(完整word版)数学高考圆锥曲线压轴题经典预测

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(完整word版)高考数学圆锥曲线压轴题分类训练(精华)

卓越个性化教案 GFJW0901学生姓名年级高三授课时间教师姓名课时02-圆锥曲线压轴题-分类训练【知识点】1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离0022Ax By C d A B++=+ ③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：2121AB kx x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++- 或12211AB y y k=+- （4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且距离式方程：2222()()2x c y x c y a +++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅< 距离式方程：2222|()()|2x c y x c y a ++--+= （3）抛物线22(0)y px p =>(4)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222b b p a a椭圆：；双曲线：；抛物线：3.方法（1）点差法（中点弦问题）设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba43-（2）联立消元法：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。

压轴题10 圆锥曲线压轴解答题常考套路题型(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题10圆锥曲线压轴解答题常考套路题型解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开．考向一：轨迹方程考向二：向量搭桥进行翻译考向三：弦长、面积范围与最值问题考向四：斜率之和差商积问题考向五：定值问题考向六：定点问题1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．1．（2023·北京海淀·统考一模）已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，122B B =，四边形1122A B A B的周长为．(1)求椭圆E 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M '、直线M N '与y 轴交于点Q ．若OPQ △的面积为2，求k 的值．【解析】（1）由122B B =，得22b =，即1b =，由四边形1122A B A B的周长为，得=25a =，所以椭圆的方程为2215x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠，0m ≠），11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(,0)m P k-，11(,)M x y '-，联立方程组2215x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得，222(51)10550k x kmx m +++-=，222(10)4(51)(55)0km k m ∆=-+->，得2251k m >-，1221051km x x k +=-+，21225551m x x k -=+，直线M N '的方程为212212()y y y y x x x x --=-+，令0x =，得211221221212(0)y y x y x y y x y x x x x -+=-+=++，又因为()()1221122112122102()51k x y x y x kx m x kx m kx x m x x k -+=+++=++=+，所以1(0,)Q m ，OPQ △的面积1122m k m ⨯-=，得14k =±，经检验符合题意，所以k 的值为14±.2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹C .已知细绳长度为3cm ，经测量，当笔尖运动到点P 处时，30,90FAP AFP ∠∠== .设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，以1cm 为单位长度，建立平面直角坐标系.(1)求C 的方程；(2)过点()0,3D -且斜率为k 的直线l 与C 交于,M N 两点，k 的取值范围为()0,2，探究：是否存在λ，使得DM DN λ= ，若存在，求出λ.的取值范围，若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意，笔尖到点F 的距离与它到直线a 的距离相等，因此笔尖留下的轨迹为以F 为焦点，a 为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，则(,0)2p F ，由30,90FAP AFP ︒︒∠=∠=，得2PA PF =，又||||3PF PA +=，所以1PF =，所以点P 到直线a 的距离为1，由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标122p -，而抛物线的准线方程为2p x =-，则11222p p -+=，解得32p =，所以轨迹C 的方程为23y x =.（2）假设存在λ，使得DM DN λ= ，设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的方程为3y kx =-，由233y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：22(63)90k x k x -++=，而(0,2)k ∈，22(63)363690k k k ∆=+-=+>，121222639,k x x x x k k++==，222121222112263()(14249)k x x x x k x x x x k k k ++++==++，由DM DN λ= 得12x x λ=，即12x x λ=，于是21142k kλλ+=++，令11(,)2t k =∈+∞，22214242(2)2t t t k k ++=++=+-17(,)4∈+∞，因此1174λλ+>，又0λ>，即217104λλ-+>，解得104λ<<或4λ>，所以存在1(0,(4,)4λ∈⋃+∞，使得DM DN λ= 成立.3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【解析】（1）当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得22222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y .若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n y n-++-+-+--=⋅===-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=41=++，20t ≥因为函数()1f x x x=+在)+∞上单调递增，故15≥=，所以，12161515S S -≤0=t 时，等号成立，因此，12S S -的最大值为154.4．（2023·全国·校联考二模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的上焦点为F ，且C 上的点到点F的距离的最大值与最小值的差为过点F 且垂直于y 轴的直线被C 截得的弦长为1.(1)求C 的方程；(2)已知直线l ：(0y kx m m =+≠）与C 交于M ,N 两点，与y 轴交于点P ，若点P 是线段MN靠近N 点的四等分点，求实数m 的取值范围．【解析】（1）设C 的焦距为2c，由题意知2222()()21a c a c b a a b c ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故C 的方程为2214y x +=．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2224240k x mkx m +++-=，所以()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+．因为点P 是线段MN 靠近点N 的四等分点，所以3MP PN = ，所以123x x =-，所以()()()221222212332434x x x x x x x +=⨯-=-⨯-=-．所以()21212340x x x x ++=所以()()2222224412044m k m k k -+=++，整理得222240m k m k +--=，显然21m =不成立，所以22241m k m -=-．因为3240k m -+>，所以2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-．解得21m -<<-，或12m <<，所以实数m 的取值范围为(2,1)(1,2)--⋃．5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知()2,0A -，()2,0B ，动点(),Q x y 关于x 轴的对称点为1Q ，直线AQ 与1BQ 的斜率之积为14-.(1)求点Q 的轨迹C 的方程；(2)设点P 是直线1x =上的动点，直线PA ，PB 分别与曲线C 交于不同于A ，B 的点M ，N ，过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，求AD 最大时点P 的纵坐标.【解析】（1）由题意得()1,Q x y -，且2x ≠±，2AQ k y x =+，12BQ y k x -=-，所以1224y y x x -⋅=-+-，整理得曲线()22:124x C y x -=≠±.（2）设()01,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，若直线MN 平行于x 轴，根据双曲线的对称性，可知点P 在y 轴上，不符合题意，故设直线MN ：()2,0x ty m m =+≠±，代入曲线C 中，得()2224240t y tmy m -++-=，则12224tm y y t -+=-，212244m y y t -=-，则()2121242m ty y y y m -=-+，由P ，A ，M 三点共线得PA MA k k =，即01132y y x =+，同理，由P ，B ，N 三点共线得2022y y x -=-，消去0y ，得()()21122320y x y x ++-=，即()()121243220ty y m y m y +-++=，得()()()()21212243220m y y m y m y m --++-++=，得()()()()1224240m m y m m y ---+-=，即对任意1y ，2y ，都有[]12(4)(2)(2)0m m y m y ---+=成立，故4m =或12(2)(2)0m y m y --+=，若12(2)(2)0m y m y --+=，由212244m y y t -=-，12224tm y y t -+=-可得：1222(2)(2),,44m t m t y y t t -+--==--所以22222(4)444m t m t t --=--即224t t =-，矛盾，故12(2)(2)0m y m y --+≠，所以4m =.所以直线MN ：4x ty =+恒过点()4,0H ，则点D 的轨迹是以HB 为直径的圆，其方程为()2231x y -+=，当D 与H 重合时，AD 最大，此时MN x ⊥轴，AM ：)2y x =+，1,2P ⎛± ⎝⎭.所以当AD 最大时，点P 的纵坐标为2±.6．（2023·湖南·校联考二模）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点(，且离心．F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：3x =上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF ．(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM 、△BFM 的面积分别为1S 和2S ，当12S S -取最大值时，求直线AB 的方程．参考结论：点()00,Q x y 为椭圆22221x ya b+=上一点，则过点Q 的椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=．【解析】（1）由题意可得b =，ca =222a b c =+，所以26a =，22b =，椭圆E 的方程为22162x y +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()03,P y ，由参考结论知过点P 在A 处的椭圆E 的切线方程为11162x x y y +=，同理，过点P 在B 处的椭圆E 的切线方程为22162x x y y +=．因为点P 在直线PA ，PB 上，所以101202122122y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线AB 的方程为0122x y y+=，则直线AB 过定点()2,0M ．（2）设直线AB 的方程为2x ty =+，联立方程组222162x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420t y ty ++-=，故12243ty y t +=-+，12223y y t =-+，1212122882233t S S y y y y t t t-=-=+==≤++，当且仅当3tt=，即t =此时直线AB 的方程为2x =+．7．（2023·上海金山·统考二模）已知椭圆:Γ()2221024x y b b+=<<.(1)已知椭圆ΓΓ的标准方程；(2)已知直线l 过椭圆Γ的右焦点且垂直于x 轴，记l 与Γ的交点分别为A 、B ，A 、B 两点关于y 轴的对称点分别为A '、B '，若四边形ABB A ''是正方形，求正方形ABB A ''的内切圆的方程；(3)设О为坐标原点，P 、Q 两点都在椭圆Γ上，若OPQ △是等腰直角三角形，其中OPQ ∠是直角，点Р在第一象限，且O 、P 、Q 三点按顺时针方向排列，求b 的最大值.【解析】（1）由题意得2a =，c a =c =所以2221b a c =-=，所以椭圆Γ的标准方程为2214x y +=；（2）设右焦点()1,0F c ，左焦点()2,0F c -，因为四边形ABB A ''是正方形，不妨设点A 在第一象限，则(),A c c ，所以12,AF c AF ===，由(12124AF AF c a +===，得1c ，正方形ABB A ''的内切圆的圆心为()0,01-，所以所求圆的方程为226x y +=-；（3）设直线OP 的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，斜率为()0k k >，则直线OQ 的斜率为π1tan 41k k θ-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2110,0x x y >>>，联立22214x y b y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得2212244b x k b =+，同理可得()()()2222222222414141141b k b x k k b k b k +==--++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，由OQ 得222OQ OP =，即()2222222211121k x x x k x k -⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，整理得()()222244002b k b k b +-+=<<，注意到()22240b b->且240b >，则要使上述关于k 的一元二次方程有正数解，只需要()222Δ44160b b =--≥，解得01b <≤，所以b 1.8．（2023·上海黄浦·统考二模）已知双曲线C 的中心在坐标原点，左焦点1F 与右焦点2F 都在x 轴上，离心率为3，过点2F 的动直线l 与双曲线C 交于点A 、B ．设222AF BF ABλ⋅=．(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若点A 、B 都在双曲线C 的右支上，求λ的最大值以及λ取最大值时1AF B ∠的正切值；（关于求λ的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设2||AF AB 为μ，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l 的斜率为k ，建立相应数量关系并利用它求最值）.(3)若点A 在双曲线C 的左支上（点A 不是该双曲线的顶点，且1λ=，求证：1AF B △是等腰三角形．且AB 边的长等于双曲线C 的实轴长的2倍．【解析】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=(),0a b >，焦距为2c ，由3c e a ==，所以b a ==y =±.（2）由（1）可得3c a =，b =，所以双曲线C 的方程为222218x y a a-=，设21AF t =，22BF t =，因为点A 、B 都在双曲线C 的右支上，所以12AB t t =+，所以()()2212122221214AF BF t t t t t t ABλ⋅==≤=+，当且仅当12t t =时取等号，即max 14λ=，当14λ=时12t t =，所以121122AF a t a t BF =+=+=，所以l x ⊥轴且1212AF F BF F ∠=∠，又双曲线C 的方程为222218x y a a -=，即22288x y a -=，由222388x a x y a =⎧⎨-=⎩，解得8y a =±，可知28AF a =，又126F F a =，所以2121284tan 63a AF F AF F F a ∠===，121122122tan 24tan tan 21tan 7AF F AF B AF F AF F ∠∠=∠==--∠.（3）设直线l 的方程为3x my a =+，将它代入22288x y a -=，可得()22228148640my may a -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得1224881am y y m +=--，21226481a y y m =-，由1λ=，可得222AF BF AB ⋅=，)21212y -=，又1y 、2y 同号，所以()21212y y y y =-，即()212125y y y y =+，所以2222644858181a am m m ⎛⎫= ⎪⎝--⎭⨯-，解得254m =，此时直线l<l 与双曲线的两支都相交，又221226464819a a y y m ==-，所以()2212222296411649A a m y y B a AF BF =⋅==+=⨯，则4AB a =，它等于双曲线实轴长的2倍，此时211222422AF AF a BF a a BF a BF =-=+-=+=，所以1AF B △是等腰三角形.9．（2023·江西九江·校联考模拟预测）已知P 为椭圆22142x y +=上一点，过点P 引圆222x y +=的两条切线PA ､PB ，切点分别为,A B ，直线AB 与x 轴､y 轴分别交于点M ､N .(1)设点P 坐标为0(x ，0)y ，求直线AB 的方程；(2)求MON △面积的最小值(O 为坐标原点）.【解析】（1）先求在圆上一点的切线方程：设圆U 的方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(),U a b ，半径为r ，设()00,V x y 是圆U 上的一点，则()()22200x a y b r -+-=①，设(),W x y 是圆U 在()00,V x y 处的切线方程上任意一点，则0VU VW ⋅=，即()()()()()()00000000,,0a x b y x x y y a x x x b y y y --⋅--=--+--=②，-①②并整理得()()()()200x a x a y b y b r --+--=，即圆U 在()00,V x y 处的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=.根据题意，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，PA 是圆222x y +=的切线且切点为A ，则PA 的方程为112x x y y +=，同理PB 的方程为222x x y y +=，又由PA ､PB 交于点P ，则有10102x x y y +=，20202x x y y +=，则直线AB 的方程为002x x y y +=.（2）要使,,O M N 围成三角形，则P 不是椭圆的顶点，所以000,0x y ≠≠，由（1）可得M 的坐标为02(x ，0)，N 的坐标为2(0,)y ，00122OMN S OM ON x y =⋅= ，又由点P 是椭圆22142x y +=上的动点（非顶点），则有2200142x y +=，则有220000142x y y =+≥，即00||x y ≤当且仅当22001422x y ==时等号成立，0012=2OMN S OM ON x y =⋅ 即OMN.10．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，右顶点为B ，坐标原点O 到直线AB，AOB 的面积为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点()2,0P 且不过点()3,1Q 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MQ 与直线4x =交于点E ，证明：//PQ NE ．【解析】（1）依题意，(0,),(,0)A b B a，有||AB =，因为AOB 的面积为2，则122AOB S ab == ，又点O 到直线AB的距离为5，则有1||22AOB S AB == ，于是22410ab a b =⎧⎨+=⎩，而0a b >>，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）直线PQ 的斜率10132PQ k -==-，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，代入椭圆方程得1y =±，不妨设此时(2,1)M ，(2,1)N -，则(4,1)E ，直线NE 的斜率1(1)142NE PQ k k --===-，因此//PQ NE ；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)(1)y k x k =-≠，设1122(,),(,)M x y N x y ，则直线MQ 的方程为1111(3)3y y x x --=--，令4x =，得1114(4,)3y x E x +--，由2248(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩消去y 得：2222(14161680)k x k x k +-+-=，由于点P 在椭圆C 内，必有0∆>，则21221614k x x k +=+，212216814k x x k -=+，1121243114NE y x y x k x +----=--()()()11212143143y x y x x x +---=---()()()()()()()1121212124234343k x x k x x x x x x -+-------=--[]()()()()22221212212148168(1)(8)(1)3(814140)4343k k k k x x x x k k x x x x -----+--++===----，因此1NE PQ k k ==，即//PQ NE ，所以//PQ NE .11．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，直线12y x =被椭圆截得的弦长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N ，P ，Q 为椭圆C 上的动点，且四边形MNPQ 为菱形，原点О在直线MN 上的垂足为点H ，求H 的轨迹方程．【解析】（1）由题意可得2a b =，则椭圆C ：222214x y b b +=，联立22221412x y b b y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4=，解得285b =，所以2325a =，所以椭圆C 的方程为22132855x y +=，即2252032x y +=；（2）因为四边形MNPQ 为菱形，所以,MP NQ 垂直且平分，设()()1122,,,M x y P x y ，则2222112252032,52032x y x y +=+=，两式相减得()()222212125200x x y y -+-=，即()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，设菱形的中心为()00,x y ，若直线,MP NQ 的斜率都存在，设直线,MP NQ 的斜率分别为12,k k ，由()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，得()()()()1212121240y y x x y y x x -+++=-，所以001280x y k +=，即00140x y k +=，同理00240x y k +=，所以0102y k y k =，由121k k =-得00y =，所以00x =，即菱形的中心为原点，则直线MP 的方程为1y k x =，直线NQ 的方程为2y k x =，联立12252032y k x x y =⎧⎨+=⎩，解得212132520x k =+，所以()()22122221111213211520k OM x y k x k +=+=+=+，同理()22222321520k ON k +=+，因为1122OMN S OH OM ON ==，所以2222222111OM ON OHOMONOMON+==()()22222212121222222212121252052028555321321321k k k k k k k k k k k k +++++=+=⋅+++++()()2222121222221212285525525321132232k k k k k k k k +++++=⋅=⋅=+++++，所以点H 在圆222532x y +=上；若直线,MP NQ 中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，,,,M N P Q 四点分别为椭圆的顶点，不妨设M 为右顶点，N 为上顶点，则22328,55OM ON ==，同理可得22222221112532OM ON OHOMONOMON+==+=，点H 任在圆222532x y +=上，综上所述，H 的轨迹方程为222532x y +=.12．（2023·上海闵行·统考二模）已知O 为坐标原点，曲线1C ：()22210xy a a -=>和曲线2C ：22142x y +=有公共点，直线1l ：11y k x b =+与曲线1C 的左支相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．(1)若曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，求曲线1C 的离心率和渐近线方程；(2)若直线OM 经过曲线2C 上的点)2,1T-，且2a 为正整数，求a 的值；(3)若直线2l ：22y k x b =+与曲线2C 相交于C 、D 两点，且直线OM 经过线段CD 中点N ，求证：22121k k +>．【解析】（1）因为曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，所以曲线1C 和2C 的两公共点为左右顶点，则2a =，曲线1C 的半焦距5c =所以曲线1C 的离心率52c e a ==，渐近线方程为12y x =±；（2）联立222111x y a y k x b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()()22222211111210a k x a k b x a b ---+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()222111121222221112,11a b a k b x x x x a k a k -++==--，所以2112211M a k b x a k =-，21111122221111M a k b b y k b a k a k =+=--，故直线OM 的方程为211y x a k =，依题意直线OM 经过点)2,1T -，代入得212a k =4212a k =，所以2142k a =，因为直线1l 与曲线1C 的左支相交于两点，故()()221221101a b a k -+>-，得2211a k >，则422212a aa >=，所以22a <，又曲线1C 和2C 有公共点，所以204a <≤，所以202a <<，又2a 为正整数，所以21a =，所以1a =；（3）由（2）可得()12102M M y k a x a=<≤，同理，联立直线2l ：22y k x b =+与曲线2C ：22142x y +=，可得212N N y k x =-，因为N M M N y y x x =，所以2212a k k =-，又因为2211a k >，所以42222221121114a k k k k a k +=+>≥，即22121k k +>．13．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线()1y t x =+交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，1PM MF λ= ，1PN NF μ=，记OMN ，2OMF △，2ONF △的面积分别为1S ，2S ，3S .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若123S mS S λ=-，433μ-≤≤-，求m 的取值范围.【解析】（1）由题意得，左焦点1(1,0)1F c -⇒=，122c a a =⇒=，2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，令0x =，y t =，则()0,P t ，则11(,)PM x y t =-uuu r，()1111,MF x y =--- 由1PM MF λ=得()()1111,1,x y t x y λ-=---，解得11t y λ=-，同理21ty μ=-.由()221431x y y t x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2236490y y t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则1226,43t y y t +=+2122943ty y t -=+，()1212128223t y y t t y y y y λμ++=+-=-=-.不妨设120y y >>，1121211122S y y y y =⋅⋅-=-（），21111122S y y =⋅⋅=，32211122S y y =⋅⋅=-，由11t y λ=-，21t y μ=-.得11t y λ=+，21t y μ=+，2111513y y λλμλ++==-++.代入123S mS S λ=-，有()2121121122y y y m y λ-+=，则1212m y y y y λ=-+，解得22221114(1)15911(1)1()553333y y y m y y y λλλλλλ+=--=-+=+=-+++++,43,3μ-≤≤-Q 511[,2]33λμ∴+=--∈设53u λ=+，则1[,2]3u ∈，则()4193h u u u=-++，则()2419h u u -'=-，令()0h u '>，解得223u <<，令()0h u '<，解得1233u <<，故()h u 在12,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 213h u h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且()1417,2339h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()171,9h u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则171,9m ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．（2023·上海静安·统考二模）已知双曲线Γ：22221x y a b-=（其中0,0a b >>）的左、右焦点分别为1F （-c ，0）、2F （c ，0）（其中0c >）.(1)若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为2y x =；直线l 的倾斜角为4π，在y轴上的截距为2-.直线l 与该双曲线Γ交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点，求△12MF F 的面积；(2)以坐标原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P .过P 作圆的切线，若切线的斜率为Γ的离心率.【解析】（1）双曲线Γ：22221x y a b -=渐近线方程为b y x a =±，已知一条渐近线方程为y =，所以a =，双曲线Γ经过点（2，1），所以22411a b -=，解得222,1a b ==.所以双曲线Γ：2212x y -=.直线l 的倾斜角为π4，则斜率为1，又l 在y 轴上的截距为2-，则l 方程为：2y x =-，代入双曲线方程得：28100x x -+=，设两点A 、B 坐标分别为（1x ，1y ）、（2x ，2y ），M （x ，y ），则1284,2x x x y +=⇒==.又12F F =则12MF F △的面积1111222F F y =⋅⋅=⨯=（2）方法一：由题可知圆方程为：222x y c +=，将其与双曲线方程联立：22222222222221x y c b b x b c x y x y a c ab ⎧+=⎪⇒+-=⇒==⎨-=⎪⎩，即2,b P c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，又切线斜率为2OP b k c =⋅=()22442242334803840c a c a a c e e ⇒-=⇒+-=⇒-+=，解得22e =，所以双曲线Γ；方法二：设切线与x 轴交于E点，因切线斜率为3πPEO ∠=，又2πOPE ∠=，则1566ππ,POE POF ∠=∠=.注意到12OF OF c OP ===，则在2 POF 中，由余弦定理，22PF c -===，在1POF △中，由余弦定理，1PF ===.则()12122c a PF PF c e a=-=⇒==15．（2023·辽宁大连·统考一模）已知双曲线C 上的所有点构成集合()(){}22,10,0P x y axby a b =-=>>和集合()(){}22,010,0Q x y axby a b =<-<>>，坐标平面内任意点()00,N x y ，直线00:1l ax x by y -=称为点N 关于双曲线C 的“相关直线”．(1)若N P ∈，判断直线l 与双曲线C 的位置关系，并说明理由；(2)若直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，求证：N Q ∈；(3)若点N Q ∈，点M 在直线l 上，直线MN 交双曲线C 于A ，B ，求证：MA MBAN BN=．【解析】（1）直线l 与双曲线C 相切．理由如下：联立方程组220011ax by ax x by y ⎧-=⎨-=⎩，∴()222220000210aby a x x ax x by -+--=①，∵N P ∈，∴22001ax by -=，即22001ax by -=，代入①得，220020ax ax x ax -+-=，∴222200440a x a x ∆=-=，∴直线l 与双曲线C 相切．（2）由（1）知()222220000210aby a x x ax x by -+--=，∵直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，则2220020222000Δ010aby a x by aby a x ⎧⎪-≠⎪⎪>⎨⎪--⎪>⎪-⎩，∴()()()22222222000000044141a x a by ax by aby by ax ∆=----=+-，∴22001ax by -<，∵()2200222220000110by by aby a x a ax by --+=>--，∴220001ax by <-<，∴()00,N x y Q ∈．（3）设()11,M x y ，(),A x y ，设MA AN λ= ，MB BN μ=，∵()00,N x y l ∉，∴1λ≠-，则101011x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，代入双曲线22:1C ax by -=，利用M 在l 上，即01011ax x by y -=，整理得()222220011110ax by ax by λ--+--=，同理得关于μ的方程()222220011110ax by ax by μ--+--=．即λ、μ是()222220011110ax by t ax by --+--=的两根，∴0λμ+=，∴MA MBAN BN=．16．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知1F 、2F 分别为双曲线22122:1(0,0)y xC a b a b-=>>的上、下焦点，其中1F 坐标为()0,2点M 是双曲线1C 上的一个点.(1)求双曲线1C 的方程；(2)已知过点()4,1P 的直线与22122:1(0,0)y x C a b a b-=>>上支交于不同的A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某条定直线上.【解析】（1）由1F 坐标为()0,2得224a b +=，点M在双曲线1C 上得22231a b -=，解得2213a b ⎧=⎨=⎩，双曲线方程为221.3x y -=（2）设直线与双曲线交于()11,A x y ，()22,B x y ，点(),Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅得(0AP AQ PBQBλλ==>且1)λ≠，AP PB λ=- ，AQ QB λ=，代入坐标得()()1122414,1,x y x y λ--=---，()()1122,,x x y y x x y y λ--=--，整理得：()1241x x λλ-=-①()121x x x λλ+=+，②，得()22221241x x x λλ-=-③，同理121y y λλ-=-④，()121y y y λλ+=+⑤，得()2222121y y y λλ-=-⑥，由于双曲线1C 上的点满足2233y x -=，⑥3⨯-③得()()()222222112233341y x y x y x λλ---=--，即()()2233341y x λλ-=--，所以343y x -=，表示点(),Q x y 在定直线4330x y -+=上.17．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>5点(3,2P -在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由双曲线离心率为2215c b e a a ==+224b a =，所以双曲线方程为222214x y a a-=，又点(3,2P -在双曲线上，即2293214a a -=，解得21a =，24b =，所以双曲线的方程为2214y x -=；（2）由已知得10k ≠，20k ≠，设直线()1:1AM y k x =+，点()11,M x y ，由()122114y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得()22221114240k x k x k ----=，0∆>，则212144A M k x x k +=--，即212144M k x k +-=--，212144M k x k +=-，所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭由2140k k +=，得124k k =-，所以2222222418,141k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭设直线()2:1AN y k x =+，联立直线与圆221x y +=，得()22222221210k x k x k +++-=，0∆>，则222211A N k x x k -=+，即222211N k x k --=+，222211N k x k -=+，所以222222212,11k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以222222222222222281141141114MNk k k k k k k k k k --+-==--+-+-，即21MN k k ⋅=-，所以MN AN ⊥，又点A 在圆221x y +=上，设圆221x y +=与x 轴的另一个交点为B ，则()10B ,，且AN BN ⊥，即直线BN 与MN 重合，所以直线MN 恒过点()10B ,.18．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线2222:1x y E a a-=，点(0,2)D 与双曲线上的点的(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=相切，且交双曲线E 的左、右支于A ，B 两点，交渐近线于点M ，N ．记DAB ，OMN 的面积分别为1S ，2S ，当12847S S -=时，求直线l 的方程．【解析】（1）设(,)P x y 是双曲线上的任意一点，则2222222(2)2442(1)2DP x y y y a y a =+-=-++=-++，所以当1y =时，2DP 的最小值为22a +，所以223a +=，得21a =，所以双曲线E 的方程为221x y -=．（2）由直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=1=，由直线交双曲线的左、右支于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221x y y kx m⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()()2221210k x mkx m ---+=，则()221Δ410m k=+->，212211m x x k +=-，12221mk x x k +=--，所以12x x -=所以221222110142m m x x k m m ++==<-++，即2420m m ++<，解得22m -<<-，1=，则21m +≥，解得1m ≥-或3m ≤-，所以(231,2m ⎤⎡∈--⋃--⎦⎣，所以12AB x x =-=，又点(0,2)D 到AB 的距离1d =1121(2242m S AB d m m -==---，设()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程组220x y y kx m⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()222120k x mkx m ---=，则22Δ4m =，34221mk x x k +=-，23421m x x k -⋅=-，所以34221m x x k --=-，所以34221mMN x x k -=-=-，又点O 到MN 的距离2d =22221242mS MN d m m ==---，所以当12847S S -=时，有222(2)428442427m m m m m m --=------，整理得()24(25847m m m -=--，即4(2(52)(2)7m m m -=+-，又2m ≠，4(52)7m -=+，即2200258810m m ++=，解得134m =-，22750m =-（舍去），所以34m =-，则34k =±，所以直线方程为3344y x =±-．19．（2023·上海松江·统考二模）已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为1e ;双曲线2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为34F F 、，离心率为2e ，12e e ⋅=．过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．(1)求1C 、2C 的方程；(2)若113AF F B =，求直线PQ 的方程；(3)求四边形APBQ 面积的最小值.【解析】（1）由题意可知：12e e ==所以12222e e ⋅===，解得：21b =，所以椭圆方程为2212x y +=，双曲线方程为：2212x y -=.（2）由（1）知()11,0F -，因为直线AB 不垂直与y 轴，设直线AB 的方程为：1x my =-，设点()()1122,,,A x y B x y ，则()1111,,AF x y =---()1221,F B x y =+ ，由113AF F B =，则123y y -=，即123y y =-，联立：22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()222210m y my +--=，()()222442810m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123y y =-代入得：()222222132m y m y m -⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩解得1m =±，当1m =时，弦AB 的中点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时直线PQ 的方程为：12y x =-；当1m =-时，弦AB 的中点21,33M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时直线PQ 的方程为：12y x =.所以直线PQ 的方程为12y x =-或12y x =.（3）设AB 的中点()00,M x y ，由（2）可得)2212m AB m +=+，且000222,122m y x my m m -==-=++，点222,22m M m m -⎛⎫ ++⎝⎭，2PQ OM m k k ==-，直线PQ 的方程为：2my x =-，联立22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得：2242x m =-，2222m y m =-，且220m ->，由双曲线的对称性，不妨取点P ⎛⎫⎪⎭、Q ⎛⎫，所以点P 到直线AB的距离为：21d =，点Q 到直线AB的距离为：22d ==21222m d d ++=，所以四边形APBQ的面积为()1212S AB d d =+===2022m <-≤，所以当222m -=，即0m =时，四边形APBQ 的面积取最小值2.20．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过点()4,2的动直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>交于,M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN=l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．【解析】（1）由题意可知：双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>过点()2±，(4,±，将其代入方程可得：222284116121a b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：2244a b ⎧=⎨=⎩，∴双曲线E 的标准方程为：22144x y -=.（2）方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，点()4,2与,M N 三点共线，12122244y y x x --∴=--，()()12124422x x y y λλ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩（其中R λ∈，0λ≠），()()12124121x x y y λλλλ⎧=+-⎪∴⎨=+-⎪⎩，()()222241214x y λλλλ⎡⎤⎡⎤∴+--+-=⎣⎦⎣⎦，又22224x y -=，整理可得：()()2212420x y λλλλ--+-=，当1λ=时，12x x =，12y y =，不合题意；当1λ≠时，由222420x y λλλ-+-=得：22122y x λ=-+，设()00,P x y ，则001y x =+，()()102012102011y x y x k k x x x x -+-+∴⋅=⋅--()()()22220202202220222211243222y y x x x y x y x x x y x x ⎛⎫-+--++ ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭()()()0220020020220031212223422x y x x x y x x x x y x x x ⎛⎫-+-- ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭，若12k k 为定值，则根据约分可得：000121x x x --=-且000114222x x x --=--，解得：03x =；当03x =时，()3,4P ，此时22122226441322x y k k x y --=⋅=--；∴当()3,4P 时，124k k =为定值.方法二：设()()()112200,,,,,M x y N x y P x y ，直线()():420MN y k x k =-+≠，由()22424y k x x y ⎧=-+⎨-=⎩得：()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦，12,x x 为方程()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦的两根，()()()()222124241x k x k x x x x ⎡⎤∴--+-=---⎣⎦，则()()()()222001024241x k x k x x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦，由()42y k x =-+得：24y x k-=+，由22244y x k x y -⎧=+⎪⎨⎪-=⎩可得：222440y y k -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，同理可得：()()()()222220001022441y k k y k k y y y y -+--=---，则()()()()()()()()()()201020102122121211k y y y y y y y y k k x x x x k x x x x -----==-----()()2222002200244424y k k y k x k x -+--=--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2220000222000012816448164168y k y k y y x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-，若12k k 为定值，则必有22000022000012816448164168y y y y x x x x -+--+==-+--+-，解得：0034x y =⎧⎨=⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又点P 在直线1y x =+上，∴点P 坐标为()3,4；当直线MN 斜率为0时，,M N坐标为()2±，若()3,4P ，此时124k k ==；当直线MN 斜率不存在时，,M N坐标为(4,±，若()3,4P ，此时124443434k k -+=--；综上所述：当()3,4P 时，124k k =为定值.21．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(3,P -在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（,M N 均不在x 轴上）．直线,AM AN 的斜率分别记为12,k k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>可得222225,4c a b b a a a+=∴=∴=，又点(3,P -在双曲线C 上，即2293214a a-=，解得221,4a b ==，故双曲线C 的方程为2214y x -=.（2）由题意可知120,0k k ≠≠，且AM 的方程为11y k x k =+，联立112214y k x k y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2222111(4)240k x k x k ----=，2140k -≠，Δ640=>，设11(,)M x y ，由题意可知该方程有一根为1-，故221111221144(1),44k k x x k k --+-=∴=--，则111112184k y k x k k =+=-，AN 的方程为22y k x k =+，联立22221y k x k x y =+⎧⎨+=⎩，可得2222222(1)210k x k x k +++-=，40'∆=>，设2221(,),N x y x x ≠，由题意可知该方程有一根为1-，故222222222211(1),11k k x x k k ---=∴=++，则222222221k y k x k k =+=+，由于2140k k +=，即124k k =-，由于2140k -≠，故224160k -≠，故22122164416k x k +=-，212232416k y k -=-，所以直线MN 的斜率为222221222222212222232141611641416MNk k y y k k k k k x x k k ---+-==-+--+-2222222222222222222(416)(1)(32)401(1)(416)(1)(164)40k k k k k k k k k k k --+-===----++-，故直线MN 的方程为1121()y y x x k -=--，即22222222321641()416416k k y x k k k ++=----，即222(164)(1)0k x k y -+-=，由于224160k -≠，故210x k y +-=，即直线MN 过定点(1,0).22．（2023·上海宝山·统考二模）已知抛物线Γ：24y x =．(1)求抛物线Γ的焦点F 的坐标和准线l 的方程；(2)过焦点F 且斜率为12的直线与抛物线Γ交于两个不同的点A 、B ，求线段AB 的长；(3)已知点()1,2P ，是否存在定点Q ，使得过点Q 的直线与抛物线Γ交于两个不同的点M 、N （均不与点Р重合），且以线段MN 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵抛物线Γ：24y x =，则2p =，且焦点在x 轴正半轴，故抛物线Γ的焦点()1,0F ，准线:1l x =-.（2）由（1）可得：()1,0F ，可得直线()1:12AB y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()21124y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得21810x x -+=，可得()212184113200,18x x ∆=--⨯⨯=>+=，故1220AB x x p =++=.（3）存在，理由如下：设直线()()3443:,,,,MN x my n M x y N x y =+，联立方程24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my n --=，则()23434160,4,4m n y y m y y n ∆=+>+==-，可得()()33441,2,1,2PM x y PN x y =--=--uuu r uuu r，若以线段MN 为直径的圆恒过点P ，则PM PN ⊥，。

