随机前沿分析(新)
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利用随机前沿生产函数法，Schmidt（1980， 1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer （1990）、Kalirajan（1993）、Batese和Coelli 1988，1992，1995）等对技术效率对TFP和 产出的影响做了大量的实证研究。
2. 技术效率的测度 2.1.1 确定性生产边界
exp(
2
2 u
2
2 v
)
f
(u, )
2
2 u v
exp(
u2
2
2 u
( u)2
2
2 v
)
f ( ) f (u, )du 0
2
2
(
)
exp(
2 2 2
)
特定厂商效率
TEi E(expui | qi )
1
1
(* *i * (*i *)
)
exp
*i
1 2
2 *
,
产业效率
COLS估计的生产前沿平行于OLS回归（以自 然对数形式），意味着最好的生产技术的结构与 中心（平均）趋势的生产结构一致，这是COLS 的缺陷，应当允许处于生产前沿上的有效率的公 司的生产结构不同于位于平均位置的公司的生产 结构。
2.1.2 随机生产边界 由于确定性前沿生产函数没有考虑到生产活动中
但非参数方法存在的最大局限是: 该方法主要 运用线性规划方法进行计算, 而不像参数方法有统 计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考; 另外, 非参数方法对观测数有一定的限制, 有时不得不舍 弃一些样本值, 这样就影响了观测结果的稳定性。 因此, 我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数 的计算。
在参数型前沿生产函数的研究中, 围绕误差项的 确立, 又分为随机性和确定性两种方法。首先, 确 定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响, 直接
测算全要素生产率的传统方法是索洛余值法 (SRA) ,其关键是假定所有生产者都能实现最优的生产 效率,从而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部 归结为技术进步( technological progress) 的结果,这 部分索洛剩余后来被称为全要素生产率(李京文等 1998) 。 然而,SRA 法的理论假设不完全符合现实,因为现实经 济中大部分生产者不能达到投入—产出关系的技术边 界(Farrell ,1957) 。
的显
著水平拒绝 H0 : 0
面板数据模型
面板数据常常可以允许我们： • 放松用于区分无效性效应与噪声效应所必需的
若干强分布假设 • 获得技术效率的一致预测 • 研究技术效率随时间的变化 希望无效的厂商随时间能够改善他们的效率 水平，因此，应在无效效应上施加某些结构： 时不变无效性 时变无效性
时不变无效性模型
传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之 间的关系, 称之为平均生产函数。但是1957 年, Farrell 在 研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数 (Frontier Production Function)的概念。对既定的投入 因素进行最佳组合, 计算所能达到的最优产出, 类似于经 济学中所说的“帕累托最优”, 我们称之为前沿面。前沿 面是一个理想的状态, 现实中企业很难达到这一状态。
1977年，Aigner，Lovell，Schmidt 和 Meeusen， Van den Broeck分别独立提出了随机前沿生产函数， 之后逐渐发展起来的随机前沿生产函数法则允许技术 无效率的存在，并将全要素生产率的变化分解为生产 可能性边界的移动和技术效率的变化.
这种方法比传统的生产函数法更接近于生产和经济增 长的实际情况。能够将影响TFP的因素从TFP的变化 率中分离出来，从而更加深入地研究经济增长的根源。
确定性前沿生产函数模型如下：
Y f ( X ) exp(u)
其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和1之间，反映 了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的 距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算或估计 其参数，如下所述。
假如N个公司，每个公司使用K种投入组成的投入向量
来生产出单一产出 yi ，生产函数采用C-D形式： Ln( yi ) x ui, i 1, 2,L , N （1）
（2）
TEi 是一种产出导向的效率度量，其值介于0和1之间，
它是观察到的产出 yi 与使用同样投入并且由技术有效
的公司生产的 exp(xi ) 之比，参数 由下述方程得
出。
1.目标规划方法
N
N
min ui min (xi Lnyi )
i1
i1
（3）
s.t. ui xi Lnyi 0
存在的随机现象——测量误差和其他统计噪声来
源，所有偏离前沿的因素都被假定来自技术无效。
Aigner，Lovell，Schmidt (ALS) 和 Meeusen,
van den Broeck (MB)同时于1977年引进了随机
前沿生产函数
Q f (X ) exp(v u)
（1）
