(完整版)蚁群算法的数学模型
蚁群算法
两阶段算法（Two Phase Algorithm）
算法举例
（3）以P0为起点，以P4为终点，求下图最短路径L
Dijkstra算法 动态规划 L为 P0→P6 → P3 → P4. 总长度为97km。
（4）根据最短路进行分组，最短路由三条分支组成，即
P0→P5 → P8 → P7 → P6 → P0. 33km，5.9t
0 0
4 10 17 0
节约法（Saving Method）
算法举例
点对之间连接的距离节约值
连接点 3-4 2-3 7-8 6-7 1-7 节约里程 19 18 17 16 13 连接点 1-2 1-6 6-8 2-4 1-3 节约里程 12 11 10 9 8 连接点 1-8 2-7 5-8 2-6 4-5 节约里程 5 5 4 3 3 连接点 5-7 3-7 5-6 节约里程 3 1 1
Cij P0 P5 P8 P0 0 P5 8 0 P8 22 18 0 P7 33 29 28 P6 33 29 28 P1 ∞ ∞ 37 P2 ∞ ∞ ∞ P3 ∞ ∞ ∞ P4 ∞ ∞ ∞
P7
P6 P1 P2 P3 P4
0
16
0
25
20 0
35
30 22 0
∞
42 34 30 0
∞
∞ ∞ ∞ 22 0
节约法（Saving Method）
算法举例
求初始解
令Ii={i}，i=1，2，· · · ，8；最短路长li=2C0i；载重量ri=Ri；标记 （合并次数）B1=B2=· · · =B8=0.
按节约里程从大到小合并路径 8
P3 P29 10P15 NhomakorabeaP4
11
蚁群算法详细讲解83页PPT
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54崛起而 读书。 ——周 恩来
蚁群算法详细讲解
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
蚁群算法及案例分析精选全文
群在选择下一条路径的时
候并不是完全盲目的,而是
按一定的算法规律有意识
地寻找最短路径
自然界蚁群不具有记忆的
能力，它们的选路凭借外
激素，或者道路的残留信
息来选择，更多地体现正
反馈的过程
人工蚁群和自然界蚁群的相似之处在于,两者优先选择的都
是含“外激素”浓度较大的路径; 两者的工作单元(蚂蚁)都
正反馈、较强的鲁棒性、全
局性、普遍性
局部搜索能力较弱，易出现
停滞和局部收敛、收敛速度
慢等问题
优良的分布式并行计算机制
长时间花费在解的构造上，
导致搜索时间过长
Hale Waihona Puke 易于与其他方法相结合算法最先基于离散问题，不
能直接解决连续优化问题
蚁群算法的
特点
蚁群算法的特点及应用领域
由于蚁群算法对图的对称性以
及目标函数无特殊要求，因此
L_ave=zeros(NC_max,1);
%各代路线的平均长度
while NC<=NC_max
%停止条件之一：达到最大迭代次数
% 第二步：将m只蚂蚁放到n个城市上
Randpos=[];
for i=1:(ceil(m/n))
Randpos=[Randpos,randperm(n)];
end
Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))';
scatter(C(:,1),C(:,2));
L(i)=L(i)+D(R(1),R(n));
hold on
end
plot([C(R(1),1),C(R(N),1)],[C(R(1),2),C(R(N),2)])
第五章蚁群算法
8
10/11/201
1.1 组合优化问题 ₪ 例1 0-1背包问题（0-1 knapsack problem）
b :背包容积 ai : 第i件物品单位体积，i 1,, n. ci : 第i件物品单位价值，i 1,, n. 问题：如何以最大价值装包？
15
10/11/201
1.2 计算复杂性的概念
城市 24 25 26 27 28 数
计算 1 24 10 4.3 4.9 时间 sec sec min hour day
29 30 31
136.5 10.8 325 day year year
随城市增多，计算时间增加很快。 到31个城市时，要计算325年。
蚁群算法
Yuehui Chen School of Inform. Sci. and Eng. University of Jinan, 2009
10/11/2019
1
内容
一、启发式方法概述 二、蚁群优化算法
2
10/11/201
背景
₪ 传统实际问题的特点 连续性问题——主要以微积分为基础，且问题规模较小
9
10/11/201
1.1 组合优化问题
数学模型：
n
max ci xi i 1
(1.1)总价值
n
s.t. ai xi b, i 1
xi 0,1, i 1,, n.
(1.2)包容量限制 (1.3)决策变量
其中xi
1，装第i物品 0，不装第i物品
D 0,1n.