高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)

高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题（含答案解析）1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.(1)求动点的轨迹E 的方程；(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设，所以, 得,所以，所以直线方程为:,联立，得由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一：令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以，所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:，当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围．【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率因为一个焦点为，所以，则由可得：，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，，联立方程组，整理可得：，则有，由条件可知：直线所在直线方程为：，因为直线与直线相交于所以，同理可得：，则，若为锐角，则有，所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++，则，解得：或，所以或或，故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.【解析】（1），，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）设，令，则. 当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值2，即.，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即，所以直线的方程为，即. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．(1)若的面积为的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，记四边形的面积为，求的最大值．【解析】（1），∴，，解得的标准方程为：. （2），∴，椭圆，令，直线l 的方程为：，联立方程组：，消去y 得，由韦达定理得，，()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有，因为：，所以，，将点Q 坐标代入椭圆方程化简得：，而此时： . 令，所以直线，令得，由韦达定理化简得，，而， O 点到直线l 的距离，所以：，，因为点P 在椭圆内部，所以，得，即令，求导得，当，单调递增；当，即，单调递减.所以：，即5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【解析】（1）由题意得F ，，所以椭圆C 的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理. 联立，得. ，从而（定值）（2）结合图象，不妨设，，，， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得代入，有，则，解得，，设，则，设，则，令，解得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，，所求椭圆的方程为；（2）由（1）得.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设，，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立，消元得，，，又，，化简得，解得或（舍去）所求直线的方程为或.7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围；(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.【解析】（1）设的坐标分别为，其中；由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，设，因为，所以所以，代入椭圆的方程，所以，解得或.（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，把它代入椭圆的方程，消去整理得：由韦达定理得则，；所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是，由解得（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；于是由，解得综上可得实数的值为8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得由，得，所以，设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1），，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为：联立方程组可解得的坐标为，在抛物线外，，，2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD .(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为．将直线的方程代入椭圆方程，整理得，方程的判别式，设，所以， ∴，同理可得， ∴四边形ADBC 的面积， ∵，当且仅当时取等号，∴四边形ADBC 的面积，综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量并整理得,由已知，由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．【解析】由题可知，设，，，由，得，满足，可得，()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足，可得，由，可得，所以，∴，，又，∴，同理可得， ∴，所以，又，所以.13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆． (1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆，可得．又，，解得：，，， ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故又圆心到直线的距离，令，则，可得，可得：14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，动点到焦点的距离的最大值为，可得所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线的坐标为.设，连接OA ，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线若，则，故，故直线的方程为：，整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，满足.故直线的方程为，同理直线的方程为，又在直线和上，即，故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立，消去得，设，．则，从而，又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，由椭圆的定义得，所以，由题意可得，即，即椭圆的方程为；（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，舍去；②当直线不垂直轴时，设直线联立，消得，，则，，恒成立.，又， N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得，，即，解得或（舍去），所以，直线方程的方程为或. （3）是定值，定值为2.设点，，，连接，，，，则有，. ，不在坐标轴上，则，，则，，直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，将点代入①②，得，显然，满足方程，直线的方程为，分别令，，得到，，，，又满足，，即.16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值．【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，，易得在点处切线为，在点处切线为，由得，又，，可得，故点的轨迹方程．（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．由韦达定理，得，，所以，因为，直线MN 可设为，同理得，所以．2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。

(完整word版)圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)

