离散数学教学群论
离散数学中的代数系统与群论
离散数学是数学中重要的一个分支，它研究离散对象和离散结构。
在离散数学的范畴中，代数系统是一个非常基础而重要的概念。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，它研究了这些操作的性质和规律。
而群论是代数系统研究的一个重要方向，它研究了代数系统中的群的性质和特点。
代数系统是离散数学的重要概念之一。
它是一个三元组(S, F, Ｏ) ，其中S是一个非空集合， F是定义在S上的一组操作，Ｏ是与操作F相适应的元素关系。
代数系统可以是代数学、逻辑学、计算机科学等领域的基本概念。
在代数系统中，操作具有封闭性、结合律、单位元和逆元等基本性质。
代数系统可以有多种形式，如群、环、域等。
而群论就是研究代数系统中的群的性质和规律。
群论是代数系统研究的一个重要方向。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质的代数系统。
在群论中，我们研究了群的基本性质和规律。
群论有两个基本概念：子群和同态。
子群是群中的一个子集，并且仍然满足群的定义。
同态是两个群之间的一个映射，并且保持了一些重要的性质。
群论在数学中有广泛的应用。
它在几何学、物理学、密码学等领域中都有应用。
在几何学中，群论被应用于对称性的研究，帮助我们理解对称性的本质和规律。
在物理学中，群论被用于对物理规律和物理现象的数学描述。
在密码学中，群论被应用于设计和分析密码系统，保证信息的安全性。
总的来说，离散数学中的代数系统与群论是数学中重要的研究方向。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，而群论研究了代数系统中的群的性质和规律。
群论在数学以及其他领域中有广泛的应用。
它不仅为我们解决实际问题提供了新的思路和方法，也帮助我们理解了离散数学中的一些基本概念和原理。
因此，学习和掌握离散数学中的代数系统与群论是非常重要的，它们对我们提高数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。
离散数学中的群论和群表示
离散数学是研究离散结构的数学学科，而群论是其中一个重要的分支。
群论研究的是集合上的代数结构，它是数学中一种最基本、最抽象也是最重要的代数结构之一。
而群表示则是将一个群的元素用矩阵或线性变换表示的方法，它在研究群论以及其他数学领域中都有广泛的应用。
首先，让我们来了解一下群论的基本概念。
一个群是一个集合，配以一个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等四个基本性质。
群论的研究对象可以是各种各样的集合，比如整数、矩阵、几何变换等，它们在群运算下具有不同的性质。
群论的基本性质包括群的封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等，这些性质很大程度上影响着群的结构和性质。
群论的应用范围十分广泛，从代数几何到量子力学，从密码学到编码理论，都离不开群论的应用。
群论在密码学中的应用，比如RSA加密算法、椭圆曲线加密算法等，能够保障数据的安全性。
在编码理论中，群论可以用来研究调制解调、编码纠错等问题。
群论在物理学中的应用也是非常重要的，比如量子力学中的对称群和轨道角动量的群表示等。
群表示是研究群的元素如何被矩阵或线性变换表示的方法。
群表示可以用来研究群的性质和结构，它将抽象的群元素转化为具体的矩阵或线性变换，使得我们能够更方便地研究群的性质。
群表示的基本概念包括等幺同态、不可约表示、经验公式等。
群表示的研究在量子力学、几何代数、图论等领域都有广泛的应用。
总之，离散数学中的群论和群表示是研究代数结构和抽象结构的基本工具。
群论研究的是集合上的代数运算，而群表示则是将群的元素用矩阵或线性变换表示的方法。
群论和群表示在密码学、编码理论以及物理学等领域都有重要的应用，它们为我们理解和解决问题提供了有效的数学工具。
对于离散数学的学习者来说，深入理解群论和群表示的概念和方法，对于提升数学素养和解决实际问题都是非常有帮助的。
离散数学ch11[1]群
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正规子群与商群
定义设H是群G的子群。如果a∈G 定义 都有Ha=aH,则称H是G的正规子群 正规子群,记作 正规子群 H G。 任何群G都有正规子群,因为G的两个平 凡子群,即G和{e},都是G的正规子群。 如果G是阿贝尔群,G的所有子群都是正 规子群。
正规子群与商群
正规子群的实例
设A={1,2,3},f1,f2,…,f6是A上的双射函数。 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 令G={f1,f2,…,f6},则G关于函数的复合运算构成 群。 G的全体子群是：