求和运算次数为：(n 1)!n n!;
枚举所有路径进行(n 1)!次比较可得最优路径,基本计算总次数为
水资源优化调度模型及算法研究
水资源优化调度模型及算法研究一、绪论随着人口的不断增加和经济的不断发展，水资源的供需矛盾日益凸显。
为有效保障水资源的合理利用和管理，研究水资源优化调度模型及算法迫在眉睫。
本文旨在探讨水资源优化调度模型及算法的研究进展。
二、水资源优化调度模型1. 基于线性规划的水资源优化调度模型线性规划是一种常见的数学方法，可以用于优化许多实际问题，包括水资源优化调度。
该方法的优点在于能够快速得到一个最优解。
线性规划模型的数学形式如下：$$ Max \quad cx $$$$ s.t. \quad Ax \leq b $$其中，x是优化变量，c和A是常数矩阵，b是常数向量。
这个模型的含义是在满足约束条件Ax≤b的情况下，使目标函数cx最大化。
2. 基于动态规划的水资源优化调度模型括水资源优化调度。
该方法的优点在于可以考虑到历史时刻的决策对未来的影响。
动态规划模型的数学形式如下：$$ Max \quad \sum_{t=1}^{T}f_t(x_t,u_t) $$$$ s.t. \quad x_{t+1}=g_t(x_t,u_t) $$其中，x是状态变量，u是决策变量，f是收益函数，g是状态转移函数。
这个模型的含义是在满足状态转移方程x_{t+1}=g_t(x_t,u_t)的情况下，使收益函数f最大化。
3. 基于遗传算法的水资源优化调度模型遗传算法是一种常见的优化方法，可以用于许多实际问题，包括水资源优化调度。
该方法的优点在于可以在多个解空间中搜索最优解。
遗传算法模型的数学形式如下：$$ f(x_i),\quad 1 \leq i \leq N $$其中，x是优化变量，f是目标函数，N是种群数量。
这个模型的含义是在种群中搜索最优解x。
三、水资源优化调度算法1. 基于模拟退火的水资源优化调度算法括水资源优化调度。
该方法的优点在于可以在温度下降的过程中逐渐减小搜索范围。
模拟退火算法的数学形式如下：$$ f(x_i),\quad 1 \leq i \leq N $$其中，x是优化变量，f是目标函数，N是样本数量。
蚁群算法的原理及其基本模型
蚁群算法的原理及其基本模型作者：徐大柱沈林来源：《旅游纵览·行业版》2013年第09期蚁群算法是受自然界中真实蚁群集体行为的启发而提出的一种基于种群的模拟进化算法，属于带构造性的随机搜索算法.本文对应用蚁群算法求解连续空间优化问题作了一些探索性研究，以基本蚁群算法的性能分析为背景，探讨了蚁群算法的构成、性能及特点，对基本蚁群算法作了一系列详细的阐述。
一、蚁群算法的基本模型为了便于理解，下面以TSP问题为例说明蚁群算法的基本模型，对于其它问题，可以对此模型稍作修改，便可应用，首先引入以下符号：——蚁群中蚂蚁的总数目；——TSP规模（即城市数目）；——城市和城市之间的距离（）；——时刻位于城市的蚂蚁数；——时刻蚂蚁从城市转移到城市的期望度，为启发式因子.在TSP问题中，称为能见度；——时刻在城市和城市之间的路径上的信息素量，在算法的初始时刻，将只蚂蚁随机放在个城市，并设各条路径上的信息素量（为常数）；——时刻蚂蚁从城市转移到城市的概率.在城市的蚂蚁选择路径时按概率决定转移方向，即式中和分别表示路径上的信息素量和启发式因子的重要程度，用表示当前蚂蚁已走过的城市，={1，2，3，…，n}-，表示蚂蚁下一步允许选择的城市（人工蚂蚁有记忆功能，这是实际蚂蚁所不具备的）。
为了避免残留信息素过多而引起启发信息被淹没，在每只蚂蚁走完一步或者完成对个城市的遍历后，要对各条路径上的信息素进行如下调整：式中表示信息素残留系数，为了防止信息素的无限积累，的取值范围应在0到1之间，表示在本次循环后留在到路径上的信息素增量，表示第只蚂蚁在本次循环中留在路径上的信息素量。
二、基本模型的实现步骤从蚁群算法的模型中，我们可以看出，蚁群寻找最短路径实际上是一个递推过程，便于在计算机上实现。
为了便于理解，下面以TSP问题为例来阐述蚁群算法的具体实现步骤。
第一步：初始化.令时间，循环次数设置最大迭代次数的值，将只蚂蚁随机放到个城市，并将每只蚂蚁的出发点城市号放入禁忌表中.令（为常数），，设定、、的值；第二步：；第三步：对所有蚂蚁，以当前城市为起点，选择下一个要去的城市，首先从个城市中找到每只蚂蚁未走过的城市（即），蚂蚁个体根据状态转移概率公式（3-1）计算概率，选择概率最大的城市号前进；第四步：修改禁忌表指针，即将每只蚂蚁到达的新城市号移到该蚂蚁个体的禁忌表中；第五步：若禁忌表未满，即城市未遍历完，则跳到第三步继续执行，否则执行第六步；第六步：根据式（3-2）和式（3-3）更新每条路径上的信息量；第七步：若满足结束条件，即如果，则循环结束，输出最佳路径，否则，清空禁忌表并转到第二步继续执行。