圆锥曲线压轴22题及答案一．解答题（共22小题）1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)的焦点是椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，且两曲线有公共点（,）．（1）求椭圆M 的方程;（2)O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究△ABC 的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．已知直线11：ax ﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0．（1）直线11与l 2的交点为M,当a 变化时，求点M 的轨迹C 的方程：（2）已知点D （2，0）,过点E （﹣2，0）的直线1与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值． 3．已知椭圆C:+=1（a ＞b ＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为（点O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；(2）直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 关于O 的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值．4．如图所示，椭圆C 1:+y 2=1，抛物线C 2：y=x 2﹣1，其中C 2与y 轴的交点为M,过坐标原点O的直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E ．（Ⅰ）证明：MA ⊥MB;（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1,S 2．问：是否存在直线l ，使得=．若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．5．已知椭圆C1:的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1）求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点,则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知椭圆，点在椭圆C上,椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2，若k1k2=2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．8．已知椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q(1，0），点P是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值;(3）设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．(Ⅰ）求椭圆E的标准方程;(Ⅱ）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问｜AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值;若不是,请说明理由．10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ)求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x 轴的交点为H,试问｜BH｜是否为定值?若是,求出定值；若不是，请说明理由．11．设椭圆M：+=1(a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围． 12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（ I ）求椭圆C 的方程；（ II ）当直线l 的斜率为时，求△POQ 的面积；( III ）在椭圆C 上是否存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形?若存在，求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由． 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：(a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD|=1，O 为坐标原点． (1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点，A 1、A 2为C 的上、下顶点,直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问:|OT|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣,0)，F 2（，0)，点E(，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围． 15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值？若存在，请求出该点的坐标;若不存在，请说明理由． 16．已知椭圆C ：(a ＞b ＞0）的离心率，抛物线E ：的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1)求椭圆C 的标准方程；（2)过点P （0，1）的动直线与椭圆C 交于A,B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立？请说明理由．17．在平面直角坐标系中,点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点（1,)在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．(1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）,线段MN 的中点为G ，已知点(x 1，x 2)在圆x 2+y 2=2上，求｜OG ｜•|MN ｜的最大值，并判断此时△OMN 的形状． 18．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)，其内接△ABC 中∠A=90°．（I)当点A 与原点重合时，求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II ）当点A 的纵坐标为常数t 0(t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 19．如图，已知F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P （﹣2,3）是椭圆C上一点,且PF 1⊥x 轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆M ：(x ﹣m ）2+y 2=r 2（r ＞0）．①设圆M 与线段PF 2交于两点A,B ，若，且AB=2，求r 的值；②设m=﹣2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r,使得G,H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．20．己知椭圆在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．(1）求椭圆C 的标准方程；．（2）过点A （﹣2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），l 2与椭圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的上方），若直线l 1的斜率为，，求直线l 2的斜率．21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0),直线y=x 与C 交于O ，T 两点，｜OT ｜=4．（Ⅰ）求C 的方程; （Ⅱ)斜率为k （0）的直线l 过线段OT 的中点，与C 交于A,B 两点,直线OA,OB 分别交直线y=x ﹣2于M ，N 两点，求|MN|的最大值．22．已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，焦距为4,离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P(0,﹣1），且与椭圆交于A,B两点，若,求直线l的方程．参考答案与试题解析一．解答题(共22小题）1．已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1(a＞b＞0)的右焦点,且两曲线有公共点（,）．（1)求椭圆M的方程；(2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：(1)抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0)的右焦点,∴=c，∵两曲线有公共点（,)，∴=2p•，+=1，解得p=2，∴c=1，∴c2=a2﹣b2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1)，B（x2,y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+)=（，﹣），由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=•=•=•==，C到直线AB的距离d═，S△ABC=|AB|•d=••=．当直线AB的斜率不存在时，|AB｜=3，d=3，S△ABC=｜AB｜•d=．综上可得，△ABC的面积为定值．2．已知直线11：ax﹣y+1=0，直线12:x+5ay+5a=0．（1）直线11与l2的交点为M，当a变化时,求点M的轨迹C的方程：（2）已知点D(2，0)，过点E（﹣2,0)的直线1与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解:（1）由题意设M（x，y)，M满足直线11、直线12：可得，消去a，可得x2+5y2=5，即点M的轨迹C的方程为：(2）设直线l的方程x=my﹣2．E（﹣2,0)在M的轨迹C内．ED=4，直线1与C交于A，B两点，A（x1,y1）．B（x2，y2）∴，可得（m2+5）y2﹣4my﹣1=0．∴y1+y2=．y1y2=∴△ABD面积s=×|y1﹣y2｜•|ED=×4×=2×==2×≤2×=2×=,当且仅当m=时，表达式取得最大值．△ABD面积的最大值：．3．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；(2）直线l过F且与椭圆C交于P,Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．【解答】解：(1)∵△MOF的面积为,∴bc=，即bc=．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4,∴=4，即ab=2．∴==,∴=，∴a=2,b=,∴C的方程为:=1．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则=2S△POQ．设直线l的方程为：x=my﹣1,P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=,∴|y1﹣y2|===，∴S△POQ =|OF|•|y1﹣y2｜=．设=t≥1,=．∵函数g(t)=在［1，+∞）上单调递减，∴当t=1时，△PP′Q面积取得最大值=3．4．如图所示，椭圆C1：+y2=1,抛物线C2：y=x2﹣1，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D,E．（Ⅰ)证明：MA⊥MB;(Ⅱ)记△MAB，△MDE的面积分别是S1,S2．问:是否存在直线l，使得=．若存在,求出直线l的方程，若不存在,请说明理由．【解答】解:(Ⅰ)证明：由题得,直线l 的斜率存在，设为k,则直线l 的方程为:y=kx, 由y=kx 和y=x 2﹣1，得x 2﹣kx ﹣1=0．设A(x 1，y 1），B(x 2,y 2), 于是x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，又点M 的坐标为（0，﹣1）．所以k MA •k MB =•====﹣1．故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME;(Ⅱ）设直线MA 的斜率为k 1,则直线MA 的方程为y=k 1x ﹣1．联立y=x 2﹣1可得或则点A 的坐标为（k 1，k 12﹣1）．又直线MB 的斜率为﹣，同理可得点B 的坐标为（﹣，﹣1）．于是S 1=|MA ｜•｜MB ｜=｜k 1|•••|﹣｜•=．由椭圆方程x 2+4y 2=4和y=k 1x ﹣1，得（1+4k 12）x 2﹣8k 1x=0,解得,或,则点D的坐标为（,）．又直线ME的斜率为﹣,同理可得点E的坐标为（﹣，)．于是S2=｜MD｜•|ME｜=．故=（4k12++17)=，解得k12=4，或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为y=±x．5．已知椭圆C1：的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1)求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点,不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标;若不存在这样的定点，请说明理由．【解答】解:（1)由题意可知：a=2……………………………………1分又椭圆的上顶点为(0，b）双曲线的渐近线为：2y±x=0由点到直线的距离公式有：得……………………3分所以椭圆的方程为．……………………4分（2）设直线线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2）联立得（3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0……………………5分则……………………7分由已知直线FA、FB的斜率之和为0，有,2kx1x2+（k+m)（x1+x2)+2m=0…………………9分所以化简得m=4k………………11分此时△=（8km)2﹣4×(3+4k2)(4m2﹣12）=(32k2）2﹣4×（3+4k2)（64k2﹣12)=16×64k4﹣16(4k2+3）（16k2﹣3)=16×9（1﹣4k2）显然△=16×9（1﹣4k2）＞0有机会成立．所以直线l的方程为：y=kx+m=k（x+4）所以存在这样的定点（﹣4，0）符合题意．…………12分6．椭圆的离心率是，过点P(0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点,当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1)求椭圆C的方程;（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q,使得直线l 变化时，总有∠PQA=∠PQB?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴a 2=2c 2=b 2+c 2，b=c,a 2=2b 2,椭圆方程化为:，由题意知，椭圆过点，∴，解得b 2=4，a 2=8，所以椭圆C 的方程为：;（2）当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:y=kx+1，由得(2k 2+1）x 2+4kx ﹣6=0，△=16k 2+24（2k 2+1）＞0,设,假设存在定点Q （0，t)符合题意，∵∠PQA=∠PQB ，∴k QA =﹣k QB , ∴=,∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4﹣t=0，即t=4，∴Q （0,4），当直线l 斜率不存在时,A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点（0，﹣2），（0,2），显然此时∠PQA=∠PQB ，综上，存在定点Q （0，4）满足题意． 7．已知椭圆，点在椭圆C 上，椭圆C 的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C 的方程;（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P 、Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP 、AQ 斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=2,请判断直线PQ 是否过定点?若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【解答】解:（1）由点在椭圆C 上可得：，整理为：9a 2+4b 2=4a 2b 2，由椭圆C 的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得：，即，可得，由a ＞b ＞0可解得：，故椭圆C 的方程为：．（2）设点P 、Q 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2），点A 的坐标为（﹣2，0），故，可得y 1y 2=2（x 1+2)（x 2+2），设直线PQ 的方程为y=kx+m （直线PQ 的斜率存在），可得（kx 1+m)(kx 2+m ）=2（x 1+2）（x 2+2），整理为：，联立，消去y 得:(4k 2+3）x 2+8kmx+(4m 2﹣12）=0，由△=64k 2m 2﹣4(4k 2+3）（4m 2﹣12）=48（4k 2﹣m 2+3)＞0,有4k 2+3＞m 2，有，，故有:，整理得：44k 2﹣32km+5m 2=0，解得：m=2k 或,当m=2k 时直线PQ 的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2)，过定点（﹣2，0)不合题意，当时直线PQ 的方程为，即,过定点．8．已知椭圆Γ：=1(0＜b ＜2）的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点,且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q （1，0），点P 是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值；(3）设不经过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点，且直线BM 、BN 的斜率之和为1，证明：直线l 过定点．【解答】解:（1)椭圆Γ:=1（0＜b ＜2）的a=2，向量与的夹角为,可得｜BF 1｜=|BF 2｜=a==2b=2，即b=1,则椭圆方程为+y 2=1；(2）设P （m ，n ），可得+n 2=1，即n 2=1﹣，•=（1﹣m ，﹣n ）•(﹣m ，﹣n ）=m 2﹣m+n 2=m 2﹣m+1=（m ﹣）2+，由﹣2≤m ≤2可得m=时，上式取得最小值;m=﹣2时,取得最大值6，则•的范围是［，6]；（3）证明:当直线l 的斜率不存在时，设M （x 1，y 1），N(x 2，y 2），由k BM +k BN =+==1，x 1=x 2,y 1=﹣y 2，得x 1=﹣2，此时M ，N 重合，不符合题意；设不经过点P 的直线l 方程为：y=kx+m ，M （x 1,y 1)，N （x 2，y 2），由得（1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=,k BM +k BN =+==1,⇒（kx1﹣1+t）x2+（kx2﹣1+t）x1=x1x2⇒(2k﹣1）x1x2+（t﹣1）（x1+x2）=0⇒（t﹣1)（2k﹣t﹣1）=0，∵t≠1，∴t=2k﹣1,∴y=k（x+2）﹣1，直线l必过定点（﹣2，﹣1）．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程;（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A,C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分12分)解:（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分)令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分)所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ)由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C（x2，y2）则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，∵Q为AC的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分)直线l与x轴的交点为H（﹣2m，0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜AQ｜2+|HQ｜2为定值10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x 轴的交点为H，试问｜BH|是否为定值？若是，求出定值；若不是,请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分）令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分)由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C(x2，y2）则有,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分）又，设AC的中点为Q，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）直线l与x轴的交点为H(﹣2m,0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜BH｜为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分）11．设椭圆M：+=1（a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．(1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m,使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设M的焦点F1（﹣c，0），F2(c,0），∵，△PF1F2面积为，∴，∴c=1，由，得∴椭圆M的方程为．(2）设直线l的方程为y=kx+t，由•得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12=0，设A（x1•y2)，B（x2•y2),则．．由k1+k2=mk对任意k成立，得，∴，又（0，t）在椭圆内部，∴0≤t2＜3，∴m≥2，即m∈[2，+∞）．12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（ I）求椭圆C的方程；( II）当直线l的斜率为时，求△POQ的面积；（ III)在椭圆C上是否存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解:（I) 根据题意,解得，故椭圆C的方程为．…(5分）（ II) 根据题意，直线l的方程为．设P（x1,y1），Q（x2，y2）．由得15x2﹣24x=0．解得．法一：．法二:，原点O到直线l的距离．所以…（10分)（ III）设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．设P(x1，y1）,Q（x2,y2），由得（3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由韦达定理得，．所以PQ 的中点．要使四边形OPMQ 为平行四边形，则N 为OM 的中点，所以．要使点M 在椭圆C 上，则，即12k 2+9=0，此方程无解．所以在椭圆C 上不存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形．…．（14分) 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD ｜=1,O 为坐标原点．（1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点,A 1、A 2为C 的上、下顶点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问：|OT ｜是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图：AF 2⊥x 轴，｜OD|=1， ∴AB ∥OD,∵O 为F 1F 2为的中点, ∴D 为BF 1的中点， ∵AD ⊥F 1B ，∴｜AF 1｜=|AB ｜=2｜AF 2｜=4｜OD ｜=4， ∴2a=|AF 1｜+｜AF 2｜=4+2=6， ∴a=3, ∴｜F 1F 2｜==2，∴c=,a=3，∴b2=a2﹣c2=6，∴+=1，（2）由（1）可知,A1(0，），A2（0，﹣)．设点P（x0，y），直线PA1：y﹣=x，令y=0，得xM=；直线PA2:y+=x，令y=0，得xN=;|OM｜•｜ON|=,∵+=1，∴6﹣y02=x2,∴｜OM｜•|ON｜=．由切割线定理得OT2=OM•ON=．∴OT=，即线段OT的长度为定值．14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣，0)，F 2（，0），点E （，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M,N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围．【解答】解:（Ⅰ）由已知,c=， ∴2a=|EF 1|+|EF 2|=+=4，∴a=2,∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣2=6， ∴椭圆方程为+=1，（Ⅱ）设点P 的坐标为（0，t)，当直线MN 的斜率不存在时，可得M,N 分别是椭圆的两端点,可得t=±，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y=kx+t ，M(x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由=2可得x 1=﹣2x 2，①，由，消y 可得（3+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣24=0，由△＞0,可得64k 2t 2﹣4（3+4k 2）(4t 2﹣24）＞0，整理可得t 2＜8k 2+6，由韦达定理可得x 1+x 2=﹣,x 1x 2=，②,由①②,消去x 1，x 2可得k 2=，由，解得＜t 2＜6, 综上得≤t 2＜6，又以F 1P 为直径的圆面积S=π•，∴S 的范围为[，2π）．15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A,B 两点,且．（I)求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值?若存在，请求出该点的坐标；若不存在,请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，∵平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．∴，a=,∴c=2，b 2=a 2=﹣c 2=2． ∴椭圆C 的方程为（Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣2），代入椭圆C 的方程,得（3k 2+1）x 2﹣12k 2x+12k 2﹣6=0，设M（x3，y3），N（x4，y4）,则，，x3x4=．根据题意，假设x轴上存在定点E（t，0），使得是为定值,=(x3﹣t,y3）•（x4﹣t,y4）=(x3﹣t）•(x4﹣t)+y3y4，=（x3﹣t)•（x4﹣t)+k2（x3﹣2）•（x4﹣2）,=（k2+1)x3x4﹣（2k2+t)(x3+x4）+4k2+t2,=要使上式为定值,即与k无关，则应3t2﹣12t+10=3（t2﹣6），即t=，故当点E的坐标为（,0）时，使得为定值．16．已知椭圆C：(a＞b＞0）的离心率，抛物线E：的焦点恰好是椭圆C 的一个顶点．（1)求椭圆C的标准方程；（2)过点P（0，1)的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立?请说明理由．【解答】解：（1)由抛物线E：的焦点（0,)，椭圆的C的焦点在x轴，由题意可知：b=,椭圆的离心率e===,则a=2，∴椭圆的标准方程:；（2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,A，B的坐标分别为（x1,y1），（x2，y2)．联立,整理得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0．其判别式△＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣．∴•+λ•=x 1x 2+y 1y 2+λ［x 1x 2+（y 1﹣1）(y 2﹣1）］，=（1+λ)（1+k 2)x 1x 2+k （x 1+x 2)+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即•+λ•=﹣7为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．17．在平面直角坐标系中，点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点,双曲线C 的离心率为2,点(1，）在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．（1）求动点P 的轨迹方程；（2)在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1,y 1）、N （x 2，y 2），线段MN 的中点为G,已知点(x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2上，求|OG ｜•｜MN|的最大值,并判断此时△OMN 的形状．【解答】解：（1）设F 1，F 2分别为（﹣c ，0)，（c ，0）可得，b 2=c 2﹣a 2=3a 2,又点（1,)在双曲线C 上，∴，解得，c=1．连接PQ ，∵OF 1=OF 2,OP=OQ ，∴四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形． ∴四边形PF 1+PF 2=2＞2，∴动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点),∴动点P 的轨迹方程（y ≠0）;（2）∵x 12+x 22=2，,∴y 12+y 22=1．∴｜OG ｜•｜MN｜=•=•=．∴当3﹣2x 1x 2﹣2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值，此时OM ⊥ON ，△OMN 为直角三角形．18．已知抛物线C:y 2=2px （p ＞0），其内接△ABC 中∠A=90°．（I ）当点A 与原点重合时,求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II)当点A 的纵坐标为常数t 0（t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由．【解答】解：（I ）设B （，y 1)，C （，y 2）,∵AB ⊥AC ，∴+y 1y 2=0,∴y 1y 2=﹣4p 2．∴设BC 的中点M （x ，y ），则=x ，y 1+y 2=2y ，∵y 12+y 22=(y 1+y 2）2﹣2y 1y 2, ∴px=4y 2+8p 2，∴M 的轨迹方程为：y 2=（x ﹣8p ）．（II ）A （，t 0)，设直线BC 的方程为y=kx+b,B （，y 1），C （,y 2),∴k AB ==,k AC ==,∵AB⊥AC，∴•=﹣1．即y1y2+t（y1+y2）+t2+4p2=0．联立方程组，消去x可得y2﹣y+=0，∴y1y2=,y1+y2=，∴+t0+t2+4p2=0．解得b=﹣t﹣﹣2pk，∴直线BC的方程为：y=kx﹣t0﹣﹣2pk=k（x﹣2p﹣）﹣t，∴直线BC过定点(2p+，﹣t）．19．如图,已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点,点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2)设圆M：（x﹣m）2+y2=r2（r＞0）．①设圆M与线段PF2交于两点A，B,若,且AB=2，求r的值；②设m=﹣2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点（异于点P)．试问:是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在,求出r的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1）因点P（﹣2，3)是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴，所以椭圆的半焦距c=2，由,得，所以,……（2分）化简得a2﹣3a﹣4=0，解得a=4，所以b2=12，所以椭圆C的方程为．……(4分)（2）①因，所以，即，所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q），由（1）知,……（6分）因圆M与线段PF2交于两点A，B，所以，所以,解得，……（8分）所以，故．……(10分）②由G，H两点恰好关于原点对称,设G(x0，y），则H（﹣x，﹣y）,不妨设x＜0，因P（﹣2,3），m=﹣2,所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的直线斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，由该直线与圆M相切，得，即，……（12分）所以两条切线的斜率互为相反数，即kGP =﹣kHP,所以，化简得x0y=﹣6，即，代入,化简得，解得x=﹣2(舍），，所以，……(14分）所以，,所以，所以．故存在满足条件的,且．……(16分）20．己知椭圆在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1)求椭圆C的标准方程;．（2）过点A(﹣2，0）作两条相交直线l1，l2,l1与椭圆交于P，Q两点（点P在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：，…………………………(2分）解得a=6，b=1．故椭圆C的方程为．………………………（4分）(2）由题设可知:l1的直线方程为x=﹣7y﹣2．联立方程组，整理得:85y2+28y﹣32=0.．…………………………（6分）∴．…………………………………………（7分)∵，∴，即．…………………………………………（8分)设l2的直线方程为x=my﹣2（m≠0)．将x=my﹣2代入+y2=1得(m2+36)y2﹣4my﹣32=0．设M（x1，y1），N(x2，y2），则．……………………………………(10分)又∵，∴．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为．………………………（12分）21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py(p＞0），直线y=x与C交于O，T两点，｜OT|=4．（Ⅰ)求C的方程；（Ⅱ）斜率为k（0)的直线l过线段OT的中点，与C交于A,B两点,直线OA,OB分别交直线y=x﹣2于M,N两点，求｜MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由方程组得x2﹣2px=0，解得x1=0,x2=2p，所以O（0，0）,T(2p,2p），则｜OT｜=2p，又｜OT|=2p=4，所以p=2．故C的方程为x2=4y．(Ⅱ)由（Ⅰ）O（0，0),T(4，4）,则线段OT的中点坐标(2，2）．故直线l的方程为y﹣2=k(x﹣2)．由方程组得x2﹣4kx+8k﹣8=0．设A(x1,x12），B（x2，x22）,则x1+x2=4k，x1x2=8k﹣8，直线OA的方程y=x,代入y=x﹣2，解得x=,所以M（，），同理得N(,）,所以|MN|=•|﹣｜=|｜=×|=4•因为0＜k≤，所以8＜|MN｜≤4．当k=时，｜MN|取得最大值4．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．（1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l经过点P（0,﹣1），且与椭圆交于A，B两点,若，求直线l的方程．【解答】（本小题满分12分）解:(1）依题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，由2c=4，c=2，e==，则a=2,b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程为：．(2）由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为:y=kx﹣1，A（x1，y1）,B（x2,y2），由，整理得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6=0,且△＞0，则x1+x2=，x1x2=﹣,由,即（﹣x1，﹣1﹣y1)=2（x2,y2+1），x1=﹣2x2,，消去x2并解关于k的方程得:k=±，∴l的方程为：y=±x﹣1．。

2024数学高考前冲刺题《圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)》含答案

黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ，由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。

