
(1
kt
em
)
k
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
11
第二个方程的解：
dv y dt
k (mg mk
vy )
dy vydt
y
y0
mg k
( k m
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一质点M在xy平面内运动，已知运动 轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。 试分析质点的受力。
解:
Fx
ma x
m
d2x dt 2
mbk 2
cos(kt)
mk 2 x
y
o r
F
Fy
ma y
m
d2y dt 2
mck
|t0 0, |t0 0 c g / r
第11章动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程).
动力学两 类基本问 题：
(1) 已知运 动求力； (2) 已知力 求运动。
ma F
此外，尚有虚位移原理（分析力学一部分）——用动力学方法求解静力学 问题。
6
（动）力学原理分类：
先了解一下
微分 形式 力学 原理 积分 形式
非变分形式（如牛顿定律、普遍定理、 达朗伯原理、拉氏方程） 变分形式（如虚位移（功）原理、动力 学普遍方程） 非变分形式（如普遍定理、能量守恒原理） 变分形式（如哈密顿原理）
8
三、质点运动微分方程（动力学基本方程）（指惯性参考系下）
即牛二定律的微分形式： ma F
d 2r 矢径式 m 2 F dt
d2 x m 2 X dt 2 d 直角坐标式 m y Y 2 dt d2 z m 2 Z dt
d2s m 2 F dt 2 v 自然坐标式 m Fn 0 Fb
作业：11-3, 11-4
10
如此诸多名称，你一下子记不住，可以在后面学习中 慢慢理解。
7
第11章 动力学基础(牛顿定律 质点的运动微分方程)
牛顿三大定律——动力学的理论基础（相当于静力学的公理）
复习或简介以下内容：
一、牛顿三大定律： 请同学叙述，请其他同学回答叙述是否正确。
问题：牛顿定律对刚体是否成立？
二、（运动）参考系：
提问：①什么是惯性参考系和非惯性参考系？一般如何确定惯性参考系？
4
哲 学 家 云： 静止是相对的，运动是绝对的 物理学家云：静止是相对的，运动也是相对的
运动学——仅从几何角度 研究 物体 的 运动规律。
（动）点 刚体 (无质量) 绝对法 合成法 点的 运动 学
1 质点运动微分方程
T 2 / n
q
q0
n
A
0
t
q A sin( n t )
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 n 以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止
初始条件：
q 0 2, q 0 0
固有频率从左到右：
位置
n , 2 n , 3 n
时间
例4 圆柱破碎机械中放置钢球与石块，为使石块破碎效率最佳， 应使转动圆柱中的钢球达到最高位置再落下，试求此时转速 n。 解: 沿法向建立质点运动微分方程:
F m a 质量是物体惯性的度量
第三定律 作用与反作用定律 两物体间相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿同一 作用线，且同时分别作用于两个物体上 。
质点的运动微分方程
一、矢量式 2 dv d r ma m m 2 F dt dt 二、直角坐标式
d2 x m 2 Fx dt
Fx dx dt m
Fx x 0 dx m
t
0
dt
（2）力是位置的函数
F F r
例如：弹簧力
'' x''
F x x m dx dx dx dx （分离变量法） x x dt dx dt dx
F x m x
F
FN
o
n
解：取质点为研究对象
r
m a m g F FN
mg cos F : mr d n : mr 2 mg sin F N (1) ( 2)
mg
由（2）式解得： FN m r 2 m g sin
q
q0
n
A
0
t
q A sin( n t )
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 n 以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止
初始条件：
q 0 2, q 0 0
固有频率从左到右：
位置
n , 2 n , 3 n
时间
例4 圆柱破碎机械中放置钢球与石块，为使石块破碎效率最佳， 应使转动圆柱中的钢球达到最高位置再落下，试求此时转速 n。 解: 沿法向建立质点运动微分方程:
F m a 质量是物体惯性的度量
第三定律 作用与反作用定律 两物体间相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿同一 作用线，且同时分别作用于两个物体上 。
质点的运动微分方程
一、矢量式 2 dv d r ma m m 2 F dt dt 二、直角坐标式