第 6 章 蚁群算法
则，输出目前的最优解。
Hale Waihona Puke 3 目标值控制规则，给定优化问题（目标最小化）的一个下界和一个 误差值，当算法得到的目标值同下界之差小于给定的误差值时，算法 终止。
TSP应用举例
TSP应用举例
Introduction of Artificial Intelligence
Introduction of Artificial Intelligence
7
（2）鸟群行为
人们观察鸟群的群体行为发现： 当一群鸟在随机搜寻食物时，发现某个区域内有一块食物， 鸟会先后飞向食物，以及在食物最近的鸟的周围区域继续 搜寻食物。 数目庞大的鸟群在飞行中可以有形的改变方向，散开，或 者队形的重组。 科学家认为，上述行为是基于鸟类的社会行为中的两个要 素：个体经验和社会学习。 由此，创造了粒子群优化算法 （Particle Swarm optimization ，PSO）
蚁群算法的提出
人工蚁群算法
基于以上蚁群寻找食物时的最优路径选择问题，可以构造人 工蚁群，来解决最优化问题，如TSP问题。 人工蚁群中把具有简单功能的工作单元看作蚂蚁。二者的相 似之处在于都是优先选择信息素浓度大的路径。较短路径的信 息素浓度高，所以能够最终被所有蚂蚁选择，也就是最终的优 化结果。 两者的区别在于人工蚁群有一定的记忆能力，能够记忆已经 访问过的节点。同时，人工蚁群在选择下一条路径的时候是按 一定算法规律有意识地寻找最短路径，而不是盲目的。例如在 TSP问题中，可以预先知道当前城市到下一个目的地的距离。 人工蚁群 VS 自然蚁群
prey food
an obstacle is laid in the path
choosing path
the shortest path
蚁群算法
基本蚁群算法程序流程图
开始 初始化
循环次数Nc← Nc+1
蚂蚁k=1 蚂蚁k=k+1
按式（1）选择下一元素 修改禁忌表 N Y K≥ m
按式（2）和式（3）进行信息量更新 满足结束条件 Y
Байду номын сангаас输出程序计算结果 结束 N
复杂度分析
对于TSP，所有可行的路径共有(n-1)!/2条，以 此路径比较为基本操作，则需要(n-1)!/2-1次基 本操作才能保证得到绝对最优解。 若1M FLOPS，当n=10, 需要0.19秒 n=20, 需要1929年 n=30, 需要1.4X10e17年
{ ij (t ) | ci , c j C}是t时刻集合C中元素
蚂蚁k(k=1,2,…,m)在运动过程中，根据各条路径上的信息 量决定其转移方向。这里用禁忌表tabuk来记录蚂蚁k当前 所走过的城市，集合随着tabuk进化过程做动态调整。在 搜索过程中，蚂蚁根据各条路径上的信息量及路径的启发 信息来计算状态转移概率。在t时刻蚂蚁k由元素（城市）i 转移到元素（城市）j的状态转移概率：
1) 标有距离的路径图 2) 在0时刻，路径上没有信息素累积，蚂蚁选择路径为任意 3) 在1时刻，路径上信息素堆积，短边信息素多与长边，所以蚂蚁更 倾向于选择ABCDE
特
点
（1）其原理是一种正反馈机制或称增强型学习系统；它通过 信息素的不断更新达到最终收敛于最优路径上； （2）它是一种通用型随机优化方法；但人工蚂蚁决不是对实 际蚂蚁的一种简单模拟，它融进了人类的智能； （3）它是一种分布式的优化方法；不仅适合目前的串行计算 机，而且适合未来的并行计算机； （4）它是一种全局优化的方法；不仅可用于求解单目标优化 问题，而且可用于求解多目标优化问题； 2 （5）它是一种启发式算法；计算复杂性为 O( NC m n )，其 中NC 是迭代次数，m 是蚂蚁数目，n 是目的节点数目。
2007年高考理科综合试题及参考答案(四川卷)
两层信息素更新策略：
第1层:原有信息素的挥发 ij(t n) (1 ) ij (t ) 第2层:借鉴奖惩蚁群算法思想，在完成每次循环进行信息素挥发后，根据蚂蚁所建 立路径的长短，进行排序，只有前w只建立短路径的蚂蚁被挑选出来进行奖励，其 他 (m-w )只建立路径的蚂蚁进行惩罚。
min ij (0) max
Q ij (0) d ij 0
if i j else
本文算法改进——研究过程(2)
2:路径选择策略的改进
相关文献表明，自然蚂蚁无视觉能力，无法感知距离的远近,在节点选择 时，仅能依靠信息素浓度。为更好的模拟自然蚂蚁,本文改进算法在选择 下一个城市时不再考虑距离因素,仅考虑信息素浓度。同时为有效的提高 优化速度,降低局部最优解停滞的可能性,本文采用伪随机性选择策略,并在 搜索过程中动态地调整确定性选择的概率。即蚂蚁 在 t时刻有城市 i 到城 市 j 的转移概率由下式确定：
