6.7-5定积分求面积小结与思考题
利用积分求面积问题
利用积分求面积问题在数学中，积分是一个重要的概念，可以用来解决各种面积问题。
利用积分求面积的方法可以应用于曲线下面积、旋转体的体积、曲线长度等多个领域。
本文将介绍如何利用积分来解决面积问题，并以具体例子说明其应用。
曲线下面积在平面几何中，我们经常需要求解曲线下的面积。
利用积分可以很方便地解决这类问题。
假设有一个函数f(x)，我们需要求解其在x=a和x=b之间的曲线下面积。
我们可以将这个区域划分为无数个小矩形，然后计算每个小矩形的面积，并将其累加起来。
通过不断增加小矩形的数量，可以得到更精确的结果。
具体计算方法如下：将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
然后，在每个小区间中选择一个代表点xi，计算该点的函数值f(xi)，并乘以Δx，即可得到一个小矩形的面积。
将所有小矩形的面积相加即可得到曲线下的面积。
例如，我们要求函数f(x)=x^2在区间[0,1]下的面积。
假设将区间等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(1-0)/n。
那么，每个小区间中代表点xi为xi=iΔx，其中i为小区间的索引。
通过计算每个小矩形的面积并相加，可以得到曲线下的面积近似值。
当n趋近于无穷大时，得到的结果越来越接近真实值。
旋转体的体积利用积分还可以求解旋转体的体积。
假设有一个曲线C，我们需要求解其绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积。
可以将该立体划分为无数个具有微小厚度的圆环，并计算每个圆环的体积，再将其累加起来。
具体计算方法如下：将曲线C的方程表示为y=f(x)，其中x为独立变量，y为依赖变量。
然后，选择一个与曲线C相切的平行于x轴的截面，将该截面旋转一周，形成一个圆环。
圆环的厚度为Δx，内半径为y，外半径为y+Δy。
通过计算每个圆环的体积，并将其累加，可以得到旋转体的体积。
例如，我们要求函数f(x)=x在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的立体的体积。
假设将区间等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(1-0)/n。
(完整版)定积分的应用--平面图形的面积
C3x
跨度为6米, 高为3米，此抛物
线形拱桥的横截面积为多少？
解：如图建立平面直角坐标系，
A
-3
B
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
于是抛物线形拱桥的横截面积
S= S长方形 - S曲边梯形
点 (3,3)代入方程，得
a 1
所以抛物线方程
3 y
1
x2
3
= 18 -
3 1 x2dx 3 3
=12 - 3 1 x2dx
3 3
计算
问题情境
b
a f ( x)dx 的几何意义是什么？
几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分
b
a f (x)dx
0
a
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积
y f (x)
bx
几何意义
ya
b
当函数 f (x) 0 ， 定积分 x
b
a f (x)dx
1 2
y2)d
y
所围图形
y y2 2x (8, 4)
o
yx4 x
(2, 2)
18
定积分在几何上的应用
y
y y 2 (x)
y 1(x)
oa x b
x
X —型：
a x b
d
y
cx 1( y) o
x 2 ( y)
x
Y —型：
c yd
h 2 (x) 1(x) h 2 ( y) 1( y)
y f (x)
就是位于x轴下方的曲边梯形
面积的相反数. 即
b
a f (x)dx S
定积分在几何上的应用(面积)
r()
d
面积元素 dA1[()2]d
2
曲边扇形的面积为:
o
x
A 1[()2]d. 2
圆 扇 形 的 面 A积1r为 2
2
例 6求 双 纽 线 2 a 2c2 o所 s围 平 面 图 形
的 面 积 .
解 由对称性知总面积=4倍第
一象限部分面积
yx
A4A1
A404
1a2co2sd
2
a2.
A1 2a2co2s
ax
x bx
x+dx
b
b
Aa f(x)d xaydx
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx 2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x为积分变量 x[0,1]
x y2 y x2
面积微元 dA ( xx2)dx
1
A0(
xx2)dx 32
1根据问题的具体情况选取一个变量例如分成n个小区间取其中任一小区间并记为与dx的乘积就把dx称为量f的微元且记作df上曲线下曲线xdxdx面积微元dx可直接由公式得到xdx求面积的一般步骤
第五章 定积分及其应用
§6 定积分在几何上的应用
§5.6 定积分在几何上的应用
若能把某个量表示 成定积分,我们就可以 计算了.
n
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则AAi .
i1
（ 2 ） 计 算 A i 的 近 似 值 A if(i) x i i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f(i)xi.