其中v表示统计噪声（来源于所忽略的与x相关的变量， 测量误差和函数形式选择所带来的近似误差）的对称随机 误差项，一般假设它是独立同分布（i.i.d)的正态随机变量， 具有0均值和不变方差。
生产率和效率的度量涉及到生产函数。DEA方法 的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段超平 面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部观测点， 是一种确定性前沿方法，没有考虑随机因素对生产 率和效率的影响。随机前沿生产函数则解决了这个 问题。
前沿生产函数(Frontier Prodution Function)反映 了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下, 企业各投 入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业实 际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合 效率。
(1)式中 Ln( yi ) 是产出的自然对数；xi是K+1
维行向量，其中第一个元素是1，其余K个元素
K种投入数量的自然对数. (0, 1,L , K )
是待估计的K+1维列向量； ui 是非负的随机
变量，用来度量技术的有效性：
TEi yi exp(xi ) exp(xi ui ) exp(xi ) exp(ui)
前沿生产函数的研究方法有: 参数方法和非参方法。两 者都可以用来测量效率水平。参数方法沿袭了传统生产函 数的估计思想, 主要运用最小二乘法或极大似然估计法 （解释）进行计算。参数方法首先确定或自行构造一个具 体的函数形式, 然后基于该函数形式对函数中各参数进行 计算; 而非参数方法首先根据投入和产出, 构造出一个包 含所有生产方式的最小生产可能性集合, 其中非参数方法 的有效性是指以一定的投入生产出最大产出, 或以最小的 投入生产出一定的产出。这里所说的非参数方法是结合 DEA(Data 数据包络分析) 计算的。
基于这一思想，Aigner 和Chu (1968) 提出了前沿生产函 数模型，将生产者效率分解为技术前沿(technological frontier) 和技术效率(technical efficiency) 两个部分,前 者刻画所有生产者投入—产出函数的边界(frontier of the production function) ；后者描述个别生产者实际技术与 技术前沿的差距。
N (0,1)
Z检验在小样本情况下具有欠佳的容量特征（即
常常倾向于错误地拒绝原假设，而此原假设本该
成立），因此，尝试采用Wald和LR检验。
科埃利（1995）曾证明LR 2[ln LR ln Lu ] : 2 (J )
在半正态模型中如果LR检验统计量超过临界值
2 12
(1)
，这意味着我们应该以 100 %
就是最大似然估计：
f
(ui )
1
u
exp( ui
u
),
N
L
N i 1
f
(ui )
( 1 )N
u
exp(
ui i1 ),
u
ln
L
N
ln u
1
u
N
ui ,
i 1
N
max ln L min u i i 1
• 如果假设 ui服从正态分布，则二次规划“估计”
就是最大似然估计：
f (ui )
Ln( yi ) x ui, i 1, 2,L , N
得到一致和无偏的斜率参数 1,L k ，以及一致和
有偏的截面参数 0 。
第二步，有偏的截距参数 0 被修正以保证估计
的前沿是所有数据的上界：
ˆ0* ˆ0 maxi uˆi,
uˆi* uˆi maxuˆi
TEi exp(uˆi*)
2
2 u
exp(
ui2
2
2 u
),
L
N i 1
f (ui ),
1
ln
L
C
2
2 u
N
ui2 ,
i 1
N
max ln L min ui2 i 1
•
其中C代表常数
上述“解释”给予目标规划方法一个清晰的统计基
础，但这些计算的参数 仍然像估计的参数那样
有标准差。 2.修正最小二乘法（COLS） 它分为两步： 第一步，先用OLS估计（1）式：
i 1, 2,L , N
参数 可以由下列二次规划问题计算得出：
N
N
min ui2 min (xi Lnyi )2
i 1
i 1
s.t. ui xi Lnyi 0
i 1, 2,L , N
（5）
上述目标规划的主要缺点是其参数是计算的而不是 估计的，无统计解释。
如果假设 ui 服从指数分布，则线性规划“估计”
Lnyi 0 n n ln Xni vi ui
（2）
在上述v和u的假设下，可以使用最大似然法
（ML）或调整最小二乘法（MOLS）估计参数
和误差项 vi ui ，进而得到技术效率 TEi exp(ui ) ，如下所述。
1.正态——半正态模型的ML估计
假设：
（1）
vi
iidN
(0,
2 v
软件估计结果
其他模型
假设检验
除了对参数 的假设进行检验之外，我们还
需检验无效效应是否存在
在半正态分布模型中原假设和备择假设是：
H0
:
2 u
0
H1
:
Байду номын сангаас
2 u
0
或者利用艾格纳等（1977）所提出的 参数
化的原假设和备择假设：
H0 : 0 H1 : 0
该假设的统计量为：
z
% se(%)
:
随机前沿分析
Stochastic Frontier Analysis
一、导言
1.1 随机前沿方法简介
在经济学中，技术效率的概念应用广泛。Koopmans首先提出了技术效率的概念， 他将技术有效定义为：在一定的技术条件下，如果不减少其它产出就不可能增加任何 产出，或者不增加其它投入就不可能减少任何投入，则称该投入产出为技术有效的。 Farrell首次提出了技术效率的前沿测定方法，并得到了理论界的广泛认同，成为了效 率测度的基础 。