1.1蚁群算法概况、发展以及应用
蚁群算法(ant colony optimization, ACO)，又 称蚂蚁算法，是一种用来在图中寻找优化路径的 机率型算法。它由Marco Dorigo于1992年在他的 博士论文中提出，其灵感来源于蚂蚁在寻找食物 过程中发现路径的行为。 该算法还被用于求解Job-Shop调度问题、二 次指派问题以及多维背包问题等，显示了其适用 于组合优化类问题求解的优越特征。
MATLAB仿真
MATLAB是由美国mathworks公司发布的主 要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的 高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科 学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真 等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境 中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数 值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方 案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设 计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当 今国际科学计算软件的先进水平。
《蚁群算法介绍》课件
输出最优解和相关性能指标。
详细描述
这一步是将最优解和相关性能指标输出，以 便于对算法的性能进行分析和评估。
04
蚁群算法的性能分析
收敛性分析
收敛速度
蚁群算法在优化问题中的收敛速度取决于初始信息素分布、蚂蚁数量、迭代次数等因素 。
最优解质量
蚁群算法在某些问题上可能找到全局最优解，但在其他问题上可能只能找到近似最优解 。
VS
详细描述
这一步是生成初始解的过程，需要按照设 定的规则，将蚂蚁随机放置在解空间中， 并初始化每条路径上的信息素。
迭代优化
总结词
通过蚂蚁的移动和信息素的更新，不断优化 解的质量。
详细描述
这一步是蚁群算法的核心部分，通过模拟蚂 蚁的移动和信息素的更新机制，不断迭代优 化解的质量，最终找到最优解。
结果
多目标优化问题的蚁群算法
针对多目标优化问题，蚁群算法需要 进行相应的改进。
VS
多目标优化问题要求算法在满足多个 冲突目标的同时找到最优解。这需要 对蚁群算法进行相应的调整，以适应 多目标优化的特性。例如，可以通过 引入权重因子来平衡各个目标之间的 矛盾，或者采用非支配排序方法对解 进行分层处理，以便更好地处理多目 标优化问题。
蚁群算法的优化目标
寻找最短路径
蚁群算法的主要目标是找到起点到终 点之间的最短路径，这在实际应用中 可用于解决如旅行商问题、车辆路径 问题等优化问题。
平衡搜索与探索
蚁群算法需要在搜索和探索之间取得 平衡，以避免陷入局部最优解，提高 算法的全局搜索能力。
03
蚁群算法的实现步骤
问题建模
总结词
将实际问题抽象为蚁群算法能够解决的问题模型。
蚂蚁根据局部信息素浓度选择移动方向，倾向于选择信息素浓度较高的路径。
蚁群算法
四、结论
蚁群算法是由M.Dorigo于1992年提出来的一种新型进化算 法。该算法不依赖于具体问题的数学描述，具有全局优化能力 和本质上的并行性，同时比遗传算法、模拟退火算法等早期进 化算法具备更强的鲁棒性、求解时间短、易于计算机实现等优 点。已被用于高度复杂的组合优化问题、通讯网络的路由选择 问题、多机器人任务分配问题、图形生成及划分等问题中。 但由于蚁群算法的研究历史很短，在实际问题中应用还较 少，因此存在许多有待进一步研究改进的地方。如信息素分配 策略、路径搜索策略、最优解保留策略等方面，均带有经验性 和直觉性，没有经过细致的研究和分析。因此算法的求解效率 不高，收敛性较差。
它们的区别在于后两种模型中利用的是局部信息， 而前者利用的是整体信息。参数α，β，Q，ρ，可以用 实验方法确定其最优组合，停止条件可以用固定进化 代数或当进化趋势不明显时停止计算。
pij (t ) =
α β τ ij (t ) × η ij (t ) α β τ ik (t ) × η ik (t ) ∑(i,k )∈S ,k∉U
ant cycle system, ant quantity system, ant density system。
他们的差别在于表达式的不同。 在ant cycle system模型中，