d2 x m 2 Fx dt
Fx dx dt m
Fx x 0 dx m
t
0
dt
（2）力是位置的函数
F F r
例如：弹簧力
'' x''
F x x m dx dx dx dx （分离变量法） x x dt dx dt dx
F x m x
F
FN
o
n
解：取质点为研究对象
r
m a m g F FN
mg cos F : mr d n : mr 2 mg sin F N (1) ( 2)
mg
由（2）式解得： FN m r 2 m g sin
运动微分方程
F = ma
铁球在未离开筒壁前m的vR2速度F，N等mvgcoRwsq πnR
于筒壁上与其重合点的速度。即
30
运动微分方程
mvR2 FNmgcosq
v Rw πnR
30
1
nπ3R0m R(FNmgcoqs)2
当θ=θ0 时铁球将落下，这时FN =0，于是得滚筒转速
n9.549 Rg cosq0
q0 F
速度成正比：F=cv，c为常数。求回收舱到达地
面时的速度和加速度。
运动微分方程
例题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平
匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。
q0 F
n
FN mg
视铁球为质点。铁球被旋 转的滚筒带着沿圆弧向上运动， 当铁球到达某一高度时，会脱 离筒壁而沿抛物线下落。
aC
Fe
OC
O'
R
这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。
应用循环变换q q dq，将式( a )的变量分离并代
dq
入初始条件进行积分
运动微分方程
q q dq dq
qw2siqn
qqdqqw2siqndq
2w
0
q w q 222(1co)s
w O
art
vr
FN M
ae
aC
Fe
arn qFC s
牛顿定律的适用范围： 惯性坐标系； 速度远远小于光速； 宏观物体; 质点(平动刚体)
动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计 算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分 析等都需要有动力学的知识作为基础。
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
4
§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
力学第十二章 动力学基本方程
第三节 质点运动微分方程
例12-2 研磨细矿石所用的球磨机可简化为如图12-3所示。当圆筒 绕水平纵轴O转动时，带动筒内的许多钢球一起运动，当钢球转到 一定角度α时，开始和筒壁脱离而沿抛物线下落，借以打击矿石。 打击力与α角有关，且已知当α＝５０°４０′时，可以得到最大的 打击力。设圆筒内径d=3.2m，问圆筒转动的转速n应为多少? 解 取研究对象：钢球M。 三、质点动力学第二类基本问题
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
表 12-2
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
表 12-2
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
B120206.TIF
4.转动惯量的平行移轴定理
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
图 12-7
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
投影到轨迹的切线和法线上，即自然坐标轴上，得 二、质点动力学第一类基本问题
图 12-2
第三节 质点运动微分方程
例12-1 电梯以匀加速度a上升，如图12-2所示，电梯的重量为W， 在电梯地板上放重物G，求绳索所受张力和重物对地板的压力。 解 1)求绳索所受张力F。 ２)求重物对地板的压力。
图 12-３
图 12-6
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
(2)均质圆盘对于通过中心的垂直轴的转动惯量 设圆盘单位面积 的质量为γ，z轴过重心(图12-6)。 2.回转半径
工程上为了表达和运算的方便，经常引用回转半径的概念。 将刚体的转动惯量Jz设想为刚体的总质量m与某一长度ρ的平方的 乘积，即 3.常用的几种简单形状刚体的转动惯量计算公式(见表12-2)
图 12-9
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
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（刚体自身)
刚体的平面运动（刚体，平面运动，合成法）
