立体几何中的常见模型化方法

立体几何中的常见模型化方法

建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与

特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景

例题一个多面体的三视图如图 1 所示，则该多面体的

体积是

A. 23/3

B. 47/6

C.6

D.7

分析该几何体的三视图为3 个正方形，所以可建构正方

体模型辅助解答.

解图2 为一个棱长为2 的正方体.

由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后

余下的部分，其体积V=8-2 X 1/3X 1/2X 1 X 1 X 1=23/3选A.

解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割

得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便.

变式1已知正三棱锥P-A BC，点P, A , B , C都在半

径为的球面上，若PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截

面ABC 的距离为

分析由于在正三凌锥P-ABC 中，PA，PB，PC 两两互

相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型.

解构造如图3 所示的正方体.

此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，

球心为正方体对角线的中点0,且EP丄平面ABC , EP 与平

面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3，

所以又0P为球的半径，所以0P=故球心0到截面ABC 的距离

解后反思从正方体的8 个顶点之中选取不共面的点，可

构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面

上，则此球的表面积为

A.3 n

B.4 n

C.3 n

D.6 n

分析将一个正方体切掉四个大的“角” ,就可得到一个

正四面体.

解如图4 所示，构造一个棱长为1 的正方体

ABCD-A1B1C1D1 ，连接AB1，AD1，AC，CD1，CB1，B1D1，?t

四面体B1-ACD1 为符合题意的四面体，它的外接球的直径

AC1=，所以此正方体外接球的表面积S=4 n R2=3 n .选A.

解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求

得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的｝.若正四面体的棱长为a,则其体积为

变式3 四面体A-BCD 中，共顶点A 的三条棱两两互相

垂直，且其长分别为1，2，3.若四面体A-BCD 的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为

分析共顶点的三条棱两两互相垂直且长度不相等，这

具有长方体的结构特征，可构造长方体来解决问题

解构造一个棱长分别为1，2，3 的长方体，我们可发

现四面体A-BCD 是这个长方体的一个“角” ,它们的外接球相同.所以2R=故这个球的表面积S=4 n R2=14 n .

解后反思可构造长方体的几何体在高考中属于高频考

点.本题中条件“共顶点A 的三条棱两两互相垂直”可变为

共顶点A 的三个面两两垂直” ,这也是长方体的结构特征

变式4 如图5，已知球O 的球面上有四点A，B，C，D ，

DA 丄平面ABC , AB 丄上BC, DA =2 , AB=4 , BC=6，则球

O 的体积是

分析DA , AB , BC的位置符合长方体三条相连接棱的

结构特征，可构造长方体模型

解以DA , AB，BC为棱长构造长方体.设长方体的外接

球O的半径为R,则长方体的体对角线长为球0的直径，即

CD.所以

解后反思这种几何体的结构特征是三条棱顿次连接，并

且垂直，通常称为“三节棍”模型

变式5 由空间上一点O 出发的4 条射线，两两所成的

角都相等，求这个角的余弦值

分析由于是4 条射线，并且两两所成的角都相等，联

想到正四面体的结构特征――正四面体的中心与四个顶点的连线两两所成的角相等

解构造正四面体模型，如图6 所示.射线OA ，OB，OC ，OD两两所成的角相等，/ AOB即为所求.设正四面体的棱长为a,则正四面体的高h=由余弦定理可得

解后反思本题也可建构在正方体中，同学们可以试

试.

变式6 已知直线l 与平面a 平行，P 是直线l 上的一个

定点，平面a内的动点B满足PB与直线I所成的角为30°, 那么点B 的轨迹是

A.两条直线

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

分析由已知条件，构造圆锥模型解由于P是直线I上的一个定点，平面a内的动点B满

足PB 与直线I 所成的角为30°，所以点B 在以P 为顶点的圆锥侧面上.又直线I与平面a平行，所以平面a与圆锥的轴平行，即平行于圆锥的轴的平面截圆锥的侧面，可得截面图形为双曲线. 选C.

解后反思本题中，点B 的轨迹符合圆锥的结构特征是解

题的突破口.

变式7如图7, AB是平面a的斜线段，A为斜足，若

点P在平面a内运动，使得△ ABP的面积为定值，则动点P

的轨迹是

A.圆

B.椭圆

C.一条直线

D.两条平行直线

分析考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到

直线AB 的距离为定值，可构造圆柱模型

解由已知可得动点P 的轨迹在圆柱面上.由于AB 是平

面a的斜线段，所以平面 a 斜截圆柱面，得到的截面图形为

椭圆.选B.

解后反思本题中，点P 的轨迹符合圆柱的结构特征是解

题的突破口.

模型化方法的本质是根据题意进行数学建模，提升空间

想象能力.对常见几何体的结构特征特别熟悉，是建构合理模型的关键.