Q k ∆τ ij = f k 0 第k只蚂蚁在第t次循环中经过边(i, j ) 其他
f k 第k只蚂蚁在整个路径中的目标函数值。
谢谢！
二、蚁群算法原理
人工蚁群算法是模仿真实的蚁群行为而提出的。仿生 学家经过大量细致的观察研究发现，蚂蚁个体之间是通过一 种称为“外激素”(Stigmergy)的物质进行信息传递的。蚂蚁 在运动过程中，能够在它所经过的路径上留下该种物质，而 且蚂蚁在运动过程中能感知这种物质，并以此指导自己的运 动方向(蚂蚁选择有这些物质的路径的可能性,比选择没有这 些物质的路径的可能性大得多)。因此，有大量蚂蚁组成的蚁 群的集体行为便表现出一种信息正反馈现象：某一路径上走 过的蚂蚁越多，则后来者选择该路经的概率就越大。蚂蚁个 体之间就是通过这种信息的交流达到搜索食物的目的。
人工智能07蚁群算法及其应用
蚁群算法数学表达式
转移概率公式
蚁群算法中，蚂蚁根据转移概率公式选 择下一个访问的节点。转移概率通常由 信息素浓度和启发式信息共同决定，以 实现局部搜索与全局搜索的平衡。
VS
信息素更新规则
信息素是蚁群算法中的关键参数，用于引 导蚂蚁的搜索方向。信息素更新规则包括 局部更新和全局更新两种方式，分别用于 加强当前路径上的信息素浓度和更新全局 最优路径上的信息素浓度。
• 启发式信息权重：启发式信息权重用于平衡转移概率中的信息素浓度和启发式信息。较大的启发式信息权重会 使算法更加倾向于选择局部最优解，而较小的启发式信息权重则会使算法更加注重全局搜索。
• 最大迭代次数：最大迭代次数是控制算法停止条件的重要参数。当达到最大迭代次数时，算法将停止搜索并输 出当前最优解。需要根据问题规模和复杂度合理设置最大迭代次数，以保证算法能够在有限时间内找到满意的 解。
算法优化
针对旅行商问题的特点，可以对蚁群算法进行改进，如引入局部搜索策 略、调整信息素更新规则等，以进一步提高算法的求解性能。
机器人路径规划问题应用探讨
问题描述
机器人路径规划问题要求机器人在有障碍物的环境中，从起点安全、快速地到达目标点。
蚁群算法应用
蚁群算法可以应用于机器人路径规划问题中，通过模拟蚂蚁的觅食行为来寻找一条从起点 到目标点的最优路径。实例分析表明，蚁群算法在机器人路径规划问题中具有较好的应用 效果。
05 蚁群算法在数据挖掘中应 用
聚类分析问题解决方法展示
基于蚁群算法的聚类方法
通过模拟蚂蚁觅食行为，将数据集划分为多个簇，使得同一簇内数据相似度高，不同簇间数据相似度 低。
聚类结果评估与优化
采用轮廓系数、DB指数等评估指标对聚类结果进行评价，并通过调整算法参数或引入其他优化策略来 提高聚类效果。
(完整版)蚁群算法的数学模型
蚁群算法的数学模型蚂蚁),2,1(k m k ⋅⋅⋅=在运动过程中，运动转移的方向由各条路径上的信息量浓度决定。
为方便记录可用),,2,1(t m k abu k ⋅⋅⋅=来记录第 k 只蚂蚁当前已走过的所有节点，这里可以称存放节点的表为禁忌表；这个存放节点的集合会随着蚂蚁的运动动态的调整。
在算法的搜索过程中，蚂蚁会智能地选择下一步所要走的路径。
设 m 表示蚂蚁总数量，用)1,,1,0,(d -⋅⋅⋅=n j i ij 表示节点 i 和节点 j 之间的距离，)(ij t τ表示在 t 时刻ij 连线上的信息素浓度。
在初始时刻，m 只蚂蚁会被随机地放置，各路径上的初始信息素浓度是相同的。
在 t 时刻，蚂蚁 k 从节点i 转移到节点 j 的状态转移概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈=∑∈other p allowed t t t t k ij k allowed k ij ij ij ij k ij ,0j ,)()()()(p k βαβαητητ ()1-2 其中，{}k k tabu c allowed -=表示蚂蚁 k 下一步可以选择的所有节点，C 为全部节点集合；α为信息启发式因子，在算法中代表轨迹相对重要程度，反映路径上的信息量对蚂蚁选择路径所起的影响程度，该值越大，蚂蚁间的协作性就越强；β可称为期望启发式因子，在算法中代表能见度的相对重要性。
ij η是启发函数，在算法中表示由节点i 转移到节点 j 的期望程度，通常可取ij ij d /1=η。
在算法运行时每只蚂蚁将根据(2-1)式进行搜索前进。
在蚂蚁运动过程中，为了避免在路上残留过多的信息素而使启发信息被淹没，在每只蚂蚁遍历完成后，要对残留信息进行更新处理。
由此，在t+n 时刻,路径(i,j)上信息调整如下()())()(1t t n t ij ij ij ττρτ∆+⨯-=+ (2-2))()(1t t mk k ij ij ∑=∆=∆ττ (2-3)在式中，常数 ()1,0∈ρ表示信息素挥发因子,表示路径上信息量的损耗程度,ρ的大小关系到算法的全局搜索能力和收敛速度，则可用ρ-1代表信息素残留因子,)(t k ij τ∆表示一次寻找结束后路径(i,j)的信息素增量。