群的分解 :陪集定义 陪集定义
例2:设A={1,2,3},f1,f2,…,f6是A上的双射函数。其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 令G={f1,f2,…,f6},则G关于函数的复合运算构成群。 考虑G的子群H={f1,f2}。做出H的全体右陪集如下： Hf1={f1f1,f2f1}={f1,f2}=H Hf2={f1f2,f2f2}={f2,f1}=H Hf3={f1f3,f2f3}={f3,f5} Hf4={f1f4,f2f4}={f4,f6} Hf5={f1f5,f2f5}={f5,f3} Hf6={f1f6,f2f6}={f6,f4}
离散数学中的群论和置换群的逆元
群论是离散数学中一个重要的分支，它研究的是集合上的一种代数结构。
群论的研究对象是一种特殊的代数结构，即群。
群是一个有限或无限集合，上面定义了一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
在群论中，置换群是一种重要的群结构。
置换群是由一组有限的置换构成的群，它和对称性的概念密切相关。
在置换群中，逆元的概念也十分重要。
在置换群中，每个置换都可以看作是一种重排，它将集合中的元素按照一定规则进行了重新排列。
而置换群的逆元就是将这种重排的操作进行了逆向操作。
具体而言，对于一个置换群中的元素a，如果存在一个元素b在该群中，使得a 和b进行相互重排后得到的结果是集合中的每个元素都恰好一样，那么b就是a的逆元。
置换群的逆元的存在性是群论中的重要性质之一。
事实上，逆元的存在性是群论中一个基本的公理，它是群运算的基础。
所有的群都满足逆元存在性，并且具有相应的性质。
置换群的逆元的求解方法也是群论中的一个重要问题。
根据置换群的性质和逆元的定义，可以使用多种方法来求解置换群的逆元。
其中一种常见的方法是通过交换和反转操作来求解逆元。
具体而言，对于一个置换群中的置换，可以通过先进行交换操作，然后再进行反转操作，来得到该置换的逆元。
置换群的逆元在离散数学中具有广泛的应用。
它在密码学中的应用尤为重要，例如在公钥密码学中，通过求解置换群的逆元问题，可以实现对称密钥的生成和加密解密过程的安全性。
此外，在图论、编码理论等领域中，置换群的逆元也有着重要的应用。
综上所述，离散数学中的群论和置换群的逆元是一个重要的研究内容。
通过对群的性质和逆元的定义进行深入研究，可以获得对离散数学和相关领域理论的深刻理解。
对于解决实际问题，如密码学和图论等领域的应用问题，群论和置换群的逆元给予了重要的方法和工具。
离散数学 群
5 半群同态
定义7.1.5 设U=<X,ο >和V=<Y, *>是两个半群，ο和*都是 二元运算，函数f：X→Y，若对任意的x,y∈X，有：
定理 群的运算表中每一行或每一列都是G中元素的双变换。 G中每个元素在每一行必出现且仅出现一次。
例 P198习题-18 若群<G,*>中每个元素的逆是其自身， 证该群是阿贝尔群。
证 只需证运算*可交换。 对任意的a,b∈G, a*b=a-1*b-1=(b*a)-1=b*a 故<G,*>是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
阿贝尔群 设<G，*>是一个群，若*是可交换的, 则称 群 <G，*>为可交换群或阿贝尔群。
例 <R，×>不是群；而 <R-{0}，×>是群。
例 7.2.1 <I，+>是阿贝尔群。
例 7.2.2 G={α，β，γ，δ}，验证<G，*>是群。
可验证运算*是可结合的， * α β γ
δ
离散数学中的群论和有限群分类定理
群论是离散数学中的重要分支，研究集合上的一种二元运算，需要满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。
在群论中，群是指一个集合G以及G上的一个二元运算组成的结构。
群需要满足四个性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。
封闭性指的是对于任意的a、b∈G，a b也属于G；结合律指的是对于任意的a、b、c∈G，(a b)c=a(b c)；单位元指的是存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a e=e a=a；逆元指的是对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a b=b a=e。
有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。