（4） 求极限，得A的精确值 i1
n
Al i0m i1f(i)xi abf(x)dx
积分与定积分的面积计算
积分与定积分的面积计算在数学中，积分和定积分是重要的概念，可用于计算曲线下的面积。
本文将针对积分和定积分的面积计算进行详细阐述，并提供一些实际应用的示例。
一、积分的概念积分是微积分的基本概念之一。
它用于计算函数在一定范围内的累积效果，可以看作是离散求和的极限过程。
积分符号一般表示为∫，表示对函数进行积分。
积分的结果常被称为原函数或不定积分。
二、定积分的概念定积分是积分的一种特殊形式，用于计算函数在指定区间上的累积效果，也可看做是曲线下的面积。
定积分的符号表示为∫[a,b]，其中a和b分别表示积分的下限和上限。
三、面积计算的方法通常情况下，我们可以通过定积分来计算曲线下的面积。
以下是计算面积的一般步骤：1. 确定函数：首先需要确定要计算面积的函数。
该函数可以是一个已知的数学函数，也可以是通过数据点进行插值得到的函数。
2. 确定区间：确定要计算面积的区间范围，并将其表示为[a,b]。
3. 求定积分：利用定积分的性质，将函数代入定积分公式，计算出函数在该区间上的定积分值。
这个值即为曲线下的面积。
四、实际应用示例下面是一些实际应用示例，展示了如何利用积分和定积分计算面积：1. 圆的面积计算：对于一个半径为r的圆，可以利用积分计算该圆的面积。
以圆心为原点，确定上半部分圆弧的函数方程为y = sqrt(r^2 -x^2)，则面积计算公式为：S = 2 * ∫[0,r] sqrt(r^2 - x^2) dx。
2. 不规则图形的面积计算：对于一些不规则的图形，也可以通过积分和定积分计算其面积。
首先需要确定函数方程描述该图形，然后再进行定积分计算。
例如，椭圆的面积计算公式为：S = ∫[-a,a] sqrt(1-(x^2/a^2)) dx，其中a为椭圆长轴的一半。
3. 几何体的体积计算：类似地，利用定积分的原理，我们可以计算三维几何体的体积。
例如，圆柱的体积计算公式为：V = ∫[0,h] πr^2 dy，其中r为圆柱底面半径，h为圆柱高度。
《定积分求面积》课件 (2)
定积分求面积的方法
求曲线下方面积
通过计算曲线与x轴之间的面积或y轴之间的面积， 求得曲线下方区域的面积。
求曲线上方面积
通过计算曲线与x轴之间的面积或y轴之间的面积， 求得曲线上方区域的面积。
实例演练
1
例题1：求函数y=x在[0,1]上的面积
我们将使用定积分的方法来求取函数y=x在[0,1]上的面积，通过计算与x轴之间的面积。
《定积分求面积》PPT课 件 (2)
欢迎大家来到《定积分求面积》PPT课件(2)！今天我们将继续探讨如何用定 积分求解不同类型的曲线下的面积。
定积分的概念回顾
Riemann定积分的定义
通过将曲线下的区域分成无穷个小矩形，并求和的方式来计算定积分。
定积分的性质
定积分具有线性性质、区间可加性和保号性等数学特性。
2
例题2：求函数y=x^2在[0,1]上的面积
现在我们来求函数y=x^2在[0,1]上的面积，利用定积分求解曲线下的面积。
3
例题3：求函数y=cos(x)在[0,π/2]上的面积
让我们通过定积分的方法，求解函数y=cos(x)在[0,π/2]上的面积。
小结
定积分求面积的基本思路
通过将曲线下区域分解为无穷个小矩形，并求和，来计算曲线下的面积。
定积分求面积的注意事项
确保选择正确的定积分范围，并注意曲线的几何特性。
练习题
练习题1：求函数 y=2x在[0,1]上的面 积
现在让我们继续练习，求解函 数y=2x在[0,1]上上的面 积
下一个练习题是求函数y=1/x在
[1,2]上的面积，尝试使用定积
分求解。
练习题3：求函数 y=sin(2x)在[0,π/2] 上的面积
定积分应用总结
一、主要内容
二、典型例题
一、主要内容
微 元 法 的所 特求 点量
解 题 步 骤
定积分应用中的常用公式
1、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
y f1 ( x )
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
x
o
b
a
b
x
A a f ( x )dx
x
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s