《蚁群算法》课件
目
CONTENCT
录
• 蚁群算法简介 • 蚁群算法的基本原理 • 蚁群算法的实现过程 • 蚁群算法的改进策略 • 蚁群算法的性能评价 • 蚁群算法的应用案例
01
蚁群算法简介
蚁群算法的基本概念
蚁群算法是一种模拟自然界中蚂蚁觅食行为的优化 算法，通过模拟蚂蚁的信息素传递机制来寻找最优 解。
02
蚁群算法的基本原理
信息素的挥发与更新
信息素挥发与更新是蚁群算法中一个重要的过程，它影响着蚂蚁 的移动和信息传递。
在蚁群算法中，信息素是蚂蚁之间传递的一种化学物质，用于标 识路径的优劣。信息素会随着时间的推移而挥发，同时蚂蚁在移 动过程中会释放新的信息素。挥发和更新的过程是动态的，影响 着蚂蚁对路径的选择。
要点一
总结词
信息素更新规则是蚁群算法中的重要环节，通过改进信息 素更新规则，可以提高算法的性能。
要点二
详细描述
在蚁群算法中，信息素更新规则决定了蚂蚁在移动过程中 如何更新信息素。改进信息素更新规则可以提高算法的全 局搜索能力和局部搜索能力。例如，可以采用动态调整策 略，根据蚂蚁的移动路径和状态动态调整信息素的更新量 ，或者采用自适应策略，根据问题的特性和求解结果自适 应地调整信息素更新规则，以提高算法的性能。
详细描述
在蚁群算法中，信息素挥发速度决定了信息素消散的快慢。较慢的挥发速度可以使信息素积累，有利于增强算法 的全局搜索能力；较快的挥发速度则有利于算法的局部搜索。通过调整信息素的挥发速度，可以在全局搜索和局 部搜索之间取得平衡，提高算法的效率和稳定性。
蚂蚁数量与移动规则的调整
总结词
蚂蚁数量和移动规则是蚁群算法中的重要参数，通过调整这些参数，可以改善算法的性 能。
蚁群算法详细讲解
1.1.5 蚁群优化算法应用现状 3/5
基于群智能的聚类算法起源于对蚁群蚁卵的分类研究。 Lumer和Faieta将Deneubourg提出将蚁巢分类模型应 用于数据聚类分析。其基本思想是将待聚类数据随机 地散布到一个二维平面内，然后将虚拟蚂蚁分布到这 个空间内，并以随机方式移动，当一只蚂蚁遇到一个 待聚类数据时即将之拾起并继续随机运动，若运动路 径附近的数据与背负的数据相似性高于设置的标准则 将其放置在该位置，然后继续移动，重复上述数据搬 运过程。按照这样的方法可实现对相似数据的聚类。
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1.1.5 蚁群优化算法应用现状 2/5
蚁群算法在电信路由优化中已取得了一定的应用成果。HP公 司和英国电信公司在90年代中后期都开展了这方面的研究， 设计了蚁群路由算法（Ant Colony Routing, ACR）。 每只蚂蚁就像蚁群优化算法中一样，根据它在网络上的经验 与性能，动态更新路由表项。如果一只蚂蚁因为经过了网络 中堵塞的路由而导致了比较大的延迟，那么就对该表项做较 大的增强。同时根据信息素挥发机制实现系统的信息更新， 从而抛弃过期的路由信息。这样，在当前最优路由出现拥堵 现象时，ACR算法就能迅速的搜寻另一条可替代的最优路径， 从而提高网络的均衡性、负荷量和利用率。目前这方面的应 用研究仍在升温，因为通信网络的分布式信息结构、非稳定 随机动态特性以及网络状态的异步演化与ACO的算法本质和 特性非常相似。
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1.1.5 蚁群优化算法应用现状 4/5
ACO还在许多经典组合优化问题中获得了成功的应用， 如二次规划问题（QAP）、机器人路径规划、作业流 程规划、图着色（Graph Coloring）等问题。 经过多年的发展，ACO已成为能够有效解决实际二次 规划问题的几种重要算法之一。AS在作业流程计划 （Job-shop Scheduling）问题中的应用实例已经出现， 这说明了AS在此领域的应用潜力。利用MAX-MIN AS解 决PAQ也取得了比较理想的效果，并通过实验中的计 算数据证明采用该方法处理PAQ比较早的SA算法更好， 且与禁忌搜索算法性能相当。利用ACO实现对生产流 程和特料管理的综合优化，并通过与遗传、模拟退火 和禁忌搜索算法的比较证明了ACO的工程应用价值。
蚁群算法
4 概率转换规则
每只蚂蚁根据路径上的信息素和能见度（两城市间距离） 独立地选择下一座城市：在时刻t，蚂蚁k从城市i转移到城 市j的概率为
α 、β 分别表示信息素和能见度的相对重要程度。
算法的实现