有限群是指元素个数有限的群。
有限群分类定理说明了任意一个有限群都可以被分解成若干个单群的直积。
一个单群是指除了单位元外，没有其他真子群的群。
有限群分类定理指出，任意一个有限群都可以被表示为若干个单群的直积，其中每个单群可以有不同的重复次数。
这样的分解方法是唯一的。
有限群分类定理的证明十分复杂，涉及到许多高级群论的概念和工具，如正规子群、陪集、同态映射、共轭等。
证明过程中使用了许多数学技巧和方法，如数学归纳法、反证法、构造法等。
有限群分类定理的应用非常广泛。
在代数几何、组合数学、密码学等领域都有运用。
例如在密码学中，公钥密码体制中的群是密码算法的基础，有限群分类定理提供了使用一些特殊类别的群的可行性。
综上所述，群论和有限群分类定理是离散数学中的重要内容。
群论研究集合上的一种二元运算，有限群分类定理描述了有限群的分类和结构。
它的应用广泛且重要，对于理解和应用群论有着重要的意义。
对于研究者来说，深入理解群论和掌握有限群分类定理是探索数学更深层次的必经之路。
离散数学课件10.1-10.3群
2021/6/18
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定理10.1说明
定理10.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即
a 1 a 2 a r 1 a r 1 a r 1 1 a 1 1
注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。 如果G是非交换群,那么只有
ab n a b a b a b
2021/6/18
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群的性质—群的幂运算规则
定理10.1 设G为群,则G中的幂运算满足： (1) a∈G,(a-1)-1＝a。 (2) a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1。 (3) a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。 (4) a∈G，(an)m＝anm，n,m∈Z。 (5) 若G为交换群，则(ab)n＝anbn。 分析： (1)和(2)可以根据定义证明。 (3)、(4)、(5)中的等式,先利用数学归纳法对于自然数n和m
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证明元素的阶相等的方法
证明|x|＝|y|的方法： 令|x|＝r，|y|＝s 验证 (x)s＝e r|s 验证 (y)r＝e s|r 因此 r＝s，即 |x|＝|y|。
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例10.6
例10.6 设G是群，a,b∈G是有限阶元。证明 (1)|b-1ab|＝|a| (2)|ab|＝|ba|
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定理10.1的证明
(3) a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。
先考虑n,m都是自然数的情况。任意给定n，对m进行归纳。
m＝0，有ana0＝ane＝an＝an+0成立。
假设对一切m∈N有anam＝an+m成立，则有
anam+1＝an(ama)＝(anam)a＝an+ma＝an+m+1
离散数学英文课件 群论 Groups (II)
Cyclic group
Corollary 6 The generators of Zn are the integers r such that 1=<r < n and gcd(r, n) = 1. Example Let us examine the group Z16. The numbers 1, 3, 5, 7, 9, 11,13, and 15 are the elements of Z16 that are relatively prime to 16. Each of these elements generates Z16. For example, 1*9 = 9 2*9 = 2 3*9 = 11 4*9 = 4 5*9 = 13 6*9 = 6 7*9 = 15 8*9 = 8 9*9 = 1 10*9 = 10 11*9 = 3 12*9 = 12 13*9 = 5 14*9 = 14 15*9 = 7:
Subgroups of Cyclic Groups
Theorem 2: Every subgroup of a cyclic group is cyclic.