数学高考圆锥曲线压轴题

数学高考圓锥曲线压轴題经典预测—.国作为线中的定值冋题圆 C ： §+§ =(&>6>。

)的离心皐 6=乎，a+6=3.(I )求椭圆C 的方程：(II )如图，4, B, 〃是椭圆。

的顶点，Q 是椭圆。

上除顶点外的任意点，直线。

P 交x 轴于点〃直线初交8P 于点胴设8P 的斜率沏A.的的斜率为们证明2m- k 为定值./的方程为*=4. (I )求椭圆C 的方程：(II ) 48是经过右焦点尸的任一弦(不经过点戶)，于点V.记£4, PB 、所的斜率■分别为加虹馅.问：是否存在常教人，使得由+用=入用？若存在，求人的值：若不存在，说明理由. -且垂直于X 轴的直线祓椭圆C 钱得的找段长为1.(II )点P 是椭El G 上除长轴端点分的任一点，角平分线所交C 的长轴亍点0),求/»的 (III)在(2)的条件下，遠点P 作斜■率为"的j 只有一个公共点，设直线月九PR 的斜率分别为 +支为定值，并求出这个定值.-1-★★如图，椭El C ： Ca>b>Q)(a>4>0)的左右焦点分别是巧，月，离心率■为 (I )求棉圆。

的方程：经过点P L二、罔锥为找屮的我值冋题★★在平面直角坐标系X如中，椭圆C：兰+匕1=(3>0>0)的离心率•为平, 直线*=x被椭圆C裁得的埃段长为公位.5(I )求椭圆C的方程：(II ) it原点的直线与椭圆C交于4, 8两点(4, &不是椭圆C的頂点).点。

在椭El C上，JL AP± AB,直线,曲与*轴、y轴分别交亍*. 〃两点.(i)设直线,曲，4〃的針举分别为用，佑，证明存在常敷入使得出=A佑，并求出X的值：(ii)来△颇面积的景大值.★★已知抛物线.C：/ = 2px (p>Q)的焦点为凡4为。

上异亍原点的任意一点，过点4的直线/交0于另一点8,交x轴的正半轴于点口且有\FA\ = \FD\.当点4的横坐标为3时，△4批为正三爾形.(I )求C的方程；(II )若直线/,〃/,且，和。

数学高考圆锥曲线压轴题

(完整word版)高考圆锥曲线压轴题型总结

高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。

而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。

使用韦达定理时需注意成立的条件。

题型4有关定点，定值问题。

将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。

（湖北卷）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλΘ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分Θ代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x k CD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当Θ假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔ ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分Θ代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得.231,2122,4,321-±-=-±-λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ)21233,23123(-------+=λλλλ计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）【点评】第一问可以作为直线与圆的知识点，第二问就作为函数思想算了，未知数一个嘛。

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析一、有关圆幂定理型压轴题【方法点拨】1.相交弦定理：如下左图，圆O 的两条弦AB 、PC 相交于圆内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅.2. 切割线定理:如下右图，PT 为圆O 的切线，P AB 、PCD 为割线，则2PT PA PB =⋅（）;3.割线定理：如下右图，P AB 、PCD 为圆O 的割线，则PA PB PC PD ⋅=⋅.说明：上述三个定理可以统一为22PA PB PO R ⋅=-(其中R 是半径)，统称为圆幂定理.【典型题示例】例1 如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点，点P 是圆O ：上的任意一点，过点作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．【答案】【分析】从题中已知寻求P A 、PT 间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理. 【解法一】由中线长公式可得，则 (1,0)A -224x y +=(1,0)B 93221862PT PA PA+=+≥=22212()2PO PA PB AB =+-22=10PA PB +CA ODPBTPOACD，则在中，，即所以时取等）【解法二】∵BT ⊥ AP ，∴点T 的轨迹是圆，其方程是：x 2+y 2=1，过点P 作该圆的切线PC ，C 为切点，则PC，由切割线定理得：所以时取等）.点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.在△AOM 中，由正弦定理得：OMsinA =√5，而OA ＝OM =2，所以sinA =√5，所以tan A =2.故直线AB 的斜率为2．例3 在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点，222cos 2PA PB AB P PA PB+-=⋅3cos P PA PB =⋅Rt PBT ∆cos PT PB P =3PT PA=9232PA PT PA PA+=+≥=2PA =23PC PA PT =⋅=9232PA PT PA PA+=+≥=PA =其中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为．【答案】y ＝x －1【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得2133OM OA OB =+,两边平方求得AOB ∠的余弦值. 【解法一】：易知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，设BM ＝2t ，MA ＝t .如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t2.设OH ＝d ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5. 在Rt △OMH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12，则d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1. 因为点A 在第一象限， BM →＝2MA →，由图知k ＝1，所以所求的直线l 的方程为y ＝x －1.【解法二】由2BM MA =，设BM ＝2t ，MA ＝t又过点M 的直径被M 分成两段长为51-、51+ 由相交弦定理得()()225151t =-+，解之得2t =过原点O 作OH ⊥l 于点H ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5，解得d 2＝12，（下同解法一，略）.【解法三】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1.当直线AB 的斜率不存在时，BM →＝MA →，不符合题意．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋y 2＝5，得(1＋k 2)y 2＋2ky －4k 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2k1＋k 2，y 1·y 2＝－4k 21＋k2，－y 2＝2y 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2k1＋k 2，y 2＝－4k1＋k2，所以y 1·y 2＝－8k 2(1＋k 2)2＝－4k 21＋k2，即k 2＝1.又点A 在第一象限，所以k ＝1，即直线AB 的方程为y ＝x －1.【解法四】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1.又点A在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为y ＝x －1. 点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.【巩固训练】1. 在平面直角坐标系xoy 中，M 是直线3x =上的动点，以M 为圆心的圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4，过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 .2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为．3. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222x y r +=(0)r >交于A B 、两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1P 在圆C ：22222410++-+-+=x y mx y m m 内，若存在过点P 的直线交圆C 于A 、B 两点，且△PBC 的面积是△PAC 的面积的2倍，则实数m 的取值范围为．5.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是．6.已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点()00,P x y 在直线2y x =上且PA PB =，则0x 的取值范围为 .222()x m y r -+=【答案与提示】1.【答案】 2.【答案】【解析一】作CE ⊥AB 于点E ，则，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴，化简得，即cos ∠OCD ＝＝，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝，∴直线l 1的斜率为．设OD ＝t (又∴直线l 13.244164416OC ⎪⎝⎭即222225159cos 16816r r r AOB r =+∠+，整理化简得3cos 5AOB ∠=-. 5±22222221144CE BC BE BC AB BC OD =-=-=-2222215()44r m r m r -=--=222254r m m r -=-r m =CDOC 3r m=55±2m t =Rt COE ∆过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=.又圆心到直线的距离OD ==222212cos 5OD AOD r r ∠===，r = 【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”. 由5344OC OA OB =+，即153288OC OA OB =+ 得A B D 、、三点共线（其中D 是AB 的中点），且:3:5AD BD =，设，5BD x =思路一：垂径定理后二次解三角形，()222224r x r x ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎩，解之得r =思路二：相交弦定理，()22335224r r x x r x ⎧⋅=⋅⎪⎨⎪=+⎩，解之得r =. 4.【答案】4,49⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.【答案】[【提示】易知OA OB ⊥，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.6.【答案】 (1,0)(0,2)-⋃二、抛物线过焦点的弦【方法点拨】设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为弦AB 的倾斜角．则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α (其中点A 在x 轴上侧，点B 在x 轴下侧) .(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.(4)1|AF |＋1|BF |＝2p. 3AD x =(5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．【典型题示例】例 1 已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点F 到其准线的距离为4，圆()12:22=+-y x M ，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B四点，则BQ AP 4+的最小值为 . 【答案】13【分析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F ，故445AP BQ AF BF +=+-，再利用抛物线的定义，进一步转化为445A B AP BQ x x +=++，利用4A B x x =、基本不等式即可. 【解析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F所以()()414145AP BQ AF BF AF BF +=-+-=+- 根据抛物线的定义22A A p AF x x =+=+，22B B pBF x x =+=+ 所以()()4242545A B A B AP BQ x x x x +=+++-=++又244A B p x x ==所以445513A B AP BQ x x +=++≥=，当且仅当4A B x x =，即41A B x x =⎧⎨=⎩时等号成立，此时直线l的方程是y =-所以BQ AP 4+的最小值为13.例2 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝（） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 点评：本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.以此为切入点解决此题，方法则更简洁.例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【答案】B【解析】由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 【巩固训练】1.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.942.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( ) A.抛物线C 的准线方程为y ＝－1 B.线段PQ 的长度最小为4 C.点M 的坐标可能为(3，2) D.OP →·OQ →＝－3恒成立3.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为P ，Q .若|AF |＝3|BF |，则|PQ |＝________.4.已知抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若112AF BF+=，则符合条件的抛物线C 的一个方程为__________．5.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______.【答案与提示】1.【答案】D【解析一】由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.【解析二】由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.2.【答案】 BCD【解析】因为焦点F 到准线的距离为2，所以抛物线C 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，A 错误.当线段PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时|PQ |＝4，B 正确.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1.消去x 并整理，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，则y 1＋y 2＝4m ，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，所以M (2m 2＋1，2m ).当m ＝1时，可得M (3，2)，C 正确.可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝1，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，D 正确.故选BCD.3.【答案】 833【解析】F (1，0)，不妨设A 在第一象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3|BF |得y 1＝－3y 2①设l AB ：y ＝k (x －1)与抛物线方程联立得 ky 2－4y －4k ＝0，y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4，②结合①②解得y 2＝－233，|PQ |＝|y 1－y 2|＝|－3y 2－y 2|＝－4y 2＝833.4.【答案】满足焦准距为1即可，如22y x =. 【解析】由公式112AF BF p +=得22p=，解得1p =，满足焦准距为1即可，如22y x =等. 5.【答案】65 【解析一】设AF =m ，BF =n ，则有25121121mnm n Pp ，解得65=m 或45m =(舍).【解析二】抛物线22y x =的焦点坐标为)0,21(，准线方程为21-=x 设A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则414221==p x x 设n BF m AF ==,，则21,2121-=-=n x m x 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--122541)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF . 6.【答案】32【解析】直接由112n m p+=立得（其中m ，n 是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p 就是焦准距）.三、椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆相交于A B、两点，直线l 的倾斜角为θ，且=()AF FB λλ＞0，则e θλ、、间满足1cos 1e λθλ-=+. 2.长短弦公式:如下图,长弦=1cos ep AF e θ-,短弦=1cos epBF e θ+（其中p 是焦参数，即焦点到对应准线的距离，θ是直线l 与x 轴的夹角，而非倾斜角）. 说明：（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.（2）双曲线也有类似结论.【典型题示例】例1 已知椭圆方程为2214x y +=，AB 为椭圆过右焦点F 的弦，则的最小值||2||AF FB ∴+F xA BO为．【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为如图，过作于，则，① 设的倾斜角为，则，② 联立①②，可得，同理可得，．令，，，．．当且仅当时上式取等号．的最小值为． 2214x y +=2a =c =e =:l x =A AM l ⊥M ||||AF AM =AB θ||||||cos ||cos ||cos AM CF AF AF AF θθθ=-==||AF =||BF ||2||AF BF ∴++==cos t θ=[1t ∈-1]1||2||32(6)12AF FB ∴+==-+-322(6)1263t-+++326363t =+t ||2||AF FB ∴+34+故答案为：．例 2 （2021·江苏南京盐城二调·7）已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．2【答案】D【解析】22cos b AF a c θ=-，22cos b BF a c θ=+，2222122122230124b AB AF BF AF a AF BF a a e e ac =+==+⇒=⇒=⇒--=⇒+2e =．例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，与过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝________.【答案】2【解析】如右图，设l 为椭圆的右准线，过A 、B3224+分别向l 作垂线AA /、BB /，A /、B /分别是垂足，过B 作AA /垂线BD ，D 是垂足设BF =t ，AF =3t则t BB e '=，3t AA e'= Rt ABD 中，2,4tAD AB t e==故11cos 23AD AB e θ=== 又k >0，所以tan 2k θ==.xDF B BAyO B / A /【巩固训练】1. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的离心率为________．2.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．3. 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．4.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点，若E 上存在不同两点A ，B ，使得123F A F B =，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1，1)B ．1)-C ．(2-，1)D ．(0,2【答案与提示】1.【解析】如右图，设直线AB 的倾斜角为θ则12Rt AF F ，21212,b F F c AF a==所以cos θ=由|AF1|＝3|F1B|、长短弦公式得：31cos1cosep epe eθθ=-+，化简得：2cos1eθ=1=，即4e===解之得：213e（负值已舍），所以33e.2.【答案】333.【答案】3+4.【答案】C【解析】延长1AF交椭圆于1A，根据椭圆的对称性，则211F B A F=，1113F A A F=，由12F A F Bλ=，且1||1cosepF Aeθ=-，11||1cosepA Feθ=+，由112A F F B=，所以1cos1cosep epe eλθθ=-+，整理得1cos1eλθλ-=+，其中[0θ∈，2)π，由A，B不重合，所以0θ≠，cose eθ=<，解得2e>，所以，椭圆的离心率的取值范围(2，1)．。

2024届高考数学专项练习压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略(解析版)