1、初始化，设定相关参数：总的城市数n，蚂蚁数m、初始 时各路径的信息素 、m只蚂蚁循环次数的最大值 Nmax、信息素的挥发系数ρ以及α、β、Q等。建立禁忌表 tabuk。 2、将m只蚂蚁随机放在各个城市上，每个城市至多分布一只 蚂蚁，并将m只蚂蚁所在城市分别存入各自的禁忌表中。 3、所有蚂蚁依据概率转换规则选择下一个城市，并将城市存 入禁忌表中。
蚂蚁正常行进，突然环境变化，增加了障碍物
蚂蚁以同等概率选择各条路径，紧接着，随着时间的增 加较短路径信息浓度高，选择该路径的蚂蚁逐渐增多。
蚂蚁最终绕过障碍物找到最优路径
人工蚁群算法的基本思想
在蚁群算法实际应用中，提出了人工蚁的 概念。人工蚁具有双重特性，一方面，它们是 真是蚂蚁行为特性的一种抽象，通过对真实蚂 蚁行为的观察，将蚁群觅食行为中最关键的部 分赋予了人工蚁；另一方面，由于人工蚁是为 了解决一些工程实际中的优化问题，因此，为 了使蚁群算法更有效，人工蚁具备了一些蚂蚁 所不具备的本领。
假设蚂蚁每经过一处所留下的信息素为一个 单位，则经过36个时间单位后，所有开始一起出 发的蚂蚁都经过不同路径从D点取得了食物，此 时ABD的路线往返了2趟，每一处的信息素为4个 单位，而 ACD的路线往返了一趟，每一处的信息 素为2个单位，其比值为2：1。 寻找食物的过程继续进行，则按信息素的指导，蚁群在 ABD路线上增派一只蚂蚁（共2只），而ACD路线上仍然为一 只蚂蚁。再经过36个时间单位后，两条线路上的信息素单位积 累为12和4，比值为3：1。 若继续进行，则按信息素的指导，最终所有的蚂蚁会放弃 ACD路线，而都选择ABD路线。这也就是前面所提到的正反馈 效应。
23个基本测试函数 蚁群算法
23个基本测试函数蚁群算法蚁群算法是一种模拟蚂蚁行为的启发式算法，它通过模拟蚁群寻找食物的行为，来解决各种优化问题。
蚁群算法的核心思想是通过信息交流和反馈机制来寻找问题的最优解。
本文将介绍蚁群算法的基本原理，并以23个基本测试函数为例，展示蚁群算法在解决优化问题中的应用。
1. 算法简介蚁群算法最早由意大利学者Dorigo在1992年提出，其灵感来自于观察蚂蚁在寻找食物时的行为。
蚁群算法将问题抽象成一个图论模型，其中蚂蚁代表解空间中的候选解，信息素则代表蚂蚁之间的信息交流。
蚂蚁根据信息素的浓度和距离选择路径，并在路径上释放信息素，从而影响其他蚂蚁的选择。
通过多次迭代，蚂蚁群体逐渐收敛于最优解。
2. 蚁群算法的基本步骤蚁群算法主要包括初始化、路径选择、信息素更新和收敛判断等步骤。
2.1 初始化在蚁群算法中，需要初始化蚂蚁的位置和信息素的浓度。
蚂蚁的初始位置可以随机选择或者根据问题的特点进行设置。
信息素的初始浓度通常设置为一个较小的常数。
2.2 路径选择在路径选择阶段，蚂蚁根据信息素的浓度和距离选择路径。
通常情况下，信息素浓度较高的路径会有更多的蚂蚁选择，但也存在一定的随机性，以保证算法能够全局搜索。
2.3 信息素更新在信息素更新阶段，蚂蚁根据问题的优化目标更新路径上的信息素。
通常情况下，蚂蚁在路径上释放的信息素与路径的优化程度成正比。
信息素的更新规则可以根据具体问题进行设计。
2.4 收敛判断在每轮迭代之后，需要判断算法是否收敛。
通常情况下，可以通过设定一个停止准则来判断算法是否继续迭代。
常用的停止准则包括迭代次数、目标函数值的变化幅度等。
3. 蚁群算法在优化问题中的应用蚁群算法在解决各种优化问题中具有广泛的应用。
下面以23个基本测试函数为例，展示蚁群算法在不同问题中的应用。
3.1 球面函数球面函数是一个简单的优化问题，目标是找到一个全局最小值。
蚁群算法通过信息素的交流和反馈机制，可以在搜索空间中快速找到最优解。
蚁群算法简述PPT课件
2.蚁群算法的特征
基本蚁群算法流程图（详细）
1. 在初始状态下，一群蚂蚁外出，此时没有信息素，那 么各自会随机的选择一条路径。 2. 在下一个状态，每只蚂蚁到达了不同的点，从初始点 到这些点之间留下了信息素，蚂蚁继续走，已经到达目 标的蚂蚁开始返回，与此同时，下一批蚂蚁出动，它们 都会按照各条路径上信息素的多少选择路线(selection)， 更倾向于选择信息素多的路径走（当然也有随机性）。 3. 又到了再下一个状态，刚刚没有蚂蚁经过的路线上的 信息素不同程度的挥发掉了(evaporation)，而刚刚经过 了蚂蚁的路线信息素增强(reinforcement)。然后又出动 一批蚂蚁，重复第2个步骤。 每个状态到下一个状态的变化称为一次迭代，在迭代多 次过后，就会有某一条路径上的信息素明显多于其它路 径，这通常就是一条最优路径。
蚂蚁在运动过程中，能够在它所经过的路径 上留下一种称之为外激素(pheromone)的物质进 行信息传递，而且蚂蚁在运动过程中能够感知这 种物质，并以此指导自己的运动方向，因此由大 量蚂蚁组成的蚁群集体行为便表现出一种信息正 反馈现象：某一路径上走过的蚂蚁越多，则后来 者选择该路径的概率就越大。