采用线性规划方法计算前沿面, 确定性前沿生产函数把 影响最优产出和平均产出的全部误差统归入单侧的一 个误差项ε中, 并将其称为生产非效率. 随机前沿生产函数( Stochastic Frontier Production Function)在确定性生产函数的基础上提出了具有复合 扰动项的随机边界模型。其主要思想为随机扰动项ε应 由v 和u 组成, 其中v 是随机误差项, 是企业不能控制的 影响因素, 具有随机性, 用以计算系统非效率; u是技术 损失误差项, 是企业可以控制的影响因素, 可用来计算技 术非效率。 参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性, 也反 映了样本计算的真实性。
1.2 发展史简要回顾
20世纪20年代，美国经济学家道格拉斯（P·Douglas） 与数学家柯布（C·Cobb）合作提出了生产函数理论， 开始了生产率在经济增长中作用的定量研究。称其为 技术进步率，这些未被解释部分归为技术进步的结果， 称其为技术进步率，这些未被解释的部分后来被称为 “增长余值”（或“索洛值”），也即为全要素生产 率（TFP）的增长率。
f (X ) exp(v) 代表随机前沿生产函数，产出以随机变量
f (X ) exp(v) 为上限；随机误差V可正可负，因此，随机前 沿产出围绕着模型的确定部分 变动。 u(非负)代表着生产效率或管理效率，一般假设它是独立
同分布的半正态随机变量或指数随机变量独立于 v。
生产函数取C-D形式：
)
（2）
ui
iidN
(0,
2 u
)
（3） vi 和
量相互独立。
ui
的分布相互独立，且与解释变
u ,v的密度函数以及u 和v的联合密度函数，
u和 v u 的联合密度函数分别是:
2
u2
f (u)
exp( )
2 u
2
2 u
f (v)
1
2 v
exp(
v2
2
2 v
)
2
u2 v2
f
(u, v)
2 u v
2. 技术效率的测度 2.1.1 确定性生产边界
exp(
2
2 u
2
2 v
)
f
(u, )
2
2 u v
exp(
u2
2
2 u
( u)2
2
2 v
)
f ( ) f (u, )du 0
2
2
(
)
exp(
2 2 2
)
特定厂商效率
TEi E(expui | qi )
1
1
(* *i * (*i *)
)
exp
*i
1 2
2 *
,
产业效率
COLS估计的生产前沿平行于OLS回归（以自 然对数形式），意味着最好的生产技术的结构与 中心（平均）趋势的生产结构一致，这是COLS 的缺陷，应当允许处于生产前沿上的有效率的公 司的生产结构不同于位于平均位置的公司的生产 结构。
2.1.2 随机生产边界 由于确定性前沿生产函数没有考虑到生产活动中
但非参数方法存在的最大局限是: 该方法主要 运用线性规划方法进行计算, 而不像参数方法有统 计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考; 另外, 非参数方法对观测数有一定的限制, 有时不得不舍 弃一些样本值, 这样就影响了观测结果的稳定性。 因此, 我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数 的计算。
在参数型前沿生产函数的研究中, 围绕误差项的 确立, 又分为随机性和确定性两种方法。首先, 确 定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响, 直接
测算全要素生产率的传统方法是索洛余值法 (SRA) ,其关键是假定所有生产者都能实现最优的生产 效率,从而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部 归结为技术进步( technological progress) 的结果,这 部分索洛剩余后来被称为全要素生产率(李京文等 1998) 。 然而,SRA 法的理论假设不完全符合现实,因为现实经 济中大部分生产者不能达到投入—产出关系的技术边 界(Farrell ,1957) 。
的显
著水平拒绝 H0 : 0
面板数据模型
面板数据常常可以允许我们： • 放松用于区分无效性效应与噪声效应所必需的
若干强分布假设 • 获得技术效率的一致预测 • 研究技术效率随时间的变化 希望无效的厂商随时间能够改善他们的效率 水平，因此，应在无效效应上施加某些结构： 时不变无效性 时变无效性
时不变无效性模型
传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之 间的关系, 称之为平均生产函数。但是1957 年, Farrell 在 研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数 (Frontier Production Function)的概念。对既定的投入 因素进行最佳组合, 计算所能达到的最优产出, 类似于经 济学中所说的“帕累托最优”, 我们称之为前沿面。前沿 面是一个理想的状态, 现实中企业很难达到这一状态。
1977年，Aigner，Lovell，Schmidt 和 Meeusen， Van den Broeck分别独立提出了随机前沿生产函数， 之后逐渐发展起来的随机前沿生产函数法则允许技术 无效率的存在，并将全要素生产率的变化分解为生产 可能性边界的移动和技术效率的变化.