压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略命题预测解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开．高频考法（1）直线交点的轨迹问题（2）向量搭桥进行翻译（3）弦长、面积范围与最值问题（4）斜率之和差商积问题（5）定点定值问题01 直线交点的轨迹问题交轨法解决.【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线22:13y C x −=的左､右顶点分别是12,A A ，直线l 与C 交于,M N 两点（不与2A 重合），设直线22,,A M A N l 的斜率分别为12,,k k k ，且()126k k k +=−.(1)判断直线l 是否过x 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.(2)若,M N 分别在第一和第四象限内，证明：直线1MA 与2NA 的交点P 在定直线上.【解析】（1）由题意可知12(1,0),(1,0),0A A k −≠，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+.2024届高考数学专项练习由2213y x y kx m ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，可得222(3)230k x kmx m −−−−=，则23k ≠，2212(3)0m k ∆=+−>，即223k m <+，212122223,33km m x x x x k k ++==−−−. 因为()121212*********()()211()1kx m kx m kx x m k x x m k k k k k x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+++−+−+=+= ⎪⎢⎥−−−++⎝⎭⎣⎦222222322()2336632133m kmk m k m k k k km kmm k k k ⎡⎤⎛⎫+−+−−⎢⎥ ⎪−−⎝⎭⎢⎥===−⎢⎥++−−+⎢⎥−−⎣⎦，所以2m k =−，故直线l 的方程为(2)y k x =−，恒过点(2,0). （2）由题可知，直线1MA 的方程为11(1)1y y x x =++，直线2NA 的方程为22(1)1yy x x =−−，因为2121121212121212(1)(2)(1)2211(1)(2)(1)22y x x x x x x x x x y x x x x x x x +−+−+−+===−−−−−−+ 1212112121()322()2x x x x x x x x x x ++−−=−+++21221269333233k x k k x k −−−−==−++− 所以12x =，故点P 在定直线12x =上.【典例1-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅，PA PC⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【解析】（1）由题意可得(1,)PA x y =−−，(,1)PB x y =−−，(1,1)PC x y =−−，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−+，又2y 是PA PB ⋅，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+−−++−−+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =−+．（2）由（1）知2131:22C y x x =−+，又31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，∴平移公式为34116x x y y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫−=+−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2yx ．曲线2C 的方程为2yx ．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b −−=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b+=⎧⎨=−⎩， ()()21111,,OM x y x x ∴==，()()22222,,ON x y x x ==，又MON ∠为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅， 2212120x x x x ∴+>，又12x x b =−，2()0b b ∴−+−>，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x k x x b +=⎧⎨=−=−⎩，对2yx 求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x −=−，()2222:2N l y x x x x −=−，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧−=−⎪≠⎨−=−⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，R ∴点在定直线=2y −上．【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点2,3P，且离2. (1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程.【解析】（1）由椭圆过点2,3P，且离心率为22，所以2222223122a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B −，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=，由()22Δ25696120k k =−+>，即232k >，所以1221612kx x k −+=+，1222412x x k =+. 由求根公式可知，不妨设218246k k x −−−，228246k k x −+−= 直线AN 的方程为2222y y x x −−=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=，联立22112222y y x x y y xx −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++，代入12,x x ，得222222241644628446112122324481246241246k k k y k k k k y k k k k k −−−−−−++===−+−+−−+−+，解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上.【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点O ，C 的一个焦点坐标为()10,3F ，离3 (1)求C 的方程；(2)设C 的上、下顶点分别为1A ，2A ，若直线l 交C 于()11,M x y ，()22,N x y ，且点N 在第一象限，120y y >，直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，证明：直线MN 过定点．【解析】（1）由题意得3c =，3ca3a =2226b c a =−=，故C 的方程为22136y x −=；（2）证明：由已知条件得直线MN 的斜率存在，设直线MN ：y kx t =+，联立2226y kx t y x =+⎧⎨−=⎩，消去y 整理得，()222214260k x ktx t −++−=，由题设条件得2210k −≠，()()2222Δ16421260k t k t =−−−>，则122412kt x x k +=−，21222621t x x k −=−．由（1）得(13A ，(20,3A −，则直线1A M ：1133y y −，直线2A N ：2233y y x +=， 11223333y y y y −−=++ 因为直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，所以112233353335y y −=++因为2222136y x−=2222222233312y y y x −+−==，即()2222323y y x +=−所以(11211212122233323333523335y y y y y x x y −−−===+．又((()(221212123333y y k x x k t x x t =+++，(((2222222326433212121t t ktk k t t k k k −−=⨯−+=−−−，所以33353335t t −=+，解得5t =，所以直线MN 过定点()0,5．02 向量搭桥进行翻译将向量转化为韦达定理形式求解.【典例2-1】（2024·上海普陀·二模）设椭圆222:1(1)x y a a Γ+=>，Γ2倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点. (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB =，0CF AB ⋅=，求CBFS的值；(3)设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围. 【解析】（1）由Γ24倍，得212a −22(1)a a −=，又1a >，则2a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ，因为CO OB =，所以点B 、C 关于点O 对称，又0CF AB ⋅=，则CF AB ⊥，由椭圆Γ的对称性可得，1CF CF ⊥，且三角形1OCF 与三角形OBF 全等，则1112CBFCF FSSCF CF ==⋅，又122211224CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩，化简整理得， 12CF CF ⋅=，则1CBFS=.（3）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，00(,)C x y ，又 OA OB CO +=，则012()x x x =−+，012()y y y =−+，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x mkx m +++−=， 222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=−+−=−+，由韦达定理得，122412mk x x k −+=+，21222212m x x k −=+，又121222()212my y k x x m k +=++=+，则02412mkx k =+，02212m y k −=+，因为点C 在椭圆Γ上，所以222242()2()21212mk m k k −+=++，化简整理得，22412m k =+，此时，22222218(21)8(21)6(21)04k k m k k +∆=−+=+−=+>，则2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =−+−=+−222224221()4()1212mk m k k k−−+−++ 226(21)1k k ++226612k k ++ 令212t k =+，即1t ≥，则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+，则AB 的取值范围是3,6.【典例2-2】（2024·贵州安顺·一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线方程为3y x =，右焦点F 3 (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，()1,0A −．求AM AN ⋅的值．【解析】（1）由双曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为3y =，可得3b a =又由焦点(c,0)F 32233(3)1c d ==+2c =，又因为222c a b =+，可得1,3a b =2213y x −=.（2）由（1）知2c =，可得(2,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，即:2l x =，将2x =代入2213y x −=，可得13y =或23y =−，不妨设(2,3),(2,3)M N −，又由(1,0)A −，可得(3,3),(3,3)AM AN ==−，所以333(3)0AM AN ⋅=⨯+⨯−=；当直线l 的斜率存在时，即:(2)l y k x =−，联立方程组22(2)13y k x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得2222(3)4430k x k x k −+−−=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2222(4)4(3)(43)0k k k ∆=+−+>，且22121222443,33k k x x x x k k ++==−−，则222212121212(2)(2)2()4y y k x x k x x k x x k =−−=−++，且1122(1,),(1,)AM x y AN x y =+=+，则1212121212(1)(1)()1AM AN x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++ 22212121212()12()4x x x x k x x k x x k =++++−++2221212(12)(1)()41k x x k x x k =−+++++=2222222434(12)(1)4133k k k k k k k +=−⋅++⋅++−−242244222484343412303k k k k k k k k k −+++++−+−==−，综上可得：0AM AN ⋅=.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线()2:20E y px p =>，其焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，以FC 为直径的圆交抛物线于点B ，连接BF 并延长交抛物线于点A ，且4AF BF −=．(1)求E 的方程．(2)过点F 作x 轴的垂线与抛物线E 在第一象限交于点P ，若抛物线E 上存在点M ，N ，使得0MP NP ⋅=．求证：直线MN 过定点．【解析】（1）根据抛物线的性质可知CF p =．设直线AB 的倾斜角为θ，则在Rt CBF △中，cos BF p θ=．由抛物线的定义知cos AF AF p θ=+，cos BF p BF θ=−，所以1cos p AF θ=−，cos 1cos pBF p θθ==+，所以2sin cos θθ=．所以222sin cos p p AB AF BF θθ=+==．由24AF BF AB BF −=−=，得221cos 2cos 224cos cos p p p p θθθθ−−=⋅==，解得2p =．所以E 的方程为24y x =．（2）由（1）知()1,2P ．设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ．联立抛物线方程，得2,4.x my n y x =+⎧⎨=⎩代入并整理，得2440y my n −−=．则124y y m +=，124y y n =−，且216160m n ∆=+>．由0MP NP ⋅=，得()()11221,21,20x y x y −−⋅−−=，则()()()()()()()()12121212112211220x x y y my n my n y y ⎡⎤⎡⎤−−+−−=−+−++−−=⎣⎦⎣⎦，得()()()22121212250m y y mn m y y n n ++−−++−+=，所以()()()221424250m n mn m m n n +⨯−+−−⨯+−+=．整理得()()22341n m −=+．当()321n m −=−+，即21n m =−+时，直线MN 的方程为()21x m y =−+，则直线MN 恒过定点()1,2P ，不符合题意．当()321n m −=+，即25n m =+时，直线MN 的方程为()25x m y =++，则直线MN 恒过定点()5,2−．【变式2-2】（2024·山东聊城·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为26. (1)求C 的方程；(2)直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于,M N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，且,AM BM AN BN λμ==. （ⅰ）当12μλ==时，求k 的值；（ⅱ）当3λμ+=时，求点(0,3到l 的距离的最大值.【解析】（1）由题意得222226b c a b a a =⎧⎪⎨−==⎪⎩13b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为2213x y +=．（2）（ⅰ）由题意得()0,,,0m A m B k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，由12AM BM =，得2OM OA OB =−，即,2m M m k ⎛⎫⎪⎝⎭，由2AN BN =，得2ON OB OA =−，即2,m N m k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，将,M N 的坐标分别代入C 的方程，得222413m m k +=和222413m m k+=，解得213k =，又0k >，所以3k =（ⅱ）由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++−=，其中()()()222222Δ361231112310k m k m k m =−+−=−+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k −−+==++，由(),,0,,,0m AM BM AN BN A m B k λμ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，得1122,m m x x x x k k λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121212112x x m m m m m k x x x x k k k k λμ⎛⎫ ⎪+=+=−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭，由3λμ+=，得()221212230k x x mk x x m +++=，即222222223312303131m k k m k m k k −−++=++，所以222222223312930m k k m k m k m −−++=，因此22k m =，又0,0k m >>，所以k m =. 所以l 的方程为()1y k x =+，即l 过定点()1,0−，所以点(0,3−到l 的最大距离为点(0,3−与点()1,0−的距离21(3)2d =+=，即点(0,3−到l 的距离的最大值为2.03 弦长、面积范围与最值问题1、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．2、建立目标函数，使用基本不等式求最值．【典例3-1】（2024·浙江台州·二模）已知椭圆C ：229881x y +=，直线l ：=1x −交椭圆于M ，N 两点，T 为椭圆的右顶点，TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标； (2)求圆Q 的方程；(3)设点()1,3P ，过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ，B ，求PAB 的周长.【解析】（1）椭圆的标准方程为2218198x y +=，因为819988−=，所以焦点坐标为320,⎛ ⎝⎭. （2）将=1x −代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ，由对称性不妨设()1,3M −，()1,3N −−，直线MT 的方程为()3313y x =−−−，即3490x y +−=，设圆Q 方程为()222x t y r −+=，由于内切圆Q 在TMN △的内部，所以1t >−，则Q 到直线MN 和直线MT 的距离相等，即223409134t t r +⨯−+==+，解得12t =，32r =，所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭.（3）显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在，设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =−+，其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率.由圆Q 21132321k k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭=+，化简得：2812270k k +−=，则121232278k k k k ⎧+=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，由()122139881y k x x y ⎧=−+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++−+−−=，可得21121848989A P A k k x x x k −−==+，所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫−−−−+=−+=−+= ⎪++⎝⎭()()()111113271218271833271291232k k k k k −−−+−===−−+−.同理22222848989B k k x k −−=+，32B y =−，所以直线AB 的方程为32y =−，所以AB 与圆Q 相切，将32y =−代入229881x y +=得7x =所以7AB =P 到直线AB 的距离为92，设PAB 的周长为m ，则PAB 的面积1319272222ABC S m =⨯=⨯△，解得67m =.所以PAB 的周长为67.【典例3-2】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x −是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点． (1)求抛物线C 的方程； (2)证明：BP BQ =：(3)记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程．【解析】（1）因为=1x −为抛物线的准线，所以12p=，即24p =，故抛物线C 的方程为24y x = （2）如图，设l ：1x ty =−，()()1122,,,M x y N x y ，联立24y x =，消去x 得2440y ty −+=，则()2Δ1610t =−>，且121244y y t y y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x −−=−−，令=1x −得()1121,1y n P n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭，同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤−−−−+=−+−=−+⎢⎥−−−−⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty −−+−−=−−⋅−，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t −−++−=−=−=−++−，故BP BQ =.（3）由（2）可得：()()1222122222221nt y n y n S PQ ty ty t −−−==−=−−−22212211141212221nt S MN d t t t nt t −==++=−−+，由122S S =，得：212t −=，解得3t = 所以直线l 的方程为310x +=．【变式3-1】（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OABS．(1)求p 的值； (2)求OM ON ⋅的值； (3)求OMNOABS S 的取值范围. 【解析】（1）椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C 的焦点为()0,1F ，故2p =.（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不符合题意，所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx −−=，216160k ∆=+>恒成立，则124x x =−，221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=−+=−.（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k >，20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得2141x k =+ 点A 在第三象限，则2141A x k =+点B 在第四象限，同理可得2241B x k =+，且121212121164y y x x k k x x ===− 121222124141OMN OAB B AOM ONx x x x S S OB OA x x k k ⋅⋅⋅===⋅⋅++()()2221212114141424k k k k ++++2121124224k k ≥⋅+，当且仅当112k =时，等号成立. OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞. 【变式3-2】（2024·辽宁·二模）已知点P 为双曲线22:14x E y −=上任意一点，过点P 的切线交双曲线E 的渐近线于,A B 两点． (1)证明：P 恰为AB 的中点；(2)过点P 分别作渐近线的平行线，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，判断PMON 的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；【解析】（1）由切线不可能平行于x 轴，即切线的斜率不可能为0，设切线方程为:l x ty m =+，联立方程组2214x ty m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得222(4)240t y tmy m −−+=+，所以()()222Δ24(4)40tm t m =−−−=，可得2240t m +−=，即224m t =−，所以22220m y tmy t −++=，即2()0my t −=，所以t y m =，则2t x m m=+，所以点2(,)t tP m m m+，又由双曲线22:14x E y −=的渐近线方程为12y x =±，联立方程组12y xx ty m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t ==−−，即2(,)22m m A t t −−，联立方程组12y xx ty m⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t −==++，即2(,)22m m B t t −++，所以222222244422244m mm tm m tmm m t t t t m m+++−−+====−− 222224m mtm tm t t t t m m−+−+===−，所以AB 的中点坐标为4(,)t m m又因为2224t t m m m m m++==，所以4(,)t P m m ，所以点P 与AB 的中点重合.（2）由2(,)22m m A t t−−，2(,)22m mB t t −++，可得2222225()()22(2)m m m OA t t t =+=−−−，2222225()()22(2)m m m OB t t t −=+=+++，所以44422222425252525[(2)(2)](4)m m m OA OB t t t m ⋅====−+−，即5OA OB =，又由22223322224m m m m m OA OB t t t t t−⋅=⨯+⨯==−+−+−，可得3cos 5OA OB AOB OA OB ⋅∠==，所以24sin 1cos 5AOB AOB ∠=−∠=，所以114sin 52225AOBSOA OB AOB =∠=⨯⨯=，因为P 为AB 的中点，所以112122PMON AOBS S ==⨯=，所以四边形PMON 的面积为定值1.04 斜率之和差商积问题1、已知00(,)P x y 是椭圆22221x y a b +=上的定点，直线l （不过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，则直线l 斜率为定值2020b x a y ．2、已知00(,)P x y 是双曲线22221x y a b−=上的定点，直线l （不过P 点）与双曲线交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，直线l 斜率为定值2020b x a y −．3、已知00(,)P x y 是抛物线22y px =上的定点，直线l （不过P 点）与抛物线交于M ，N 两点，若0PA PB k k +=，则直线l 斜率为定值0p y −． 4、00(,)P x y 为椭圆222:x y a bΓ2+=1)0,0(a b >>上一定点，过点P 作斜率为1k ，2k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2000222(,)y b x x y aλλ−−−；（2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b λλλλ++−−−．5、设00(,)P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线AB ，CD 交椭圆222:x y a b Γ2+=1)0,0(a b >>于A 、B 、C 、D ，直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，弦AB ，CD 的中点记为M ，N ．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2002(,)y b x x aλλ−−；（2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点22002222(,)a x b y a b a b λλλ−−．6、过抛物线22(0)y px p =>上任一点00(,)P x y 引两条弦PA ，PB ，直线PA ，PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022(,)y px y λλ−−．【典例4-1】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆22:143x y C +=，12A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点，12F F 、分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M N 、两点（l 不过点2A ）.(1)若Q 为椭圆C 上（除12A A 、外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积； (2)若112NF F M =，求直线l 的方程；(3)若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是12k k 、，且1294k k =−，求证：直线l 过定点.【解析】（1）在椭圆 22:143x y C +=中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A −、，设点()000,(2)Q x y x ≠±，则12202000220000314322444QA QA x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0)F −，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y =−−−=，，由112NF F M =得2211(1,)2(+1,)−−−=x y x y ，化简得2121=322x x y y −−⎧⎨=−⎩代入2222143x y +=可得22114(32)(32)1−−−+=x y ，联立2211143x y +=解得117=435=x y ⎧−⎪⎪⎨⎪⎪⎩由112NF F M =得直线l 过点1(1,0)F −，73(,5)48−N ，所以，所求直线方程为5=1)y x ±+.（3）设()()3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t =+（2t ≠），联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2223463120m y mty t +++−=，由2222364(34)(312)0m t m t ∆=−+−>，得2234t m <+.由韦达定理，得234342263123434，−+=−=++mt t y y y y m m .1294k k =−，34349224∴⋅=−−−y y x x . 可化为()()343449220y y my t my t ++−+−=，整理即得()()223434499(2)9(2)0my ym t y y t ++−++−=，()222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m −⎛⎫∴+⨯+−−+−= ⎪++⎝⎭，由20t −≠，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m tt m m ++−+−=++，化简可得16160t −=，解得1t =，直线MN 的方程为1x my =+，恒过定点(1,0).【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为()(),,2,2A B C a b D a b −，直线AC 的斜率为12，直线AC 与椭圆E 交于另一点G ，且点G 到x 轴的距离为43． (1)求椭圆E 的方程．(2)若点P 是E 上与点,A B 不重合的任意一点，直线,PC PD 与x 轴分别交于点,M N ． ①设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，求2112k k k k −的取值范围． ②判断22||AM BN +是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．【解析】（1）由题意知，(),0A a −．由直线AC 的斜率为12()2012b a −=，所以2a b =．直线AC 的方程为()12y x a =+．设(),G s t ，则0,0s t >>．由点G 到x 轴的距离为43，得43t =．由点G 在直线AC 上，得()4132s a =+，所以83s a =−．由点G 在椭圆E 上，得2222843312a a a⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得2a =．所以2b =．所以椭圆E 的方程为22142x y+=．（2）①设()00,P x y （020y ≤<或002y < 由（1）知，()()2,2,2,2C D −，则00120022,22PC PD y y k k k k x x −−====−+，所以0021121200002211442222x x k k k k k k y y y y −+−−=−=−==−−−−．由020y −<或002y <≤得02222y −<或02222y <−≤ 所以0442222y −<−或0424222y <≤+− 故2112k k k k −的取值范围是)(422,22,422⎡−⋃+⎣． ②由①知2200142x y +=，即2220004x y y +=−．设()()12,0,,0M x N x ．因为,,P C M 三点共线，所以00120222y x x −−=−−，得0001002422222x y x x y y −+−=+=−−．因为,,P D N 三点共线，所以00220222y x x −−=++，得0002002422222x x y x y y −−−−=−=−−．所以()()222222000012002222222222y x x y AM BN x x y y ⎛⎫⎛⎫−−−+=++−=++−= ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭()220002008816822x y y y y +++=−−()()()()()2000220000848221616882222y y y yy y y y y −+−++=++=−−−−()0000821681622y y y y −+++=−−．故22||AM BN +为定值16．【变式4-1】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b −=>>2()3,1−在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M −，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P −，直线AP 交直线2x =−于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k −为定值．【解析】（1）由双曲线2222y :1x C a b −=2，且()3,1M −在双曲线C 上，可得222229112a b c e a c a b ⎧−=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得228,8a b ==，∴双曲线的方程为22188x y −=．（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F −，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =−，联立方程组2248x my x y =−⎧⎨−=⎩，消x 得()221880m y my −−+=，易得Δ0>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122288,011m y y y y m m +==<−−，可得11m −<<， ∵()()11222,,2,MA x y MB x y =+=+，则()()()()211212122222MA MB x x y y my my y y ⋅=+++=−−+()()()22212122281161244411m mm y y m y y m m +=+−++=−+=−−−，即0MA MB ⋅≠，可得MA 与MB 不垂直，∴不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上．（3）由直线()1:24AP y k x −=+，得(12,22)Q k −+， ∴2121222222222y k y k k x my −−−−==+−，又11111224PAy y k k x my −−===+，∴()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my −−−−−−−−−=−=−− ()2111112224222my y my mk y my my −−+++=−，∵1112y k my −=，∴1112k my y =−，且1212y y my y +=， ∴()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y −−−===−−+−，即12k k −为定值．【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：①点()32,1P −在双曲线C 上；②点Q 在双曲线C 上，1290QF F ∠=︒，且113QF =；③双曲线C 的一条渐近线与直线33y x =−垂直. (1)求双曲线C 的方程；(2)设,A B 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点()0,1−的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若AMBNk a k =−，求直线l 的斜率.【解析】（1）选①②，因为点()32,1P −在双曲线C 上，所以221811a b −=，由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，联立222181113a b b a ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=；选①③，由①，得221811a b −=，由③，得31ba−⨯=−，联立22181131a b b a⎧−=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=，选②③，由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，又由③，得31ba−⨯=−，联立21331b a b a⎧=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=.（2）依题意可知()()3,0,3,0A B −，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =−，()()1122,,,M x y N x y ，联立22119y kx x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 并整理，得()221918180k x kx −+−=，由()()()222Δ(18)4191836290k k k =−−⨯−=−>，且2190k −≠，得229k <且219k ≠，所以1212221818,1919k x x x x k k +=−=−−−，又221119x y −=，即221199x y −=，则1111339y x x y −=+，所以()()11121122122233339933AMBNy x x x k x y y y k y y x x −−−+===−−()()()()()121212122121212393991191x x x x x x x x kx kx k x x k x x −++−++==−−⎡⎤−++⎣⎦2222222218183996119193911818911919kk k k k k k k k k −+⨯+−+−−===−−⎛⎫−++ ⎪−−⎝⎭，整理得218310k k −−=，解得16k =−或13k =（舍去），故直线l 的斜率为16−.05 定点定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ． ③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为23的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，点P 为椭圆C 上的动点，且12A PA 面积的最大值为35():20l x my m =−≠与椭圆C 交于,A B 两点，点()1,0D −，直线,AD BD 分别交椭圆C 于,G H 两点，过点2A 作直线GH 的垂线，垂足为M ． (1)求椭圆C 的方程．(2)记直线GH 的斜率为k ，证明：km 为定值．(3)试问：是否存在定点N ，使MN 为定值？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意，得22235,2,3,ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2229,5,4.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22195x y +=．（2）证明：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y G x y H x y ．又()1,0D −，所以可设直线AD 的方程为1111x x y y +=−．联立椭圆方程与直线AD 的方程，得112211,1.95x x y y x y +⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ，得()()222211111519101400x y y x y y y ⎡⎤++−+−=⎣⎦．又2211195x y +=，所以22115945x y +=，可得()()2211115140x y x y y y +−+−=．由根与系数的关系，得2113145y y y x −=+，则13145y y x −=+，所以11131111459155x y x x y x x +−−−=⋅−=++，同理，得224422594,55x y x y x x −−−==++．从而直线GH 的斜率()()()()()()2112214321214312212144454555595959559555y y y x y x y y x x k x x x x x x x x x x −−−+−+−++====−−−−−++−++−++()()()122112454516y x y x x x +−+−．又11222,2x my x my =−=−，所以()()()()()1221121212434312316164y my y my y y k x x x x m +−+−===−−，即34km =，为定值．（3）由（2）可得直线GH 的方程为11114594355y x m x y x x ⎛⎫+=⋅+− ⎪++⎝⎭．由椭圆的对称性可知，若直线GH 恒过定点，则此定点必在x 轴上，所以令0y =，得()()()()()11111111116235916595135535353x x my x x x x x x x +−+++=−===++++．故直线GH 恒过定点T ，且点T 的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭．因为2A M GH ⊥，垂足为M ，且()23,0A ，所以点M 在以2A T 为直径的圆上运动．故存在点5,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，使21423MN A T ==．【典例5-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的焦距为25点3)D 在C 上. (1)求C 的方程;(2)直线:1l x my =+与C 的右支交于A ，B 两点，点E 与点A 关于x 轴对称，点D 在x 轴上的投影为点G . （ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）求证：直线BE 过点G .【解析】（1）由已知得222251631a b a b ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以C 的方程为2214x y −=.（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,E x y −，联立22144x my x y =+⎧⎨−=⎩，消去x 得()224230m y my −+−=，则240m −≠，()()222Δ41241630m m m =+−=−>，解得||3m >||2m ≠.又l 与C 的右支交于A ，B 两点，C 的渐近线方程为12y x =±，则11||2m >，即0||2m <<，所以|m 的取值范围为(3,2). （ii ）由（i ）得12224my y m +=−−，12234y y m −=−，又点3)D 在x 轴上的投影为(4,0)G ，所以()224,GB x y =−，()114,GE x y =−−，所以()()122144x y x y −+−()()122133my y my y =−+−()121223my y y y =−+，223223044mm m m −−=⋅−⋅=−−，所以//GB GE ，又GB ，GE 有公共点G ，所以B ，G ，E 三点共线，所以直线BE 过点G .【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点23P ⎝⎭在椭圆E ，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B 和点C ，D ，且点M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若()0,1D ，求以CD 为直径的圆的方程；(3)直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23P ⎝⎭，且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，可得b c =，则22222a b c b =+=，所以2223122b b+=⨯，解得222,1a b ==，所以椭圆E 的标准分别为2212x y +=.（2）由（1）得1(1,0),(0,1)F D −，所以直线CD 的方程为1x y +=，联立方程组22112x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得41,33x y ==−或0,1x y ==，所以41(,)33C −，则CD 的中点为21(,)33N 且423CD =CD 为直径的圆的方程为22218()()339x y −+−=. （3）设直线AB 的方程为1x my =+，且0m ≠，则直线CD 的方程为11x y m=−+，联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)210m y my ++−=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则0∆>且12122221,22y y y y m m +=−=−++，所以12121224(1)(1)()22x x my my m y y m +=+++=++=+，由中点坐标公式得222(,)22mM m m −++，将M 的坐标中的用1m −代换，可得CD 的中点为2222(,)2121m mN m m ++，所以232(1)MN mk m =−，所以直线MN 的方程为22232()22(1)2m m y x m m m +=−+−+，即23(1)12m y x m =−−，则直线MN 过定点2(,0)3. 【变式5-2】（2024·浙江·二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点. (1)求双曲线C 的方程；(2)若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）设双曲线C 的两渐近线方程分别为b y x a=，by x a =−，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc −−+⨯==，由题意可得：222222229465941a b c b a c a b ⎧+=⎪⎪−⎪=⎨⎪⎪−=⎪⎩，解得23a =，22b =，所以双曲线C 的方程为22132x y −=.（2）设直线1l 的方程为(5y k x =，由1l ，2l 互相垂直得2l 的方程(15y x k=−，联立方程得(225132y k x x y ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，消y 得()222223651560k x k x k −−−−=，0∆>成立，所以212352M x x k x +=，(255M M ky k x == 所以点M 坐标为23525k k ⎝⎭，联立方程得(2215132y x k x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，所以34352N x x x +==(1255N N k y x k −=−=，所以点N 坐标为223525,2323k k k ⎛⎫− ⎪ ⎪−−⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上，直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x −−=−−，则当0y =时，222223525352523232323351252525M N N M N M k k kx y x y k k k k x y y kk k −−−−−−===−−−−−−所以直线MN 恒过定点，定点坐标为()35,0−.1．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点为()0,1A ，离心率3e =()2,1P −的直线l 与椭圆Γ交于B ，C 两点，直线AB 、AC 分别与x 轴交于点M 、N .(1)求椭圆Γ的方程；(2)已知命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，求AMN 的重心坐标；(3)是否存在直线l ，使得2AMN ABC S S =△△？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.（其中AMNS、ABCS分别表示AMN 、ABC 的面积）【解析】（1）依题意1b =，3c e a ==222c a b =−，解得2a =，所以椭圆Γ的方程为2214x y +=；（2）因为命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，。

