八年级新思维5-二次根式

5.二次根式

问题解决

例1 （1）已知a ＜0_______. （宁波市中考题）

（2）当1≤x ≤2=_______.

（北京市竞赛题）

【答案】 （1）2- 原式=21⎛⎫-- ⎪⎝⎭a a ≥0得2

1⎛⎫- ⎪⎝⎭a a ≤0，而21⎛⎫- ⎪⎝⎭a a ≥0，故210⎛⎫-= ⎪⎝⎭a a ，得1=a （舍去）或1=-a ，把1=-a 代入原式即可.

（2）原式1|1|1=+-

1) 2.=

例2 设1=a ，则32312612+--=a a a （ ）.

A.24

B.25

C.10

D.12

（全国初中数学联赛题）

【答案】 A 由条件得226+=a a ，原式223(2)661224.=++--=a a a a a

例3 计算

（1）；

（2）2001200019991)1)1)2001.--+

（天津市竞赛题）

【答案】 （1）原式22⎤⎤==-=⎦⎦

7-+

（2）原式1999219991)1)1)220011)(4⎡⎤=--+=+⎣⎦

22)20012001.-+=

例4 阅读材料：

黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人

合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.如：(2

(21,3==，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.

=

7=+.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.

解决问题：

（1）4的有理化因式是_______

分母有理化得_______. （2）计算：

（陕西省中考题）

…（全国初中数学联赛题）

【答案】 （1）4

（2）①原式2 2.=

②原式1)=+++…1+=

1.

例5 （1）设实数,x y 满足(1=x y ，求+x y 的值.

（2）已知实数,x y 满足(2002+

=x y ，求2234---x xy y 6658-+x y 的值. （全国初中数学联赛题）

分析 对于（1），由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化；（2）是（1）的一种变形，用2002代替，结论仍成立.

解 （1）

x y ①，

同理1y ②，①-②得22=-x y ，即0.+=x y

（2）由①得=-x y ，代入原式22234665858=+-+-+=y y y y y .

比较大小

例6

,1,2++n n n

，

.

展开想象的翅膀，请你类比提出三个不连续的正整数，是否也满足上述不等式？

【答案】 可提出猜想：设m n 、是正整数，且m ＞n 证明略.

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1.若1-=x 2(1)4(1)4+-++x x 的值为_______.

（益阳市中考题）

【答案】 3

2.已知,x y (0-y ，那么20112011-=x y _______.

（日照市中考题）

【答案】 2- (10+-=，得1, 1.=-=x y

3.…，请你将猜想到的规律用含自然数(n n ≥1)的代数式表示出来_______. （山西省中考题）

【答案】 (+n

4.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且21+=amn bn ，则2+=a b _______.

（凉山自治州中考题）

【答案】 2.5 2,3==m n 代入条件等式得(616)(261+-+a b a b ，得6161+

=a b 且260.+=a b

5.已知(⎛=⨯- ⎝⎭

m ，则有（ ）.

A.5＜m ＜6

B.4＜m ＜5

C.5-＜m ＜4-

D.6-＜m ＜5- （2012年杭州市中考题）

【答案】 A

6.如图，数轴上与1A B 、，点B 关于点A 的对称点为C ，设点C 表示

的数为x ，则2|+=x x

（ ）.

B. C. D.2

（深圳市中考题）

【答案】 C 2=x

7.若化简|1|-x 25-x ，则x 的取值范围是（ ）.

A.x 为任意实数

B.1≤x ≤4

C.x ≥1

D.x ≤4

（杭州市中考题）

【答案】 B

8.实数a b c 、、在数轴上的位置如图所示 ，则代数式

||||++a b b c 可以化简为（ ）.

A.2-c a

B.22-a b

C.-a

D.a

（2012年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）

【答案】 C

9.计算：

（1）

（2

（3）1012009|6-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭

（北京市中考题）

（40+. （烟台市中考题）

【答案】 （1）- （2）1- （3）5 （41 10.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+

2(1=，善于思考的小明进行了以下探索：

设2(++a m （其中,,,a b m n 均为正整数），

则有2222+++a m n

∴222,2.=+=a m n b mn

这样小明就找到了一种把部分+a .

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当,,,a b m n 均为正整数时，若2(+=+a m ，用含,m n 的式子分别表示,a b ，得=a _______，=b _______；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数,,,a b m n 填空：

（2；

（3）若2(++a m ，且,,a m n 均为正整数，求a 的值.

（珠海市中考题）

【答案】 （1）223+m n ；2mn

（2）4；2；1；1（答案不唯一）,m n

（3）根据题意得22

342,

⎧=+⎨=⎩a m n mn ∵24=mn ，且为正整数，∴2,1==m n 或1,=m

2,=n ∴7=a 或13.

思维2=a 方法天地

11.22006的结果是_______.

【答案】 2005

12.当2

(1)3+=a

=a ，化简2963-+-a a a _______. （河南省竞赛题）

【答案】 ＜0，原式22(3)(3)(1)13 1.33(1)---==+=--=---a a a a a a a a a

13.已知1=a ，则20122011201022+-=a a a _______.

（四川省竞赛题）

【答案】 0 由得2220+-=a a ，原式20102(22)0.=+-=a a a

14.2=-

，则221-=x x ______. （2012年天津市竞赛题）