这种方法比传统的生产函数法更接近于生产和经济增 长的实际情况。能够将影响TFP的因素从TFP的变化 率中分离出来，从而更加深入地研究经济增长的根源。
确定性前沿生产函数模型如下：
Y f ( X ) exp(u)
其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和1之间，反映 了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的 距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算或估计 其参数，如下所述。
假如N个公司，每个公司使用K种投入组成的投入向量
来生产出单一产出 yi ，生产函数采用C-D形式： Ln( yi ) x ui, i 1, 2,L , N （1）
（2）
TEi 是一种产出导向的效率度量，其值介于0和1之间，
它是观察到的产出 yi 与使用同样投入并且由技术有效
的公司生产的 exp(xi ) 之比，参数 由下述方程得
出。
1.目标规划方法
N
N
min ui min (xi Lnyi )
i1
i1
（3）
s.t. ui xi Lnyi 0
存在的随机现象——测量误差和其他统计噪声来
源，所有偏离前沿的因素都被假定来自技术无效。
Aigner，Lovell，Schmidt (ALS) 和 Meeusen,
van den Broeck (MB)同时于1977年引进了随机
前沿生产函数
Q f (X ) exp(v u)
（1）
其中v表示统计噪声（来源于所忽略的与x相关的变量， 测量误差和函数形式选择所带来的近似误差）的对称随机 误差项，一般假设它是独立同分布（i.i.d)的正态随机变量， 具有0均值和不变方差。
生产率和效率的度量涉及到生产函数。DEA方法 的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段超平 面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部观测点， 是一种确定性前沿方法，没有考虑随机因素对生产 率和效率的影响。随机前沿生产函数则解决了这个 问题。
前沿生产函数(Frontier Prodution Function)反映 了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下, 企业各投 入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业实 际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合 效率。
(1)式中 Ln( yi ) 是产出的自然对数；xi是K+1
维行向量，其中第一个元素是1，其余K个元素
K种投入数量的自然对数. (0, 1,L , K )
是待估计的K+1维列向量； ui 是非负的随机
变量，用来度量技术的有效性：
TEi yi exp(xi ) exp(xi ui ) exp(xi ) exp(ui)
前沿生产函数的研究方法有: 参数方法和非参方法。两 者都可以用来测量效率水平。参数方法沿袭了传统生产函 数的估计思想, 主要运用最小二乘法或极大似然估计法 （解释）进行计算。参数方法首先确定或自行构造一个具 体的函数形式, 然后基于该函数形式对函数中各参数进行 计算; 而非参数方法首先根据投入和产出, 构造出一个包 含所有生产方式的最小生产可能性集合, 其中非参数方法 的有效性是指以一定的投入生产出最大产出, 或以最小的 投入生产出一定的产出。这里所说的非参数方法是结合 DEA(Data 数据包络分析) 计算的。
基于这一思想，Aigner 和Chu (1968) 提出了前沿生产函 数模型，将生产者效率分解为技术前沿(technological frontier) 和技术效率(technical efficiency) 两个部分,前 者刻画所有生产者投入—产出函数的边界(frontier of the production function) ；后者描述个别生产者实际技术与 技术前沿的差距。
N (0,1)
Z检验在小样本情况下具有欠佳的容量特征（即
常常倾向于错误地拒绝原假设，而此原假设本该
成立），因此，尝试采用Wald和LR检验。
科埃利（1995）曾证明LR 2[ln LR ln Lu ] : 2 (J )
在半正态模型中如果LR检验统计量超过临界值
2 12
(1)
，这意味着我们应该以 100 %
就是最大似然估计：
f
(ui )
1
u
exp( ui
u
),
N
L
N i 1
f
(ui )