2024年高考数学专题18 圆锥曲线高频压轴解答题(16大题型)(练习)(原卷版)

专题18 圆锥曲线高频压轴解答题目录01 轨迹方程 (2)02 向量搭桥进行翻译 (3)03 弦长、面积背景的条件翻译 (4)04 斜率之和差商积问题 (5)05 弦长、面积范围与最值问题 (6)06 定值问题 (7)07 定点问题 (9)08 三点共线问题 (10)09 中点弦与对称问题 (11)10 四点共圆问题 (12)11 切线问题 (13)12 定比点差法 (14)13 齐次化 (16)14 极点极线问题 (16)15 同构问题 (18)16 蝴蝶问题 (19)01 轨迹方程1．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条浙近线方程为y x =，且点P在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线左右顶点分别为,A B ，在直线1x =上取一点()()1,0P t t ¹，直线AP 交双曲线右支于点C ，直线BP 交双曲线左支于点D ，直线AD 和直线BC 的交点为Q ，求证：点Q 在定直线上.2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，直线12y x =被椭圆截得的弦长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N ，P ，Q 为椭圆C 上的动点，且四边形MNPQ 为菱形，原点О在直线MN 上的垂足为点H ，求H 的轨迹方程．3．（2024·福建莆田·统考一模）曲线C 上任意一点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线4x =的距离之比等于(4,0)M 且与x 轴不重合的直线l 与C 交于不同的两点,A B ．（1）求C 的方程；（2）求证：ABF △内切圆的圆心在定直线上．02 向量搭桥进行翻译4．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是双曲线2213x y -=的离心率的倒数，椭圆C 的左､右焦点分别为12,F F ，上顶点为P ，且122PF PF ×=-uuu r uuu u r.(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点()0,2Q 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点,A B 时，设AQ QB l =uuu ruuu r，求l 的取值范围.5．（2024·上海奉贤·统考一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为，椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，直角坐标原点记为O ．设点()0,P t ，过点P 作倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于不同的两点B 、C ．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆上有一动点T ，求()12PT TF TF ×-uuu r uuu r uuu r的取值范围；(3)设线段BC 的中点为M ，当t ³Q ，使得非零向量OM uuuu r与向量PQ uuu r 平行，请说明理由．6．（2024·云南昆明·高三统考期末）已知动点P 到定点()0,4F 的距离和它到直线1y =距离之比为2；(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 在x 轴上方与x 轴平行，交曲线C 于A ，B 两点，直线l 交y 轴于点D .设OD 的中点为M ，是否存在定直线l ，使得经过M 的直线与C 交于P ，Q ，与线段AB 交于点N ，PM PN l =uuuu r uuu r ，MQ QN l =uuuur uuu r 均成立；若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.03 弦长、面积背景的条件翻译7．（2024·陕西榆林·统考一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过()830,1,,55A P æö-ç÷èø两点.(1)求C 的方程；(2)斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且点A 不在l 上，AM AN ^，过点P 作y 轴的垂线，交直线=1x -于点S ，与椭圆C 的另一个交点为T ，记SMN V 的面积为1S ，TMN △的面积为2S ，求12S S .8．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，若E 上任意一点到两焦点的距离之和为4，且点æççè在E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)在（1）的条件下，若点A ，B 在E 上，且14OA OB k k ×=-(O 为坐标原点)，分别延长AO ，BO 交E 于C ，D 两点，则四边形ABCD 的面积是否为定值？若为定值，求四边形ABCD的面积，若不为定值，请说明理由.9．（2024·上海·高三上海市大同中学校考期末）已知双曲线H ：2214x y -=的左、右焦点为1F ，2F ，左、右顶点为1A ，2A ，椭圆E 以1A ，2A 为焦点，以12F F 为长轴．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设椭圆E 交y 轴于1B ，2B ，过1B 的直线l 交双曲线H 的左、右两支于C ，D 两点，求2B CD △面积的最小值；(3)设点(),M m n 满足224m n <．过M 且与双曲线H 的渐近线平行的两直线分别交H 于点P ，Q ．过M 且与PQ 平行的直线交H 的渐近线于点S ，T ．证明：MSMT为定值，并求出此定值．04 斜率之和差商积问题10．（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点(),M x y 作x 轴垂线，分别与1y =和4y =-交于P ，Q 点，且()12,0A -，()22,0A ，若实数l 使得212OP OQ MA MA l ×=×uuu r uuu r uuuu r uuuu r成立（其中O 为坐标原点）．(1)求M l 为何值时M 点的轨迹为椭圆；(2)当l =()4,0B 的直线l 与轨迹M 交于y 轴右侧C ，D 两点，证明：直线1A C ，2A D 的斜率之比为定值．11．（2024·安徽·高三校联考期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()04,P y 是抛物线C 上一点，点Q 是PF 的中点，且Q 到抛物线C 的准线的距离为72．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆22:(2)4M x y -+=，圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：OA ，OB 的斜率之差的绝对值为定值．12．（2024·海南海口·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦点到渐近线的距离为2.直线l 过点(),0(02)P t t <<，且垂直于x 轴，过P 的直线l ¢交C 的两支于,G H 两点，直线,AG AH 分别交l 于,M N 两点.(1)求C 的方程；(2)设直线,AN OM 的斜率分别为12,k k ，若1212k k ×=，求点P 的坐标.05 弦长、面积范围与最值问题13．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左､右焦点，直线1l 过点2F 与椭圆交于,A B 两点，且12AF F △的周长为(2a +.(1)求椭圆M 的离心率；(2)直线2l 过点2F ，且与1l 垂直，2l 交椭圆M 于,C D 两点，若a =ACBD 面积的范围.14．（2024·河南·统考模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点，其中,B D 在x 轴上方，,M N 分别为,AB DE 的中点．(1)证明：直线MN 过定点；(2)设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求GMN V 面积的最小值．15．（2024·上海嘉定·统考一模）抛物线24y x =上有一动点(,),0P s t t >．过点P 作抛物线的切线l ，再过点P 作直线m ，使得m l ^，直线m 和抛物线的另一个交点为Q ．(1)当1s =时，求切线l 的直线方程；(2)当直线l 与抛物线准线的交点在x 轴上时，求三角形OPQ 的面积（点O 是坐标原点）；(3)求出线段||PQ 关于s 的表达式，并求||PQ 的最小值；06 定值问题16．（2024·全国·模拟预测）如图，已知12,F F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，若12124PF PF PF PF +=-=uuu r uuu u r uuu r uuu u r，122PF F S =△.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 坐标为)，设不过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，A 关于原点的对称点为A ¢，记直线l ，PB ，PA ¢的斜率分别为k ，1k ，2k ，若1213k k ×=，求证：直线l 的斜率k 为定值.17．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别是C 的左、右焦点．若C 的离心率2e =，且点()4,6在C 上．(1)求C 的方程．(2)若过点2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点（不同于双曲线的顶点），问：2211AF BF -是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，已知抛物线()21,0,1,,y x M A B =-是抛物线与x 轴的交点，过点M 作斜率不为零的直线l 与抛物线交于,C D 两点，与x 轴交于点Q ，直线AC 与直线BD 交于点P ．(1)求CM DM CD×的取值范围；(2)问在平面内是否存在一定点T ，使得TP TQ ×uur uuu r为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．07 定点问题19．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）设抛物线2:2(0)E y px p =>，过焦点F 的直线与抛物线E 交于点()11,A x y 、()22,B x y .当直线AB 垂直于x 轴时，2AB =.(1)求抛物线E 的标准方程.(2)已知点()1,0P ，直线AP 、BP 分别与抛物线E 交于点C 、D .求证：直线CD 过定点.20．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB =uuu r uuu r ，3AF FB ×=uuu r uuu r .(1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆右焦点F 且斜率不为零的动直线l 与椭圆交于M 、N 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使||||||||MF NT NF MT ×=×恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由.21．（2024·四川甘孜·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F E 的准线l 交x 轴于点K ，过K 的直线l 与抛物线E 相切于点A ，且交y 轴正半轴于点P .已知E 上的动点B 到点F 的距离与到直线2x =-的距离之和的最小值为3.(1)求抛物线E 的方程；(2)过点P 的直线交E 于,M N 两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段OA 交于点T ，点H 满足MT TH =uuur uuu r.证明：直线HN 过定点.08 三点共线问题22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）点F 是抛物线G ：22y px =（0p >）的焦点，O 为坐标原点，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，与抛物线G 相交于A ，B 两点，AB 4=，抛物线G 的准线与x 轴交于点K ．(1)求抛物线G 的方程；(2)设C 、D 是抛物线G 上异于A 、B 两点的两个不同的点，直线AC 、BD 相交于点E ，直线AD 、BC 相交于点G ，证明：E 、G 、K 三点共线．23．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，当AB 平行于y 轴时，2AB =.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 为坐标原点，过点B 作y 轴的垂线交直线AO 于点D ，过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为,E AE 的中点为G ，证明：,,G B D 三点共线.24．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知A ，B 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP 与直线BP 的斜率之积为14-，且椭圆C 过点12ö÷ø．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线AP ，BP 分别与直线:4l x =相交于M ，N 两点，且直线BM 与椭圆C 交于另一点Q ，证明：A ，N ，Q 三点共线．09 中点弦与对称问题25．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点31,2Q æöç÷èø的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．26．（2024·全国·高三专题练习）已知圆22:(3)4M x y ++=，圆22:(3)100N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C (1)求C 的方程；(2)是否存在过点31,2Q æöç÷èø的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．27．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0F -，且点F 到C 的左、右顶点的距离之积为5．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 作斜率乘积为1-的两条直线1l ，2l ，1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于D ，E 两点，线段AB ，DE 的中点分别为M ，N ．证明：直线MN 与x 轴交于定点，并求出定点坐标．10 四点共圆问题28．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线22:1x C a =的离心率为2，过C 上的动点M 作曲线C 的两渐近线的垂线，垂足分别为A 和,B ABM V .(1)求曲线C 的方程；(2)如图，曲线C 的左顶点为D ，点N 位于原点与右顶点之间，过点N 的直线与曲线C 交于,G R 两点，直线l 过N 且垂直于x 轴，直线DG ,DR 分别与l 交于,P Q 两点，若,,,O D P Q 四点共圆，求点N 的坐标.29．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点D 在C 上，132DF =，252DF =，212DF F F >，且12DF F △的面积为32．(1)求C 的方程；(2)设C 的左顶点为A ，直线:6l x =-与x 轴交于点P ，过P 作直线交C 于G ，H 两点直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明：O ，A ，N ，M 四点共圆．30．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知动圆M 过点(1,0)F 且与直线=1x -相切，记动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线():0l x m m =<与x 轴相交于点P ，点B 为曲线C 上异于顶点O 的动点，直线PB 交曲线C 于另一点D ，直线BO 和DO 分别交直线l 于点S 和T ．若,,,O F S T 四点共圆，求m 的值．11 切线问题31．（2024·河南周口·高三校联考阶段练习）已知点()2,1A 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>上，点,B C 为椭圆M 上异于点A 的两点．(1)求椭圆M 的方程；(2)若AB AC ^，过点,B C 两点分别作椭圆M 的切线，这两条切线的交点为D ，求AD 的最小值．32．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图所示，已知椭圆C ：22163x y +=与直线l ：163xy +=.点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，O 是坐标原点.(1)若点P 为直线l 与y 轴的交点，求PAB V 的面积S ；(2)若OD AB ^，D 为垂足，求证：存在定点Q ，使得DQ 为定值.（注：椭圆22221x ya b+=在其上一点处()00,M x y 的切线方程为00221x x y ya b+=）33．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 内，已知定点()2,0F ，定直线3:2l x =，动点P 到点F 和直线l P 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程．(2)以曲线E 上一动点M 为切点作E 的切线l ¢，若直线l ¢与直线l 交于点N ，试探究以线段MN 为直径的圆是否过x 轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标；若不过，请说明理由．12 定比点差法34．（2024·吉林·统考一模）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>经过抛物线1C 的焦点F ．(1)求抛物线1C 的方程及a ；(2)已知O 为坐标原点，过点(1,1)M 的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，若=uuuu r uuurAM mMB ，点N 满足=-uuu r uuu r AN mNB ，且||ON 最小值为125，求椭圆2C 的离心率．35．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆()2222:10x y a b a bG +=>>的离心率为23，半焦距为()0c c >，且1a c -=．经过椭圆的左焦点F ，斜率为()110k k ¹的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆G 的标准方程；(2)当11k =时，求AOB S V 的值；(3)设()1,0R ，延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值．36．（2024·安徽合肥·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，M是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为N ，点N 到抛物线C 的准线的距离为34.（1）求抛物线C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与抛物线C 相交于不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ×=×u u u r u u u r u u u r u u r，证明：点Q 总在某定直线上.13 齐次化37．已知椭圆22:13x C y +=，()0,1B ，P ，Q 为上的两个不同的动点，23BP BQ k k =，求证：直线PQ 过定点．38．已知椭圆22:14x C y +=，设直线l 不经过点2(0,1)P 且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：直线l 过定点．39．如图，椭圆22:12x E y +=，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q（均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．14 极点极线问题40．（2024·江苏南通·高二统考开学考试）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92．(1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l ¢与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．41．（2024·安徽六安·校联考一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上．42．（2024·北京海淀·统考模拟预测）已知椭圆M ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．15 同构问题43．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，圆M 与y 轴相切，且圆心M 与抛物线C 的焦点重合.(1)求抛物线C 和圆M 的方程；(2)设()()000,2P x y x ¹为圆M 外一点，过点P 作圆M 的两条切线，分别交抛物线C 于两个不同的点()()1122,,,A x y B x y 和点()()3344,,,Q x y R x y .且123416y y y y =，证明：点P 在一条定曲线上.44．（2024·湖北襄阳·襄阳五中校考一模）已知抛物线21:C y x =，圆()222:41C x y -+=．（1）求圆心2C 到抛物线1C 准线的距离；（2）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A 、B 两点，若直线2PC 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，125·24k k =-，求点P 的坐标．45．（2024·内蒙古呼和浩特·统考一模）拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ^．已知点M 的坐标为()4,0，M e 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M e 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M e 相切．判断直线12A A 与M e 的位置关系，并说明理由．46．（2024·浙江杭州·高二萧山中学校考期末）已知圆C 的方程为：()()22210x y r r ++=>(1)已知过点15,22M æö-ç÷èø的直线l 交圆C 于,A B 两点，若1r =，求直线l 的方程；(2)如图，过点()1,1N -作两条直线分别交抛物线2y x =于点P ，Q ，并且都与动圆C 相切，求证：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标.16 蝴蝶问题47．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ×=-；（2）若直线PQ 过定点6,05æöç÷èø，求证：4AP BQ k k =.48．（2024·江苏宿迁·高二统考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线12,AQ A Q 分别交椭圆C 于不同的两点,M N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.49．如图，椭圆的长轴12A A 与x 轴平行，短轴12B B 在y 轴上，中心为(0,)(0)M r b r >>．(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)直线1y k x =交椭圆于两点()()()11222,,,0C x y D x y y >；直线2y k x =交椭圆于两点()33,G x y ，()()444,0H x y y >．求证：1122341234k x x k x x x x x x =++；(3)对于（2）中的中的在C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于P 点，GD 交x 轴于Q 点，求证：||||OP OQ =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x轴的情形）。

数学高考圆锥曲线压轴题经典预测

数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题★★椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0）的离心率e ＝错误!，a ＋b ＝3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m ，证明2m －k 为定值．★★如图，椭圆C ：x 2a2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P (1，错误!），离心率e ＝错误!，直线l 的方程为x ＝4． (Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ）,设直线AB 与直线l 相交于点M ,记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在,求λ的值；若不存在，说明理由．★★椭圆C:错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为错误!,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．(Ⅰ）求椭圆C的方程;(Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0），求m的取值范围；(Ⅲ）在（2）的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2,若k≠0，试证明错误!＋错误!为定值，并求出这个定值．★★★如图，已知双曲线C：错误!－y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB,BF∥OA（O为坐标原点)．（Ⅰ）求双曲线C的方程;点M，与直线x＝错误!相交于点N．证明：当点P在C上移动时,错误!恒为定值，并求此定值．二、圆锥曲线中的最值问题★★在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的离心率为错误!,直线y＝x被椭圆C截得的线段长为错误!．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A,B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值;(ii)求△OMN面积的最大值．★★已知抛物线C：y2＝2px(p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有｜FA|＝｜FD｜．当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；(Ⅱ）若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．★★★如图,O为坐标原点，椭圆C1：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2,离心率为e1；双曲线C2：错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F3，F4,离心率为e2，已知e1e2＝错误!,且｜F2F4｜＝错误!－1．(Ⅰ)求C1、C2的方程；（Ⅱ)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点,当直线OM 与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．★★★如图，点P（0,－1）是椭圆C1：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，y其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．★★★在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0)的焦点，M 是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M,F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为错误!．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标；若不存在,说明理由；点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E，求当错误!≤k≤2时,｜AB|2＋｜DE|2的最小值．三、圆锥曲线与过定点（定直线)问题★★设椭圆E：错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上．(Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q,证明：当a变化时,点P在某定直线上．四、圆锥曲线与求参数★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2,离心率为错误!．（Ⅰ)求椭圆C的方程;（Ⅱ)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为错误!的任意两点，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C与点P,设OP→＝t错误!，求实数t的值．★★★已知三点O（0,0）,A(－2，1),B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y)满足｜错误!＋错误!｜＝错误!·（错误!+错误!)＋2．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）动点Q（x0，y0）(－2＜x0＜2)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在,说明理由．五、存在性问题★★如图,已知椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)过点（1，错误!)，离心率为错误!，左、右焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．（Ⅰ)求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2．①证明:错误!－错误!＝2；②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA＋k OB＋k OC＋k OD＝0?若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在,说明理由．★★★如图，椭圆C1:错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的离心率为错误!，x轴被曲线C2:y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME;（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得错误!＝错误!？请说明理由．六、轨迹方程★★已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（－1，0），F2(1，0)，且椭圆C经过点P（错误!，错误!)．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ)设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点,点Q是线段MN上的点，且错误!＝错误!＋错误!，求点Q的轨迹方程．★★如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py（p＞0）,点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时，A，B 重合于O），当x0＝1－错误!时，切线MA的斜率为－错误!．（Ⅰ）求p的值；。

高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线(含详解)

14. 已知双曲线的左右两个焦点分别为 ,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为时, ,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 ,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15. 若F 、F 为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足； .
（1）求该双曲线的离心率；
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且，求△FOH的面积的取值范围。
18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，
当 ―5≤ ≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．
29.在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：
① ；② ；③ ∥
（1）求的顶点的轨迹方程；
（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围
由消去得： ①
，
而
由方程①知＞＜
，＜＜， .
7.解：解：令
则即
即
又∵ ∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB
∴ 得
所求直线方程为 …
8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线
1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.