2 2 ( t ) ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( ) 弧长 s
2
( )
2 r ( ) r ( )d
(4) 旋转体的侧面积
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积 A ( t ) ( t )dt t
1
t2
极坐标情形
r ( )
d
r 1 ( )
d
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
o
a
x x dx
b
x
V a A( x )dx
b
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
弧长 s a 1 y dx
2 b
y
dy
定积分的简单应用__平面图形的面积
的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x，y= x-2 ， -1
x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
y x4
4
y 2x
2 S1
S2 y x 4
S1
8
2
S 2S1 S2 2 0
8
2xdx ( 2
2x x 4)dx
y2 2x
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
42 3
3
x2
|02
(2 2 3
3
x2
1 2
x2
4x)
|82
16 3
64 3
26 3
18
例3.求曲线x= y2 和直线y=x-2所围成的图形
4
8
8
8
8
(0 2xdx 4 2xdx) 4 (x 4)dx 0 2xdx 4 (x 4)dx
2
2 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4x)
|84
40 3
练习1
练习2
练习 1（课本变式题）：
计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点
定积分求面积
1
2
3
4
-1
-2
16
A 2 1 r 2( )d a2 (1 cos )2d
20
0
a2 (2cos2 )2d 令t / 2
0
2
4a2 2 / 2 cos 4td t 8a2 3 1 3 a2
0
42 2 2
b
b
F (b) F (a) a dF( x) a f ( x)dx.
4
二、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积（Area）
用微元法求面积
d A f (x) g( x)dx
b
A a d A
b
a
f
(
x)
g(
x)dx
5
例 1 求由 y 1x和
2 y2 8 x 8
变化过程中， 每两个零点曲线封闭一次.
18
故有 0 2 或 2 2 3 ，
进而得 0 或 3 ，
2
2
由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重
复出现在第一、三象限,且图形关于原点对
称，又关于 y x (即 ) 对称，因为
10
例 2 再求由
y 1x和 2
y2 8 x
所围图形的 面积.(如图)
2 (8, 0) 4
11
解 dA f ( y) g( y)dx [(8 y2 ) 2 y]dy
A 2 [8 y2 2 y]dy 4
那 种
8 y 1 y3 y2 2
d
极坐标系下求面积
d
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
定积分应用(平面图形面积)
思考题
设曲线 y f ( x ) 过原点及点( 2,3) ，且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线 与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一条平 行线 与 y 轴和 曲线 y f ( x ) 围 成的 面积 的两 倍，求曲线方程.
例 4
计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2 x y x4
( 2,2), (8,4).