( 1 )N
u
exp(
ui i1 ),
u
ln
L
N
ln u
1
u
N
ui ,
i 1
N
max ln L min u i i 1
• 如果假设 ui服从正态分布，则二次规划“估计”
就是最大似然估计：
f (ui )
Ln( yi ) x ui, i 1, 2,L , N
得到一致和无偏的斜率参数 1,L k ，以及一致和
有偏的截面参数 0 。
第二步，有偏的截距参数 0 被修正以保证估计
的前沿是所有数据的上界：
ˆ0* ˆ0 maxi uˆi,
uˆi* uˆi maxuˆi
TEi exp(uˆi*)
2
2 u
exp(
ui2
2
2 u
),
L
N i 1
f (ui ),
1
ln
L
C
2
2 u
N
ui2 ,
i 1
N
max ln L min ui2 i 1
•
其中C代表常数
上述“解释”给予目标规划方法一个清晰的统计基
础，但这些计算的参数 仍然像估计的参数那样
有标准差。 2.修正最小二乘法（COLS） 它分为两步： 第一步，先用OLS估计（1）式：
i 1, 2,L , N
参数 可以由下列二次规划问题计算得出：
N
N
min ui2 min (xi Lnyi )2
i 1
i 1
s.t. ui xi Lnyi 0
i 1, 2,L , N
（5）
上述目标规划的主要缺点是其参数是计算的而不是 估计的，无统计解释。
如果假设 ui 服从指数分布，则线性规划“估计”
Lnyi 0 n n ln Xni vi ui
（2）
在上述v和u的假设下，可以使用最大似然法
（ML）或调整最小二乘法（MOLS）估计参数
和误差项 vi ui ，进而得到技术效率 TEi exp(ui ) ，如下所述。
1.正态——半正态模型的ML估计
假设：
（1）
vi
iidN
(0,
2 v
软件估计结果
其他模型
假设检验
除了对参数 的假设进行检验之外，我们还
需检验无效效应是否存在
在半正态分布模型中原假设和备择假设是：
H0
:
2 u
0
H1
:
Байду номын сангаас
2 u
0
或者利用艾格纳等（1977）所提出的 参数
化的原假设和备择假设：
H0 : 0 H1 : 0
该假设的统计量为：
z
% se(%)
:
随机前沿分析
Stochastic Frontier Analysis
一、导言
1.1 随机前沿方法简介
在经济学中，技术效率的概念应用广泛。Koopmans首先提出了技术效率的概念， 他将技术有效定义为：在一定的技术条件下，如果不减少其它产出就不可能增加任何 产出，或者不增加其它投入就不可能减少任何投入，则称该投入产出为技术有效的。 Farrell首次提出了技术效率的前沿测定方法，并得到了理论界的广泛认同，成为了效 率测度的基础 。
采用线性规划方法计算前沿面, 确定性前沿生产函数把 影响最优产出和平均产出的全部误差统归入单侧的一 个误差项ε中, 并将其称为生产非效率. 随机前沿生产函数( Stochastic Frontier Production Function)在确定性生产函数的基础上提出了具有复合 扰动项的随机边界模型。其主要思想为随机扰动项ε应 由v 和u 组成, 其中v 是随机误差项, 是企业不能控制的 影响因素, 具有随机性, 用以计算系统非效率; u是技术 损失误差项, 是企业可以控制的影响因素, 可用来计算技 术非效率。 参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性, 也反 映了样本计算的真实性。
1.2 发展史简要回顾
20世纪20年代，美国经济学家道格拉斯（P·Douglas） 与数学家柯布（C·Cobb）合作提出了生产函数理论， 开始了生产率在经济增长中作用的定量研究。称其为 技术进步率，这些未被解释部分归为技术进步的结果， 称其为技术进步率，这些未被解释的部分后来被称为 “增长余值”（或“索洛值”），也即为全要素生产 率（TFP）的增长率。
f (X ) exp(v) 代表随机前沿生产函数，产出以随机变量
f (X ) exp(v) 为上限；随机误差V可正可负，因此，随机前 沿产出围绕着模型的确定部分 变动。 u(非负)代表着生产效率或管理效率，一般假设它是独立
同分布的半正态随机变量或指数随机变量独立于 v。
生产函数取C-D形式：
)
（2）
ui
iidN
(0,
2 u
)
（3） vi 和
量相互独立。
ui
的分布相互独立，且与解释变
u ,v的密度函数以及u 和v的联合密度函数，
u和 v u 的联合密度函数分别是:
2
u2
f (u)
exp( )
2 u
2
2 u
f (v)
1
2 v
exp(
v2
2
2 v
)
2
u2 v2
f
(u, v)
2 u v