圆锥曲线压轴大题预测(带答案)

学习必备欢迎下载21. （ 2015 全国预测卷）（本小题满分12 分）已知.（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对一切正整数均成立 .答案及解析：21. （1）。

若，则，时，。

此时，在区间上为增函数。

∴时，。

符合要求。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分若，则方程有两个异号的实根，设这两个实根为，，且。

∴时，。

在区间上为减函数，。

∴不符合要求。

∴的取值范围为。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（2）由（ 1）知，时，不等式恒成立。

∴时，恒成立。

令（），得，整理得。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分∴。

令，2，3，⋯，，得，，，⋯，。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分将上述个不等式的左右两边分别相加，得。

∴对一切正整数均成立。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分21. （陕西预测）（本题满分14 分）已知函数．（1）当时，求在的最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；（3）求证：．答案及解析：20. （ 1），定义域为．，在上是增函数．.（2）因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解 .即有的解当时，明显成立 .②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根 .因为，所以方程有两正根 .当时，；，解得．综合①②③知：．（3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即．令，则有，．，．(法二)当时，．，，即时命题成立．设当时，命题成立，即．时，．根据（ 1）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．22．（2015?衡阳校级模拟）已知函数g（x） =alnx ， f （ x） =x3+x 2+bx．（1）若 f （ x）在区间 [1 ， 2] 上不是单调函数，求实数 b 的范围；（2）若对任意x∈ [1 ， e] ，都有 g（ x）≥﹣ x2+（ a+2） x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（ 3）当 b=0 时，设 F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线 y=F（x）上是否存在两点 P，Q，使得△ POQ是以 O（ O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在 y 轴上？请说明理由．22．解：（ 1）由 f （x） =x3+x2+bx得 f' （ x） =3x2+2x+b 因 f （ x）在区间 [1 ， 2] 上不是单调函数所以 f' （ x） =3x2+2x+b 在 [1 ， 2] 上最大值大于0，最小值小于0，∴﹣ 16＜ b＜﹣ 5⋯（ 4 分）22．（ 2）由 g（ x）≥﹣ x +（ a+2） x，得（ x﹣ lnx ）a≤x﹣ 2x∵x∈ [1 ， e] ，∴ lnx ≤1≤x，且等号不能同时取，∴ lnx ＜x，即 x﹣ lnx ＞ 0∴a≤恒成立，即 a≤⋯（6分）令，求导得，，当 x∈[1 ， e] 时， x﹣1≥0，0≤lnx ≤1x+2﹣ 2lnx ＞ 0，从而 f ′（ x）≥ 0，∴f （ x）在 [1 ， e] 上为增函数，∴=f （ 1） =﹣ 1，∴a≤﹣ 1．⋯（ 8 分）（ 3）由条件， F（ x） =，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则 P，Q只能在 y 轴两侧，⋯（9 分）32不妨设 P（ t ， F（ t ））， t ＞ 0 则 Q（﹣ t ， t +t ），且 t ≠1．∴，232∴﹣ t+F（ t ）（ t +t）=0 （*），是否存在P， Q等价于方程（* ）在 t ＞ 0 且 t ≠1时是否有解．①若 0＜ t ＜ 1 时，方程（ * ）为﹣ t 2+（﹣ t 3 +t 2）（t 3+t2） =0，化简得 t4﹣t2+1=0，此方程无解；⋯（12 分）②若 t ＞ 1 时，方程（ * ）为﹣ t 2+alnt（ t 3+t 2） =0，即，设 h（t ） =（ t+1 ） lnt ，（ t ＞ 1），则 h′（ x） =lnt++1，显然，当t ＞ 1 时， h′（ x）＞ 0，即 h（ x）在（ 1，+∞）上为增函数，∴h（ t ）的值域为（ h（ 1），+∞），即（ 0，+∞），∴当 a＞ 0 时，方程（ * ）总有解．∴对任意给定的正实数 a，曲线 y=F（ x）上总存在两点 P，Q，使得△ POQ是以O （ O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y 轴上．⋯（14 分）。

高考数学压轴题——圆锥曲线大题十个大招含答案全解析

终结圆锥曲线大题十个大招招式一：弦的垂直平分线问题 (25)招式二：动弦过定点的问题 (26)招式四：共线向量问题 (28)招式五：面积问题 (35)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (38)招式七：直线问题 (43)招式八：轨迹问题 (47)招式九：对称问题 (54)招式十、存在性问题 (57)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．招式二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