y x4
y2 2 x
选 x 为积分变量 x [0, 8]
(1) x [0, 2], (2) x [2,8],
1 2
3
1
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
y x3 6x
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x 2 y x
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
y x2
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0], ( 2) x [0,3],
a
x2 y2 例3 1 求椭圆 2 2 1 所围成的图形面积。 a b 解：设椭圆在第一象限的面积为S1。
则椭圆的面积为 y a b 2 2 b 2 2 a x 0]dx S 4S1 4 [ b a x y 0 a a 2 4 b a 4b a 2 S1 2 a x dx ab。 a 4 a 0 O a x 2 4 b a x 2 dx ab。 a 4
用定积分求平面图形面积的思考
特殊隋 （ 况 如图２，可以发现，阴影部分的面积ｓ （ ｄ． ） ＝ｆ ｘ ｘ ｆ ）
但 这样 的特殊情况会 给学生 导致一 种普遍性 的误解 ，以为 函数ｆ（ ） ｘ 、积分 区间与 轴所夹 的部分 面积就是 函数 ＿（ ） 厂 在相
但 实际上有 很多 函数的 图形 很难 画出来 ，所 以定积分来 求
题 ２３ ． Ｂ组 第 ２题 ： 相机而择．
高考数学题 “ 源于课本 ，高 于课本 ” ，这是历年高考试卷命
题 所 遵 循 的原 则 ． 师通 过 对 课 本 内容 的 深挖 ，对 例 题 、习题 重 教
组 ，可以将课本 、资料 、高 考试题有机地 结合起来 ，从知识 的 发生 、发 展 ，形 成完整 的认知 过程 ，去启 迪学 生思 考 、探 求 ， 加强 过程性 ，注 意从多角度 培养学生 的能力 ，不 仅强调逻 辑推 理能力 ，而且强调合情推理能力． 这是激发学生对数学学习的兴 趣和信心 ，提高数学复习效率的重要途径． 参考文献 ：
一
可以发现，阴影部分 （ １ 如图 ）的面积 ｓ ＝Ｊ
一ｌ
＝
ｆ （） ］ ． 一 （） ｘ ｄ
般地 ，如果有 函数 厂 ） 区间［ ，ｂ 上连续 ，用分点 ａ＝ （ 在 ａ ］
ｏ １ ＜ ＜… ＜ ｌ ＜… ＜ ＝ｂ 托一＜ ，将 区间［ ，ｂ 等分成 ｎ个小 区 ａ ］
如 ） 有些参 考书 中就 对这种情 况给 了这样一 个结论 ：在 轴 上 积 （ 图 ５ ．
分析原 因是我们对定积分定义及几何性质 的理解 出现了偏差 ．
ｒ ｂ ， ６ ， ６
运用定积分得到所 围成 的封 闭区域 的面积 Ｊ为 ｓ
对照定积分的几 何性质ｓ （ 一｝（ ＝｝ｆｘ一（３． ＝｝ ｚ ） Ｉ ） ｘａ ， Ａ ）ｘ
定积分求平面图形的面积
解: 由
得交点
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
计算抛物线
与直线
的面积 .
所围图形
例2
训练
1.求曲线 与x 轴所围成的图形面积。 2．求曲线 与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面积. 3.求曲线 与 所围成的图形面积。 4.求曲线 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
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定积分求平面图形的面积
定积分的应用-----求平面图形面积
引入
1.复习定积分的定义及其几何意义 2.如何用定积分求平面图形的面积
一、微元法
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
其中 为面积元素,
y
x
a
b
o
若曲线 与 及x=a,x=b 所围成的图形为如图：
面积A,
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
例1
分析,归纳解题步骤： 1.画草图,求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积。
有关定积分问题的常见题型解析(全题型)正规版
有关定积分问题的常见题型解析(全题型)(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）有关定积分问题的常见题型解析题型一 利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）()941x x dx +⎰ （3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。
评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f ab)(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。
如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积。
题型二 利用定积分求平面图形的面积例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。
分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。
为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。
评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。
关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。
知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：（1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积： S ＝()⎰ba dx x f ，如图1。
（2）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积： S ＝()()⎰⎰-=b abadx x f dx x f ，如图2。
（3）由两条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝()()⎰-ba dx x g x f ][，如图3。
定积分的应用面积
A
1
(
y
y2 )dy
(2
3
y2
y3
)1
1
.
0
3
30 3
13
例2 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4所围成
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y 2x
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
y x4
选x为积分变量, x [0,8]
yy2 2x 2 x
2
8
A 0 [ 2x ( 2x )]dx 2 [ 2 x ( x 4)]dx
图形的面积
y
y f (x)
y g(x)
ao
c
b
x
c
c
b
b
A
a
f ( x)dx
g( x)dx
a
c
g( x)dx c
f ( x)dx
c
a
[
a
f (x)
g( x)]dx
c[g(x)
f ( x)]dx
c
a
f ( x) g( x) dx f ( x) g( x) dx
ab
c
a f ( x) g( x) dx
y
3 (4, 3)
y2 2x 1
y x1
得交点(0, 1)， (4,3) . 对 y 积分 .
1O
1
2
1
4
x
S
3 1
(
y
1)
1( 2
y2
1)dy
1 2
y2
1 6
y3
3 2
y
3 1
16
3
28
大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结
第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。