Proof. Let G be a cyclic group generated by a and suppose that H is a subgroup of G. If H = {e}, then trivially H is cyclic. Suppose that H contains some other element g distinct from the identity. Then g can be written as an for some integer n. We can assume that n > 0. Let m be the smallest natural number such that am ∈H. Such an m exists by the Principle of Well-Ordering. We claim that h = am is a generator for H. We must show that every h’ ∈ H can be written as a power of h. Since h’ ∈ H and H is a subgroup of G, h’ = ak for some positive integer k. Using the division algorithm, we can find numbers q and r such that k = mq + r where 0 =<r < m; hence, ak = amq+r = (am)qar = hqar: So ar = akh-q. Since ak and h-q are in H, ar must also be in H. However, m was the smallest positive number such that am was in H; consequently, r = 0 and so k = mq. Therefore, h’ = ak = amq = hq and H is generated by h.
离散数学-群论-代数系统-深底
布尔代数
• 摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知 道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册 子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的 预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开 辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻 辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简 单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的"推 理"，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去 在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简 单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使 自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时 间里，又付出了不同寻常的努力。
• 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解 决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。
• 但事情的发展似乎突然停了下来.
• 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟 大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然没 有一个人能找出五次方程的求根公式.
• 1829年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴 黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了 , 不得不进入较普通的师范学校.
伽罗华
• 1828年，他把自己所写的论文送交法国 科学院审查，同年6月该科学院曾举行例 会，由泊松（S.D.Poisson)和柯西两位著 名数学家审查，但由于重视不够，原稿 被柯西弄丢了。
• 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了群论的创始人.
Born: 25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris), France
Died: 31 May 1832 in Paris, France
环论
• 环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及 戴德金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。
北京邮电大学计算机学院 离散数学 数学结构 群论 chap9-3
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Example 5
Let B = {0, l }, and let + be the operation defined on B as follows:
Then B is a group.
2015-2-5
College of Computer Science & Technology, BUPT
a*a' = a*4/a = a(4/a)/2 = 2 = (4/a)(a)/2 = (4/a)*a = a' *a. a*b = ab/2 = ba/2 = b*a
Abelian
So, G is an Abelian group.
College of Computer Science & Technology, BUPT
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2015-2-5
Theorem 1
Let G be a group. Each element a in G has only one inverse in G. Proof
Let
a' and a" be inverses of a. a' = a'e = a'(aa") = (a'a)a" = ea" = a".
Then
2015-2-5
College of Computer Science & Technology, BUPT
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Theorem 2
Let
G be a group and a, b, and c be elements of G. left cancellation – 左消去律
离散数学08群
8.1 群及其性质
A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下
* 1 3 9 7 1 1 3 9 7 3 3 9 7 1 9 9 7 1 3 7 7 1 3 9
<A,*>是群
31=3， 32=9， 33=7， 34=1， 71=7， 72=9， 73=3， 74=1， 91=9， 92=1， 93=9， 94=1， 11=1， 12=1， 13=1， 14=1，
8.1 群及其性质
例8.3 下面是一些常见数集及其上运算是否构成 群的例子。 1) 整数集Z关于数的加法均构成群，常称为整数 加群。是交换群。
2) 整数集Z对于数的乘法不构成群。
3) 实数集R对普通乘法不能构成群。 4) 但R-{0}对普通乘法构成群。 5) 设S为一集合，则P(S)与集合的对称差运算构 成群，为单位元，任意A∈P(S)的逆元是其 自身。
8.3 陪集与拉格朗日定理
8.4 正规子群与群同态基本定理
8.5 群在计算机科学中的应用
代数结构
半群 独异点 循环独异点
广群
结合律？ 单位元？ gA, s.t. aA, 有 a=gm (m N)
子半群、子独异点
i) 存在单位元e ii)G中每个元素存在逆元
群(Group)
交换律？
子群 Abel群 循环群(Cyclic group)
8.1 群及其性质
如果H是G的子群， 1）G的单位元与H的单位元关系？； 2）a∈H， a作为子群H的元素，其逆元？ a作为G的元素，其逆元？
8.1 群及其性质
如果H是G的子群，则容易得到如下结论： 1）若a，b∈H，则ab∈H； 2）G的单位元e也是H的单位元； 3）a∈H，则a-1∈H。 结论1）是由于H在G的运算下满足封闭性，2） 成立是因为：设e为G单位元，e′为H单位元，则在 G中，ee′=e′，在H中有e′=e′e′,于是 ee′=e′e′,从而由群G的消去律有e′=e。 3） 可按2）同样方式得到结论，或按如下方法讨论： 设a∈H在H中的逆元为b，则ab=e，于是，在G中变 换此式可得b=a-1。从而a-1∈H。
离散数学 群论
定理6.1 一个半群(S, O)，若它又一个子代数 (M, O)，则此子代数也是一个半群. 定义6.2 一个半群(S, O)的子代数(M, O)，也是 半群，叫做半群(S, O)的子半群. 一个半群(S, O)对它的任一元素a，可以定义 它的幂 a1=a，a2=aa，…，an+1=an a 有(1) aman=am+n，(2) (am)n=amn 若a2=a，称a为等幂元素.