高考题型预测07 圆锥曲线(真题回顾+押题预测)(解析版)2023

预测07 圆锥曲线解析版考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程.一、椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - 焦点三角形面积：122tan2PF F Sb θ=（其中12PF F θ=∠）二、双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径．2、与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.三、抛物线的标准方程与几何性质焦半径公式：设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，(),A x y ，则2p AF x =+焦点弦长：设过抛物线()220y px p =>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，则12AB x x p =++（AB AF BF =+，再由焦半径公式即可得到）一．选择题（共6小题）1．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点到直线y ＝x +1的距离为√2，O (0,0)则p＝（）A．1B．2C．2√2D．4【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点（p2，0）到直线y＝x+1的距离为√2，可得|p2−0+1|√2=√2，解得p＝2．故选：B．2．（2021•甲卷）点（3，0）到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．45【解答】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x 216−y29=0，即3x±4y＝0，结合对称性，不妨考虑点（3，0）到直线3x﹣4y＝0 的距离，则点（3，0）到双曲线的一条渐近线的距离d=√9+16=95．故选：A．3．（2021•甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（）A．√72B．√132C．√7D．√13【解答】解：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1|＝3|PF2|，设|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因为∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2，所以e=ca =√72．故选：A．4．（2021•乙卷）设B是椭圆C：x25+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A．52B．√6C．√5D．2【解答】解：B是椭圆C：x 25+y2＝1的上顶点，所以B（0，1），点P在C上，设P（√5cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以|PB |=√(√5cosθ−0)2+(sinθ−1)2=√4cos 2θ−2sinθ+2=√−4(sinθ+14)2+254，当sin θ=−14时，|PB |取得最大值，最大值为52．故选：A ．5．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（） A ．13B ．12C ．9D ．6【解答】解：F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|＝6，所以|MF 1|•|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，取等号，所以|MF 1|•|MF 2|的最大值为9．故选：C ．6．（压轴）（2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是（） A ．[√22，1）B ．[12，1）C ．（0，√22]D ．（0，12]【解答】解：点B 的坐标为（0，b ），设P （x 0，y 0），则x 02a 2+y 02b 2=1， ∴x 02＝a 2（1−y 02b 2），故|PB |2＝x 02+（y 0﹣b ）2＝a 2（1−y 02b 2）+（y 0﹣b ）2=−c 2b 2y 02﹣2by 0+a 2+b 2，y 0∈[﹣b ，b ]，又对称轴y 0=−b 3c 2＜0，当−b 3c 2≤−b 时，即b ≥c 时，则当y 0＝﹣b 时，|PB |2最大，此时|PB |＝2b ，故只需要满足−b 3c 2≤−b ，即b 2≥c 2，则a 2﹣c 2≥c 2，所以e =ca ≤√22，又0＜e ＜1，故e 的范围为（0，√22]，当−b 3c2＞−b时，即b＜c时，则当y0=−b3c2时，|PB|2最大，此时|PB|2=b4c2+a2+b2≤4b2，则a4﹣4a2c2+4c4≤0，解得a=√2c，所以b＝c，又b＜c，故不满足题意，综上所述的e的范围为（0，√22]，故选：C．二．多选题（共2小题）（多选）7．（2021•新高考Ⅱ）已知直线l：ax+by﹣r2＝0与圆C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解答】解：∵点A在圆C上，∴a2+b2＝r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=2√a2+b2=2√a2+b2=r，∴直线与圆C相切，故A选项正确，∵点A在圆C内，∴a2+b2＜r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=2√a2+b2=2√a2+b2r，∴直线与圆C相离，故B选项正确，∵点A在圆C外，∴a2+b2＞r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=2√a2+b2=2√a2+b2r，∴直线与圆C相交，故C选项错误，∵点A在直线l上，∴a2+b2＝r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=2√a2+b2=2√a2+b2=r，∴直线与圆C相切，故D选项正确．故选：ABD．（多选）8．（2021•新高考Ⅰ）已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A （4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3√2D．当∠PBA最大时，|PB|＝3√2【解答】解：∵A（4，0），B（0，2），∴过A、B的直线方程为x4+y2=1，即x+2y﹣4＝0，圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16的圆心坐标为（5，5），圆心到直线x+2y﹣4＝0的距离d=√12+22=√5=11√55＞4，∴点P到直线AB的距离的范围为[11√55−4，11√55+4]，∵11√55＜5，∴11√55−4＜1，11√55+4＜10，∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大（P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大），此时|BC|=√(5−0)2+(5−2)2=√25+9=√34，∴|PB|=√|BC|2−42=√18=3√2，故CD正确．故选：ACD．三．填空题（共5小题）9．（2021•乙卷）已知双曲线C：x2m−y2＝1（m＞0）的一条渐近线为√3x+my＝0，则C 的焦距为 4 ．【解答】解：根据题意，双曲线C ：x 2m −y 2＝1（m ＞0）的一条渐近线为√3x +my ＝0，则有√3=√m ，解可得m ＝3，则双曲线的方程为x 23−y 2＝1，则c =√3+1=2，其焦距2c ＝4；故答案为：4．10．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e ＝2，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±√3x ．【解答】解：∵双曲线的方程是x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)， ∴双曲线渐近线为y =±ba x 又∵离心率为e =ca =2，可得c ＝2a ∴c 2＝4a 2，即a 2+b 2＝4a 2，可得b =√3a 由此可得双曲线渐近线为y =±√3x 故答案为：y =±√3x11．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ．若|FQ |＝6，则C 的准线方程为 x =−32 ．【解答】解：法一：由题意，不妨设P 在第一象限，则P （p2，p ），k OP ＝2，PQ ⊥OP ．所以k PQ =−12，所以PQ 的方程为：y ﹣p =−12（x −p2）， y ＝0时，x =5p 2，|FQ |＝6，所以5p2−p2=6，解得p ＝3，所以抛物线的准线方程为：x =−32．法二：根据射影定理，可得|PF |2＝|FO ||FQ |，可得p 2=p2×6，解得p ＝3，因此，抛物线的准线方程为：x =−32．故答案为：x =−32．12．（2021•甲卷）已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为 8 ．【解答】解：因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|＝m +n ＝2a ＝8，所以m 2+2mn +n 2＝64，因为|PF 1|2+|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2﹣b 2）＝48，即m 2+n 2＝48，所以mn ＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1||PF 2|＝mn ＝8．故答案为：8．四．解答题（共4小题）13．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F （√2，0），且离心率为√63．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3．【解答】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率ca =√63，又c =√2，所以a =√3，则b 2＝a 2﹣c 2＝1，故椭圆的标准方程为x 23+y 2=1；（Ⅱ）证明：先证明必要性，若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN 的方程为x ＝my +√2，则圆心O （0，0）到直线MN 的距离为d =√2√m 2+1=1，解得m 2＝1，联立方程组{x =my +√2x 23+y 2=1，可得(m 2+3)y 2+2√2my −1=0，即4y 2+2√2my −1=0，所以|MN|=√1+m2⋅√8m2+164=√2×√244=√3；所以必要性成立；下面证明充分性，当|MN|=√3时，设直线MN的方程为x＝ty+s，此时圆心O（0，0）到直线MN的距离d=√t2+1=1，则s2﹣t2＝1，联立方程组{x=ty+sx23+y2=1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣3＝0，则Δ＝4t2s2﹣4（t2+3）（s2﹣3）＝12（t2﹣s2+3）＝24，因为|MN|=√1+t2⋅√24t2+3=√3，所以t2＝1，s2＝2，因为直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切，所以s＞0，则s=√2，则直线MN的方程为x=ty+√2恒过焦点F（√2，0），故M，N，F三点共线，所以充分性得证．综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=√3．14．（2021•乙卷）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，P A，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△P AB面积的最大值．【解答】解：（1）点F(0，p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=p2+4−1=4，解得p＝2；（2）由（1）知，抛物线的方程为x2＝4y，即y=14x2，则y′=12x，设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得l PA：y=x12x−x124，l PB：y=x22x−x224，从而得到P(x1+x22，x1x24)，设l AB：y＝kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴Δ＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，∴P（2k，﹣b），∵|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√16k2+16b，d p→AB= 2√k2+1，∴S△PAB=12|AB|d=4(k2+b)32①，又点P（2k，﹣b）在圆M：x2+（y+4）2＝1上，故k2=1−(b−4)24，代入①得，S△PAB=4(−b2+12b−154)32，而y p＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，∴当b＝5时，(S△PAB)max=20√5．15．（2021•甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），令x＝1，则y=±√2p，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故P(1，√2p)，Q(1，−√2p)，因为OP⊥OQ，故1+√2p×(−√2p)=0⇒p=12，抛物线C的方程为：y2＝x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．另解：（1）根据抛物线的对称性，由题意可得∠POx＝∠QOx＝45°，因此点P，Q的坐标为（1，±1），由题意可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），可得p=12，因此抛物线C的方程为y2＝x．而圆M的半径为圆心M到直线l的距离为1，可得⊙M的方程为（x﹣2）2+y2＝1．（2）很明显，对于A1A2或者A1A3斜率不存在的情况以及A2A3斜率为0的情况满足题意．否则：设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得√1+k2=1，解得k=±√33，联立直线A1A2与抛物线方程可得x＝3，此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，此时有，12√1+(y1+y2)2=1，即(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0，同理，由对称性可得，(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0，所以y2，y3是方程(y12−1)t2+2y1t+3−y12=0的两根，则y2+y3=−2y1y12−1，y2y3=3−y12y12−1，依题意有，直线A2A3的方程为x﹣（y2+y3）y+y2y3＝0，令M到直线A2A3的距离为d，则有d2=(2+y2y3)21+(y2+y3)2=(2+3−y12y12−1)21+(−2y1y12−1)2=1，此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．16．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（−√17，0），F2（√17，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q两点，且|TA |•|TB |＝|TP |•|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，x ≥1，根据题意{c =√172a =2c 2=a 2+b 2，解得{a =1b =4c =√17，∴C 的方程为x 2−y 216=1(x ≥1)；（2）设T(12，t)，直线AB 的方程为y =k 1(x −12)+t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设12＜x 1＜x 2，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，(16−k 12)x 2+(k 12−2tk 1)x −14k 12+k 1t −t 2−16=0，由韦达定理有，x 1+x 2=k 12−2k 1t k 12−16，x 1x 2=−14k 12+k 1t−t 2−1616−k 12，又由A(x 1，k 1x 1−12k 1+t)，T(12，t)可得|AT|=√1+k 12(x 1−12)，同理可得|BT|=√1+k 12(x 2−12)， ∴|AT||BT|=(1+k 12)(x 1−12)(x 2−12)=(1+k 12)(t 2+12)k 12−16，设直线PQ 的方程为y =k 2(x −12)+t ，P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，设12＜x 3＜x 4，同理可得|PT||QT|=(1+k 22)(t 2+12)k 22−16，又|AT ||BT |＝|PT ||QT |，则1+k 12k12−16=1+k 22k22−16，化简可得k 12=k 22，又k 1≠k 2，则k 1＝﹣k 2，即k 1+k 2＝0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．一．选择题（共8小题）1．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线3x﹣2ay﹣11＝0对称，则圆C中以(a2，−a2)为中点的弦长为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：依题意可知直线过圆心（1，﹣2），即3+4a﹣11＝0，a＝2．故(a2，−a2)=(1，−1)．圆方程配方得（x﹣1）2+（y+2）2＝5，（1，﹣1）与圆心距离为1，故弦长为2√5−1=4．故选：D．2．已知椭圆x225+y29=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（）A．2B．4C．8D．32【解答】解：根据椭圆的定义得：MF2＝8，由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，根据中位线定理得：|ON|＝4，故选：B．3．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，直线l：y＝2x﹣2．若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则b＝（）A．1B．2C．√5D．4【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y＝±bax，直线l：y＝2x﹣2与x轴交点为（1，0），则双曲线的一个顶点为（1，0），即a＝1，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有ba=2，又由a＝1，则b＝2；故选：B．4．设F是双曲线x24−y212=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|P A|的最小值为（）A．5B．5+4√3C．7D．9【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线定义可得，|PF|﹣|PF′|＝2a＝4，而|P A|+|PF′|≥|AF′|＝5，两式相加得|PF|+|P A|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．则|PF|+|P A|的最小值为9．故选：D．5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A（0，−√3），若线段F A与抛物线C 相交于点M，则|MF|＝（）A．43B．√53C．23D．√33【解答】解：由题意，F（1，0），|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d﹣1，由三角形相似，可得d−11=2−d2，∴d=43，故选：A．6．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝8，则线段AB的中点M到直线x+1＝0的距离为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为x＝﹣1，即x+1＝0．分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，则有|AB |＝|AF |+|BF |＝|AC |+|BD |＝8．过AB 的中点M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN 为直角梯形ABDC 中位线，则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4，即M 到准线x ＝﹣1的距离为4．故选：B ．7．已知椭圆E ：x 24+y 2b 2=1（0＜b ＜2）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝2|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为（） A ．x 24+y 23=1 B ．x 24+3y 22=1C ．x 24+4y 215=1D ．x 24+5y 216=1【解答】解：由题意，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， ∵AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|=b 22，∴A 点坐标为（c ，b 22），设B （x ，y ），由|AF 1|＝2|F 1B |， ∴（﹣c ﹣c ，−b 22）＝2（x +c ，y ）， ∴{−2c =2x +2c −b 22=2y，解得{x =−2c y =−b 24，则B （﹣2c ，−14b 2），代入椭圆方程可得c 2+116b 2=1，又∵b 2+c 2＝4，∴b 2=165，则椭圆方程为x 24+5y 216=1．故选：D ．8．（压轴）设椭圆的方程为x 22+y 24=1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（） A ．直线AB 与OM 垂直B ．若直线方程为y ＝2x +2，则|AB|=43√2C ．若直线方程为y ＝x +1，则点M 坐标为(13，43) D ．若点M 坐标为（1，1），则直线方程为2x +y ﹣3＝0 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 122+y 124=1，x 222+y 124=1，两式作差得：y 1+y 2x 1+x 2×y 1−y2x 1−x 2=−2，设M （x 0，y 0），则y0x 0×k ＝﹣2，对于A ，k AB ×k OM ＝k ×y0x 0=−2，故直线AB ，OM 不垂直，则A 错误；对于B ，若直线方程为y ＝2x +2，联立方程组{y =2x +2x 22+y 24=1，得6x 2+8x ＝0，解得x 1＝0，x 2=−43，∴y 1=2，y 2=−23，则AB =√169+649=4√53，故B 错误；对于C ，菲直线方程为y ＝x +1，故可得y0x 0×1＝﹣2，即y 0＝﹣2x 0，又y 0＝x 0+1，解得x 0=−13，y 0=23，即M （−13，23），故C 错误；对于D ，若点M 坐标为（1，1），则11×k =−2，则k AB ＝﹣2，又AB 过点（1，1），则直线AB 的方程为y ﹣1＝﹣2（x ﹣1），即2x +y ﹣3＝0，故D 正确．故选：D ．二．多选题（共4小题）（多选）9．以下四个命题表述正确的是（）A ．直线（3+m ）x +4y ﹣3+3m ＝0（m ∈R ）恒过定点（﹣3，﹣3）B ．圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x ﹣y +√2=0的距离都等于1C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与曲线C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有三条公切线，则m ＝4D ．已知圆C ：x 2+y 2＝1，点P 为直线x 4+y2=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点(14，12)【解答】解：由（3+m ）x +4y ﹣3+3m ＝0，得3x +4y ﹣3+m （x +3）＝0，联立{x +3=03x +4y −3=0，解得{x =−3y =3，∴直线（3+m ）x +4y ﹣3+3m ＝0（m ∈R ）恒过定点（﹣3，3），故A 错误； ∵圆心（0，0）到直线l ：x ﹣y +√2=0的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线l ：x ﹣y +√2=0的距离等于1，故B 正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0化为标准式（x +1）2+y 2＝1，曲线C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0化为标准式（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝20﹣m ＞0，圆心距为√(2+1)2+42=5=1+√20−m ，解得m ＝4，故C 正确；设点P 的坐标为（m ，n ），∴m 4+n2=1，以OP 为直径的圆的方程为x 2+y 2﹣mx ﹣ny ＝0，两圆的方程作差得直线AB 的方程为：mx +ny ＝1，消去n 得，m （x −y2）+2y ﹣1＝0，令x −y 2=0，2y ﹣1＝0，解得x =14，y =12，故直线AB 经过定点（14，12），故D 正确．故选：BCD ．（多选）10．（压轴）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，长轴长为4，点P(√2，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A ．离心率的取值范围为(0，12) B ．当离心率为√24时，|QF 1|的最大值为2+√22C ．不存在点Q ，使得QF →1⋅QF 2→=0 D ．4|QF 1|+1|QF 2|的最小值为94【解答】解：由题设，a ＝2，则x 24+y 2b 2=1，又P(√2，1)在椭圆内部，则12+1b 2＜1，即2＜b 2＜4，∴e =√a 2−b 2a=√4−b 22∈(0，√22)，故A 错误；当e =√24时，有b 2=72，易得F 1(−√22，0)，F 2(√22，0)． ∴由|QF 1|+|QF 2|＝4，则|QF 1|=4−|QF 2|≤4−(2−√22)=2+√22，故B 正确；由c 2﹣b 2＝4﹣2b 2＜0，即c ＜b ，以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆无交点， ∴椭圆上不存在点Q 使得QF →1⋅QF 2→=0，故C 正确；由基本不等式可得（|QF 1|+|QF 2|）（4|QF 1|+1|QF 2|）≥4+1+2√4||||×||||=9，又|QF 1|+|QF 2|＝4，所以4|QF 1|+1|QF 2|的最小值为94，故D 正确．故选：BCD ．（多选）11．（压轴）已知点F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，直线AB 的斜率为k ，且k ＞0，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中一定成立的是（）A ．1AB +1CD =12pB ．若AF ⋅BF =43p 2，则k =√33C ．OA →⋅OB →=OC →⋅OD →D ．四边形ACBD 面积的最小值为16p 2【解答】解：由题意显然直线AB ，CD 的斜率存在且不为0 设直线AB 的斜率为k ，因为AB ⊥CD ，所以直线CD 的斜率为−1k ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线的方程可得焦点F （p2，0），则直线AB 的方程为y ＝k （x −p2），k ＞0，联立{y =k(x −p2)y 2=2px，整理可得：k 2x 2﹣p （k 2+2）+14k 2p 2＝0，则x 1+x 2＝p •k 2+2k 2，x 1x 2=14p 2，所以弦长|AB |＝x 1+x 2+p ＝p •k 2+2k 2+p =2p(k 2+1)k 2；同理可得：|CD |＝2p （1+k 2），则有1|AB|+1|CD|=12p ，故A 正确；B 中，若AF ⋅BF =43p 2，则（x 1+p2）（x 2+p2）＝x 1x 2+p2（x 1+x 2）+p 24=43p 2，所以p 24+p 2•p(k 2+2)k 2+p 24=4p 23，解得k =√3，所以B 不正确；C 中，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2﹣2p √x 1x 2=p 24−2p •p 2=−34p 2，与斜率k 无关，同理可得OC →⋅OD →=−34p 2，故OA →⋅OB →=OC →⋅OD →，所以C 正确； S四边形ABCD =12|AB |•|CD |=12•2p(1+k 2)k 2•2p （1+k 2）＝2p 2（k 2+1k 2+2）≥2p 2（2√k 2⋅1k 2+2）＝8p 2，当且仅当k 2=1k 2，即k ＝±1时取等号，所以D 不正确；故选：AC ．（多选）12．（压轴）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，AQ →⋅AB →=AQ →⋅FB →，且BQ →=3FQ →，则下列结论正确的是（） A ．直线l 与x 轴垂直 B ．C 的离心率为2+√53C ．C 的渐近线方程为y ＝±4√59xD ．|FQ |＝|OF |（其中O 为坐标原点）【解答】解：由双曲线的方程可得A （a ，0），设F （c ，0），由AQ →•AB →=AQ →•FB →，可得AQ →•（AB →+BF →）=AQ →•AF →=0，所以l 垂直于x 轴，即l ：x ＝a ，故A 正确；设B （x 0，y 0），由BQ →=3FQ →，所以（c ﹣x 0，﹣y 0）＝2（a ﹣c ，b ），所以x 0＝3c ﹣2a ，y 0＝﹣2b ，即B （3c ﹣2a ，﹣2b ），因为B （x 0，y 0）在双曲线上，所以(3c−2a)2a 2−(−2b)2b 2=1，整理可得9c 2﹣12ac ﹣a 2＝0，由e =ca ，可得9e 2﹣12e ﹣1＝0，解得e =2+√53（负的舍去），故B 正确；由b 2a 2=e 2﹣1＝（2+√53）2﹣1=4√59，即有双曲线的渐近线的斜率的平方为4√59，故C 错误；不妨设Q 在第一象限，则Q （a ，b ），所以|PQ |=√|FA|2+|AQ|2=√(c −a)2+b 2≠|OF |，故D 错误．故选：AB ．三．填空题（共4小题）13．椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m ＞0)的焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，若∠F 1AF 2=π3，则m ＝ √3 ．【解答】解：由题意可得c =√m 2+1−m 2=1，b ＝m ，又∵∠F 1AF 2=π3，可得∠F 1AO =π6，可得tan ∠F 1AO =1m =√33，解得m =√3．故答案为：√3．14．已知抛物线C 以坐标原点O 为顶点，以(p2，0)为焦点，直线x ﹣my ﹣2p ＝0与抛物线C 交于两点A ，B ，直线AB 上的点M （1，1）满足OM ⊥AB ，则抛物线C 的方程为 y 2＝2x ．【解答】解：由已知，直线OM 的斜率为1，则AB 的斜率为﹣1，所以m ＝﹣1，又直线AB 上的点M （1，1），∴1+1﹣2p ＝0，∴p ＝1， ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ．故答案为：y 2＝2x ．15．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的两个焦点，过F 1作C 的渐近线的垂线，垂足为P ．若△F 1PF 2的面积为√3，则C 的离心率为 2 ．【解答】解：设双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的一条渐近线方程为y ＝bx ， ∴点F 1到渐近线的距离d =√1+b 2=b ，即|PF 1|＝2﹣b ，∴|OP |＝a ＝1，△F 1PF 2的面积为√3，△PF 1O 的面积：√32，12×1×b =√32， ∴b =√3，c ＝2，则e =ca =2．故答案为：2．16．（压轴）已知A ，B 是抛物线x 2＝y 上两动点，过A ，B 分别作抛物线的切线，若两切线交于点P ，当∠APB ＝90°时，点P 的纵坐标为 −14 ，△APB 面积的最小值为 14 ．【解答】解：设切点A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），不妨设A 在第一象限，设P A 方程y ﹣x 12＝k （x ﹣x 1）与抛物线方程x 2＝y 联立，消去y 得x 2﹣kx +kx 1﹣x 12＝0，Δ＝k 2﹣4kx 1+4x 12＝0，解得k ＝2x 1， ∴P A 的方程y ﹣x 12＝2x 1（x ﹣x 1），同理PB 方程y ﹣x 22＝2x 2（x ﹣x 2），联立解得交点P （x 1+x 22，x 1x 2），∵∠APB ＝90°时，k AP •k BP ＝4x 1x 2＝﹣1，∴x 1x 2=−14， ∴k AB =x 22−x 12x 2−x 1=x 1+x 2，由直线AB 的方程为y ﹣x 12＝（x 1+x 2）（x ﹣x 1），即（x 1+x 2）x ﹣y ﹣x 1x 2＝0，故点P 到直线AB 的距离d =1222√1+(x 1+x 2)2，|AB |=√1+(x 1+x 2)2|x 1﹣x 2|，∴S △P AB =12|AB |•d =|x 1−x 2|34=|x 1+14x 1|34≥14，当且仅当x 1=12时，等号成立，故答案为：−14；14．四．解答题（共6小题）17．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点（1，√32），短轴一个端点到右焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，若坐标原点O 在以线段AB 为直径的圆外，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解答】解：（1）由短轴一个端点到右焦点的距离为2，可得√b 2+c 2=a ＝2，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点（1，√32），可得1a 2+34b 2=1，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2＝1；（2）显然x ＝0不满足题意，可设l 的方程为y ＝kx +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx +2x 2+4y 2=4，可得（1+4k 2）x 2+16kx +12＝0，由Δ＝（16k ）2﹣4（1+4k 2）•12＞0，得k 2＞34，x 1+x 2=−16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2．坐标原点O 在以线段AB 为直径的圆外，即为OA →•OB →＞0，即x 1x 2+y 1y 2＞0，x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0，即（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＝（1+k 2）•121+4k 2+2k （−16k1+4k 2）+4＞0，可得k 2＜4．又k 2＞34，即为34＜k 2＜4，解得k ∈（﹣2，−√32）∪（√32，2）． 18．已知曲线C 上的任意一点到两定点F 1（﹣1，0）、F 2（1，0）距离之和为4，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）求曲线C 的方程；（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若直线l 过点Q （0，2），求△OAB 面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程．【解答】（1）解：因为曲线C 上的任意一点到两定点F 1（﹣1，0）、F 2（1，0）距离之和为4，所以曲线C 是椭圆，且2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b =√3，所以曲线C 的方程为：x 24+y 23=1，（2）证明：因为l 不过点O 且不平行于坐标轴，所以直线l 的方程为：y ＝kx +b （k ≠0，b ≠0），设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则由{y =kx +b x 24+y 23=1得（3+4k 2）x 2+8kbx +4b 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=−8kb3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2，因为M 为AB 中点，所以x 0=x 1+x 22=−4kb3+4k 2，所以y 0＝kx 0+b =3b3+4k 2，所以k OM =y 0x 0=3−4k ，所以k OM •k l =−34所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）解：设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则由{y =kx +bx 24+y 23=1得（3+4k 2）x 2+8kbx +4b 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=−8kb3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2，由Δ＞0得k2＞14，因为S △OAB =12×2×|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3√4k 2−1(3+4k 2)2，设t ＝4k 2﹣1，（t ＞0），则S △OAB ＝4√3√t(t+4)2=4√3√1t+16t+8，因为t ＞0，所以t +16t +8≥2√t ×16t+8=16，当且仅当t ＝4时等号成立，此时S △OAB ＝取得最大值为√3，由4k 2﹣1＝4得k =±√52满足k2＞14，所以直线l 的方程为y =±√52+2．19．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF ．【解答】解：（1）当|AF |＝|BF |且BF ⊥AF 时，有c +a =b 2a=c 2−a 2a，所以a ＝c ﹣a ，则e =ca =2；（2）法一：由（1）得c ＝2a ，b =√3a ，设B （x 0，y 0），则x 0＞0，y 0＞0，且x 02a 2−y 023a 2=1，即y 02＝3x 02﹣3a 2． ①当|BF |＝|AF |且BF ⊥AF 时，∠BF A ＝2∠BAF ＝90°； ②当BF 与AF 不垂直时， tan ∠BAF =y 0x+a，tan ∠BF A =−y 0x0−c，∴tan2∠BAF =2tan∠BAF1−tan 2∠BAF =2(x 0+a)y 0(x0+a)2−y 02=2(x 0+a)y 0−2(x0+a)(x 0−2a)=−y 0x0−c，∴tan2∠BAF ＝tan ∠BF A ，即∠BF A ＝2∠BAF ，综上∠BF A ＝2∠BAF ．法二：延长AF 至点B '，使FB '＝FB ，设B （x 0，y 0），则BF ＝ex 0﹣a ＝2x 0﹣a ，所以B ′（2x 0﹣a +c ，0），又因为点A （﹣a ，0），所以x B′+x A2=2x 0−2a+c2=2x 0−2a+2a2=x 0＝x B ，所以BA ＝BB '，所以∠BAF ＝∠BB 'F =12∠BFA ，即∠BF A ＝2∠BAF ．20．已知抛物线D ：x 2＝4y ，过x 轴上一点E （不同于原点）的直线l 与抛物线D 交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与y 轴交于C 点．（1）若EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，求乘积λ1•λ2的值；（2）若E （4，0），过A ，B 分别作抛物线D 的切线，两切线交于点M ，证明：点M 在定直线上，求出此定直线方程．【解答】解：（1）设E （t ，0）t ≠0，C （0，m ）， ∵EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，∴{(x 1−t ，y 1)=λ1(−t ，m)(x 2−t ，y 2)=λ2(−t ，m)，解得{λ1=t−x1t λ2=t−x 2t，设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k （x ﹣t ），由{y =k(x −t)x 2=4y得x 2﹣4kx +4kt ＝0，当Δ＝16k 2﹣16kt ＞0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝4kt ， ∴λ1λ2=t 2−(x 1+x 2)t+x 1x 2t 2=t 2−4kt+4ktt 2=1．（2）设M （x ，y ），由x 2＝4y 可得y =x 24，故y ′=x2，∴抛物线在A （x 1，x 124）处的切线方程为y −x 124=x 12（x ﹣x 1），即y =x 12x −x 124，同理可得抛物线在B （x 2，x 224）处的切线方程为y =x 22x −x 224，联立方程组{y =x 12x −x 124y =x 22x −x 224，得{x =x 1+x22y =x 1x 24， ∵E （4，0），即t ＝4，由（1）可得x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝16k ， ∴{x =2ky =4k，即y ＝2x ． ∴点M （x ，y ）在直线y ＝2x 上．21．已知曲线C 上的点到点F （1，0）的距离比到直线l ：x +2＝0的距离小1，O 为坐标原点．（1）过点F 且倾斜角为45°的直线与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积；（2）设P 为曲线C 上任意一点，点N （2，0），是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）依题意得，曲线C 上的点到点F （1，0）的距离与到直线l ：x ＝﹣1的距离相等，所以曲线C 的方程为：y 2＝4x ．过点F 且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x ﹣1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y 2=4x y =x −1，得y 2﹣4y ﹣4＝0，则y1+y2＝4，y1•y2＝﹣4，则△MON的面积：S△MON=12|y1−y2|×|OF|=12√(y1+y2)2−4y1y2×1=2√2．（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为x＝a，P（x1，y1），则以PN为直径的圆的方程为（x﹣2）（x﹣x1）+y（y﹣y1）＝0，将直线x＝a代入，得y2﹣y1y+（a﹣2）（a﹣x1）＝0，则Δ=y12−4(a−2)(a−x1)=4[(a−1)x1+a(2−a)]＞0，设直线l与以PN为直径的圆的交点为A（a，y3），B（a，y4），则y3+y4＝y1，y3•y4＝（a﹣2）（a﹣x1），于是有|AB|=|y3−y4|=√4[(a−1)x1+a(2−a)]= 2√(a−1)x1+a(2−a)，当a﹣1＝0，即a＝1时，|AB|＝2为定值．故满足条件的直线l存在，其方程为x＝1．22．如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线l⊥x轴时，|MN|＝3．（Ⅰ）求椭圆l的方程；（Ⅱ）记△AMF，△ANF的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围；（Ⅲ）若△AMN的重心在圆x2+y2=849上，求直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的左顶点为A（﹣2，0），所以a＝2，①当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝c，把x＝c代入椭圆的方程x 2a2+y2b2=1，解得y＝±b 2a，所以|MN|=2b 2a=3，把①代入解得b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c ＝1，F （1，0），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），S 1S 2=|y1y 2|，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，联立{x =1x 24+y 23=1，解得y 1=32，y 2=−32，所以S1S 2=1，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，y 1+y 2＝k （x 1﹣1）+k （x 2﹣1）＝k （x 1+x 2）﹣2k ＝k •8k 23+4k 2−2k =−6k3+4k 2，② y 1y 2＝k 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝k 2[x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1]=−9k 23+4k 2，③所以①2②得，(y 1+y 2)2y 1y 2=y 1y 2+y2y 1+2，所以(−6k 3+4k 2)2−9k 23+4k 2=y1y 2+y2y 1+2，所以−43+4k 2=y 1y 2+y2y 1+2，所以y 1y 2+y 2y 1=−43+4k 2−2=−10−8k 23+4k 2，令t =y1y 2，则|t |+|1t |＝|t +1t |＝|−10−8k 23+4k 2|=10+8k 23+4k 2=2+43+4k 2≤103，又|t |+|1t |≥2（当|t |＝1时，取等号），所以2≤|t |+|1t |≤103，所以13≤|t |≤3，所以S1S 2=|y 1y 2|∈[13，3]，综上所述，S1S2的取值范围为[13，3]．（Ⅲ）根据题意可得直线l的斜率存在，由（Ⅱ）知x1+x2=8k23+4k2，y1+y2=−6k3+4k2，△AMN的重心（−2+x1+x23，0+y1+y23），即（−23+4k2，−2k3+4k2），因为△AMN的重心在x2+y2=849，所以（−23+4k2）2+（−2k3+4k2）2=849，解得k＝±1，所以直线l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．。

往年高考圆锥曲线压轴题文档

往年高考圆锥曲线压轴题1. (本小题满分14分）已知椭圆C 1:的左、右顶点分别是A 、B ，P 是双曲线=1右支x 轴上方的一点，连结AP 交椭圆于点C ，连结PB 并延长交椭圆于点D.(1) 若a= 2b,求椭圆C 1及双曲线C 2的离心率；(2) 若ΔACD 和ΔPCD 的面积相等，求点P 的坐标(用a ，b 表示）.2. (本小题满分14分）已知抛物线y 2=mx(m>0,m 为常数）的焦点是F(1，0)，P(x 0，y 0)是抛物线上的动点，定点A (2，0).(1)若，设线段AP 的垂直平分线与X 轴交于Q(x 1,O),求x 1的取值范围；(2) 是否存在垂直于x 轴的定直线l ，使以AP 为直径的圆截l 得到的弦长为定值？若存在，求其方程，若不存在，说明理由.3．（本小题满分14分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162=的焦点P 为其一个焦点，以双曲线191622=-yx的焦点Q 为顶点。

（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点)0,1(),0,1(B A -，且D C ,分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求AM BM ⋅的取值范围。

4．（本题满分14分）设直线:1l y x =+与椭圆22221(0)x y a b ab+=>>相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F 。

（1）证明：221a b +>；（2）若F 是椭圆的一个焦点，且2AF FB = ，求椭圆的方程。

5．（本题满分14分）已知动圆过定点(0,2)F ，且与定直线:2L y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过(0,2)F ，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:AQ BQ ⊥.6．（本小题满分14分）如图所示，椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为255，且A （0，1）是椭圆C 的顶点。

(word完整版)圆锥曲线压轴题含答案,推荐文档

x2 y21.已知点仆0，＞0)为双曲线正味二K b为正常数)上任一点，勺为双曲线的右焦点, 过P1作右准线的垂线，垂足为4连接F2 A并延长交y轴于点J(1)求线段P1 P2的中点P的轨迹E的方程;(2)设轨迹E与％轴交于B, D两点，在E上任取一点Q (\，y)(y1W 0)，直线QB, QD 分别交于y轴于M, N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.x22.如图，已知圆G：(x—2)2 + y2= r2是椭圆—+ y2=1的内接△ ABC的内切圆，其中A16为椭圆的左顶点．(1)求圆G的半径丫；(2)过点M(0, 1)作圆G的两条切线交椭圆于E, F两点，证明：直线EF与圆G相切.3.设点a”0»0)在直线'=m(y w±m'0<m< 1)上，过点夕作双曲线x2-y2=1的两条..—_ 」1 0切线尸A, PB，切点为A,B，定点M—,0 .(1)过点A作直线x- y = 0的垂线，垂足为N，试求△ AMN的垂心G所在的曲线方程；(2)求证：A、M、B三点共线.4.作斜率为3的直线I与椭圆。

磊+ 十二1交于A，B两点(如图所示),且—2)在直线l的左上方.(1)证明：A PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若/APB = 60。

，求A PAB的面积.5 .如图，椭圆°」2吒=1(a >" 0)的离心率为13，、轴被曲线J 丁二,2一 b 截得的线段长等于°1的长半轴长.⑴求°1，02的方程；⑵设C 2与 > 轴的焦点为M ，过坐6 .已知抛物线C : y 2 = 4x 的焦点为F ，过点K (-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . (1)证明：点F 在直线BD 上；8(2)设FA FB = 9，求A BDK 的内切圆M 的方程.标原点O 的直线l 与0相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与c 相交与D , E . 2 1x 2 y 27. P （x , y ）（x 。