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1.蚁群算法的提出
ACO），又称蚂蚁算法——一种用来在图中 寻找优化路径的机率型算法。
它由Marco Dorigo于1992年在他的博士 论文“Ant system: optimization by a colony of cooperating agents”中提出，其 灵感来源于蚂蚁在寻找食物过程中发现路径的 行为。最早用于解决著名的旅行商问题(TSP , traveling salesman problem)。
式中，Q表示蚂蚁循环一周，且在一定程度上影响算法收敛速度的信息 素总量；Lk表示本次循环中，蚂蚁k所走路段的长度。
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蚁群算法的数学模型
蚂蚁),2,1(k m k ⋅⋅⋅=在运动过程中，运动转移的方向由各条路径上的信息量浓度决定。
为方便记录可用),,2,1(t m k abu k ⋅⋅⋅=来记录第 k 只蚂蚁当前已走过的所有节点，这里可以称存放节点的表为禁忌表；这个存放节点的集合会随着蚂蚁的运动动态的调整。
在算法的搜索过程中，蚂蚁会智能地选择下一步所要走的路径。
设 m 表示蚂蚁总数量，用)1,,1,0,(d -⋅⋅⋅=n j i ij 表示节点 i 和节点 j 之间的距离，)(ij t τ表示在 t 时刻ij 连线上的信息素浓度。
在初始时刻，m 只蚂蚁会被随机地放置，各路径上的初始信息素浓度是相同的。
在 t 时刻，蚂蚁 k 从节点i 转移到节点 j 的状态转移概率为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∈=∑∈other p allowed t t t t k ij k allowed k ij ij ij ij k ij ,0j ,)
()()()(p k βαβαητητ ()1-2 其中，{}k k tabu c allowed -=表示蚂蚁 k 下一步可以选择的所有节
点，C 为全部节点集合；α为信息启发式因子，在算法中代表轨迹相对重要程度，反映路径上的信息量对蚂蚁选择路径所起的影响程度，该值越大，蚂蚁间的协作性就越强；β可称为期望启发式因子，在算法中代表能见度的相对重要性。
ij η是启发函数，在算法中表示由节点i 转移到节点 j 的期望程度，通常可取ij ij d /1=η。
在算法运行时每只蚂蚁将根据(2-1)式进行搜索前进。
在蚂蚁运动过程中，为了避免在路上残留过多的信息素而使启发
信息被淹没，在每只蚂蚁遍历完成后，要对残留信息进行更新处理。
由此，在t+n 时刻,路径(i,j)上信息调整如下
()())()(1t t n t ij ij ij ττρτ∆+⨯-=+ (2-2)
)()(1t t m
k k ij ij ∑=∆=∆ττ (2-3)
在式中，常数 ()1,0
∈ρ表示信息素挥发因子,表示路径上信息量的损耗程度,ρ的大小关系到算法的全局搜索能力和收敛速度，则可用
ρ-1代表信息素残留因子,)(t k ij τ∆表示一次寻找结束后路径(i,j)的信
息素增量。
在初始时刻()00=∆ij τ,)(t k ij τ∆表示第 k 只蚂蚁在本次遍历结束后路径(i,j)的信息素。
由于信息素更新策略有所不同，学者Dorigo M 研究发现了三种不同的基本蚁群算法模型，分别记为“蚁周系统”(Ant-Cycle)模型、“蚁量系统”(Ant-Quantity)模型及“蚁密系统”(Ant-Density)模型，三种模型求解 )(t k ij τ∆方式存在不同。
“蚁周系统”(Ant-Cycle)模型
⎪⎩⎪⎨⎧=∆other L Q k k ij ,0,τ第k 只蚂蚁走过ij (2-4)
“蚁量系统”(Ant-Quantity)模型
⎪⎩⎪⎨⎧=∆other d Q ij k ij ,0,τ第k 只蚂蚁在t 和t+1之间走过ij (2-5)
“蚁密系统”(Ant-Density)模型
⎩⎨⎧=∆other Q k
ij
,0,τ第k 只蚂蚁在t 和t+1之间走过ij (2-6) 从上边各公式可以看出三种模型的主要区别是：“蚁量系统”和“蚁密系统”中，信息素是在蚂蚁完成一步后更新的，即采用的是局部信息；而在“蚁周系统”中路径中信息素是在蚂蚁完成一个循环后更新的，即应用的是整体信息。
在一系列标准测试问题上运行的实验表明，“蚁周系统”算法的性能优于其他两种算法。
因此，对蚂蚁系统的研究正朝着更好地了解“蚁周系统”特征的方向发展。