群的第二定义
定义6.12 一个代数系统若满足下列条件，则 称为群 （1）满足结合律 （2）如果a，b ∈ G，则方程式a O x=b 与 y O a=b 在G内有唯一解
定义6.13 设（G，O ）与（H，*）是两个群， 若存在一个函数g：G→H,使得对每个a，b ∈ G有g(a O b)=g(a) * g(b)则称g是从（G， O ）到（H，*）的群同态 如果g：G→H是一一对应的，则称g是从（G， O ）到（H，*）的群同构
但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家作出了努力, 其 中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家 欧拉(Euler), 但没有一个人能找出五次 方程的求根公式.
拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在.他预见到一般 方程的可解性问题最后将归结到关于诸根 的某些排列置换问题。
他放弃了一切希望, 参加了国民卫 队. 在那里和他在数学界一样运气不佳. 他刚加入不久, 卫队即遭控告阴谋造反 而被解散. 在1831年5月10日进行的一次抗 议聚宴上, 伽罗华手中举着出鞘的刀提 议为国王干杯, 这一手势被同伙们解释 成是要国王的命；第2天他就被捕了. 后来被判无罪, 并于6月15日获释.
§ 6.1
半群与单位半群
定义6.1.1 设S是一个非空集合，若“O” 为S 上的二元代数运算，且满足结合律，则称 该代数系统（S，O ）为半群。即:对S内的 任意元素a,b,c,有(ab)c=a(bc) 一个半群，如果其运算又满足交换律， 则称其为可换半群. 例1 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算， 则（ρ（S），∩）为半群，（ρ（S），∪） 为半群。
离散数学 群论
(a ) a
nm
6.2.4 循环群
循环群：若一个群 (G ,) 的每一个元素均是它 的某一个固定元素a的某次方幂。
生成元
周期：设(G ,)是一个群，a∈G若存在m，使得
* e 0 1 e e 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1
说明({0,1},*)不是(S,*)的子单元半群。
单 位 元？
解：在(S,*)中e*e= e*e= e e*1= 1*e=1 e是单位元。
e*0= 0*e=0
半群与单元半群
3.可换（单元）半群：一个（单元）
半群，如果其运算又满足交换律。
+4 [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
[i]+4[j]=[(i+j)mod4]
群-练习
在整数集合I上，定义二元运算为 a◦b=a+b-2 群？
代数系 统
生成集
半群与单元半群
半群的性质：
一个循环半群一定是可换半群
一个半群的任一元素a和它所有的幂
组成一个由a生成的循环子半群。
单元半群性质
☺一个有可列个元素的单元半群的运算组合表
的每行（列）内容均不相等； 例 设M={1,a,b,c,d,……}，(M,◦)是半群 ◦ 1 a b c d . . 1 1 a b c d a b c d …. a b c d …. …. …. …. ….