物理学家所 云“相对” 指相对一参 考系——固 连在参考体 上的坐标系。 如不说明， 默认地面为 参考系。
运动方程 位移 速度 加速度 轨迹
（刚体上的点）
4
展望未来……
5
第三篇 动力学
引言
动力学——研究 物体 运动与受力的关系。
质点（质点动力学） 质点系（质点系动力 学）
点、刚体（无重）
动力学——研究物体运动和力的关系。（研究“运动—力”）
质点、质点系
2
第一篇 静力学
引言
★ 静力学三个基本问题：
(1)物体的受力分析；——也是所有力学的基本问题 物体受力分析、受力图。
(2)力系的简化； 力系、等效力系、力系的等效替换、力系的简化。
(3)力系的平衡条件及其应用； 平衡力系、力系的平衡（比较：物体的平衡）、力系的平衡条件、力
牛二定律（动力学基本微分方程） 动力学普遍定理（三大定理） 达朗贝尔原理（动静法） 分析力学（动力学普遍方程和拉氏方程）
“运动——力” 不同方法用不同 的概念建立不同
动力学两 类基本问 题：
的关系式。最基 (1) 已知运 本的是牛二定律： 动求力；
ma F
(2) 已知力 求运动。
此外，尚有虚位移原理（分析力学一部分）——用动力学方法求解静力学 问题。
Qk mak
牵连惯性力 哥氏惯性力
9
特例：当非惯性参考 系 O' x' y' z' 作匀速直线运动时，Qe 0，Qk 0 则 mar F
说明：①在作惯性运动的动系中，发生的一切力学现象及其内在规律，与
在静系中发生的完全相同。——伽利略相对性原理。
②相对惯性参考系作惯性运动的参考系仍是惯性参考系。
牛顿三大定律——动力学的理论基础（相当于静力学的公理）
复习或简介以下内容：
一、牛顿三大定律： 请同学叙述，请其他同学回答叙述是否正确。
问题：牛顿定律对刚体是否成立？
二、（运动）参考系：
提问：①什么是惯性参考系和非惯性参考系？一般如何确定惯性参考系？
惯性参考系——质点在此参考系中作匀速直线运动（惯性运动），且受 力为零。即牛顿所谓“绝对静止不动的参考系”。相对惯性参考系作匀 速直线运动的参考系也是惯性参考系。
回顾历史……
1
绪论
理论力学为经典力学：宏观物体，速度远小于光速。
1. 什么是理论力学？ 理论力学──研究 物体 机械运动 一般规律 的科学。
抽象模型 (同学回答) 运动力学——研究物体受力及平衡规律。（只研究“力”）
刚体、刚体系
运动学——仅从几何角度研究物体运动规律。（只研究“运动”）
O’x’y’z’（动系）。现研究非惯性参考系下质点的运
动微分方程。
惯性参考系Oxyz中：
maa
F
aa ae ar ak
m(ae ar ak ) F
mar
F
mae
mak
mar F Qe Qk
Q e mae
系的平衡方程。
★ 静力学分四部分：
▲ 静力学基础（静力学理论基础，物体受力分析，
几个重要和基本的概念）；
▲ 力系的简化（各种力系的简化过程）；
▲ 力系的平衡（各种力系的平衡条件及应用）；
▲ 摩擦（摩擦概念和考虑摩擦的平衡）。
3
第二篇 运动学
哲 学 家 云： 静止是相对的，运动是绝对的 物理学家云：静止是相对的，运动也是相对的
6
（动）力学原理分类： 先了解一下
力学 原理
微分 形式
非变分形式（如牛顿定律、普遍定理、 达朗伯原理、拉氏方程）
变分形式（如虚位移（功）原理、动力 学普遍方程）
积分 非变分形式（如普遍定理、能量守恒原理） 形式 变分形式（如哈密顿原理）
如此诸多名称，你一下子记不住，可以在后面学习中 慢慢理解。
7
第11章 动力学基础(牛顿定律 质点的运动微分方程)
矢径式
m
d 2 r dt 2
F
m
d2x dt 2
X
直角坐标式
m
d2 dt
y
2
Y
d2z
m
dt
2
Z
m
d2s dt 2
F
自然坐标式
m
v2
Fn
0
Fb
四、非惯性参考系下质点运动微分方程（相对运动微分方程）（＊）
质点M，惯性参考系Oxyz（静系），非惯性参考系
引言
运动学——仅从几何角度 研究 物体 的 运动规律。
运动方程
欧几里德 几何公理
（动）点 刚体 (无质量)
点的 运动 学
位移 速度 加速度 轨迹
方法 绝对法 合成法
刚体 运动方程
本篇内容：
运动 角位移
学
角速度
点的运动学（点，绝对法）
角加速度
刚体的基本运动（刚体，平动和转动，绝对法）
点的合成运动（点，合成法）
地球自转影响的三种现象：
1. 悬挂小球的软线偏离地球径向（牵连惯性力影响），p195——在北 纬45º，铅直线偏离径向5'56"；
2. 北半球运动物体右移，南半球相反（科氏惯性力影响），p196；
3. 落体偏东（南北半球相同；科氏惯性力影响），p196-198 。 ——萧龙翔老师算出，物体自天塔顶部下落，偏东74mm。
②牛顿定律在何种参考系中成立？一定是惯性参考系吗？
第一、第二定律在惯性参考系中成立，第三定律可在非惯性参考系中成立。
③已学过的动力学普遍定理（动能定理、动量定理、动量矩定理）在何 种参考系中成立？
惯性参考系。
8
三、质点运动微分方程（动力学基本方程）（指惯性参考系下）
即牛二定律的微分形式：
ma
F
可在非惯性参考系中建微分方程并求解——详见书
你算一算？
作业：11-3, 11-4
10