函数的奇偶性知识点总结及练习

2.4 函数的奇偶性
学习目标：
1.了解函数奇偶性、周期性的含义.
2.会判断奇偶性，会求函数的周期.
3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．
重点难点：函数奇偶性和周期性的应用
一、知识要点
1、函数奇偶性定义：
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
②函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对
称．
（2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数．
3、函数奇偶性的性质：
奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
二、例题精讲
题型1： 函数奇偶性的判定
1．判断下列函数的奇偶性：
① x x x x f -+-=11)
1()(, ②29)(x x f -=,
③22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩ ④2211)(x x x f --=
变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：
① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2
）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）．
必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）
题型2： 函数奇偶性的证明
1．已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．求证：f(x)是奇函数．
题型3： 函数奇偶性的应用
1．设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m 的取值范围．
变式1：已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增
函数还是减函数
变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数
a 的取值范围是
三、巩固练习
1．已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ．
①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x ·f(x); ④y=f(x)+x ．
2．设函数若函数2
()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 ．
3．已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则在x<0上f(x)的表达式为 ．
4．设f (x )=ax 5+bx 3+cx －5(a ,b ,c 是常数)且(7)7f -=,则f （7）= ．
5．若函数()2f x x b =+的图象关于原点对称，则实数b 应满足的条件是 ．
6．已知函数3()1f x ax bx =++，常数a 、b R ∈，且(4)0f =，则(4)f -= ．
7．()y f x =在(),0-∞内为减函数，又()f x 为偶函数，则(3)f -与(2.5)f 的大小关系为 ．
8．已知函数2()f x ax bx c =++是定义在[]a a -1,2上的偶函数，则a = ，
________b =．
9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =-，则(1)f = ．
10．判断下列函数的奇偶性 ①x x y 13+
=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4；
11．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =--．
（1）写出函数()y f x =的表达式； （2）作出()y f x =的图象；
（3）指出函数的单调区间及单调性． （4）求函数的最值．。