6.2.2 变换群
一个函数f:XX中,如果是一一对应函数,则此 函数称为X的变换。
例 设S={1,2}
离散数学——群论
群的性质
其中Z 【例3】设有群〈Z6，⊕6〉,其中 6={0,1,2,3,4,5}, 】设有群〈 其中 ⊕6是模 加法 试求出群〈Z6，⊕6〉中每一元素 是模6加法 试求出群〈 加法,试求出群 的阶。 的阶。
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群的性质
【练习3】求群<Z,+>, <Zn， ⊕n>及<P(S), ⊕>中 练习 】求群 及 中 各元素的阶。 各元素的阶。
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群的基本概念
4) 每个元素存在逆元： 每个元素存在逆元： 对于任意a∈ 设 存在且a 对于任意 ∈S,设a-1存在且 -1 ∈S ，则
a ∗ a −1 = 0 −1 * a = 0 a
a + a −1 + a a −1 = 0 即 a −1 + a + a −1a = 0
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群的性质
6.群中元素的阶 群中元素的阶 定义】元素的阶(Order)： 【定义】元素的阶 ： 是群， ∈ ， 设<G, >是群，a∈G， 是群 的最小正整数k称 的阶 记作|a| 的阶， 使ak=e的最小正整数 称为a的阶，记作 。 的最小正整数 如果这样的 不存在，则称a的阶是无限的 这样的k不存在 的阶是无限的。 如果这样的 不存在，则称 的阶是无限的。 注: (1) |a| = |a-1| (2) |e| = 1
6
群的基本概念
2) 运算 满足结合律： 运算*满足结合律 满足结合律： 任意a， ， ∈ ， 任意 ，b，c∈S，有 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc,且 且 a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+ac+bc+abc, 所以， 满足结合律。 所以，(a*b)*c=a*(b*c)，即*满足结合律。 ， 满足结合律
离散数学中的群与置换群
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象及其性质，其中一个重要的概念就是群。
群是代数学中的基本概念，也是离散数学中的重要内容之一。
在离散数学中，群与置换群是研究最广泛和最基础的对象之一。
群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。
这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在以及每个元素都有逆元这四个条件。
群是离散数学中的基本代数结构，它有着丰富的性质和应用。
在群的定义中，如果二元运算满足交换律，那么这个群就是一个交换群，也叫做阿贝尔群。
交换群是群论中的一个重要分支，其运算满足交换律使得它有更简单的性质和结构。
而对于非交换群，它们的性质则更加丰富和复杂。
置换群是群论中的一个重要的研究对象。
置换是一种将集合中的元素重新排列的操作，通过置换操作，可以将一个有限集合的元素按不同的方式重新排列，从而得到不同的置换。
置换群是由这些置换操作以及对应的运算所构成的群。
置换群的运算是将两个置换组合起来进行的。
对于置换群中的每一个置换，都有一个逆置换存在，使得进行逆置换后再进行置换得到原来的置换。
同时，置换群还有一个单位元，就是将所有元素按照原始排列摆放的置换。
这样，置换群的定义满足了群的四个条件。
在置换群中，置换可以用不同的形式进行表示。
一种常见的表示方法是使用环表达式。
环是一个由元素以及它们之间的运算组成的结构，其中每个元素对应一个置换。
通过环表达式，我们可以方便地进行置换群的运算和推导。
置换群的研究具有广泛的应用价值。
在密码学中，通过使用置换群可以对信息进行加密和解密，保护信息的安全性。
在计算机图形学中，置换群可以用来描述、操作和分析图形的对称性质。
在量子力学中，置换群的概念也有着重要的应用，用于描述和分析微观粒子的性质和行为。
综上所述，离散数学中的群与置换群是该领域研究的基本对象之一。
群作为一种代数结构，具有独特的性质和应用。
而置换群则是群论中的一个重要分支，它通过置换操作和运算构成了一个群。
置换群的研究在密码学、计算机图形学和量子力学等领域具有广泛的应用。
离散数学-5-4 群与子群
本课小结
群 有限群、无限群 置换 等幂元 子群
作业
已知：R*是非零实数集，在R*中定义运算⊙，
对任意的a、b∈R*，a⊙b＝ab/2
证明： <R* ,⊙>是一个群。 已知：设S= R-{-1}，S上定义运算为：
a b=a+b+ab
证明：<S，>是群。
三、置换
为进一步讨论群性质，引入置换的概念。 定义5-4.3 设S为一个非空集合，从集合S到S的一个双射 称为S的一个置换。 例：集合S={a, b, c, d}置换为ab, bd, ca, dc 这是一个从S到S上的一对一映射，可表示为：
a b b d c a d c
定理5.4.4 群〈G，*〉的运算表中任一行（列）的元素都是G中元素 的一个置换。且不同行，不同列的置换都不同。 证明 首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能 多于一次。用反证法，如果对应于元素a∈G的那一行中有两个元素都 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。 其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G的那一行，设b是G中的任一元素，由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。 再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：<G,*>的运算 表中每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样 的结论对于列也是成立的。
定理5-4.3 设<G，>是一个群，对于任意a,b,cG，如果a b = a c 或者b a = c a，则必有 b = c (消去律)。 证明：设a b＝a c,且a的逆元a-1，则有 a-1 (a b )＝ a-1 (a c ) (a-1 a ) b ＝ (a-1 a ) c eb ＝e c b＝c 当b a = c a时，可同样证得b = c 。
离散数学讨论课(群环格域布尔代数)
图像的边缘 .
算法见pdf 文件
格 论：L为非空集合，+和。是L上的两个二院运算，如果他们满足交换
律、结合律、吸收律，则代数系统（L,+,。）为格，也称作代数格。 交换律：a+b=b+a，a。b=b。a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)， (a。b)。c=a。(b。c)
吸收律：a+ (a。b)=a，a。(a+b)=a
环论和格论
环 的 基 本 定 义 整环 域
格 的 基 本 定 义 分配格 有界格
补格
布尔代数
环 的 定 义：设有代数系统（Ｒ，+，。），若满足以下条件：
（１）、（Ｒ，+）为可换群；（即满足交换律、结合律、存在零元、 负元） （２）、（Ｒ，。）为半群；（即满足结合律） （３）、运算。对+满足分配律，即对任意ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，存在
的一些基本概念（如：时域和频域信号空间的群同
构关系） （３）、椭圆曲线密码的应用等
组合群论在密码学中的应用 用群论的基础知识理解信号处理中的一些基本 概念(如：时域和频域信号空间的群同构关系)
椭圆曲线密码的应用
椭圆曲线密 码的应用
无线网络操作模式由 3 部分组成 : ① 移动用户。 能从一个代理范围移动到另一个代理范围 ; ②地点固定的代理。 它如同一个调停机构 , 协调移动用户和服务器之间的通信服务 ; ③ 服务器。 当移动用户从一个地区到另一个地区时 , 它能选择一个合适的代理 , 实现与服务器和 其它移动用户之间的通信。为了保证用户的合法接入和信息的安全传输 , 一般需要 做到如下 5 点： 【1】访问控制。确保接入用户合法。此过程可以通过移动用户的 MAC 地址和用户 的相关信息来实现。 【2】身份认证。确保对方为其所声称的用户及数据的完整性 , 通过数字签名技术实 现。 【3】不可否认性。确保其发出的信息事后无法抵赖 , 通过数字签名实现。 【4】数据完整性。防止信息被截获后数据被更改重新发送 , 通过消息认证码 ( MAC ) 和数字签名来实现。 【5】保密性。信息在传输中即使被截获 , 因截获者无法破解而毫无意义。通过数据 的加密来实现。 密码应用中常使用的两类椭圆曲线为定义在有限域 GF ( p ) 上的素曲线和在有限域 GF(2n )上的二元曲线。素曲线计算不需二元曲线所要求的位混淆运算 , 对软件应用 而言 , 最好使用素曲线 ;而对硬件应用而言 , 则最好使用二元曲线 , 它可用很少的门 电路来得到快速且功能强大的密码体制 。